4.3节拉氏变换的基本性质

T
*单边周期函数的拉氏变换定理:若接通的 周期函数f(t)的第一个周期的拉氏变换为F1 ( s) 则函数f(t)的拉氏变换为(习题4-19)
F1 ( s ) F (s) sT 0 1 e
例：周期信号的拉氏变换
f1 (t ) F1 ( s)
LT
第一周期的拉氏变换
f1 (t nT ) e
t s 0
f1 (t ) * f 2 (t )
卷积 定理
F1 (s).F2 (s)
1 F1 ( s) * F2 ( s) 2j
f1 (t ). f 2 (t )
P200.表4.2 拉氏变换的性质
4.时域平移 f (t ) f (t t 0 ) 2.对t微分 3.对t积分 重点讨论 7.初值 t 0 8.终值 t0 (一).时域平移特性和应用 1.时移性 设 f (t ) F (s)

*几点说明 a.要注意初值f(t) 为t= 0 时刻的值,而不是 f(t)在t= 0 时刻的值,无论拉氏变换F(s)是
采用 0 系统还是采用 0 系统,所求得的初值 总是 f (0 ) b.若F(s)是有理代数式,则F(s)必须是真分式 即F(s)分子的阶次应低于分母的阶次,若不是 真分式,则应用长除法,使F(s)中出现真分式,而 初值 f (0 )等于真分式 F 0(s) 逆变换 f 0(t ). c.物理解释: s ( j ) 相当于接入信 号的突变高频分量.所以可以给出相应的初值
设f (t ) sin t
sin(0t ) u(t )
t
0
0 t0
sin[0 (t t0 )] u(t )
t
sin(0t ) u(t t0 )
t
0 t0
0
sin[0 (t t0 )] u(t t0 )
t
t0
3.时移特性的应用p250.4-2 (1)
1. f (t )
初始条件自动包含在变换式中，一步 求出系统的全响应。
三.初值和终值定理 1.初值定理 df 若f(t) 及其导数 dt 可以进行拉氏变换 且 f (t ) F (s) 则 lim f (t ) f (0 ) lim sF ( s )
t 0 s
证明:利用时域微分特性 df df st L[ ] e dt sF ( s ) f (0 ) 0 dt dt
e
st 0
F ( s)
f (t )e at
F ( s a)
拉氏变换的基本性质（2） 1 s F 尺度变换 f (at) a a
初值定理
t 0
lim f (t ) f (0 ) lim SF ( s)
s

终值 定理
lim f (t ) f () lim SF ( s )
0 n 0


St
dt
f (nT )e
n 0

nsT
抽样信号的拉氏变换可表示为S域级数
(二). 时域微分积分特性
df 1.若f (t ) F ( s ),则 sF ( s ) f (0 ) Re s 0 dt dn f n n 1 n2 ' n 1 和 n s F ( s ) s f (0 ) s f (0 ) f (0 ) dt s n F ( s ) s n r 1 f ( r ) (0 )
2.时域积分特性 若 f (t ) F (s) 则
F ( s) F ( s) f ( )d 拉 : f ( )d 且 f ( )d s s s 0
t t 0
付 : f (t ) F ( j ), 则
求:
t

1 f ( )d F ( j ) F (0) ( ) j
则 f (t to )u(t to) e
st 0
F (s) to o
傅立叶变换的时移性质
若: f (t ) F ( j ) 则: f (t t 0) F ( j )e
jt 0
这个性质表明信号在时域中的延时和频域中 的移相是相对应的.
2.四个不同的函数
a. f (t )u (t ) b. f (t t 0)u (t ) c. f (t )u (t t 0) d . f (t t 0)u (t t 0)
f (t ) f (t ) se st dt 0 0
lime st f (t ) f (o ) sF ( s )
t
f (t )是指数阶函数 lim e st f (t ) 0
t
df (t ) L[ ] sF ( s ) f (0 )可以推广到高阶 dt (见p194,4-29和4－30式）
n 0

抽样序列的拉氏变换
T ( s) e
n 0

SnT
1 1 e ST
时域抽样信号
f s (t ) f (t ) T (t )
抽样信号的拉氏变换
Fs ( s )
f (nT )e
n 0

SnT
*抽样信号的拉氏变换
T (t ) (t nT )
r 0 n 1
证明:

L[ f ' (t )] 令:u e st
0

df (t ) st e dt e st df (t ) dt 0 dv df (t ) v f (t ) du se st dt

L[ f ' (t )] e st
*几点说明 a.如果所处理的函数为有始函数 即 f (t ) 0 t 0 则f (0 ), f ' (0 ), f ( n1) (0 ) 都为零.那么
df d n f (t ) n L[ ] sF ( s) L[ ] s F ( s) n dt dt
但若f(t)在t=0有跃变,应嵌入一个冲激.
df 3 f (t ) 2 f ( ) d u (t ) dt f (0 ) 2,
0
t


f ( ) d 0
解:

0
F ( s ) sF ( s ) f (0 ) 3F ( s) 2[ s s

f ( )d
1 ] s
2s 1 1 3 F ( s) 2 s 3s 2 s 1 s 2 t 2 t f (t ) [e 3e ]u (t )
为什么微分的变换式里与f (0 )有关?
虽然 : L[ f (t )] L[ f (t )u (t )] d d 但L[ [ f (t )u (t )] 不一定和L[ f (t )]相等。 dt dt
设：f1 (t ) e u(t )
f1 (t )
at
f 2 (t )
1...t 0
f 2 (t )
e ...t 0
at
df1 df1 a at (t ) ae u (t ) L[ ] 1 sF1 ( s) dt dt sa
df 2 at 2 (t ) ae u (t ) dt df 2 a s L[ ] 2 1 sF2 (s) f (0 ) dt sa sa
df 先假定f(t)在原点连续,则 dt
在原点处不
包含冲激.于是
df st lim e dt 0 即lim sF ( s) f (0 ) 0 s 0 dt s
f (0 ) f (0 ) f (0 ) lim sF ( s)
s
T sin(t ) 0 t 2
T
2
0 t为其它值时

T 解 : f (t ) sin(t ) [u (t ) u (t )] 2
T ＝sin( t) u(t)-sin( t) u(t- ) 2
利用 sin( B) sin cos cos sin 2 和T T sin (t ) sin t 2 T T f (t ) sin tu (t ) sin( (t )u (t ) 2 2 T T L[ f (t )] L[sin tu (t ) sin (t )u (t )] 2 2 T s 2 (1 e 2 ) 2 s
LT
LT
snT
利用时移特性
F1 ( s)
利用无穷递减等比 a 级数求和 s 1 - q
1
f (t nT ) F1 ( s) e SnT
n 0 n 0

F1 ( s) 1 e ST
例1：求全波整流周期信号的拉氏变换（习题4-20）
f (t )
1
0
f 0 (t )
n 0
L[ T (t )]

0
(t nt )e
n 0
St
dt
1 ST 1 e f s (t ) f (t ) T (t ) [ f (nT ) (t nT )]
n0
L[ f S (t )] F (nT ) (t nT )e
第4.3节 拉氏变换的基本性质(1)
wenku.baidu.com线性 微分 积分 时移 频移
k f (t)
i 1 i i
n
k .LT [ f (t )]
i 1 i
n
df (t ) dt
SF(s) f (0 )
F ( s ) f ' (0 ) s s

t

f ( ) d
f (t t0 )u(t t0 )
这里还要说明一个基本问题,即不要把单边拉氏 变换理解为只能用于因果信号. 如在利用微分和 积分定理求非因果信号的单边拉氏变换时,这样 理解，可能会得出错误的结果,如
f 2( t )
t 0

1
若误认为 2 ( t ) f
t 0

0
结果就错了 .
c.为了不使t=0点的冲激丢失,在单边拉氏变 换中一般采用 0 系统.而且采用 0 系统, 对解决实际问题较为方便.

再假定f(t)在原点有跃变,则f(t)的导数可写成
df df1 [ f (0 ) f (0 )] (t ) dt dt
其中f 1(t )在t=0连续,于是
t0
df df (t ) st lim e dt lim 1 e st dt s 0 s 0 dt dt

lim [ f (0 ) f (0 )] (t )e dt 0 f (0 ) f (0 )
st s 0

即 lim sF (s) f (0 ) f (0 ) f (0 )
s
f (0 ) lim sF (s)
s
设f (t ) sin(0t ) f (t )u (t ) sin(0t )u (t ) f (t t0 )u (t ) sin[0 (t t0 )]u (t ) f (t )u (t t0 ) sin(0t )u (t t0 ) f (t t0 )u (t t0 ) sin[0 (t t0 )]u (t t0 )
T 2
T
t
(1 e ) 2 2 S
T 2
1 1 e
S T 2
1 0
t
T 2
2 T
2 T sin( t ) [u (t ) u (t )] T 2
LT
信号加窗 第一周期
(1 e ) 2 2 S
T 2
抽样信号的拉氏变换
抽样序列
T (t ) (t nT )
E
*台阶函数
E E T E T E 3T f (t ) u (t ) u (t ) u (t ) u (t ) Eu (t T ) 4 4 4 4 2 4 4
sT sT 3 sT E E E u (t ) f (t ) [1 e 4 e 2 e 4 4e sT ] 4 4s 4s