华东师大初中数学八年级上册勾股定理(基础)知识讲解[精选]
八年级上华东师大版14.1勾股定理课件
逆定理为我们提供了一个判断三角形是否为直角三角形的方法，即验证三边是否 满足勾股定理的关系式。
02
勾股定理证明方法
拼图法证明
将两个直角三角形的斜边作为拼 图的两个边，通过拼接可以形成
05
拓展与延伸：费马大定理简介
费马大定理内容
费马大定理是指一个整数幂不可能被 分解为两个大于1的整数幂的和。
例如，费马猜想了不存在整数a、b和 c，使得a3=b3+c3（这被称为费马最 后定理）。
具体来说，费马猜想了以下三个情形 ：对于任何大于2的整数n，不存在三 个大于1的整数a、b和c，使得 an=bn+cn。
例如，对于形如$a^2+b^2>c^2$的不等式，可以通过 构造直角三角形并应用勾股定理来证明或求解该不等式。
辅助角公式推导
勾股定理在三角函数中有重要应用， 特别是在推导辅助角公式时。
利用勾股定理和三角函数的定义，可 以推导出诸如$sin(A+B)$和 $cos(A+B)$等辅助角公式，从而简化 三角函数的计算和证明过程。
02
公式表示为：a² + b² = c²，其中 a和b是直角三角形的两个直角边 ，c是直角三角形的斜边。
勾股数及性质
勾股数是指满足勾股定理的三个正整 数，即a² + b² = c²中的a、b、c为 正整数。
勾股数的性质包括：任意两个勾股数 一定是互质的；一组勾股数中，必有 一个数是偶数等。
勾股定理逆定理
04
勾股定理在代数中的应用
求解代数式最值问题
利用勾股定理，可以将某些代数式转化为直角三角形中的边 长关系，进而利用三角形的性质求解最值问题。
华师大版八年级上14章勾股定理全章知识点总结
①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变;
②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理.
常见方法如下：
方法一： 4S
+ S正方形EFGH
=
S正方形ABCD
，
4
1 2
ab
+
(b
−
a)2
= c2 ，化简可证．
方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．
①已知直角三角形的任意两边长，求第三边在 ABC 中， C = 90 ，则 c = a2 + b2 ，
b = c2 − a2 ， a = c2 − b2 ； ②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题
Ⅱ. 勾股定理的逆定理 (1)内容：如果三角形三边长 a ， b ， c 满足 a2 + b2 = c2 ，那么这个三角形是直角三角形，
Ⅲ. 勾股定理及其逆定理的实际应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的几何问题中，是密不可分的一个整体． 通常既要通过逆定理判定一个三角形是直角三角形，又要用勾股定理求出边的长度，二者
相辅相成，完成对问题的解决．常见图形：
C
C
C
30° A
B
A
D
B
B
A D
Ⅳ. 互逆命题的概念
如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命
【知识脉络】
勾股定理
【基础知识】
Ⅰ. 勾股定理
(1)内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方；
表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为 a ， b ，斜边为 c ，那么 a2 + b2 = c2 . (2)勾股定理的证明
初中数学华师大版八年级上第14章 勾股定理14.2 勾股定理的应用课件
葭 有一个正方形的池塘，池塘的边长为一
赴
丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央， 并且芦苇高出水面部分有一尺，如果把
岸 芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，问水深
和芦苇的高度各多少？
解：由题意得BC＝5尺,CD=1尺.
设AC＝x尺,则AB＝（x+1）尺.
在RtΔABC中,∠ACB=90°, 10尺
1尺
D 5尺 B
解:在Rt△ABC中,∠C=90°, ∴AB2=AC2+BC2=100,AB=10 AC+BC=6+8=14
少走了(14-10) ÷0.5=8(步)
勾股定理在生活中的应用
要点: 1.确定直角三角形的三边 2.运用勾股定理解决相关问题
如图是一个三级台阶，它的每一级的长宽高分别为20dm、 3dm、2dm，A和B是这个台阶两个相对的端点， A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿 着台阶面爬到B点最短路程是多少？
勾股定理的应用
勾股定理:如果直角三角形的两直角边分 别为a、b,斜边为c,则有
B
c
a
C
A
应用举例
一. 勾股定理在古诗中的应用 二. 勾股定理在最短距离中的应用 三. 勾股定理在生活中的应用 四. 勾股定理在航行问题中的应用
今有池方一丈，葭生其中央， 出水一尺。引葭赴岸，适与岸齐。
引 问水深、葭长各几何？
A
20
Ａ
２０
Ｃ
23
3
２
3
B
2
（3+2）×3=15
3
AB2=202+152=625，AB=25
2 Ｂ
一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到CD的 中点O，试求出爬行的最短路程。（精确到0.1）
【精编版】华东师大初中数学八年级上册勾股定理全章复习与巩固(基础)知识讲解(1)
勾股定理全章复习与巩固（基础）【学习目标】1.了解勾股定理的历史，掌握勾股定理的证明方法；2.理解并掌握勾股定理及逆定理的内容；3.能应用勾股定理及逆定理解决有关的实际问题.【知识网络】【要点梳理】【高清课堂 勾股定理全章复习 知识要点】要点一、勾股定理1.勾股定理：直角三角形两直角边a b 、的平方和等于斜边c 的平方.（即：222a b c +=）2.勾股定理的应用勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：（1）已知直角三角形的两边，求第三边；（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；（3）求作长度为的线段. 要点二、勾股定理的逆定理1.原命题与逆命题如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题.2.勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a b c 、、，满足222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形. 应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为c ；（2）验证2c 与22a b +是否具有相等关系，若222a b c +=，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形，反之，则不是直角三角形.3.勾股数满足不定方程222x y z +=的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以x y z 、、为三边长的三角形一定是直角三角形.常见的勾股数：①3、4、5； ②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41. 如果(a b c 、、)是勾股数，当t 为正整数时，以at bt ct 、、为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：1.较小的直角边为连续奇数；2.较长的直角边与对应斜边相差1.3.假设三个数分别为a b c 、、，且a b c <<，那么存在2a b c =+成立.（例如④中存在27＝24＋25、29＝40＋41等）要点三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.【典型例题】类型一、勾股定理及逆定理的简单应用1、已知直角三角形的两边长分别为6和8，求第三边的长．【答案与解析】解：设第三边为x ．当x 为斜边时，由勾股定理得22268x =+．所以10x ===．当x 为直角边时，由勾股定理，得22268x +=．所以x ===所以这个三角形的第三边为10或【总结升华】题中未说明第三边是直角边还是斜边，应分类讨论，本题容易误认为所求的第三边为斜边．举一反三：【变式】在△ABC 中，AB ＝15，AC ＝13，高AD ＝12．求△ABC 的周长．【答案】解：在Rt △ABD 和Rt △ACD 中，由勾股定理，得22222151281BD AB AD =-=-=．∴ 9BD ==．同理22222131225CD AC AD =-=-=．∴ 5CD ==．①当∠ACB ＞90°时，BC ＝BD －CD ＝9－5＝4．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋4＋13＝32．②当∠ACB ＜90°时，BC ＝BD ＋CD ＝9＋5＝14．∴ △ABC 的周长为：AB ＋BC ＋CA ＝15＋14＋13＝42．综上所述：△ABC 的周长为32或42．2、如图所示，△ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝CB ，M 为AB 上一点．求证：2222AM BM CM +=．【思路点拨】欲证的等式中出现了AM 2、BM 2、CM 2，自然想到了用勾股定理证明，因此需要作CD ⊥AB ．【答案与解析】证明：过点C 作CD ⊥AB 于D ．∵ AC ＝BC ，CD ⊥AB ，∴ AD ＝BD ．∵ ∠ACB ＝90°，∴ CD ＝AD ＝DB ．∴ ()()2222AM BM AD DM AD DM +=-++ 222222AD AD DM DM AD AD DM DM =-⋅+++⋅+222()AD DM =+222()CD DM =+在Rt △CDM 中，222CD DM CM +=，∴ 2222AM BM CM +=．【总结升华】欲证明线段平方关系问题，首先联想勾股定理，从图中寻找或作垂线构造包含所证线段的直角三角形，利用等量代换和代数中的恒等变换进行论证．举一反三：【变式】已知，△ABC 中，AB ＝AC ，D 为BC 上任一点，求证：22AB AD BD CD -=⋅.【答案】解：如图，作AM ⊥BC 于M ，∵AB ＝AC ，∴BM ＝CM,则在Rt △ABM 中：222AB AM BM =+……①在Rt △ADM 中：222AD AM DM =+……②由①－②得：22AB AD -=()()22BM DM BM DM BM DM -=+- ＝ （MC ＋DM ）•BD ＝CD ·BD类型二、勾股定理及逆定理的综合应用3、（2016•益阳）在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，求△ABC 的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．【思路点拨】根据题意正确表示出AD 2的值是解题关键.【答案与解析】解：如图，在△ABC 中，AB=15，BC=14，AC=13，设BD=x ，则CD=14﹣x ，由勾股定理得：AD 2=AB 2﹣BD 2=152﹣x 2，AD 2=AC 2﹣CD 2=132﹣（14﹣x ）2，故152﹣x 2=132﹣（14﹣x ）2，解之得：x=9．∴AD=12．∴S △ABC =BC •AD=×14×12=84．【总结升华】此题主要是要读懂解题思路，然后找到解决问题的切入点，问题才能迎刃而解. 举一反三：【变式】如图所示，已知△ABC 中，∠B ＝22.5°，AB 的垂直平分线交BC 于D ，BD ＝，AE ⊥BC 于E ，求AE 的长．【答案】解：连接AD ．∵ DF 是线段AB 的垂直平分线，∴ AD ＝BD ＝，∴ ∠BAD ＝∠B ＝22.5°又∵∠ADE ＝∠B ＋∠BAD ＝45°，AE ⊥BC ，∴ ∠DAE ＝45°，∴ AE ＝DE由勾股定理得：222AE DE AD +=，∴ 222AE =，∴ 6AE ==．4、如图①所示，分别以直角三角形ABC 三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用123S S S 、、表示，则不难证明123S S S =+．(1)如图②，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正方形，其面积分别用123S S S 、、表示，那么123S S S 、、之间有什么关系?(不必证明)(2)如图③，分别以直角三角形ABC 三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用123S S S 、、表示，请你确定123S S S 、、之间的关系并加以证明．【答案与解析】解：设Rt △ABC 的三边BC 、CA 、AB 的长分别为a b c 、、，则222a b c +=．(1) 123S S S =+；(2) 123S S S =+．证明如下：显然，214S c =，224S a =，234S =，所以222231)44S S a b c S +=+==． 【总结升华】本题可以在直角三角形外作的三个图形推及为等腰直角三角形、正五边形等．5、如果ΔABC 的三边分别为a b c 、、，且满足222506810a b c a b c +++=++，判断ΔABC 的形状.【答案与解析】解：由222506810a b c a b c +++=++，得 ：2226981610250a a b b c c -++-++-+=∴ 222(3)(4)(5)0a b c -+-+-= ∵ 222(3)0(4)0(5)0a b c -≥-≥-≥，， ∴ 3,4, 5.a b c ===∵ 222345+=,∴ 222a b c +=.由勾股定理的逆定理得：△ABC 是直角三角形.【总结升华】勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的,在证明中经常要用到.类型三、勾股定理的实际应用6、如图①，一只蚂蚁在长方体木块的一个顶点A 处，食物在这个长方体上和蚂蚁相对的顶点B 处，蚂蚁急于吃到食物，所以沿着长方体的表面向上爬，请你计算它从A 处爬到B 处的最短路线长为多少?【思路点拨】将长方体表面展开，由于蚂蚁是沿长方体木块的表面爬行，且长方体木块底面是正方形，故它爬行的路径有两种情况．【答案与解析】解：如图②③所示．因为两点之间线段最短，所以最短的爬行路程就是线段AB 的长度．在图②中，由勾股定理，得222311130AB =+=．在图③中，由勾股定理，得22268100AB =+=．因为130＞100，所以图③中的AB 的长度最短，为10cm ，即蚂蚁需要爬行的最短路线长为10cm ．【总结升华】解本题的关键是正确画出立体图形的展开图，把立体图形上的折线转化为平面图形上的直线，再运用勾股定理求解．举一反三：【变式】我国古代有这样一道数学问题：“枯木一根直立地上'高二丈周三尺，有葛藤自根缠绕而上，五周而达其顶，问葛藤之长几何？，题意是：如图所示，把枯木看作一个圆柱体，因一丈是十尺，则该圆柱的高为20尺，底面周长为3尺，有葛藤自点A 处缠绕而上，绕五周后其末端恰好到达点B 处．则问题中葛藤的最短长度是多少尺？【答案】解：如图所示，在如图所示的直角三角形中，∵BC=20尺，AC=5×3=15尺，∴AB==25（尺）．答：葛藤长为25尺．。
14.2 勾股定理的应用 华东师大版数学八年级上册知识考点梳理课件
在 Rt△ABG 中，AG= +
= + = （cm）；
14.2 勾股定理的应用
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方案二：如图 2，当蚂蚁从点 A 出发经过 BF 到点 G
重
难
题 时（将前面和右面展开），
型
∵AB=3 cm，BC=5 cm，
设 B′E=BE=x，则 CE=4-x.
∵S△AEC=
∴
Βιβλιοθήκη CE×AB=
（4-x）×3=
AC×B′E，
×5x，解得 x=
，∴B′E=
.
14.2 勾股定理的应用
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变式衍生 1
如图，在长方形 ABCD 中，AB=8，BC=4
重
难
题 ，将长方形沿 AC折叠，点 D 落在点 D′处，则重叠部分
突
破 ，BF=6 cm，蚂蚁要沿着怎样的路线爬行，才能最快吃到饼
干渣？ 这时蚂蚁走过的路程是多少？
14.2 勾股定理的应用
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［答案］解：分以下三种方案讨论：
重
难
方案一：如图 1，当蚂蚁从点 A 出发经过 EF 到点 G
题
型
突 时（将前面和上面展开），
破
∵BC=5 cm，∴FG=BC=5 cm.
对点典例剖析
考
点
典例
如图，一架 2.5 m 长的梯子AB 斜靠在墙 AC 上
清
单
解 ，梯子的顶端 A离地面的高度为 2.4 m，如果梯子的底部 B
读 向外滑出 1.3 m 后停在 DE位置上，则梯子的顶部下滑多少
华师大版-数学-八年级上册-华师八上第十四章 勾股定理知识归纳
【同步教育信息】一. 本周教学内容： 勾股定理［教学目标］1. 了解勾股定理的证明，掌握勾股定理的内容，初步会用它进行有关的计算和证明。
2. 通过勾股定理的应用，培养方程的思想和逻辑推理能力。
3. 了解勾股定理的证明，培养学生的爱国情怀。
二. 重点、难点： 勾股定理的应用。
三. 教学过程设计： （一）勾股定理的证明 发现勾股定理的是毕达哥拉斯（约公元前580～公元前500年），他是一个哲学家，也是一个著名的数学家。
我国西周开国时期的商高（公元前1120年）就发现了这个定理。
因而，西方的发现比我国要迟好几百年。
由于古书中记有“勾广三，股修四，径隅五”，因此我国把这个定理简称为勾股定理。
我国古代数学家利用割补、拼接图形计算面积的思路提供了很多种证明方法。
（二）勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a 、b ，斜边长为c ，那么a b c 222+=。
勾股定理的应用方法：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴AB AC BC 222=+又∵AB ＞0，∴AB AC BC =+22（2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴AC AB BC 222=- 又∵AC ＞0，∴AC AB BC =-22【典型例题】例1. （1）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝6，b ＝8，求c 。
（2）在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，a ＝40，c ＝41，求b 。
解：（1）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴c a b 222=+ 又∵c ＞0，∴c a b =+=+=22226810 （2）在Rt △ABC 中，∵∠C ＝90°，∴b c a 222=- 又∵b ＞0，∴b c a =-=-=222241409例2. 已知直角三角形的两边长AB cm BC cm ==68，，求第三边的长。
解：（1）若AB 、BC 均为直角边AC AB BC =+=+=22226810（2）若BC 为斜边AC BC AB =-=-=-==22228664362827例3. （1）在等腰Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ：BC ：AB ＝___________； （2）如图所示，∠ACB ＝90°，∠A ＝30°，则BC ：AC ：AB ＝___________；若AB ＝8，则AC ＝___________；又若CD ⊥AB ，则CD ＝___________。
华师大版八年级数学上册 14.1勾股定理
C
a
B 则a2+b2=C2
回
青
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M C
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b C
P A
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D
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b C
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G
刘徽的“青朱出入图”
I
E F
D
C
A
BH
G
收获：
一个定理——勾股定理 一个思想——以形证数 一次探索——从特殊到一般 一份自豪——中国人的骄傲
华师版八年级（上）第十四章
勾股定理
勾股定理： 直角三角形两直角边的平方和等 于斜边的平方。
cD
勾股定理：
直角三角形两直角边的平方和等
于斜边的平方。
C a
b
在Rt△ABC中， 若∠A=900
初中数学 华东师大版八年级上册 第14章 勾股定理知识点总结及常见题型
勾股定理知识点总结及常见题型勾股定理是解直角三角形的一个有力且重要的工具,新课程标准对勾股定理及其逆定理的要求是“掌握”和“应用”,并使用定理解决一些简单的实际问题.勾股定理是每年河南中考必考内容,不单独命题考查,常以综合题的形式展开考查. 在不同版本的初中数学教材中,勾股定理及其逆定理的内容单独成章,全章共分为3节:勾股定理的探索及内容、勾股定理的逆定理和勾股定理的应用.熟练掌握掌握本章内容是每一个学生必须完成的任务. 下面就本章的内容进行知识点梳理和常见题型总结.知识点一 勾股定理的内容直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为b a ,,斜边为c ,那么有:222c b a =+.注意:1. 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.2. 勾股定理仅用于直角三角形的求解,不能直接用于其它非直角三角形的求解.3. 根据勾股定理,已知直角三角形的两边长,可以求出第三条边的长度.4. 注意上面的公式中“c ”不一定是斜边,所以在用勾股定理解直角三角形时,要注意分类讨论.5. 公式的变形:222222,,a c b b c a b a c -=-=+=.6. 勾股定理的使用对象是直角三角形,所以在应用勾股定理时要先在过程里面说明三角形是直角三角形,还要弄清楚直角边和斜边.若不确定斜边,则要展开分类讨论.例1. 在△ABC 中,已知︒=∠90C ,10,6==c a ,求b . 解:在△ABC 中,∵︒=∠90C ∴△ABC 是直角三角形 ∵10,6==c a∴由勾股定理得:86102222=-=-=a c b .注意: ∵︒=∠90C ,所以C ∠的对边c 就是斜边.习题1. 求下列直角三角形中未知边的长度.图（1）x86图（2）y135习题2. 已知直角三角形的两边长分别为3和4,求第三条边的长度.（提醒:长度为4的边,可能是直角三角形的直角边长,也可能是直角三角形的斜边长,所以本题要分两种情况进行讨论）习题3. 如图（3）所示,求等腰三角形ABC 的面积.图（3）655BA知识点二 勾股定理的证明勾股定理是一个非常重要的定理,它的证明方法很多,但初中阶段最常见的证明方法是拼图法:用几个相同的直角三角板拼成一个几何图形,根据图形之间的面积关系列出等式,从而证明勾股定理.证明一: 如图（4）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为c 的大正方形和一个边长为()a b -的小正方形,则有:图（4）abc()22214c a b ab =-+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明二: 如图（5）,用4个相同的直角三角板拼成一个边长为()b a +的大正方形和一个边长为c 的小正方形,则有:图（5）bc ba()22214b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.证明三: 如图（6）,用两个相同的直角三角板可以拼成一个上底为a ,下底为b ,高为()b a +的直角梯形,则有:图（6）bc ba()222121212b a c ab +=+⨯ 展开等式并整理可得:222c b a =+.重要结论 与勾股定理有关的面积结论（1）如图（7）所示,以直角三角形的三边为边长,向外作三个正方形,则三个正方形的面积关系为:213S S S +=.图（7）图（8）图（9）（2）如图（8）所示,以直角三角形的三条边为直径向外作三个半圆,则三个半圆的面积关系为:213S S S +=.（3）如图（9）所示,以直角三角形的三条边为斜边长（或直角边长）,向外作三个等腰直角三角形,则这三个等腰直角三角形的面积关系为:213S S S +=. （4）如图下页（10）所示,以直角三角形的三条边为边长向外作三个等边三角形,则这三个等边三角形的面积关系为:213S S S +=.图（10）重要结论 在长方体中,能放进木棒的最大长度如图（11）所示,已知长方体的长、宽、高分别为c b a ,,,则长方体中能放进木棒的最大长度为222c b a ++.图（11）c ba D C BA事实上,在Rt △ABC 中,由勾股定理得:2222b a BC AB AC +=+=在Rt △ACD 中,由勾股定理得:22222c b a CD AC AD ++=+=.显然,AD 的长度即为长方体中能放进木棒的最大长度.知识点三 勾股定理的逆定理如果三角形的三边长c b a ,,满足222c b a =+,那么这个三角形是直角三角形.以上便是勾股定理的逆定理,可以用来判断已知三边长度的三角形是否为直角三角形.在应用勾股定理的逆定理时,同学们要注意: （1）已知的条件:某三角形三条边的长度.（2）满足的条件:最长边的平方=最小边的平方+中间边的平方. （3）得到的结论:这个三角形是直角三角形,并且最长边的对角是直角. （4）如果不满足（2）,则这个三角形不是直角三角形.勾股定理的逆定理是判断一个三角形是否为直角三角形的一种重要的方法,因此也叫作直角三角形的判定定理,使用方法是: （1）首先确定最长边,不妨设最长边为c ; （2）分别计算处2c 和22b a +:①若222c b a =+,则三角形是直角三角形; ②若222c b a ≠+,则三角形不是直角三角形.勾股数 满足222c b a =+的三个正整数,称为勾股数.常见的勾股数如3 , 4 , 5 ; 6 , 8 ,10 ; 5 , 12 , 13 ; 8 , 15 , 17 ; 7 , 24 , 25. 例2. 如图（12）所示,在四边形ABCD 中,3,2,2,1,====⊥AD CD BC AB BC AB ,求四边形ABCD 的面积.图（12）DCBA分析:勾股定理用于求直角三角形的边长,勾股定理的逆定理用于判断一个三角形是否为直角三角形,题目经常对两个定理同时考查.图形当中如果没有直角三角形,则需要添加辅助线构造直角三角形. 解:连结AC ,∵BC AB ⊥ ∴△ABC 是直角三角形 由勾股定理得:5212222=+=+=BC AB AC∵()93,94525222222===+=+=+AD CD AC∴222AD CD AC =+ ∴△ACD 为直角三角形 ∴5125212121+=⨯⨯+⨯⨯=+=∆∆ACD ABC ABCD S S S 四边形.例3. 若三角形三边长分别为c b a ,,,且满足()44222b a c b a -=-,试判断这个三角形的形状.解:()44222b a c b a -=-()()()()()()()()0222222=---+-++=-+b a c b a b a b a b a b a c b a b a ∵c b a ,,为三角形的三边长 ∴0=-b a 或0222=--b a c ∴b a =或222b a c +=∴这个三角形为等腰三角形或直角三角形.习题4. 如图（13）所示,在△ABC 中,若17,8,6,10====AC AD BC AB ,求△ABC 的面积.图（13）D CBA习题5. 如图（14）所示,在△ABC 中,CD 是AB 边上的高,9,15,20===DB BC AC . （1）求CD 的长;（2）△ABC 是直角三角形吗?为什么?图（14）DCBA知识点四 勾股定理的应用主要有两方面的应用:（1）已知直角三角形的两边长,求第三条边的长;（2）已知一边长,另两条边的长度之间存在着一定的数量关系,通过设未知数利用勾股定理列方程来求解直角三角形. 本章主要问题有:1. 折叠问题习题6. 如图（15）所示,长方形纸片ABCD ,沿折痕AE 折叠边AD ,使点D 落在BC 边上的点F 处,已知24,8==∆ABF S AB ,求EC 的长.图（15）F EDCBA2. 网格问题习题7. 如图（16）所示,设正方形网格的每个小正方形的边长为1,格点△ABC 中,AB 、BC 、AC 三边的长分别为31015、、. （1）请在正方形网格中画出格点△ABC ; （2）格点△ABC 的面积为_________.图（16）3. 判断三角形形状问题习题8. 已知△ABC 的三边c b a ,,满足c b a c b a 262410338222++=+++,求 △ABC 的面积.4. 梯子问题习题9. 一架云梯长25 m,如图（17）那样斜靠在一面墙上,云梯底端离墙7 m. （1）这架云梯的顶端距地面有多高?（2）如果云梯的顶端下滑了4 m,那么它的底部在水平方向也滑动了4 m 吗?图（17）5. 航海问题习题10. 如图（18）所示,甲船以16海里/时的速度离开港口,向东南航行,乙船在同时同地向西南航行,已知他们离开港口一个半小时后分别到达B 、A 两点,且知AB =30海里,问乙船每小时航行多少海里?图（18）6. 最值问题习题11. 如图（19）所示,正方形ABCD 的边长为2,点E 为边BC 的中点,点P 在对角线BD 上移动,则PC PE 的最小值是_________.图（19）PE DCBA。
华东师大版八年级上册 14.1.1 直角三角形三边的关系 勾股定理 课件
42 32 4
5 4
4米
9米
答：这棵树折断前高9米。
3米
课堂小结
1.勾股定理：直角三角形两直角 边的平方和等于斜边的平方.
ac
b
2.在直角三角形中已知两边求第三边：
已知a、b,求c, c a2 b2 已知c、b,求a, a c2 b2 已知c、a,求b, b c2 a2
解：在RtABC中,
已知AB=6 ,BC=8
根据勾股定理，可得 AB2 +BC2 =AC2
所以AC= AB2 +BC2
62 82
A
? 6
B8
C
=10
试一试
B
ac
Cb
在Rt△ABC中，∠Ｃ=90°.
(1) 已知：a=3，ｂ=4，求c；
A
(2) 已知：a=24，c=25，求b；
方法 小结
(3) 已知：c=13，b=5，求a；
弦 勾
股
图1-1
A
总统证明法
D
b
a
c
c
C1Biblioteka bEaB
∵ S 梯 形 ABCD
= 2 a+b 2
1 = ( a 2 +2ab+ b 2 )
2
又 ∵ S 梯 形 ABCD
= S AED + S EBC + S CED
1
1
11
= ab+ ba+ c 2 = (2ab+ c 2 )
2
2
22
比较上面二式得
B P
C
（每一小方格表示1cm2)
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图14.1.2
勾股定理
八年级数学勾股定理华东师大版知识精讲
初二数学勾股定理华东师大版【本讲教育信息】一. 教学内容：勾股定理［教学过程］一、学习目标1. 了解勾股定理的发现过程，掌握勾股定理的内容，会用面积法证明勾股定理。
2. 培养在实际生活中发现问题总结规律的意识和能力。
3. 介绍我国古代在勾股定理研究方面所取得的成就，激发学生的爱国热情，促其勤奋学习。
4. 体会勾股定理的逆定理得出过程，掌握勾股定理的逆定理。
5. 探究勾股定理的逆定理的证明方法。
6. 理解原命题、逆命题、逆定理的概念及关系。
二、重点、难点1. 重点：勾股定理的内容及证明。
2. 难点：勾股定理的证明。
3. 难点的突破方法：几何学的产生，源于人们对土地面积的测量需要。
在古埃及，尼罗河每年要泛滥一次；洪水给两岸的田地带来了肥沃的淤积泥土，但也抹掉了田地之间的界限标志。
水退了，人们要重新画出田地的界线，就必须再次丈量、计算田地的面积。
几何学从一开始就与面积结下了不解之缘，面积很早就成为人们认识几何图形性质与证明几何定理的工具。
本节课采用拼图的方法，使学生利用面积相等对勾股定理进行证明。
其中的依据是图形经过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变。
4. 重点：掌握勾股定理的逆定理及证明。
5. 难点：勾股定理的逆定理的证明。
6. 难点的突破方法：先让学生动手操作，画好图形后剪下放到一起观察能否重合，激发学生的兴趣和求知欲，再探究理论证明方法。
充分利用这道题锻炼学生的动手操作能力，由实践到理论学生更容易接受。
为学生搭好台阶，扫清障碍。
⑴如何判断一个三角形是直角三角形，现在只知道若有一个角是直角的三角形是直角三角形，从而将问题转化为如何判断一个角是直角。
⑵利用已知条件作一个直角三角形，再证明和原三角形全等，使问题得以解决。
⑶先作直角，再截取两直角边相等，利用勾股定理计算斜边A1B1＝c，则通过三边对应相等的两个三角形全等可证。
【典型例题】例1. 已知：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c。
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勾股定理（基础）
【学习目标】
1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．
2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．
3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的问题，进一步运用方程思想解决问题．
【要点梳理】
【高清课堂 勾股定理 知识要点】
要点一、勾股定理
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为a b ，，斜边长为c ，那么222a b c +=.
要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.
（2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可
以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.
（3）理解勾股定理的一些变式：
222a c b =-，222b c a =-， ()2
22c a b ab =+-.
要点二、勾股定理的证明
方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形.
图（1）中，所以.
方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形.
图（2）中，所以.
方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形.
，所以. 要点三、勾股定理的作用
1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为
的线段. 【典型例题】
类型一、勾股定理的直接应用
1、在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）若a ＝5，b ＝12，求c ；
（2）若c ＝26，b ＝24，求a ．
【思路点拨】利用勾股定理222a b c +=来求未知边长．
【答案与解析】
解：（1）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，a ＝5，b ＝12，
所以2222251225144169c a b =+=+=+=．所以c ＝13．
（2）因为△ABC 中，∠C ＝90°，222a b c +=，c ＝26，b ＝24，
所以222222624676576100a c b =-=-=-=．所以a ＝10．
【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．
举一反三：
【变式1】在△ABC 中，∠C ＝90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ．
（1）已知b ＝2，c ＝3，求a ；
（2）已知:3:5a c =，b ＝32，求a 、c ．
【答案】
解：（1）∵ ∠C ＝90°，b ＝2，c ＝3，
∴ a ==；
（2）设3a k =，5c k =．
∵ ∠C ＝90°，b ＝32，
∴ 222
a b c +=．
即222(3)32(5)k k +=．
解得k ＝8．
∴ 33824a k ==⨯=，55840c k ==⨯=．
【变式2】分析探索题：细心观察如图，认真分析各式，然后解答问题．
OA 22=（
）2+1=2 ，S 1=； OA 32=（
）2+1=3，S 2=； OA 42=（）2+1=4，S 3=…
（1）请用含有n （n 为正整数）的等式S n =___________；
（2）推算出OA 10=______________．
（3）求出 S 12+S 22+S 32+…+S 102的值．
【答案】解：（1）
+1=n+1 Sn=（n 是正整数）； 故答案是：
； （2）∵O A 12=1，
OA 22=（）2+1=2，
OA 32=（）2+1=3，
OA 42=（）2+1=4，
∴OA 12=，
OA 2=，
OA 3=，…
∴OA 10=； 故答案是：；
（3）S 12+S 22+S 32+…+S 102
=（）2+（）2+（）2+…+（）2
=（1+2+3+ (10)
=．
即：S 12+S 22+S 32+…+S 102=．
类型二、勾股定理的证明
2、如图所示，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AM 是中线，MN ⊥AB ，垂足为N ，
试说明222AN BN AC -=．
【答案与解析】
解：因为MN ⊥AB ，所以222AN MN AM +=，222BN MN MB +=，
所以2222AN BN AM BM -=-．
因为AM 是中线，所以MC ＝MB ．
又因为∠C ＝90°，所以在Rt △AMC 中，222AM MC AC -=，
所以222AN BN AC -=．
【总结升华】证明带有平方的问题，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理进行转化．若没有直角三角形，常常通过作垂线构造直角三角形，再用勾股定理证明．
3、作长为、、的线段.
【思路点拨】由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为
和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作.
【答案与解析】
作法：如图所示
（1）作直角边为1（单位长度）的等腰直角△ACB ，使AB 为斜边；
（2）作以AB 为一条直角边，另一直角边为1的Rt ，斜边为；
（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形，这样斜边、、、
的长度就是、、、.
【总结升华】（1）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长度时可自定，一般习惯用国际标准的单位，如1cm 、1m 等，我们作图时只要取定一个长为单位即可. 类型四、利用勾股定理解决实际问题
4.（2016春•淄博期中）有一个小朋友拿着一根竹竿要通过一个长方形的门，如果把竹竿竖放就比门高出1尺，斜放就恰好等于门的对角线，已知门宽4尺，求竹竿高与门高．
【思路点拨】根据题中所给的条件可知，竹竿斜放就恰好等于门的对角线长，可与门的宽和高构成直角三角形，运用勾股定理可求出门高．
【答案与解析】
解：设门高为x 尺，则竹竿长为（x +1）尺，
根据勾股定理可得：
x 2+42=（x +1）2，即x 2+16=x 2+2x +1，
解得：x=7.5，
竹竿高=7.5+1=8.5（尺）
答：门高7.5尺，竹竿高8.5尺．
【总结升华】本题是将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，可把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．
举一反三：
【变式】如图所示，一旗杆在离地面5m 处断裂，旗杆顶部落在离底部12m 处，则旗杆折断前有多高？
【答案】
解：因为旗杆是垂直于地面的，所以∠C ＝90°，BC ＝5m ，AC ＝12m ，
∴ 22222
512169AB BC AC =+=+=．
∴ 13AB ==(m )．
∴ BC ＋AB ＝5＋13＝18(m )．
∴ 旗杆折断前的高度为18m ．
【高清课堂 勾股定理 例3】
5、如图，长方形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
【答案】D ；
【解析】
解：设AB ＝x ，则AF ＝x ，
∵ △ABE 折叠后的图形为△AFE ，
∴ △ABE ≌△AFE ．BE ＝EF ，
EC ＝BC －BE ＝8－3＝5，
在Rt △EFC 中，
由勾股定理解得FC ＝4，
在Rt △ABC 中，()2
2284x x +=+，解得6x =. 【总结升华】折叠问题包括“全等形”、“勾股定理”两大问题，最后通过勾股定理求解．。