2018版高考一轮数学文科：第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切ppt课件
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式
高考一轮复习---两角和与差的正弦、余弦和正切公式及二倍角公式一、基础知识1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式S (α±β)：sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β.C (α±β)：cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β.T (α±β)：tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+Z k k ,2,,ππβαβα 两角和与差的正弦、余弦、正切公式的结构特征和符号特点及关系：C (α±β)同名相乘，符号反；S (α±β)异名相乘，符号同；T (α±β)分子同，分母反.2．二倍角公式S 2α：sin 2α＝2sin αcos α.C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α.T 2α：tan 2α＝2tan α1－tan 2α⎪⎭⎫ ⎝⎛∈+≠+≠Z k k k ，且42ππαππα 二倍角是相对的，例如，α2是α4的二倍角，3α是3α2的二倍角． 二、常用结论(1)降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. (2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.(3)公式变形：tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)．(4)辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=+=2222cos ,sin b a ab a b ϕϕ三、考点解析考点一 三角函数公式的直接应用例、(1)已知sin α＝35，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，tan β＝－12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－112(2)若sin ()π－α＝13，且π2≤α≤π，则sin 2α的值为( ) A ．－229 B ．－429 C.229 D.429[解题技法]应用三角公式化简求值的策略：(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”．(2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．(3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．跟踪训练1．已知sin α＝13＋cos α，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π，则)4sin(2cos παα+的值为( ) A ．－23 B.23 C ．－13 D.132．已知sin α＝45，且α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛23,2ππ，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+32πα的值为________． 考点二 三角函数公式的逆用与变形用例、(1)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，则sin(α＋β)＝________.(2)计算：tan 25°＋tan 35°＋3tan 25°tan 35°＝________.[解题技法]两角和、差及倍角公式的逆用和变形用的技巧：(1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式．(2)公式的一些常用变形：sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β；cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β；1±sin α＝⎝⎛⎭⎫sin α2±cos α22；sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1； cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α.跟踪训练1.设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°cos 37°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b 2.已知cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin α＝435，则sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα＝________. 3.化简sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＋sin 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+6πα－sin 2α的结果是________．考点三 角的变换与名的变换考法(一) 三角公式中角的变换典例、已知角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P ⎪⎭⎫ ⎝⎛--54,53，若角β满足sin(α＋β)＝513，则cos β的值为________．[解题技法]1．三角公式求值中变角的解题思路(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．2．常见的配角技巧2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝α＋β2－α－β2，α＝α＋β2＋α－β2，α－β2＝⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+ββα22a 等．考法(二) 三角公式中名的变换典例、已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55. (1)求cos 2α的值；(2)求tan(α－β)的值．[解题技法]三角函数名的变换技巧：明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．跟踪训练1．已知tan θ＋1tan θ＝4，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα＝( ) A.12 B.13 C.14 D.152．若sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πA ＝7210，A ∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ，4，则sin A 的值为( ) A.35 B.45 C.35或45 D.343．已知sin α＝－45，α∈⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ223，，若sin (α＋β)cos β＝2，则tan(α＋β)＝( ) A.613 B.136 C ．－613 D ．－136课后作业1．sin 45°cos 15°＋cos 225°sin 165°＝( )A ．1 B.12 C.32 D ．－122．若2sin x ＋cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 2π＝1，则cos 2x ＝( ) A ．－89 B ．－79 C.79 D ．－7253．若cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-6πα＝－33，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα＋cos α＝( ) A ．－223 B ．±223C ．－1D ．±1 4．tan 18°＋tan 12°＋33tan 18°tan 12°＝( ) A. 3 B.2 C.22 D.335．若α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ,2，且3cos 2α＝sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛-απ4，则sin 2α的值为( ) A ．－118 B.118 C ．－1718 D.17186．已知sin 2α＝13，则cos 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝( ) A ．－13 B.13 C ．－23 D.237．已知sin ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2πα＝12，α∈⎪⎭⎫ ⎝⎛-0,2π，则cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛-3πα的值为________． 8．已知sin(α＋β)＝12，sin(α－β)＝13，则tan αtan β＝________. 9．若tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛-4πα＝16，则tan α＝________. 10．化简：sin 235°－12cos 10°cos 80°＝________. 11．已知tan α＝2.(1)求tan ⎪⎭⎫ ⎝⎛+4πα的值； (2)求sin 2αsin 2α＋sin αcos α－cos 2α－1的值．12．已知α，β均为锐角，且sin α＝35，tan(α－β)＝－13. (1)求sin(α－β)的值；(2)求cos β的值．。
2018年高考数学总复习配套课件：两角和与差的正弦、余弦与正切公式
3 2
C.-
1 2
D.
1 2
关闭
sin 20°cos 10°-cos 160°sin 10°=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 1 10°=sin(20°+10°)=sin 30°=2, 故选 D.
D
解析
.(2017 山东高考)已知 cos x=4,则 cos 2x=( A.-4
4+3 3 10
π π 2 2
3 5
4 5
π 3
=cos αcos -sin αsin = × − -
π 3
π 3
4 5
1 2
3 5
×
3 2
=
4+3 3 . 10
关闭
解析
答案
-9知识梳理 双击自测
4.已知 sin α-3cos α=0,则co s 2 ������ -si n 2 ������ =
两角和与差的正弦、余弦与正 切公式
-2-
年份
2017
2016 16(1),7 分 (理)
三角恒 18(2),8 等变换 分 11,6 分(文) 16(1),7 分 18(1),4 分 6,5 分 16(2),7 分 (文) (文) (文) (文) 1.掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式,掌握 考查要 正弦、余弦、正切二倍角的公式. 求 2.掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明. 以两角和与差的三角函数公式以及二倍角公式为基础, 求三角函数的周期、最值、单调性等是考查的重点,选 考向分 择题、填空题、解答题均有可能,难度不大,目前新高考 析 背景下以三角函数和三角恒等变换综合以解答题形式 考查是热点之一.
π
【例 1】 (1)(2017 浙江镇海测试卷)已知 tan ������ + 4 = 2,且=
2018届高三数学(理)一轮复习课件：4.5两角和与差的正弦、余弦与正切公式
1
2
3
4
5
1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α,β是任意的. ( (2)两角和与差的正切公式中的角α,β是任意的. ( ) (3)cos 80°cos 20°-sin 80°sin 20°=cos(80°-20°)=cos
)
60°=2. (
1-tan������
-11-
π + 6
考点1
考点2
考点3
解题心得三角函数公式对使公式有意义的任意角都成立.使用中 要注意观察角之间的和、差、倍、互补、互余等关系.
-12-
考点1
考点2
考点3
对点训练 1(1)已知 sin
5 2
3 π α=5,α∈ 2 ,π π
5
cos2������ ,则 π √2sin ������+ 4
1
)
������ 2 π + ������ 4 ������ 2
(4)cos θ=2cos2 -1=1-2sin2 . ( (5)1+tan������=tan .( )
)
关闭
(1)√ (2)× (3)× (4)√ (5)×
答案
-5知识梳理 双基自测
1
2
3
4
5
2.sin 20°sin 80°-cos 160°cos 80°=(
=cos α-sin
1 α=-2.
7 α=- . 5
(2)∵sin 2α=2sin αcos α=-sin α,∴cos 又 α∈
π √3 , π , ∴ sin α = ,∴tan α=-√3. 2 2 7 ∴tan 2α= 2tan������ = -2√3 = √3. (1)- (2)√3 1-tan2 ������ 1-(-√3)2 5
高考数学一轮专项复习ppt课件-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(北师大版)
√A.45
B.－45
C.34
D.－34
由 tanα＋π4＝t1a－n αta＋n α1＝9， 解得 tan α＝45.
(2)在△ABC 中，已知 sin A＝35，cos B＝153，则 cos C 等于
√A.1665
B.－6156
C.1665或6156
D.－6653
在△ABC 中，∵cos B＝153>0， ∴sin B＝ 1－cos2B＝1123> 23，B∈π3，π2. ∵sin A＝35∈12， 22， ∴A∈π6，π4，或 A∈34π，56π(舍去)，
所以sin(α＋β)＝－sin(π＋α＋β) ＝－sinπ4＋α＋34π＋β ＝－sin4π＋αcos34π＋β＋cosπ4＋αsin34π＋β ＝－45×－1123＋－53×153＝6635.
思维升华
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和 或差的形式. (2)当“已知角”有一个时，“所求角”一般表示为“已知角”与特殊角 的和或差的形式，或者应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”. (3)常见的角的变换：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝α＋2 β＋α－2 β，π3＋α＝π2－π6－α， α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，π4＋α＋π4－α＝π2等.
(2)已知 α 为锐角，且 cosα＋π6＝153，则 cos α 的值为
5
3＋12 26
.
∵0<α<π2， ∴π6<α＋π6<23π，
∴sinα＋π6＝1123，
∴cos α＝cosα＋π6－π6＝cosα＋π6cos π6＋sinα＋π6sin π6＝153× 23＋
1123×12＝5
3＋12 26 .
《两角和与差的正弦、余弦和正切公式(第一课时)》示范公开课教学PPT课件
目标检测
1
已知
sin θ
15 17
，θ是第二象限角，求
cos
θ
π 3
的值．
答案：15 3 8 ． 34
2 已知 π α π β 3π ，且 sin α 2 ，cos β 3 ，
2
2
3
4
求cos(α β) 的值．
答案：3 5 2 7 ． 12
敬请各位老师提出宝贵意见 ！
新知探究
问题5 结合例1可见，两角差的余弦公式中，含有两个任 意角，这与我们之前学习的诱导公式（含有一个任意角和 一个特殊角）相比，具有更高的自由度．由此你能解读诱 导公式与公式之间的关系吗？试一试． 差角余弦公式适用于关于两个任意角的差角的余弦值的恒等变换问题， 第二，功能不同，诱导公式可以实现改变函数名称， 将求任意角的三角函值转化为求锐角三角函数值的问题等功能， 这些功能是 C(αβ) 不具备的．
1 2 3 2 2 6；
22 2 2
4
新知探究
例2 借助公式 C(αβ) ，解答以下题目：
（1）计算cos 15°的值；
（2）已知
sin α
4 5
，α
π ，π 2
，cos
β
5 13
，β是第三象限角，
求 cos(α β) 的值．
解：
（2）因为
α
π 2
，π
，故
cos
α
1 sin2 α 3 ， 5
＝PA．
新知探究
追问2 你能证明这个等量关系吗？
可以借助圆的旋转对称性证明 A1P1＝AP ，进而得到A1P1＝AP；
可以借助圆的旋转对称性证明三角形OAP与三角形OA1P1全等， 进而得到AP＝A1P1； 或者直接利用圆的旋转对称性证明线段A1P1端点
北京市2018届高三数学理一轮复习 3.5 两角和差的正弦、余弦和正切公式课件 精品
【解析】
tan α＝tan[(α－β)＋β]＝1t－antaαn－αβ－＋βt·atannββ＝1＋12－12×17 17＝13>0.
∴0<α<π2，又∵tan 2α＝1－2tatnanα2α＝12－×13132＝34>0， ∴0<2α<π2.∴tan(2α－β)＝1t＋ant2anα－2αttaannββ＝1－43＋43×17 17＝1，
归纳升华
三角函数求值有三类 1．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，
解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系． 2．“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，
但仔细观察非特殊角与特殊角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的 关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．
cos(α∓β)＝___c_o_s_α_c_o_s__β_±__s_in__α_s_in__β；
tan α±tan β
tan(α±β)＝_____1_∓_ta_n_α__ta_n_β________.
知识梳理 2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝___2_s_in__α_c_o_s_α_
)
A．－34
B．－32
3 C.4
3 D.2
解析：∵sinα＝35，且 α∈π2，π，∴cosα＝－45， scions22αα＝2sicnoαsc2αosα＝2csoisnαα＝2－×5435＝－32。
答案：B
跟踪训练
2.
cos2α－sin2α
1
2tanπ4－αcos2π4－α＝ __________。
所以 cos2α＝cos(α＋β＋α－β)＝cos(α＋β)cos(α－β)－ sin(α＋β)·sin(α－β)＝153×35－1123×－45＝6635。
高考数学一轮复习两角和与差的正弦、余弦和正切公式
(
)
A．M<N<P B．N<M<P
C．P<M<N D．P<N<M
答案：C
(2)[2023·河北石家庄模拟]已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin
7
sin (α＋β)＝________．
18
4
解析：由于sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝ ，
3
16
故(sin α＋cos β)2＝1，(cos α＋sin β)2＝ ，
5
6
6
100
11
D．－
100
答案：B
π
π
π
π
π
π
解析：因为cos ( ＋α)cos ( －α)＝(cos cos α－sin ·sin α)·(cos cos α＋sin sin
6
6
6
6
6
6
3
1
3
1
3
1
3
1
＝( cos α－ sin α)·( cos α＋ sin α)＝ cos2α－ sin2α＝ cos2α－ (1－cos2α)
sin αcos β±cos αsin β
(1)sin (α±β)＝________________．
(2)cos (α±β)＝________________．
cos αcos β∓sinαsinβ
tan ±tan
1∓tantan (α±β)＝ Nhomakorabea_________．
(3)tan
2 + 2 sin（x＋φ）
23
解析：(1＋tan 1°)(1＋tan 44°)＝1＋tan 1°＋tan 44°＋tan 1°tan 44°＝1＋tan 1°tan
三角函数讲两角和与差的正弦余弦正切课件pptx
特殊角的三角函数值
$\angle A = 0^{\circ}$时。$\sin(0^{\circ}) = 0$。$\cos(0^{\circ}) = 1$
$\angle A = 45^{\circ}$时。$\sin(45^{\circ}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\angle A = 30^{\circ}$时。$\sin(30^{\circ}) = \frac{1}{2}$
两角和与差的正弦、余弦、正切的半角公式
两角和与差的正弦半 角公式
sin(x/2)=±√[(1−cosx)/2]
两角和与差的正切半 角公式
tan(x/2)=±√[(1−cosx)/(1+cos x)]
两角和与差的余弦半 角公式
cos(x/2)=±√[(1+cosx)/2]
05
两角和与差的正弦、余弦、正切的实 际应用
例题2
已知$\tan\alpha = \frac{1}{2}$，且$\alpha \in (0,\pi)$，求$\sin\alpha,\cos\alpha$的值。
学生自我总结与分享
学生总结1
通过解决经典例题，我进一步熟悉了利用两角和与差的正弦、余弦、正切公式进 行求解的方法，提高了运算能力和对公式的理解。
两角和与差的正弦、余弦、正切的表达式
两角和的正弦（Sine）表达式
01
$\sin(\angle A + \angle B)$
两角差的余弦（Cosine）表达式
02
$\cos(\angle A - \angle B)$
两角和的正切（Tangent）表达式
03
$\tan(\angle A + \angle B)$
第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式(讲义版)
第19讲-两角和与差的正弦、余弦和正切公式一、 考情分析1.经历推导两角差余弦公式的过程，知道两角差余弦公式的意义；2.能从两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；3.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括推导出积化和差、和差化积、半角公式，这三组公式不要求记忆)．二、 知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2·cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b .[微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α±π4. 三、 经典例题考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cosα2－sinα22＋2cos α(0<α<π)＝________.【解析】(1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ)＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos2α2＋2sinα2cosα2·⎝⎛⎭⎪⎫cosα2－sinα24cos2α2＝cosα2⎝⎛⎭⎪⎫cos2α2－sin2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2＝cosα2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cosα2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cosα2>0，所以原式＝cos α.规律方法 1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.2.化简三角函数式的常见方法有弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂与升幂等.考点二三角函数式的求值多维探究角度1给角(值)求值【例2－1】(1)计算：cos 10°－3cos（－100°）1－sin 10°＝________.【解析】cos 10°－3cos（－100°）1－sin 10°＝cos 10°＋3cos 80°1－cos 80°＝cos 10°＋3sin 10°2·sin 40°＝2sin（10°＋30°）2·sin 40°＝ 2.(2)(2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝43，cos(α＋β)＝－55.①求cos 2α的值；②求tan(α－β)的值.【解析】①因为tan α＝43，tan α＝sin αcos α，所以sin α＝43cos α.因为sin 2α＋cos 2α＝1，所以cos 2α＝925，因此，cos 2α＝2cos 2α－1＝－725.②因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π). 又因为cos(α＋β)＝－55，所以sin(α＋β)＝1－cos 2（α＋β）＝255， 因此tan(α＋β)＝－2.因为tan α＝43，所以tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝－247，因此，tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝tan 2α－tan （α＋β）1＋tan 2αtan （α＋β）＝－211.角度2 给值求角【例2－2】 (1)已知cos α＝17，cos(α－β)＝1314，若0<β<α<π2，则β＝________. (2)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 【解析】 (1)由cos α＝17，0<α<π2， 得sin α＝1－cos 2α＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫172＝437.由0<β<α<π2，得0<α－β<π2，又cos(α－β)＝1314， ∴sin(α－β)＝1－cos 2（α－β）＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫13142＝3314. 由β＝α－(α－β)得cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝17×1314＋437×3314＝12. ∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，∴β＝π3.(2)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12×17＝13>0， 又α∈(0，π)，∴0<α<π2， 又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2×131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34×17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.规律方法 1.“给角求值”、“给值求值”问题求解的关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系，借助角之间的联系寻找转化方法.2.“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好. 考点三 三角恒等变换的简单应用【例3】设函数f (x )＝sin 2ωx －cos 2ωx ＋23sin ωx cos ωx ＋λ的图象关于直线x ＝π对称，其中ω，λ为常数，且ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1.(1)求函数f (x )的最小正周期；(2)若y ＝f (x )的图象经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，0，求函数f (x )在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π5上的最值. 【解析】 (1)f (x )＝sin 2ωx ＋23sin ωx ·cos ωx －cos 2ωx ＋λ ＝3sin 2ωx －cos 2ωx ＋λ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2ωx －π6＋λ，因为图象关于直线x ＝π对称， 所以2πω－π6＝π2＋k π(k ∈Z )，所以ω＝k 2＋13(k ∈Z )，又ω∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，令k ＝1时，ω＝56符合要求，所以函数f (x )的最小正周期为2π2×56＝6π5. (2)因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＝0，所以2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×56×π4－π6＋λ＝0，则λ＝－ 2.所以f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫53x －π6－ 2.由0≤x ≤35π，知－π6≤53x －π6≤56π，∴当53x －π6＝－π6，即x ＝0时，f (x )取最小值－1－ 2. 当53x －π6＝π2，即x ＝25π时，f (x )取最大值2－ 2. 规律方法 1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用.2.把形如y ＝a sin x ＋b cos x 化为y ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性. [方法技巧]1.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”.(1)变角：对角的分拆要尽可能化成同角、特殊角；(2)变名：尽可能减少函数名称；(3)变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.2.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.3.运用公式时要注意审查公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变通.4.在(0，π)范围内，sin α＝22所对应的角α不是唯一的.5.在三角求值时，往往要借助角的范围确定三角函数值的符号或所求角的三角函数的名称.四、 课时作业1．（2020·渭南市尚德中学高一月考）化简22ππcossin 88-的值为（ ） A ．12B．2C．2D．42．（2019·贵州省高二学业考试）计算sin105cos75cos105sin 75-的值为（ ） A ．12-B ．12C．2-D．23．（2020·上海高一课时练习）若3sin cos 1=-θθ，则tan 2θ的值为（ ） A ．3-B ．13C ．3-或0D ．13-4．（2020·新疆维吾尔自治区高三其他（文））若角α的终边过点()3,4P -，则sin 2α的值为( )A ．1225B ．1225-C ．2425D ．2425-5．（2020·江西省南昌二中高二月考（文））若cos 22sin 4θπθ=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则()sin cos θθ-的值为（ ）A ．12-B ．12C ．2-D ．26．（2020·山西省高三其他（文））已知sin （π4x -）14=，则sin2x 的值为（ ）A ．58B ．68 C ．78D ．387．（2020·山西省高三其他（理））已知sin cos αα-=，α∈(0, π)，则tan α= A ．-1B．2-C．2D ．18．（2020·渭南市尚德中学高一月考）已知()3tan 5αβ+=，π1tan 42⎛⎫+= ⎪⎝⎭β，则πtan 4α⎛⎫- ⎪⎝⎭的值为（ ）A ．17B ．113C ．1113D ．1179．（2020·渭南市尚德中学高一月考）cos15︒的结果是（ ）A ．2B ．4C ．4D ．210．（2020·福建省高三其他（理））已知1sin 33πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则cos 23πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭（ ） A ．79B ．89 C ．79-D ．89-11．（2020·遵义市南白中学高三其他（文））已知3cos 45x π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则sin 2x =（ ）A ．2425B ．2425-C ．725D ．725-12．（2020·渭南市尚德中学高一月考）若1sin 24α=，42ππα<<，则cos sin αα-的值是（ ）A ．2B ．C ．34 D ．34-13．（2020·常德市第二中学高三其他（文））设()sin 810a ︒=-，33tan 8b π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，1lg 5c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．b c a <<D ．c a b <<14．（2019·延安市第一中学高三月考（文））设()()12cos sin sin cos 13x y x x y x +-+=，且y 是第四象限角，则tan2y的值是（ ） A ．23- B ．32±C ．32-D ．2315．（2020·高唐县第一中学高一月考）已知()4cos 5αβ+=，()1cos 5αβ-=，则tan tan αβ⋅的值为（ ） A ．12B ．35C ．310-D ．3516．（多选题）（2020·福建省宁化第一中学高一期中）若sin sin 0αβ>>，则下列不等式中不一定成立的是( )A ．sin 2sin 2αβ>B ．cos2cos2αβ<C ．cos2cos2αβ>D ．sin 2sin 2αβ<17．（多选题）（2020·福建省南安市侨光中学高一月考）在ABC 中，120C =︒，tan tan A B +=列各式正确的是( ) A ．2A B C += B ．()tan A B +=C ．tan tan A B =D．cos B A =18．（多选题）（2020·山东省安丘市实验中学高一期中）下列各式中，值为2的是（ ） A ．2sin15cos15︒︒ B ．22cos 15sin 15︒︒- C ．212sin 15︒-D ．22sin 15cos 15︒︒+E.23tan151tan 15︒︒- 19．（2020·上海高一期中）已知2cos 3α=-且32ππα＜＜，则sin 2α=______. 20．（2020·上海高一期中）已知sin 2sin()αααϕ-=-（02πϕ<<），则ϕ等于________21．（2020·上海高一月考）已知3sin 5α=，(,)2παπ∈，1tan()2πβ-=，求：（1）tan α和tan β的值； （2）tan(2)αβ-的值.22．（2020·湖南省高一月考）已知1tan 3α=，求： （1）tan2α； （2）2sin cos 2cos sin αααα+-23．（2020·宝鸡中学高一期中）已知sin α=，且tan 0α<. （1）求tan α的值；（2）求3sin(π)cos(2π)π3πcos sin 22αααα-++⎛⎫⎛⎫++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭的值. 24．（2020·陕西省西安中学高一期中）计算（1）已知α，β均为锐角，cos α=，角β的顶点是直角坐标系的原点，始边与x 轴的非负半轴重合，终边上有一点(1,3)P ，求cos()αβ-；（2）已知1sin cos 8αα=，且42ππα<<，求cos sin αα-．。
第19讲 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
β
cos αcos β± sin αsin β
tan α± tan β 1∓tan α tan β (3)公式 T(α±β)：tan(α± β)＝______________________.
公式可变形为： tan(α± β)(1∓tanα tan β ) tan α± tan β＝__________________ ．
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第19讲
双 向 固 基 础
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2sin αcos α 2tan α (3)sin 2α＝ 2 ＝ 2 2 ，cos 2α＝ sin α＋cos α 1＋tan α cos2α－sin2α 1－tan2α ＝ . sin2α＋cos2α 1＋tan2α π π π 2 (4)由公式， 得 sin(4－α)＝sin4cos α－cos4sin α＝ 2 (cos α π π π 2 －sin α)，cos(4＋α)＝cos4cos α－sin4sin α＝ 2 (cos α－sin α)， 故等式成立．
[答案] (1)C
(2)C
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第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
2α
点 面 讲 考 向
1 [解析] (1)cos α＝1－2sin 2＝3. 3 3 (2)由 sin(π＋α)＝－5，得 sin α＝5， 4 又 α 是第二象限角，故 cos α＝－ 1－sin α＝－ ， 5
2
3 2× （－ ） 4 3 2tan α 24 ∴tan α＝－4，tan 2α＝ ＝ 3 2＝－ 7 . 1－tan2α 1－（－ ） 4
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第19讲
两角和与差的正弦、余弦和正切公式
点 面 讲 考 向
［归纳总结］(1)两角和与差的三角函数公式的内涵是 “ 揭示同名不同角的三角函数运算规律 ” ，对公式要会 “ 正 用”“逆用”“变形用”． (2)应用两角和与差的正弦、余弦、正切公式求值，其 关键是熟练掌握公式的特点，准确使用公式． (3)已知三角函数值求角，应根据条件确定角的范围， 然后选择所求取值范围内的具有单调性的一个三角函数 值，最后由三角函数值求角的值． (4)常与同角三角函数的基本关系式、诱导公式综合， 考查三角函数求值问题．
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课前双基巩固
常用结论 (1)两角和与差的正切公式的变形： tan α ±tan β ＝tan(α± β)(1∓tan α tan β )． (2)二倍角余弦公式的变形： 1－cos 2α 1＋cos 2α 2 2 sin α ＝ ，cos α ＝ . 2 2 (3)一般地，函数 f(α)＝asin α ＋bcos α (a，b 为常数)，可以化为 f(α)＝ a2＋b2sin(α＋
[ 解 析 ]
A
cos
2
π α＋ 4
＝
π 1＋cos2α＋ 2
2 选 A.
1－sin 2α 1 ＝ ＝6，故 2
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3．[2013· 新课标全国卷Ⅰ] 设当 x＝θ 时， 函数 f(x)＝sin x－2cos x 取得最大值，则 cos θ ＝________．
1∓tan α tan β
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 2sin α cos α ． (1)公式 S2α ：sin 2α ＝____________ cos2α －sin2α ＝ (2) 公 式 C2 α ： cos 2 α ＝ ____________ 1－2sin2α 2cos2α －1 ＝____________. ____________ 2tan α (3)公式 T2α ：tan 2α ＝____________ ．
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2．[2015· 广东卷] 已知 tan α＝2. π (1)求 tanα ＋ 的值； 4 (2) 求 的值． sin 2α sin2α ＋sin α cos α －cos 2α －1
π tan α＋tan 4 tan α＋1 2＋1 π 解：(1)tanα＋ ＝ ＝ ＝ ＝－3. 4 π 1－tan α 1－2 1－tan αtan 4 sin 2α (2) 2 sin α＋sin αcos α－cos 2α－1 2sin αcos α ＝ 2 sin α＋sin αcos α－（2cos2α－1）－1 2sin αcos α 2tan α ＝ 2 ＝ ＝ sin α＋sin αcos α－2cos2α tan2α＋tan α－2 2³2 ＝1. 22＋2－2
[解析] B 由已知得 f(x)＝－2sin（ x 3 11 －2）2＋ 2 ，而 sin x∈[－1，1]，所 以当 sin x＝1 时，f(x)取得最大值 5.
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2 2． [2013· 新课标全国卷Ⅱ] 已知 sin 2α ＝3， π 2 则 cos α ＋ ) ＝( 4 1 1 A.6 B.3 1 2 C.2 D.3
φ)其中tan
b φ ＝a或 f(α )＝ a φ ＝b.
a ＋b
2
2
cos(α－φ)其中tan
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对点演练
题组一
常识题
[ 解 析 ] cos 105 ° ＝ cos(60 ° ＋ 45 ° ) ＝ cos 60 °² cos 45 °－ sin 1 2 3 2 60°sin 45°＝ ³ － ³ ＝ 2 2 2 2 2－ 6 . 4
第19讲 PART 03 两角和与差的正弦、余弦和 正切
教学参考│课前双基巩固│课堂考点探究│教师备用例题
考试说明
1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式． 2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式． 3．会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余 弦、正切公式，了解它们的内在联系．
2 5 [答案] － 5
[ 解 析 ] f(x) ＝ sin x － 2cos x ＝ 5
1 2 1 sin x－ cos x， 令 cos α＝ ， sin 5 5 5 2 α＝ ，则 f(x)＝ 5sin(x－α)．当 θ－α 5 π π ＝2kπ＋ 2 ， 即 θ＝2kπ＋ 2 ＋α(上述 k 为整数)时， f(x) 取得最大值，此时 cos θ ＝－ sin 2 5 α＝－ 5 .
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■ [2016－2015] 其他省份类似高考真题
1．[2015· 江苏卷] 已知 tan α ＝－2，tan(α＋β)＝ 1 ，则 tan β 的值为________． 7
[答案] 3
[解析] 因为 β＝(α＋β)－α，所以 tan β ＝ tan[(α ＋ β ) － α] ＝ 1 tan（α＋β）－tan α 7＋2 ＝ 2＝3. 1＋tan（α＋β）tan α 1－7
教学参考
考情分析
考点 两角和与差的三角函 数公式 公式的逆用与变形
考查方向 利用公式求值
考例
考查热度 ★☆☆
2016· 全国卷Ⅱ11， 2013· 新课标全国卷 Ⅱ6
利用公式的变形求值 与求角 角的变换的应用
★☆☆
角的变换
★☆☆
真题在线
■ [2016－2011]课标全国真题再现
1 ． [2016· 全国卷Ⅱ] 函数 f(x) ＝ cos 2x ＋ π 6cos( 2 －x)的最大值为( ) A．4 B．5 C．6 D．7
1．[教材改编] cos 105°的值为________．
[答案]
2－ 6 4
课前双基巩固
对点演练
π 1 2．[教材改编] 已知 sin α ＝－5，α∈－ ，0 ， 2 3π 则 sinα － 角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1) 公 式 S(α±β) ： sin(α± β) ＝ sin α cos β ±cos α sin β ___________________________________. (2) 公 式 C(α±β) ： cos(α± β) ＝ cos α cos β ∓sin α sin β ___________________________________. (3) 公 式 T(α±β) ： tan(α± β) ＝ tan α ±tan β ___________________________________.