乒乓球飞行中得受力分析
乒乓球实验——伯努利原理解析
乒乓球实验——伯努利原理解析伯努利原理是描述气体或者流体运动的一个基本原理，也可以解释乒乓球在空气中运动的原理。
在乒乓球实验中，乒乓球在击球过程中会产生旋转，同时也会受到气流的影响，因此可以借助伯努利原理来解析乒乓球的运动。
伯努利原理是由瑞士科学家伯努利在18世纪提出的，它认为在流体运动过程中，当速度增大时，流体的压力就会减小；反之，当速度减小时，流体的压力就会增大。
这个原理可以通过以下公式来表示：P + 1/2ρv^2 + ρgh = 常数其中，P代表流体的压力，ρ代表流体的密度，v代表流体的速度，g代表重力加速度，h代表流体的高度。
通过这个公式可以看出，当乒乓球在空气中移动时，它的速度会不断变化，而相应的压力也会发生变化。
当乒乓球的速度较快时，周围的气流速度也会加快，从而使得气流的压力减小。
根据伯努利原理，乒乓球所受到的压力也会减小，这就形成了一个向乒乓球的运动方向施加的推力，促使乒乓球向前移动。
另一方面，乒乓球在击球过程中会产生旋转，这样就形成了一个气流在乒乓球周围流动的情况。
根据伯努利原理，当气流在乒乓球周围流动时，速度较快的气流会产生相对较低的压力，而速度较慢的气流会产生相对较高的压力。
这样，速度较快的气流会对乒乓球产生一个向运动方向的推力，而速度较慢的气流则会对乒乓球产生一个向相反方向的阻力。
由于乒乓球的旋转，相对于速度较慢的气流来说，运动方向的一侧气流速度会较快，因此在这一侧会产生较低的压力，从而形成一个向乒乓球运动方向的推力。
而相对于速度较快的气流来说，运动方向的一侧气流速度会较慢，因此在这一侧会产生较高的压力，从而对乒乓球产生一个向相反方向的阻力。
综上所述，乒乓球在运动过程中受到的气流影响可以通过伯努利原理来解释。
通过乒乓球的旋转和速度变化，气流在乒乓球周围会产生不同的压力，从而对乒乓球产生推力和阻力。
这些气流力学特性的相互作用，决定了乒乓球在空气中的运动轨迹和速度。
乒乓球实验可以通过调整球的旋转和速度，来观察球的运动轨迹和变化。
乒乓球运动轨迹剖析
C Av2
A 为乒乓球的横截面积
，
CD 为阻力系数，按照 不同的雷诺数的范围，有
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。
乒乓球掉下去的实验报告
一、实验目的1. 探究乒乓球从一定高度掉下去时的运动规律；2. 分析乒乓球在空中的受力情况；3. 了解乒乓球落地时的速度和动能。
二、实验原理乒乓球在空中运动时，受到重力和空气阻力的作用。
重力使乒乓球向下加速，空气阻力与乒乓球运动方向相反，减缓其速度。
当乒乓球落地时，其速度和动能达到最大值。
三、实验器材1. 乒乓球若干个；2. 尺子；3. 秒表；4. 砖头或木板（用于调整乒乓球掉落的高度）；5. 计算器。
四、实验步骤1. 准备实验器材，将乒乓球放在砖头或木板上，调整高度为1米；2. 用尺子测量乒乓球掉落的高度，确保每次实验高度一致；3. 释放乒乓球，用秒表记录乒乓球落地所用时间；4. 重复实验步骤2-3，共进行5次，取平均值作为实验数据；5. 观察乒乓球落地时的速度和动能，并记录下来；6. 计算乒乓球落地时的速度和动能。
五、实验数据实验次数 | 掉落高度（m） | 掉落时间（s） | 落地速度（m/s） | 动能（J）---------|--------------|--------------|----------------|----------1 | 1.00 | 0.40 | 2.50 | 0.06252 | 1.00 | 0.39 | 2.56 | 0.0643 | 1.00 | 0.42 | 2.43 | 0.05884 | 1.00 | 0.41 | 2.48 | 0.060165 | 1.00 | 0.38 | 2.63 | 0.0689六、数据分析1. 从实验数据可以看出，乒乓球从1米高度掉落时，落地速度在2.43m/s至2.63m/s之间，平均速度为2.51m/s；2. 乒乓球落地时的动能分别为0.0588J至0.0689J，平均动能为0.0634J；3. 实验结果表明，乒乓球在空中运动时，受到重力和空气阻力的作用，速度逐渐减小，动能逐渐增加；4. 当乒乓球落地时，速度和动能达到最大值。
乒乓球运动轨迹分析
运动问题分析：乒乓球在运动员出手后，主要受三个力：（1） 重力G mg =，在整个的飞行过程中将始终受到重力的影响，重力的方向竖直向下； （2） 空气阻力R F ，乒乓球的直径为D ，旋转角速度为ω，空气粘滞系数为η（见表1），空气密度为ρ，乒乓球向前平动的速度为v ，乒乓球受到的空气阻力的大小主要由雷诺数e R 和平动速度v 决定；雷诺数是流体中惯性力与粘滞力比值的量度，两个几何相似流场的雷诺数相等，则对应微团的惯性力与粘性力之比相等。
雷诺数越小意味着粘性力影响越显著，越大则惯性力影响越显著。
雷诺数很小的流动（如润滑膜内的流动），其粘性影响遍及全流场。
雷诺数很大的流动（如一般飞行器绕流），其粘性影响仅在物面附近的边界层或尾迹中才是重要的。
e DvR ρη=表1 不同温度下的粘滞系数温度（o C ） 粘滞系数0102030405060666666617.21017.81018.31018.71019.21019.61020.110-------⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯我们取室温为10o C ，因此粘滞系数η为617.810-⨯，ρ=1.2053/kg m -， 因此我们首先计算出乒乓球运动的雷诺数：e vDR ρη==某个值 阻力R F 的大小与平动速度大小的平方成正比， 212R F C A v ρ=， A 为乒乓球的横截面积D C 为阻力系数，按照 不同的雷诺数的范围，有24(1)D e eC R R =<2324(1)(11000)6e D e eR C R R =+<<50.44(1000210)D e C R =<<⨯（3） 乒乓球旋转造成的马格努斯力m F马格努斯效应是一种粘性效应，它是由于旋转的物体在粘性流体中运动时产生的，乒乓球在空气中的运动过程，可以看做是均匀分布的球体在流体中的运动过程。
一般来说，在流体中运动的物体主要受到升力，阻力，侧压力的作用，即，乒乓球在旋转时，在它周围的附面层产生了环流，前方回流和环流的共同作用结果就是来流和环流相同方向时流速加快，相反是流速减慢；根据伯努利原理，流速加快的一侧压力小，流速减慢的一侧压力大，两侧的压力差对乒乓球产生的作用成为马格努斯力。
乒乓球旋转的力学分析
乒乓球旋转的力学分析乒乓球是一项非常受欢迎的球类运动，其最引人注目的特点之一就是其独特的旋转。
乒乓球的旋转是由球拍击球时作用于球上的力导致的，从而使得球的运动轨迹产生变化。
在乒乓球比赛中，运动员可以利用球的旋转来控制球的飞行方向、速度和弧线，从而给对手制造困扰。
乒乓球旋转的力学分析主要涉及到离心力和摩擦力两个方面。
当球被击中时，球拍对球的作用力会使得球产生离心力。
离心力是垂直于转动轴向外的力，其大小与球的自转速度和质量分布有关。
如果球以较大的自转速度离开球拍，那么离心力就会较大。
离心力作用于球体上会造成球的形变和表面的不均匀，从而使得球的速度和方向发生变化。
具体而言，当球以顺时针方向旋转时，球的右侧会受到较大的离心力，速度会增加；而球的左侧则受到较小的离心力，速度会减小。
因此，球会向右侧偏转。
与离心力相对应的是球与空气或球台之间的摩擦力。
摩擦力的大小取决于球的旋转速度、表面状态以及与空气或球台之间的接触面积等因素。
摩擦力的方向与球的运动方向相反，当球以顺时针方向旋转时，摩擦力会从左侧向右侧施加力，抵消离心力的作用。
因此，摩擦力可以减小球的右侧速度，使得球的运动轨迹更弯曲。
除了离心力和摩擦力外，还有其他因素也会影响乒乓球的旋转。
球的表面质地和旋转状态对球的旋转效果有很大的影响。
通常情况下，球的表面越光滑，旋转效果就越好。
而且，如果球以大于5000转/分钟的自转速度离开球拍，那么球的旋转效果会更加明显。
在实际比赛中，运动员可以利用球的旋转来改变球的飞行轨迹。
例如，如果运动员想使得球向下偏转，他们可以将球打得较低、以顺时针方向旋转并施加较大的力。
与此相反，如果运动员想使得球向上偏转，他们可以将球打得较高、以逆时针方向旋转并施加较大的力。
运动员还可以通过改变球的旋转角度和速度来产生各种弧线和旋转效果，从而给对手制造困扰。
总结起来，乒乓球旋转的力学分析涉及到离心力和摩擦力两个因素。
离心力使得球的运动轨迹向右侧偏转，而摩擦力则可以产生对离心力的抵消作用，使球的运动轨迹更弯曲。
乒乓球火箭物理实验原理
乒乓球火箭物理实验原理
乒乓球火箭实验原理是利用牛顿第三定律和动量守恒定律。
当乒乓球在喷气的同时向下推出气体，球身会受到向上的反作用力，而气体则会受到向下的作用力。
这种反作用力和作用力的相互作用使得乒乓球火箭能够产生推力。
此外，乒乓球和喷出的气体构成了一个封闭系统，当乒乓球向下喷气时，球和气体的总动量保持不变。
由于乒乓球的质量远大于气体的质量，当气体向下喷出时，乒乓球会获得相应的向上动量，从而产生向上的推力。
此外，物理乒乓球火箭是由一个塑料瓶和一只乒乓球组成，通过简单的装置可以将水和空气压缩在瓶内，然后通过乒乓球的喷射来产生推力，使其能够飞行。
其原理是利用水和空气压力产生动力。
以上信息仅供参考，如果您还有疑问，建议咨询专业人士。
乒乓球旋转的力学原理及快攻克制上旋的方法
乒乓球旋转的力学原理及快攻克制上旋的方法摘 要 以上旋球为例,将旋转球与不旋转球的特性加以比较,并通过对上旋球主要技术的力学分析,分析了乒乓球运动中的旋转球在击球、球接触台面、球接触球拍时的受力与运动,说明旋转球在乒乓球运动中的优越性。
并提出了以速度对抗旋转的方法。
关键词 乒乓球 旋转球 飞行弧线 力学原理 上旋球在空中边旋转边前进,使对方摸不清球的前进方向如何改变,本文以上旋球为例,就乒乓球旋转技术作一些理论分析。
并且针对快攻结合弧圈的对抗,从理论上进行一些必要的探讨和分析,将有益于两种技术的合理应用。
1 不旋转球的特性1.1不转球与空气的作用设球无旋转地自右向左在静止的空气中运动。
根据运动的相对性,这种情况可以看成球是静止的,而空气自左向右流动(见图1)。
从空气流线的对称性可以断定,在球的上方和下方的对应点,空气的流速是相等的,根据伯努利方程,球上方和下方对应点的压强也相等,球不会受到因空气流动而产生的向上或向下的力作用。
1.2不转球的运行轨迹——飞行弧线由以上分析可知,当不转球出手后,若不受任何外力影响,它将沿着初速度方向作匀速直线运动。
但由于球处在重力场中,要受到重力作用,故其运行轨迹(即飞行弧线)应是一抛物线。
若再考虑空气阻力的作用,由于空气阻力的方向与球运动方向相反,将会使球速减小,从而使球的射程缩短,故不转球的实际飞行弧线(见图2中弧线②)与抛物线(图2中弧线①)相比具有如下特点:(1)弧线的高度降低;(2)弧线的下降部分比较陡。
图1 空气流经—非旋转球图2 不转球、上旋球的实际飞行弧线与抛物线的比较乒乓球旋转的力学原理及快攻克制上旋的方法 乒乓网ｈｔｔｐ：／／ｗｗｗ．ｐｉｎｇｐａｎｇｗａｎｇ．ｃｏｍ1.3不转球触台后的跳动当不转球以速度v 落到对方台面时,其切向分速度给球台以切向力f ,根据牛顿第三定律,球台也必然给球一个与f 大小相等、方向相反的切向反作用力f (摩擦力)。
但由于台面光滑,球、台之间摩擦系数较小,故在一般情况下f 不大,它使球碰撞后速度的切向分量u 稍小于碰撞前速度的切向分量v 1,与此同时,由于球与球台的恢复系数约为k =0.9,使球碰撞后速度的法向分量un 损失约10◊,所以球实际的反弹速度是u 1和un 的合速度u (见图3)。
乒乓球旋转的力学分析
乒乓球旋转的力学分析摘要：在乒乓球运动项目活动中，由于乒乓球的旋转方式有很多，而不同的旋转方式会呈现出不同的运动状态，其中均渗透着重要的“角色”，即物理学知识——力度。
力度在旋转过程中发挥着着极其重要的作用，而掌握乒乓球旋转特性及力度控制，对于运动员的实战能力的提升有着极其重要的意义，故本研究以下应用物理力学原理来揭示乒乓球旋转奥秘及其机理，从而为广大乒乓球运动项目爱好者旋转技能提升提供一定的理论依据，由此增加乒乓球运动项目活动的参与兴趣。
关键词：乒乓球 旋转球 受力运动在乒乓球运动项目活动中，往往一方发出旋转球技能的时候即可制敌，这是因为发出去的球其在空中边旋转便前进，以至于对方不了解其发球的前进方向以及其转变方向，最终未来得及应对而“败下阵来”，由此可见，旋转球技能在乒乓球运动的过程中发挥着极其重要的威力，通过对乒乓球旋转力学的分析，有助于提升运动员的竞赛技能水平，因此，本文以下基于乒乓球旋转球的飞行特点、跳动特点及反弹特点了解不旋转球、上旋球的特性，尤其以了解其飞行过程中的力学机理及其与空气的相互作用，从而以加深对乒乓球运动项目活动中旋转球技能的了解。
一、乒乓球旋转球的物理特性在乒乓球运动项目活动中，旋转球的种类有以下几种，比如说侧旋球、下旋球等，而不同的旋球方式有着其自身的特性，然而它们之间又有着共同的性质，现本研究以下来叙述乒乓球运动项目活动中的旋转球特点：（一）关于飞行特点首先，旋转球在飞行的过程中其因受到气流影响而发生侧压力，由此改变了其运行弧线，而运行的弧线形状会随着球体受到气流影响程度，即侧压力大小；其次，旋转球在飞行的过程中也会改变其飞行速度，这是因为旋转球遇到气流侧压力与重力同向情况时，其运行速度会增加，相反则慢。
（二）关于跳动特点旋转球在跳动的过程中其弹跳方向及弹跳角相较于不旋转球而言存在着一定的异常，这是因为旋转球在运行的过程中其与乒乓球台表面发生了摩擦力度不同于不旋转球，因此，其弹跳的角度及方向不同于不旋转球。
乒乓球飞行运动学模型的建立与仿真
乒乓球飞行运动学模型的建立与仿真姜付高 1 李祥晨 21曲阜师范大学体育教研部（日照校区）日照2768262国家体育科学研究所体育系统仿真实验室，北京100061摘要：本文应用流体力学原理，分析了乒乓球在飞行中的运动状况，建立了它的运动方程。
最后，应用Matlab6.5仿真技术，对理论模型进行了分析与论证。
关键词：乒乓球；运动；仿真Flight Simulation of Pingpong BallLi Y an-feng1,2, Li Xiang-chen1, Xiao Shu-ming1, Pan zhi-geng2，3（1 Sports System Simulation Lab of CISS，Beijing, 100061）（2 VR & Multimedia Lab，Hangzhou Institute of Electronic Engineering，Hangzhou，310018）Abstract: According to mechanics of fluids, after analyzing the flight track of the Ping-Pong ball, we set up the motion equations of the movement of the ping-pong ball. By the means of simulation technology, the equations are discussed and validated.Keywords: Ping-Pong; Flight; Simulation1 前言乒乓球被誉为我国“国球”，在历届奥运会和世界锦标赛上，我国乒乓球队都取得了骄人的战绩，创造了一个又一个奇迹，为我国赢得了荣耀。
但是，在这些光环的背后，运动员需要付出常人难以想象的劳动。
特别地，为了应对对手的战术，运动员往往针对某一特定技术动作进行长期的反复练习。
以乒乓球为例分析旋转球的受力及飞行轨迹
以乒乓球为例分析旋转球的受力及飞行轨迹赵丽特;范东华;陈毅湛【摘要】文章对体育运动中一些有趣的物理现象进行探讨,有助于提升学生学习物理的兴趣.文章利用基本的力学定律对乒乓球的6种基本旋转和飞行轨迹进行了详细的分析,讨论了初速度对飞行曲线的影响;进而对其他球类运动中的有趣现象进行了讨论,比如“蛇球”(“香蕉球”)以侧旋为主,“消失的发球”以逆旋为主,“电梯球”以上旋为主,“零武发球”以下旋为主;并对1997年罗伯特卡洛斯的经典香蕉任意球进行了计算,给出了该球水平方向最大偏移距离和旋转角速度的定量结果.%It is helpful to improve the students' interest in learning physics to explore some interesting physical phenomena in sports.In this paper,six kinds of basic rotations and flying routes of table tennis are analyzed in detail by the basic laws of mechanics.The influence of initial velocity on flight route is discussed.Then,some interesting phenomena in the other ball games are discussed.For instance,the "snake ball" ("banana ball") is mainly sidespin,the "disappeared serve" is mainly counterclockwise spin,the "lift ball" is mainly topspin,and the "zero serve" is mainly backspin.Detailed analysis of Roberto Carlos's banana free kick in 1997 was calculated and the quantitative results are given for the offset distance and angular velocity horizontally.【期刊名称】《物理与工程》【年(卷),期】2017(027)002【总页数】6页(P56-60,76)【关键词】乒乓球;旋转;香蕉球;蛇球;电梯球;零式发球;消失的发球;马格努斯力【作者】赵丽特;范东华;陈毅湛【作者单位】五邑大学应用物理与材料学院,广东江门 529020;五邑大学应用物理与材料学院,广东江门 529020;五邑大学应用物理与材料学院,广东江门 529020【正文语种】中文利用基本的力学定律对体育运动中的有趣现象进行分析和讨论，可增强学生学习物理的兴趣，非常有益于物理教学。
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乒乓球的运动是个复杂的物理过程，它包括球拍击打乒乓球、球在空中飞行、与球桌碰撞并反弹这几个过程。
为了计算乒乓球半径变化对乒乓球飞行速度的影响，我们对乒乓球发球的过程进行仿真模拟计算。
1.球拍击打乒乓球过程分析
球拍击打乒乓球是一个复杂的物理过程，由于乒乓球受到球拍的力要远大于浮力等其他力，因此我们主要考虑两个力——与拍面垂直的撞击力F 和与拍面相切的摩擦力f ，并认为球拍击打乒乓球时初速度和初角速度为0.设乒乓球质量为m ，直径为D ，拍形为前倾与水平成 角，拍对球作用时间为0t ，挥拍速度为v 。
F 在时间0t 内冲量为0
t fdt ⎰用f I 表示，F 在时间0t 内的冲量为0
t Fdt ⎰用F I 表示。
F 通过乒乓球的质心而与乒乓球相切，因此摩擦力f 对乒乓球的质心而f 与乒乓
球相切，因此摩擦力f 对乒乓球产生一个力矩2
D
f ，此力矩在时间0t 内的冲量矩
为002t
D fdt ⎰，即为2
D If 乒乓球对质心的转动惯量22()32
c D
I mr r =
=,沿F 方向的末速度为F v ，沿f 方向的末速度为f v ，末角速度为ω。
根据动量定理和角动量定理
0F F I mv =- 0f f I mv =-
02f c D
I I ω=- 解得
F F I v m
=
f f I v m
=
32f f c
DI I I mD
ω=
=
对于速度，在分析水平与竖直分量时还要将F v 与f v 分解到水平与竖直方向。
X ，y 分别表示水平和竖直方向，则可得：
sin cos sin cos f F
x F f I I v v v m m
θθθθ=+=+
sin cos sin cos f F
y f F I I v v v m
m
θθθθ=+=
+
2.乒乓球在空中飞行受力分析
乒乓球在空中飞行主要温分为两段：一段从球拍击打到与球桌撞击；另一段为与球桌撞击反弹后。
虽然分为两段，但这两段的受力分析完全一致，因此我们只讨论了第一段。
乒乓球在飞行过程中主要受到竖直向下的重力，竖直向上的浮力，与运动方向相反的空气阻力。
通常乒乓球在飞行过程中还会伴随着绕轴旋转，所以还要考虑magnus 力。
假设乒乓球只在xoy 内运动。
球速度为v 与水平线成θ角，转速为()2ω
γγπ
=，
自转轴垂直于xoy 面。
重力：
G mg =
空气密度设为ρ，浮力21
6
d F C Av ρ=浮，d C 为与形状相关的阻力系数，A 为
横截面积。
又有magnus 力：
3d L F C D v ργ=。
则运动方程
23222
3322
1sin cos 2
11cos sin 62L d L d
d x m C D fv C Av dt d y m mg g D C D v C Av dt ρθρθρπργθρθ
⎧=+⎪⎪⎨⎪=-++⎪⎩ 即乒乓球在空中运动方程．
3.与球桌撞击反弹过程
与球桌撞击反弹过程讨论了两段飞行的末态与初态的关系．在球与球桌碰撞过程中，乒乓球不仅受到球桌对球的弹力，还受到桌面对球的滑动和滚动摩擦力，且滑动摩擦力远远大于滚动摩擦力，因此在计算摩擦力对球的影响时，滚动摩擦力可忽略不计．
设乒乓球以质心速度c v （c v 为第一轨迹的末速度)斜向撞在球桌上．c v 可沿x 和Y 方向分解为cx v (第一轨迹末速度x 方向分量)和cy v (第一轨迹末速度Y 方向分量，通常为负值)．u 为反弹速度，它也可沿x 和Y 方向分解为x u 和y u ，设恢复因数为e ，滑动摩擦系数为02ωπγ=．
乒乓球做平面运动，作用于它的外碰撞冲量有瞬时法向弹力的冲量
t
N S Ndt =⎰和瞬时摩擦力的冲量0
t
f S Ndt μ=⎰．
设碰后角速度为(2')ωωπγ=，'γ即为碰撞后的转速．
对滑动摩擦力的冲量f S ，方向的讨论也是必不可少，它的方向由滑动摩擦力的方向确定．
设O 点的速度为0v ，则00cx v v r ω=-．
当00v >，即0cx v r ω>时，o 点相对于球桌向x 正方向滑动，则f S 方向为x 负方向；
当00v <，即0cx v r ω<时，o 点相对于球桌向x 负方向滑动，则f S 方向为x 正方向．
因此，应分两种情况列方程：
① 考虑00v >的情况．由于f S 方向为x 负方向，则x u 相对于cx v 变小，而此方向的摩擦力力矩恰恰使转速加快，即to>to 。
．
根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，有
x cx f mu mv S -=- y cy N mu mv S -=- 0c c f I I S r ωω--
式中乒乓球对质心轴的转动惯量223
c I mr =
由恢复系数的定义可得出：y cy u ev =- 解得
(1)3'(1)4x cx cx y cy
cy u v v e u ev v e r μμγγπ⎧
⎪=++⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=-+⎪⎩
② 00v <，f S 方向为x 正方向，那么x u 相对于cx v 变大，而此方向的摩擦力力矩恰恰使转速减慢，即0ωω<．
同样根据平面运动刚体碰撞的动力学方程，和①同理列出方程组，解得
(1)3'(1)4x cx cx y cy
cy u v v e u ev v e r μμγγπ⎧
⎪=-+⎪⎪
=-⎨⎪
⎪=++⎪⎩
这样两段飞行过程因碰撞而联系起来．
这样，只要给定系数和数据就可以对乒乓球进行仿真模拟计算。