拉普拉斯变换及逆变换

第十二章 拉普拉斯变换及逆变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。

我们经常应用拉普拉斯变换进行电路的复频域分析。

本章将扼要地介绍拉普拉斯变换（以下简称拉氏变换）的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

第一节 拉普拉斯变换在代数中，直接计算是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N 。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

一、拉氏变换的基本概念定义12.1 设函数()f t 当0t ≥时有定义，若广义积分()pt f t e dt +∞-⎰在P 的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P 的函数，记作()F P ，即dte tf P F pt ⎰∞+-=)()( （12.1）称（12.1）式为函数()f t 的拉氏变换式，用记号[()]()L f t F P =表示。

函数()F P 称为()f t 的拉氏变换(Laplace) (或称为()f t 的象函数)。

函数()f t 称为()F P 的拉氏逆变换（或称为()F P 象原函数），记作 )()]([1t f P F L =-，即)]([)(1P F L t f -=。

关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：（1）在定义中，只要求()f t 在0t ≥时有定义。

为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在0t <时，()0f t =。

（2）在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P 是在复数范围内取值。

为了方便起见，本章我们把P 作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用。

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换。

一般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的。

例12.1 求斜坡函数()f t at = （0t ≥，a 为常数）的拉氏变换。

解：0000[]()[]ptptpt pt a a a L at atedt td e e e dt p p p +∞+∞+∞---+∞-==-=-+⎰⎰⎰二、单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为0t =)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流()i t ，以()Q t 表示上述电路中的电量，则由于电流强度是电量对时间的变化率，即t t Q t t Q dt t dQ t i t ∆∆∆)()(lim )()(0-+==→，所以，当0t ≠时，()0i t =；当0t =时，∞=-=-+=→→)1(lim )0()0(lim )0(00t t Q t Q i t t ∆∆∆∆∆。

上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强度．为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数。

定义12.2设0,01(),00,t t t t εδεεε<⎧⎪⎪=≤≤⎨⎪>⎪⎩，当0ε→时，()t εδ的极限0()lim ()t t εεδδ→=称为狄拉克（Dirac ）函数，简称为δ-函数。

当0t ≠时，()t δ的值为0；当0t =时，()t δ的值为无穷大，即0,0(),0t t t δ≠⎧=⎨∞=⎩。

显然，对任何0ε>，有01()1t dt dt εεδε+∞-∞==⎰⎰，所以()1t dt δ+∞-∞=⎰。

工程技术中，常将δ-函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将δ-函数用一个长度等于1的有向线段来表示，这个线段的长度表示δ-函数的积分，叫做δ-函数的强度。

例12.2 求单位脉冲信号()t δ的拉氏变换。

解：根据拉氏变换的定义，有dte dt edt edt et t L pt ptptpt-→∞+-→-→∞+-⎰⎰⎰⎰=⋅+==εεεεεεεεδδ01lim0lim)1lim()()]([11lim 1)()1(lim 11lim 1][1lim 00000==''-=-=-=-→-→-→-→εεεεεεεεεεεp p p ptpe p e p e p pe，即1)]([=t L δ。

例12.3 现有一单位阶跃输入0,0()1,t u t t <⎧=⎨≥⎩，求其拉氏变换。

解：00011[()]()1[]ptpt pt L u t u t edt e dt e p p+∞+∞---+∞===-=⎰⎰，(0)p >。

例12.4 求指数函数()atf t e =（a 为常数）的拉氏变换。

解：()001[]atat ptp a t L e e edt e dt p a+∞+∞---===-⎰⎰，()p a >，即 类似可得22[sin ](0)L t p p ωωω=>+；22[cos ](0)pL t p p ωω=>+。

三、拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质，利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换。

性质12.1 (线性性质) 若1a ，2a 是常数，且11[()]()L f t F p =，22[()]()L f t F p =，则)]([)]([)]()([22112211t f L a t f L a t f a t f a L +=+)()(2211p F a P F a += （12.2）证明：例12.5 求函数1()(1)at f t e a-=-的拉氏变换 解：性质12.2（平移性质） 若[()][]L f t F p =，则[()]()atL e f t F p a =-（a 为常数） （12.3） 证明：位移性质表明：象原函数乘以ate 等于其象函数左右平移||a 个单位。

例12.6 求[]atL te ，[sin ]atL e t ω-和[cos ]at L e t ω-。

解 因为21[]L t p =，22[sin ]L t p ωωω=+，22[cos ]pL t p ωω=+，由位移性质即得 性质12.3（滞后性质） 若[()][]L f t F p =，则)()]([p F e a t f L ap -=- )0(>a （12.4）证明：dtea t f a t f L pt⎰∞+--=-0)()]([=dte a tf dt ea t f apt apt⎰⎰∞+---+-)()(0，在拉氏变换的定义说明中已指出，当0t <时，()0f t =。

因此，对于函数()f t a -，当0t a -<（即t a <）时，()0f t a -=，所以上式右端的第一个积分为0，对于第二个积分，令t a τ-=，则滞后性质指出：象函数乘以ape -等于其象原函数的图形沿t 轴向右平移a 个单位。

由于函数()f t a -是当t a ≥时才有非零数值。

故与()f t 相比，在时间上滞后了一个a 值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在()f t a -这个函数上再乘()u t a -，所以滞后性质也表示为例12.7 求[()]L u t a -。

解：因为1[()]L u t p =，由滞后性质得1[()]ap L u t a e p --=。

例12.8 求()[()]a t L eu t ττ--。

解：因为1[]at L e p a =-，所以()1[()]a t p L e u t e p a τττ---=-，()p a >例12.9 已知0,0,0()2,30,3t c t a f t c a t a t a<⎧⎪≤<⎪=⎨≤<⎪⎪≥⎩，求[()]L f t 。

解： )(t f 可用单位阶梯函数表示为)3(2)()()(a t cu a t cu t cu t f ---+=，于是)21(233ap ap ap ap e e p ce p c e p c p c ----+=-+=，由拉氏变换定义来验证：)21()221(33ap ap ap ap ap e e p ce e e p c ------+=-+-=。

性质12.4（微分性质） 若[()][]L f t F p =，并设()f t 在[0，+∞)上连续，'()f t 为分段连续，则)0()()]([f p pF t f L -=' (12.5)证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得dt et f t f L pt⎰∞+-'='0)()]([⎰∞+-∞+-+=0)(])([dte tf Pet f pt pt ，可以证明，在[()]L f t 存在的条件下，必有lim ()0ptt f t e-→+∞=。

因此，微分性质表明：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ，再减去函数的初始值。

应用上述结果，对二阶导数可以推得 同理，可得 以此类推，可得)}0()0()0({)()]([)1(21)(---+'+-=n n n n n f f p f p p F p t f L （12.6）由此可见，()f t 各阶导数的拉氏变换可以由p 的乘方与象函数[]F p 的代数式表示出来．特别是当初值(1)(0)'(0)''(0)(0)0n f f f f-====时，有更简单的结果),2,1()()]([)( ==n p F p t f L n n ， （12.7）利用这个性质，可将()f t 的微分方程转化为()F p 的代数方程。

例12.10 利用微分性质求[sin ]L t ω和[cos ]L t ω。

解：令()sin f t t ω=，则2()sin (0)0,'(0),"(0)sin f t tf f f t ωωωω====-，由（12.6）式，得)]([]sin [2t f L t L ''=-ωω)0()0()]([2f pf t f L p '--=，即ωωωω-=-][sin ][sin 22t L p t L ，移项化简得利用上述结果，1cos (sin )'t t ωωω=及（12.5）式，可得2222}0{1ωωωω+=-+⋅=p pp p ．性质12.5（积分性质） 若[()]()L f t F p = (0)p ≠，且设()f t 连续，则⎰=t p p F dx x f L 0)(])([ （12.8）证明：令0()()tt f x dt ϕ=⎰，显见(0)0ϕ=，且因'()()t f t ϕ=，由微分性质，得)0()]([)]([ϕϕϕ-='t pL t L ，而)()]([)]([p F t f L t L =='ϕ，所以有()[()][()]tF p pL t pL f x dx ϕ==⎰，即01[()]()tL f x dx F p p=⎰。