5 电工(第5章暂态过程分析1)

根据电路规律列写电压、电流的微分方程， 根据电路规律列写电压、电流的微分方程，若微分方程 是一阶的， 是一阶的，则该电路为一阶电路 一 经典法: 用数学方法求解微分方程； 求解 (一) 经典法 用数学方法求解微分方程； 方法 (二) 三要素法 求初始值、稳态值、时间常数 二 三要素法: 求初始值、稳态值、
0 --- 换路前瞬间
0 + --- 换路后瞬间
则： u C ( 0 + ) = u C ( 0 )
iL ( 0 + ) = iL ( 0 )
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初始值的确定 初始值（起始值）：电路中 、 的大小。 初始值（起始值）：电路中 u、i 在 t=0＋ 时的大小。 ）： 求初始值的要点： 求初始值的要点： 1. uC和iL的初始值由换路定理确定
uC (∞) = ? 0 iC(∞) = ? 0
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例3 确定初始值
K + U + t=0 uR R L iL + uL
解:
根据换路定理
iL(0+ ) = iL(0) = 0 A
若iL(0+)=0，则在 +时，电感相当于开路 ，则在t=0
u R ( 0 + ) = iL ( 0 + ) R = 0 V
u R (0 + ) U i (0 + ) = = R R
i
u C (∞ ) =U ?
i ( ∞ ) = 0?
在t=∞时的等效电路 8 ∞
例2 确定初始值
K t=0 U=12V R1=2k R2=4k C=1F + U _ R2 C + uC _ R1 iC
若uC(0+)≠0, ≠ 在t=0+时，电 容相当于一个 电压为u 电压为 C(0+) 的恒压源
K + t=0 U R + uR L iL + uL
R
t
iL (0+ ) = iL (0 ) = 0
时间 常数
U iL = (1 e τ ) R
u R = U (1 e τ )
t
L τ = R
t
uR + uL = U
u R = iL R
uL = L diL dt
uL = Ue
τ
U
U R
3
t=0 I R
U R
I
t
RC电路 电路
S t=0 R + U _ C + _
uC
电容为储能元件，它储存的能量为电场能量 ，其大小为： 其大小为： 电容为储能元件，
1 2 W C = ∫ uidt = Cu C 0 2
t
因为能量的存储（或释放）需要一个过程，所以有 电 因为能量的存储（或释放）需要一个过程，所以有RC电 路存在暂态过程。 路存在暂态过程。
注意:实际使用中 注意 实际使用中 如直流电机、 （如直流电机、直 流继电器）， ），要加 流继电器），要加 保护措施, 保护措施 用续流 二极管为电感提供 二极管为电感提供 放电回路， 放电回路，否则线 圈两端会产生高压， 圈两端会产生高压， 对设备造成损坏。 对设备造成损坏。
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小结
1. 换路瞬间，uC、iL不能突变。 换路瞬间， 不能突变。 其它电量均可能突变，由计算结果决定； 其它电量均可能突变，由计算结果决定； 2. 换路瞬间，若 换路瞬间， 电容相当于短路； u C ( 0 + ) = 0，电容相当于短路； 若 u C ( 0 + ) ≠ 0， 电容相当于恒压源
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RL电路 电路
S t=0 R + U _ L iL
电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为： 电感为储能元件，它储存的能量为磁场能量，其大小为：
1 2 W L = ∫ ui dt = Li L 0 2
t
因为能量的存储（或释放 需要一个过程 所以RL电路存在 需要一个过程， 因为能量的存储（或释放)需要一个过程，所以 电路存在 暂态过程。 暂态过程。 5
iC R2 +
u C (0 + ) = 8V
R2 4 = 12 × = 8V u C (0 ) = U R1 + R2 2+4
根据换路定理： 根据换路定理：
在t=0+时的等效电路 时的等效电路
u C (0 + ) = u C (0 ) = 8V
u C (0 + ) 8 = = 2mA iC (0+ ) = R2 4
微分方程的解为： 微分方程的解为： u C (t )
= u' C + u" C = U + Ae
t RC
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u C (t ) = u' C + u" C = U + Ae
如何求常系数A? 如何求常系数
t RC
代入该电路的起始条件 u C ( 0 + ) = u C ( 0 ) = 0 即:
uC (0+ ) = U + Ae = U + A = 0
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概述
“稳态”与 “暂态”的概念 稳态” 暂态” 稳态
S + U _
R + C _ + U _
R + C _
uC
uC
电路处于旧稳态
电路处于新稳态
暂态过程 : 旧稳态 新稳态
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产生暂态过程的电路及原因? 产生暂态过程的电路及原因 电阻电路 S + U _ 无暂态过程 电阻是耗能元件，其中电流随电压正比例变化， 电阻是耗能元件，其中电流随电压正比例变化， 不存在暂态过程。 不存在暂态过程。
电感相当于开路； 3. 换路瞬间，iL (0+ ) = 0 ，电感相当于开路； 换路瞬间，
iL (0+ ) ≠ 0 ，电感相当于恒流源
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5.2/5.3 一阶RC、RL电路暂态过程的分析
S t=0 R + U _ +
i
_ C + _
uR
uC
duC i=C dt
du C U = u R + u C = Ri + u C = RC + uC dt
uR iL uL t
20
diL iL R + L =U dt
O
3. 一阶 电路的零输入响应 一阶RC电路的零输入响应 放电过程） （放电过程）
t=0 + U R + uR C i + uC
解此微分方程， 解此微分方程，得
uC = Ue
t
τ
τ = RC
t
u R = u C = U e
uR U τ i= = e R R
u' C (t ) = u C ( ∞ ) = U
duC 将此特解代入方程 RC + u C = U ，成立 dt
（2）求齐次方程的通解 u"C ）
duC + uC = 0 的解， 通解即 RC 的解， dt
即：u " C = A e
t RC
A为积分常数 为积分常数
u"C 随时间变化，故通常称为暂态分量或自由分量 随时间变化，故通常称为暂态分量 暂态分量或
换路前 换路瞬间
U 20 iL ( 0 _ ) = = = 20 mA R 1
iL ( 0 + ) = iL (0 ) = 20 mA
（换路瞬间，iL大小、方向都不变，电感等效为一个大 换路瞬间， 大小、方向都不变， 小为i 的恒流源） 小为 L(0+)的恒流源） 的恒流源
uV (0+ ) = iL (0+ ) RV = 20 × 10 3 × 500 × 10 3 = 10000 V
+ uR _ U
i
uC = 0
_
uC
+ _ U
+ uR _
u C ( 0 ) = 0 V （零状态） 零状态）
在t=0+时的等效电路
则根据换路定理： 则根据换路定理：
u C (0 + ) = u C (0 ) = 0 V
在t=∞时，电容相当于开路 ∞ R + _ U + uR _
uC = U
u R (0 + ) = U u C (0 + ) = U
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一、 经典法 1. 一阶 电路的零状态响应（充电过程） 一阶RC电路的零状态响应 充电过程） 电路的零状态响应（ S t=0 R + _ U + uR _ C
什么叫激励？ 什么叫激励？ 什么叫响应？ 什么叫响应？
i
+ _
u C (0 ) = 0
uC
duC RC + uC = U dt
一阶常系数线性微分方程
u C (0 ) → u C (0 + ) iL ( 0 ) → iL ( 0 + )
2. 根据电路的基本定律和换路后的等效 电路，确定其它电量的初始值。 电路，确定其它电量的初始值。
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例1 确定初始值 S t=0 R + _
设：
i
C +
若uC(0+)=0，则在 +时， ，则在t=0 电容相当于短路 R
=U=20V
求 : iL (0+ ), uL (0+ )
UR (∞) 20 = = 20mA R 1
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Hale Waihona Puke 例4K + U uV + V R L iL 已知: 已知
U = 20 V 、 R = 1k 、 L = 1H 电压表内阻 RV = 500 k
时打开。 设开关 K 在 t = 0 时打开。 打开的瞬间,电压表两端的电压 求: K打开的瞬间 电压表两端的电压。 打开的瞬间 电压表两端的电压。