拉氏逆变换
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积分变换第7讲拉氏逆变换
b - j
k 1 ssk
最常见的情况, 是函数F(s)是有理函数, 即
F (s)
am s m bn s n
am-1sm-1 a1s a0 bn-1sn-1 b1s b0
amsm am-1sm-1 a1s a0 bn (s - s1)(s - s2 )(s - sn )
-
sk
)
c1 ( s
-
sk
)2
再令两边取s sk的极限,得
c-1
Res
ssk
A(s) B(s)
est
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
一阶极点处留数的求法
而极限
lim
ssk
(s
-
sk
)
A(s) B(s)
est
lim
ssk
A(s) B(s) - B(sk
)
est
s - sk
(t)
A(j k ) B(j k )
e jkt
A(- jk) B(- jk)
e- jkt
k 2 jk
e jkt
k -2 jk
e- jkt
sin
kt,
t
0
如方程B(s)=0有一个二重根s1, 称s1为B(s)的二 阶零点, 也是F(s)est的二阶极点, 这时F(s)est在 s=s1处可展开为罗朗级数, 其形式为:
C k 1
即
1
2
j
b
jR
F
(
s)
e
std
s
b - jR
CR F (s) estd s
n
Res
拉普拉斯的逆变换及其性质
L1[
2! p3 ]
1 t 2e2t 2
(2) f (t) L1[2 pp25]
2L1[
1p
]
5L1[
1 p2
]
2 5t
(3) f (t) L1[ 4p2p34]
4L1[
p2p4]
3 2
L1[
p224]
4
cos
2t
3 2
sin
2t
(4)
f
(t )
三、进一步的练习
练习1
求下列象函数的逆变换
(1)
F
(
p)
(
1 p3)3
(2)
F( p)
2 p5 p2
(3)
F
(
p)
4 p3 p24
(4)
F( p)
2 p3 p22 p5
解 (1) 由性质2及拉氏变换表得
f
(t)
L1[ (P
1 3)3
]
e
2t
L1[
1 P3
]
e2t 2
再用拉氏逆变换还原为满足初始条件 y(0) 2, y(0) 1
的微分方程解为
y(t) 1 et 4et 7 e2t
3
3
第一节 函数及其图形
精品课件！
第一节 函数及其图形
精品课件！
将初始条件 y(0) 2, y(0) 1 代入上式，得
代数方程的解 ( p2 3 p 2)Y 2 2P 7 P 1
即
Y 2p2 5p 5
( p 1)( p 1)( p 2)
§4.4 拉普拉斯逆变换
一、部分分式法求逆变换 部分分式法求逆变换
（一）F(s)的一般形式 （二）求拉氏逆变换的过程 部分分式展开( （三）部分分式展开(m<n) （四）F(s)的两种特殊情况
二、利用留数定理求逆变换 数值计算方法——借助计算机 借助计算机求逆变换 三、数值计算方法——借助计算机求逆变换
返回
（一）F(s)的一般形式
) F (−α jβ − 1 − s = −α jβ= − 2 jβ
K1 = A+ jB
−1
K2 = A− j B = K
* 1
K1 K2 fC(t) = L + s +α − jβ s +α + jβ
=e
−α t
(K e
1
jβ t
+ K e− jβt
* 1
)
= 2e−α t [Acos(βt) − Bsin(βt)]
( A s) am(s − z1)(s − z2 )⋯ s − zm ) ( F(s) = = B(s) bn(s − p1)(s − p2 )⋯ s − pn ) (
z1, z2 , z3 ⋯zm是 (s) = 0的根 称 F(s)的零 A , 为 点
A (因为 (s) = 0 ⇒F(s) = 0) p1, p2 , p3 ⋯pn是 (s) = 0的根 称 F(s)的极 B , 为 点 B (因为 (s) = 0 ⇒F(s) = ∞) 返回
通常F 具有如下的有理分式形式: 通常F(s)具有如下的有理分式形式:
A s) amsm + am−1sm−1 +⋯+ a1s + a0 ( F(s) = = B(s) bnsn + bn−1sn−1 +⋯+ b s + b0 1
拉普拉斯变换
0
0
0
0
n
n
n1
n2
'
n1
'
n1
L f n t s n F s (2.2.18)
(5)积分性质
推论 L dt dt f t dt 1 F s . s
t t t 0 0 0 n n次
t 1 L f t dt F s 0 s
f lim f t lim sF s . (2.2.28)
t s 0
(11)相似性质（设a为正实数）
L f at 1 s F . a a (2.2.29)
[注]①Γ 函数具有如下的递推公式
mm m 1 (2.2.7)
当m是正整数时， m 1 m！ .
(2.2.8)
② 1 2 .
(6) (7) (8) L δt 1
(2.2.9)
Res
(2.2.10)
k Res k (2.2.11) Lshkt 2 2 s k s Res k (2.2.12) Lchkt 2 2 s k
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (2.1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L -1 F (s) 即 f (t ) L -1F (s)
0
0
0
n
n
n1
n2
'
n1
'
n1
L f n t s n F s (2.2.18)
(5)积分性质
推论 L dt dt f t dt 1 F s . s
t t t 0 0 0 n n次
t 1 L f t dt F s 0 s
f lim f t lim sF s . (2.2.28)
t s 0
(11)相似性质（设a为正实数）
L f at 1 s F . a a (2.2.29)
[注]①Γ 函数具有如下的递推公式
mm m 1 (2.2.7)
当m是正整数时， m 1 m！ .
(2.2.8)
② 1 2 .
(6) (7) (8) L δt 1
(2.2.9)
Res
(2.2.10)
k Res k (2.2.11) Lshkt 2 2 s k s Res k (2.2.12) Lchkt 2 2 s k
第二章 拉普拉斯变换
§2.1 拉普拉斯变换的概念
一、拉氏变换和拉氏逆变换的定义
设函数f(t)当ｔ 0时有定义，而且积分 0 （s是一个复参量），在s的某一域内收敛，则由此 积分决定的函数可写为 F (s) 0 f (t )est dt, (2.1) 称F ( s)为f (t ) 的拉普拉斯变换（简称拉氏变换）或 象函数，记为 L f (t ) ，即 F(s) L f (t ) 又称 f (t ) 为 F ( s) 的拉普拉斯逆变换（简称为拉氏 逆变换）或象原函数，记 L -1 F (s) 即 f (t ) L -1F (s)
拉普拉斯反变换
1
p 1 p
2
求拉氏反变换
(1). e
2 ( p 2 )
解：
1 p
(t )
2 ( p 2 )
1 p
e
2 p
( t 2)
2t
p2
p
3 p
e
( 2).
(1 e
)(1 e p
p2
1 e
( t 2) e
p
)
F ( p)
e
3 p
2
2
k22 ( p 2 j1)
4
k11 ( p 2 j1) F ( p )
k12 d dp
2
p 2 j 1
2 4
j
e
1 4 e
[( p 2 j1) F ( p )]
2t
j
2
p 2 j 1
f (t ) [
1 2
te
cos(t
k21 ( p j )
2
k22 ( p j )
N1 ( p) D1 ( p )
系数求得后，可用求得其反变换。由于
可以证明， 21 K11 , K 22 K12 K
设K11 | k11 | e
L [
1
j 1 1
K 22 | k22 | e
] K 22 e
例：求原函数
F ( p)
p 1 [( p 2) 1]
2 2
解：D( p ) 0的根有二重根 1, 2 2 j1, 故F ( p )可展开为 p
拉氏逆变换的公式
拉氏逆变换的公式1.常用的拉氏逆变换公式：1.1单位冲激函数δ(t)的拉氏逆变换：L^-1{1}=δ(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，δ(t)表示单位冲激函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1}=δ(t)这意味着当输入函数为1时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位冲激函数。
1.2单位阶跃函数u(t)的拉氏逆变换：L^-1{1/s}=u(t)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，u(t)表示单位阶跃函数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/s}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/s}=u(t)这意味着当输入函数为1/s时，其拉普拉斯变换的逆变换为一个单位阶跃函数。
1.3 e^(-at) 的拉氏逆变换：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)其中，L^-1{}表示拉氏逆变换，a为常数。
例子：计算拉氏逆变换L^-1{1/(s+a)}。
根据拉氏逆变换的公式，我们可以得到：L^-1{1/(s+a)} = e^(-at)这意味着当输入函数为 1/(s+a) 时，其拉普拉斯变换的逆变换为e^(-at)。
2.拉氏逆变换的推导：拉普拉斯变换的定义式是：F(s) = L{f(t)} = ∫[0,∞] [f(t)e^(-st)] dt其中，F(s)是f(t)的拉普拉斯变换。
为了推导拉氏逆变换公式，我们需要将拉普拉斯变换的积分转换为时间域上的运算。
我们可以使用留数定理来实现这一点。
首先，我们假设F(s)是一个有界函数，并且F(s)在有穷半平面Re(s)≥a中有一个极点。
根据留数定理，我们可以得到拉普拉斯变换的逆变换公式：f(t) = 1/(2πi) ∮c F(s)e^(st) ds其中，∮c表示沿着一个包围所有极点的大圆的积分，i是虚数单位，s是复变量。
根据该公式，我们可以将拉普拉斯变换的逆变换计算为围绕所有极点的积分。
实际上，在计算积分时，仅需围绕与正半轴有关的极点进行积分。
拉氏变换逆变换讲解
f (t ) (t ) 2 (t ) (2e e )u(t )
t 2t
2019/3/15
信号与系统
2.极点为共轭复根
设共轭复根为：p1, 2 j A( s ) 即：F ( s ) ( s j )(s j ) B1 ( s ) k1 k2 A1 ( s ) s j s j B1 ( s )
A( p1 ) k1 ( s j ) F ( s ) |s j 2 jB1 ( p1 ) A( p1*) k 2 ( s j ) F ( s ) | s j k1 * 2 jB1 ( p1*)
2019/3/15 信号与系统
s2 s 2 例：已知F ( s) 3 ，求f (t ) 2 s 3s 2s
f (t ) (1 2et 2e2t )u(t )
2019/3/15 信号与系统
s 3 5s 2 9 s 7 例：已知F ( s) ，求f (t ) ( s 1)(s 2)
2 s 3 重新求解上例： F ( s ) ( s 2 2s 5)(s 2) k 2 s k3 k1 2 s 2 s 2s 5
先求解系数k1然后在利用待定系数法确定： k2和k3
7 2 t 2 t 4 t f (t ) e e cos( 2t )u (t ) e sin( 2t )u (t ) 5 5 5
2019/3/15
信号与系统
3.极点有重根
m重根极点对应展开式中的m项分式
设s p1为m重极点 k1m A( s) k11 k12 F ( s) m m 1 B( s) ( s p1 ) ( s p1 ) s p1
拉氏变换及反变换
初值定理
拉氏反变换方法
部分分式法的求取拉氏反变换
B( s) b0 s m b1s m 1 .... bm 1s bm F ( s) ,m n n n 1 A( s) a0 s a1s .... an 1s bn
L-1[F(s)] = L-1[F1(s)]+L-1[F2(s)]+…+L-1[Fn(s)] = f1(t) + f2(t) + … + fn(t) F(s)= F1(s)+F2(s)+…+Fn(s)
e
at at
te
sin(wt) cos(wt)
常见时间函数拉氏变换表 序号 f(t) F(s)
n! s n1
n! s a n1
9
10 11 12
tn(n=1,2,3….)
t e e e
n at
(n=1,2,3….)
at
sinwt coswt
s a 2 w 2
拉氏变换的定义
设函数f(t)满足： 1、f(t)实函数； 2、当t<0时，f(t)=0； 3、当t0时，f(t)的积分 f (t )est dt 在s的某一域内收敛。
0
则函数f(t)的拉普拉氏变换存在，并定义为： s=σ+jω（σ，ω均为实数）
拉氏反变换的定义
F(s)称为函数f(t)的拉普拉氏变换或象函数;
2e t e 2t
t0
例2 求 解
的Laplace1 ( s 2) 2
1 1 1 f (t ) L [ ] L [ ] 2 s 1 ( s 2)
1
e te
t
2t
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• 例4
如图。设输入电压为
1, 0 ≤ t < T u0 (t ) = t ≥T 0,
• 求输出电压uR(t)（电容C在t=0时不带电）。
C
u0(t)
i
R
uR
布置作业：
பைடு நூலகம்
• P49: 2. 5. 6. 8. 11. • P54: 1(3)(5). 2(1).
• 求法：由性质，适当结合查表及部分分式 第七节 拉氏逆变换 分解法求拉氏逆变换。 • 性质1（线性性质）
L [a1 F1 ( p ) + a2 F2 ( p )]
−1
= a1 L [ F1 ( p )] + a2 L [ F2 ( p)]
−1
−1
= a1 f1 (t ) + a2 f 2 (t )
• 例1 求象函数的拉氏逆变换： 1 • (1) F ( p) = (2) F ( p ) =
p+3
1 ( p − 2) 3
• (3)
2p −5 F ( p) = p2
4p −3 (4) F ( p) = 2 p +4
• 例2 • 例3
2p +3 求 F ( p) = 2 的逆变换。 p −2p +5
步骤总结：
常系数线性 微分方程 作拉氏变换 象函数的 代数方程 解 代 数 方 程 拉氏 变换 象函数
象原函数（微 分方程的解）
• 例2 求微分方程 • 满足初始条件 y ( 0 ) = 2 , y ′( 0 ) = − 1 的解。
′′ − 3 y ′ + 2 y = 2 e − t y
x′′ − 2 y′ − x = 0 • 例3 求 满足初始条 x′ − y = 0 • 件 x ( 0 ) = 0, x ′( 0 ) = 1, y ( 0 ) = 1 的解。
x A − a
k
,
• 若真分式的分母中含有k重一次因式 进行部分分式分解后必含有
A x −
1
则
a
+
( x
A 2 − a )
2
+
⋯
+
( x
A k − a )
k
• 若真分式的分母中含有在实数范围内不可 分解的二次因式x2+px+q(p2 4q<0)，则进 − 行部分分式分解后必含有
Bx + C 2 x + px + q
p+9 求 F ( p) = 2 p +5p + 6
的逆变换。
• 例4
p+3 求 F ( p) = 3 2 p + 4p + 4p
2
的逆变换。
• 例5 换。
p 求 F ( p) = ( p + 2)( p 2 + 2 p + 2)
的逆变
• 应用：解微分方程等。 第八节+ 2 拉氏变换的应用 x (t ) = 0 满足初始条件 • 例1 求 x ′(t ) • x(0)=3的解。
• 性质2（平移性质）
L [ F ( p − a )] = e L [ F ( p )] = e f (t )
at at
−1
−1
• 性质3（延滞性质）
L [e
−1
− ap
F ( p)] = f (t − a)u (t − a)
−
部分分式分解知识：
• 若真分式的分母中含有一次因式x a，则 ( x − a ) • 进行部分分式分解后必含有