湖南省长沙市同升湖实验学校高三第六次月考(数学文).doc

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湖南长沙同升湖实验学校高三文科数学提高系列3.docx

马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015文科数学提高系列（三）一、选择题1．已知集合{}{}240,5M x x x N x m x =-<=<<，若{}3M N x x n ⋂=<<，则m n +等于A.9B.8C.7D.62．已知平面向量,1),3,1(=-=→→→b a a 则→b 的取值范围是A ．[]1,0B ．[]3,1C ．[]4,2D ．[]4,3 3．如图，已知双曲线C ：22221x y a b-=()0,0>>b a 的右顶点为,A O 为坐标原点，以A 为圆心的圆与双曲线C 的某渐近线交于两点Q P ,.若60PAQ ∠=︒且3OQ OP =，则双曲线C 的离心率为A ．233 B ．72C ．396D ．3 4．已知角βα,均为锐角，且,31)tan(,53cos -=-=βαα=βtan 则A ．3B ．31C ．139D ．9135．如图，网格纸上小正方形边长为1，粗线是一个棱锥的三视图，则此棱锥的表面积为（）A.83B.43C.86D.466．若{}2210,1010m n x x a a a∈=⨯+⨯+，其中{}1,2,3,4,5,6,7,0,1,2ia i ∈=，并马鸣风萧萧且636m n +=，则实数对(,)m n 表示平面上不同点的个数为（） A.60个 B.70个 C.90个 D.120个二、填空题7．设P 是函数x y ln =图象上的动点，则点P 到直线x y =的距离的最小值为 8．已知数列{}()112,(1)(1)2,,n n n a a n a n a n n *-=+=-∈N 满足：≥则=13a a ，数列{a n }的通项公式为．9．在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==4t y tx （t 为参数），以原点O 为极点，以x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=，则直线l 和曲线C 的公共点有个．三、解答题10．如图，直三棱柱ABC A B C '''—中，5AC BC ==，'6AA AB ==，D 、E 分别为AB 和BB '上的点，且AD BEDB EB λ=='. （1）求证：当=1λ时，A B CE '⊥；（2）当λ为何值时，三棱锥A CDE '—的体积最小，并求出最小体积.C'B'BACA'ED马鸣风萧萧11．在单调递增数列}{n a 中，12a =，24a =，且12212,,+-n n n a a a 成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．（Ⅰ）（ⅰ）求证：数列}{2n a 为等差数列；（ⅱ）求数列}{n a 的通项公式. （Ⅱ）设数列}1{n a 的前n 项和为n S ，证明：43(3)n n S n >+，*n ∈N ．12．已知动圆Q 过定点()1,0-F ，且与直线1:=y l 相切，椭圆N 的对称轴为坐标轴，O 点为坐标原点，F 是其一个焦点，又点()2,0A 在椭圆N 上.（Ⅰ）求动圆圆心Q 的轨迹M 的标准方程和椭圆N 的标准方程；（Ⅱ）若过F 的动直线m 交椭圆N 于C B ,点，交轨迹M 于E D ,两点，设1S 为ABC ∆ 的面积，2S 为ODE ∆的面积，令21S S Z =,试求Z 的最小值.马鸣风萧萧13．已知函数23()4f x ax bx =+-()0>a ,4124)(++=b x g xx ，且⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x f y 41为偶函数．设集合{}11A x t x t =-+≤≤．（Ⅰ）若abt 2-=，记()x f 在A 上的最大值与最小值分别为N M ,,求N M -; （Ⅱ）若对任意的实数t ，总存在21,x x A ∈，使得12()()()f x f x g x -≥对[]1,0∈∀x 恒成立，试求a 的最小值.马鸣风萧萧参考答案 1．C【解析】{}()4,004|2=<-=x x x M ，()5,m N =，若()n N M ,3= ，则⎩⎨⎧==73n m ，则7=+n m .考点：集合的运算. 2．B 【解析】试题分析：由于1a b -=，所以向量b 对应的点在以(1,3)为圆心，1为半径的圆上，由于圆心到原点的距离为2，所以→b 的取值范围是为[1,3] 考点：向量的几何意义 3．B 【解析】试题分析：取PQ 的中点D ，连接AD ，则AD PQ ⊥，且AD b =，因为60PAQ ∠=︒，AP AQ =，则060PQA ∠=，03tan 60,3b DQ b DQ =∴=，由于3OQ OP =，则AP PD ==DQ ，则233OD b =， 22233tan 124233bb a DOA e a bb ∠==⇒⇒=-=，则27742e e =⇒=，选B. 考点：求离心率4．A 【解析】试题分析：由于βα,均为锐角，3cos 5α=，则4sin 5α=，4tan 3α=，tan[()]ααβ--=tan tan(-)1tan tan()ααβααβ-+-4133=341133+=-⨯考点：凑角求值 5．A. 【解析】马鸣风萧萧试题分析：直观图如图所示四棱锥P ABCD -，PAB PAD PBD ABC S S S S ∆∆∆∆===12222sin 60232=⨯⨯=，故此棱锥的表面积为83，故选A.考点：空间几何体的表面积计算. 6．C 【解析】试题分析：记A={x|x=a 0+a 1•10+a 2•100}，求实数对（x ，y ）表示坐标平面上不同点的个数也就是要找x+y=636在A 中的解的个数，按10进制位考察即可．解：记A={x|x=a 0+a 1•10+a 2•100}，实数对（x ，y ）表示坐标平面上不同点的个数等价于要找x+y=636在A 中的解的个数，按10进制位考察即可．首先看个位，a 0+a 0=6，有5种可能．再往前看：a 1+a 1=3且a 2+a 2=6，有2×5=10种可能， a 1+a 1=13且a 2+a 2=5，有2×4=8种可能，所以一共有（10+8）×5=90个解，对应于平面上90个不同的点．故选C ．点评：本题考查排列、组合及其简单计数问题，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化，属于中档题． 7．22【解析】试题分析：设点P 到直线x y =的距离为2ln x x d -=，xx x d 21211'-=-=，易得2ln x x d -=在)1,0(上单调递减，在),1(+∞上单调递增，所以222ln 1min =⎪⎭⎫⎝⎛-==x x x d 考点：导数及其应用 8．16，4(1)n a n n =+【解析】马鸣风萧萧试题分析：12,a =当2n =，211233a a ==，当3n =时，321123a a ==，3116a a ∴=； 2341123112312,,,, (3451)n n a a a a n a a a a a n --=====+，利用累乘法得：4(1)n a n n =+考点：累乘法求数列通项公式； 9．1 【解析】试题分析：将直线l 的参数方程为⎩⎨⎧+==4t y tx 转化为直角坐标方程4+=x y ，将曲线C 的极坐标方程为)4sin(24πθρ+=两边同时乘以ρ，可得)4sin(242πθρρ+=，整理可得y x y x 4422+=+，即82()2(2)2=-+-y x 由两点间距离公式圆心（2,2）到直线4+=x y 的距离为22242-2=+，因而此时直线与圆相切，故只有一个公共点．考点：10．（1）详见解析；（2）1λ=时，A CDE V '-有最小值为18. 【解析】试题分析：（1）1λ=时，平行四边形ABB A ''为正方形，'DE A B ⊥，由已知得CD A B '⊥，由此即可证明A B CE '⊥；（2）设=BE x ，则AD x =，6DB x =-，6B E x '=-，由已知可得C 到面A DE '距离即为ABC ∆的边AB，从而可得()13A CDE C A DE AA D DBE AB E ABB A V V S S S S h '''''''--∆∆∆==---⋅四边形，将其进一步转化为关于x 的函数，则只需求出函数最值，因此能求出当3x =时，即1λ=时，A CDE V '-有最小值为18.试题解析：（1）∵1λ=，∴D ，E 分别为AB 和BB '的中点，又∵AA AB '=，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱， ∴平行四边形ABB A ''为正方形，∴DE A B '⊥， 2分∵AC BC =，D 为AB 的中点，∴CD AB ⊥，且三棱柱ABC A B C '''—为直三棱柱， ∴CD ⊥平面ABB A ''，∴CD A B '⊥， 4分又∵CD DE D =， ∴A B '⊥平面CDE ， ∵CE Ü平面CDE ，∴A B CE '⊥； 6分马鸣风萧萧（2）设=BE x ，则AD x =，6DB x =-，6B E x '=-，由已知可得C 到面A D E '距离即为ABC ∆的边AB ，所对应的高22()42AB h AC =-=， 8分 ∴()13A CDE C A DE AA D DBE A B E ABB AV V S S S S h '''''''--∆∆∆==---⋅四边形 ()11=[363(6)36]32x x x x h-----⋅22(636)3x x =-+22[(3)27]3x =-+（06x <<）， 10分∴当3x =时，即1λ=时，A CDE V '-有最小值为18. 12分考点：1.线面垂直的判定和性质；2.空间几何体体积的计算；3.二次函数的最值. 11．（1）紧扣等差数列定义证明，（2）当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++.（3）证明见解析【解析】试题分析：要证明数列}{2n a 为等差数列，只需证明+=-2222n n a a 22+n a 成立，由于数列首项为正，数列为单调递增，说以0n a >，由12212,,+-n n n a a a 成等差数列，得221212n n n a a a -+=+……（1），由因为2,n a 21n a +，22n a +成等比数列，则221222n n n a a a ++=，21222,n n n a a a ++=于是21222n n n a a a --=代入（1）式整理得：+=-2222n n a a 22+n a 得证；先求3a ，4a 备用，由于数列2{}n a 为等差数列，可借助等差数列通项公式求出2n a ，再由221222n n n a a a ++=求出21n a +，最后分n 为奇数和偶数两种情况表达n a ，由于数列的通项公式分n 为奇数和偶数两种情况表达的，所以需要合在一起，合成公式是11[1(1)]2n n a +=+- 1()[1(1)]()2n f n g n ++-，合成后对n a 进行放缩，这里技巧很重要，217(1)48nn a n n +-=++≤2111(2)(3)44n n n n ++<++，再求马鸣风萧萧14114()(2)(3)23na n n n n >=-++++，最后利用裂项相消法求和达到证明不等式的目的；试题解析：（ⅰ）因为数列{}n a 为单调递增数列，120a =>，所以0n a >（*n ∈N ）.由题意12212,,+-n n n a a a成等差数列，22122,,++n n n a a a 成等比数列， ,3,2,1=n ．得222n n a a-=21n a ++,221222n n n a a a ++=，于是+=-n n n a a a 22222222+n n a a ，化简得+=-2222n n a a 22+n a ，所以数列2{}n a 为等差数列.（ⅱ）又32126a a a =-=，23429a a a ==，所以数列2{}n a 的首项为22a =，公差为421d a a =-=，所以21n a n =+，从而22(1)n a n =+.结合221222n n n a a a --=可得21(1)n a n n -=+.因此，当n 为偶数时n a =21(2)4n +，当n 为奇数时n a =(1)(3)4n n ++.（2）所以数列}{n a 的通项公式为：211(1)(3)1(2)[1(1)][1(1)]2424n nn n n n a ++++=+-⋅++-⋅217(1)48n n n +-=++.因为214n a n n =++ 7(1)8n+-≤2111(2)(3)44n n n n ++<++,所以14114()(2)(3)23n a n n nn >=-++++;则有11a S n =21a +31a ++na 1+111111114[()()()()]34451223n n n n >-+-++-+-++++14(3=-马鸣风萧萧14)33(3)n n n =++，所以43(3)n n S n >+，*n ∈N ．考点：数列与不等式12．（1）y x 42-=，13422=+x y ；（2）90min ==Z k 时，；【解析】试题分析：（1）点(0,1)F -不再直线1y =上，到定点的距离与到一条定直线距离相等的点的轨迹为抛物线，定点为抛物线的焦点，定直线为抛物线的准线，求出抛物线的方程为y x 42-=，而椭圆的焦点()1,0-F ，过()2,0A ，说明1,2,c a ==有3b =，得出椭圆的方程；第二步由于直线的斜率存在，可设直线斜截式方程，与椭圆方程联立方程组，消去y 得关于x 的一元二次方程，利用设而不求思想，设出交点坐标，利用根与系数关系，写出1212,x x x x +，求出弦长BC ，在求出到直线m 的距离d ，求出1S ，再把直线方程与抛物线y x 42-=联立，消去y 得关于x 一元二次方程，同样可求出面积2S ，最后求出12Z S S =⋅的最大值；试题解析：（1）设圆心为(,)Q x y ，依题意，圆心到定点(0,1)F -与直线:1l y =的距离相等，由抛物线的定义易得动点Q 的轨迹M 的标准方程为：y x 42-=，又依题意可设椭圆N 的标准方程为)0(12222>>=+b a b x a y 显然有32,1=∴==b a c ∴椭圆N 的标准方程为13422=+x y （2）显然直线m 的斜率存在，不妨设直线m 的直线方程为：1-=kx y ， ① 联立椭圆N 的标准方程13422=+x y ，有096)43(22=--+kx x k ，设),(),,(2211y x C y x B 则有：43)1(12431121122222212++=+++=-+=k k k k k x x k BC马鸣风萧萧又A （0,2）到直线m 的距离2113kd +=，∴43118212211++==k k d BC S ；再将①式联立抛物线方程y x 42-=，有0442=-+kx x ，同理易得22211),1(4kd k DE +=+=∴2212k S += ，∴2122236(1)1112(1)12(1)934344k Z S S k k +===--=++≥，∴当90min ==Z k 时，考点：1.定义法求轨迹方程；2.设而不求思想；3.弦长公式；4.求最值；13．【解析】试题分析:先利用函数1()4f x a+为偶函数，求出b ，由于二次函数0a >，在区间]141,141[+-aa 上求出最大值1(1)4M f a =+和最小值1()4N f a =,求出N M -；第二步令2xt =，由x 的范围找出t 范围，因()4122+-=t t x g ，得()x g 的最大值为41，从题意分析：在A 上，总存在连个点12,x x ，使得 121()()4f x f x -≥成立，只需证明在A 上max min 1()()4f x f x -≥对任意的t 成立即可；试题解析：（1）⎪⎭⎫ ⎝⎛+=a x f y 41434161212-++⎪⎭⎫ ⎝⎛++=a b a x b ax 为偶函数，所以21-=b ．在区间]141,141[+-aa 上，)16143()41(),16143()141(aa f N a a a f M +-==+-=+= a N M =-∴ （2）设t x=2 ]2,1[2],1,0[∈=∴∈xt x ，()4122+-=t t x g 所以()x g 的最大值为41，依题意原命题等价于在A 上，总存在两个点12121,()()4x x f x f x -、使得≥ 即马鸣风萧萧只需满足在A 上 max min 1()()4f x f x -≥，因为对任意的t 都成立，所以当a b t 2-=也成立，由（１）知 14a ≥，1)1(41)(412--==x x f a 时，当，下面证明在]1,1[+-t t 上总存在两点,21x x 、使得121()()4f x f x -≥成立. 当1t ≥时，()f x 在[,+1]t t 上是增函数，12max 111()()(1)()244f x f x f t f t t ∴-≥+-=-≥ 当1t <时，()f x 在[1,]t t -上是减函数，12max 311()()(1)()424f x f x f t f t t ∴-≥--=-> 综上所述，a 的最小值为14. 考点：函数与不等式；。

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马鸣风萧萧高中数学学习材料马鸣风萧萧*整理制作2015文科数学提高系列（二）一、选择题1．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足P A P B P C =+，则||||PD AD 的值为（A ）13 （B ）12（C ）1 （D ）22．设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130 3．已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 2- B. 1 C. 2 D. 44．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，则直线AF 的倾斜角等于（）A.712π B.23π C.34π D.56π 5．已知P(x,y)为区域2200y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．226．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为正视图侧视图俯视图马鸣风萧萧A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 二、填空题7．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.8．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是．9．在极坐标系中，圆24cos 30ρρθ-+=上的动点P 到直线()3R πθρ=∈的距离最小值是．三、解答题 10．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. （1）证明：PF FD ⊥；（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ？若存在，求出PGPA的值；若不存在，请说明理由.11．（本题满分14分）已知{}n a 是递增的等差数列，21242,8a a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n a n n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和S n ．PDCBAg FE马鸣风萧萧12．已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，焦距为32，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.①证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值； ②求的最小值AB .13．（本小题满分14分）已知函数()(0)tf x x x x =+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；马鸣风萧萧（2）设()g t MN=，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．马鸣风萧萧参考答案 1．C 【解析】试题分析：由已知及PA PB PC =+得PD PA 2=，故D A P ,,三点共线且D 为PA 的中点，||||PD AD =1 考点：向量几何意义【答案】D 【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，（1）123451x x x x x ++++=，则上述五个数中有一个为1或1-，其余四个数为零，此时集合A 有1152C C10=个元素；（2）123452x x x x x ++++=，则上述五个数中有两个数为1或1-，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有224=中，此时集合A 有25440C =个；（3）123453x x x x x ++++=，则上述五个数中有三个数为1或1-，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有328=中，此时集合A 有35880C =个；综上所述，集合A 共有104080130++=个元素.故选D. 【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题. 3．D 【解析】试题分析：()()122(12)2(4)(22)1212(12)5a i i z a i a a iz i i i +++-++===--+,又因为21z z 是纯虚数，所以40a -=，即4a =，故选D.考点：复数相关概念及运算. 4．B. 【解析】试题分析：设11(,)P x y ，由题意得，(1,0)F ，∴11||143PF x x =+=⇒=，∴123y =，∴(1,23)A -，230311AF k -==---，∴倾斜角为23π.考点：1.抛物线的性质；2.直线的倾斜角与斜率.5．A 【解析】试题分析：由2200y x x a ⎧-≤⎨≤≤⎩作出可行域，如图，马鸣风萧萧由图可得，(,)A a a -，(,)B a a ，由1242AOB S a a ∆=⨯⨯=，得2a =，∴(2,2)A -，化目标函数2z x y =-为2y x z =-，∴当2y x z =-过A 点时，z 最大，max 22(2)6z =⨯--=．考点：线性规划． 6．D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积. 7．22 【解析】试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质 8．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】令1++=k kx y ，则化为)1(1+=-x k y ，即直线1++=k kx y 恒过)1,1(-M ；根据题意，画出[]3,1),(-∈=x x f y 的图像与直线1++=k kx y ；由图像，可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根；又因为0=MA k ,31-=MB k ,所以031<<-k ．马鸣风萧萧考点：函数的性质、直线与曲线的位置关系． 9．31- 【解析】试题解析：圆24cos 30ρρθ-+= 和直线()3R πθθ=∈直角坐标方程分别是()2221,3x y y x -+==,圆心（2,0）到直线30x y -=距离3d = 所以最小值是31-．考点：考查直线和圆的极坐标方程，位置关系．点评：把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程是解本题的关键，利用圆心到直线的距离减半径为点到直线距离的最小值求出最小值． 10．（1）详见解析；（2）存在，34PG PA =. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件中的数据说明AF DF ⊥，再由PA DF ⊥，再由线面垂直的判定可得DF ⊥平面PAF ，从而PF FD ⊥得证；（2）过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，且14A H A D =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，从而平面//GEH 平面PFD ，EG ⊂平面GEH ，即可得出结论. 试题解析：（1）连结AF ，∵底面ABCD 是矩形，2AD =，1AB =，F 是线段BC 的中点， ∴2AF DF ==，∴222AF DF AD +=，∴AF DF ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，∴P A D F ⊥，又∵PA AF A =，∴DF ⊥平面PAF ，PF ⊂平面PAF ，∴P F F D ⊥；（2）取AD 的中点O ，连结OB ，则//OB FD ，过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，∵E 为AB 的中点，∴14AH AD =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，又∵EG EH H =，∴平面//GEH 平面PFD ，∵EG ⊂平面GEH ，∴//EG 平面PFD ，从而确定点G 的位置，34PG PA =.马鸣风萧萧考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面平行的判定与性质.11．（1）n a n 2=;（2）)1(3441++-+n n n ．【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差为d ，整理成关于d 的方程进行求解；（2）由（1）求出n b ，再利用等比、差数列的求和公式进行分组求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，0>d ．由题意得，832)2(2++=+d d ，)2)(3(62-+=-+d d d d ,得2=d ；故n n a n 2)1(22=-+=；（2）n n b nnn 24222+=+=，则)1(3442)22(41)41(41++-=++--=+n n n n S n n n考点：1．等差数列；2．等比数列；3．分组求和．12．（1）2214x y +=；（2）①552=d ;②455. 【解析】试题分析：（1）根据题意知：222223,24,c a a b c ===+联立解得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程；（2）①根据题意对直线AB 按斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，AOB ∆为等腰直角三角形，很易得到点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立椭圆方程消去y ，根据韦达定理得到12x x +和12x x ⋅代入OA OB ⊥即：02121=+y y x x 得到m 和k 的关系，利用点到直线的距离公式，得到点O 到直线AB 的距离，进而得到两种情况下，点O 到直线AB 的距离为定值;②因为OB OA AB d ⋅=⋅，及勾股定理222OA OB AB +=,再利用基本不等式，得到AB 的最小值. 试题解析：（1） 223,24c a ==2,3a c ==马鸣风萧萧2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AOB ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214xy +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+ 因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++=即0)()1(221212=++++m x x km x x k 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离21m d k =+255=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅又因为OB OA ⋅2≤222AB OB OA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥4525AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是455考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理. 13．（1）)2,⎡+∞⎣；（2）2()2020g t t t =+；（3）6. 【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，利用'()0f x >，解不等式结合函数的定义域，求出函数的马鸣风萧萧单调递增区间；第二问，设出点M 、N 的横坐标，利用导数，写出切线PM 和切线PN 的直线方程，由于它们都过点(1,0)P ，所以整理出两个表达式，由于两个表达式形式一样，所以可以看出，1x 和2x 是方程220x tx t +-=的根，利用韦达定理得到12x x +和12x x ，代入到||MN 中，即得到()g t 的关系式；第三问，结合第二问判断出()g t 在64[2,]n n+上为增函数，将不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，转化为64(2)()mg g n n<+恒成立，整理表达式，转化为216464[()()]6m n n n n <+++恒成立，利用均值不等式变形得到结论.试题解析：（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x -'=-=>解得(,2)(2,)x ∈-∞-+∞.∵0x >∴函数()f x 有单调递增区间为)2,⎡+∞⎣（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-∴切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-- ∴切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t tx x x x -+=--即21120.x tx t +-= ①同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-= ② 由（1）、（2），可得12,x x 是方程220x tx t +-=的两根，12122.x x tx x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩ ③22221212121212||()()()[1(1)]t t t MN x x x x x x x x x x =-++--=-+-22121212[()4][1(1)]t x x x x x x =+-+-把③式代入，得2||2020,MN t t =+马鸣风萧萧因此，函数()g t 的表达式为2()2020g t t t =+ （3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++ 121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n ⋅<+n ∀恒成立，22646420220220()20(),m n n n n ⨯+⨯<+++ 即216464[()()]6m n n n n <+++n ∀恒成立，226416464113616,[()()][1616].663n n n n n n +≥∴+++≥+=1363m ∴<，由于m 为正整数，6m ∴≤.又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件 ∴m 的最大值为6.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理.。

湖南长沙同升湖实验学校高三高考文数沙盘演习1

40－50岁50岁以上40岁以下30%20%50%高中数学学习材料金戈铁骑整理制作长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设集合{4,5,6,8},{3,5,7,8}A B ==，则A B 中元素的个数为A ．5B ．6C ．7D ．8 2．已知复数(87)(3)z i i =---，则z 在复平面内对应的点位于A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．“a b >”是 “22a b >”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件4．双曲线222214x y a a -=(0)a >的离心率为 A.5 B.52C.2D. 35．已知(sin ,cos ),2,1a b αα==（-），若a b ⊥，则tan α的值为 A. 2- B. 2 C.12 D. 12- 6．已知函数log a y x =(0,1)a a >≠的图象经过点1(2,)2，则其反函数的解析式为A. 4x y =B.4log y x =C.2x y =D. 1()2xy =7．某单位200名职工的年龄分布情况如图1示，该单位为了解职工每天的睡眠情况，按年龄用分层抽样方法从中抽取 40名职工进行调查.则应从40-50岁的职工中抽取的人数为A.8B.12C.20D.308．不等式组5315+15 3.x y y x x y +≤⎧⎪≤⎨⎪-≤⎩，，表示的平面区域的面积为图1A. 14B.5C. 3D. 7FE ACB 9．设,l m 是两条不同的直线，,αβ是两个不同的平面，则下列命题为真命题的是 A.若//,//,//m l m l αα则； B.若,,//m l m l αα⊥⊥则； C.若//,,//,l m l m αβαβ⊥⊥则D.若,//,,//,//m m l l αββααβ⊂⊂则.10. 对任意的a 、b R ∈，定义：min{,}a b =,().()a a b b a b <⎧⎨≥⎩；max{,}a b =,().()a ab b a b ≥⎧⎨<⎩.则下列各式中恒成立的个数为①min{,}max{,}a b a b a b =++ ②min{,}max{,}a b a b a b =--③(min{,})(max{,})a b a b a b =⋅⋅ ④(min{,})(max{,})a b a b a b =÷÷ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．（一）必做题（11－13题）11．不等式23100x x --<的解集为．12．在△ABC 中，A B C ∠∠∠、、的对边分别为a b c 、、，若3a =，2B A ∠=∠，cos 63A =，则b = ． 13．已知函数3()f x x =对应的曲线在点(,())()k k a f a k N *∈处的切线与x 轴的交点为1(,0)k a +，若11a =，则333121010()()()21()3f a f a f a +++=- ．（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14. (坐标系与参数方程选做题) 在极坐标系中，直线sin()24πρθ+=被圆=4ρ截得的弦长为 . 15．（几何证明选讲选做题）如图2，BE 、CF 分别为钝角△ABC 的两条高，已知1,AE =3,42,AB CF ==则BC 边的长为．图2 三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.(本小题满分12分)已知函数()2sin()(0,)6f x x x R ωωπ=+>∈的最小正周期为π. （1）求ω的值；（2）若2()3f α=，(,0)8πα∈-，求cos 2α的值.3648788451162139496612413415910288757145699398109977546196183120703612601 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 3080日期（AQI ）指数4012016020017.(本小题满分12分)图3是某市今年1月份前30天空气质量指数（AQI ）的趋势图.图3（1）根据该图数据在答题卷中完成频率分布表，并在图4中补全这些数据的频率分布直方图；（2）当空气质量指数（AQI ）小于100时，表示空气质量优良．某人随机选择当月（按30天计）某一天到达该市，根据以上信息，能否认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60%？（图中纵坐标1/300即1300，以此类推）图418．（本小题满分14分）如图5，已知BCD ∆中，90,1BCD BC CD ∠===，6AB =，AB ⊥平面BCD ，E 、F 分别是AC 、AD 的中点．（1）求证：平面BEF ⊥平面ABC ；（2）设平面BEF 平面BCD l =，求证//CD l ；（3）求四棱锥B-CDFE 的体积V ．图519. (本小题满分14分)已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，3(1)n n S na n n =--（*n N ∈），且212a =．（1）求1a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）求证：1211113n S S S +++<．20. (本小题满分14分)已知抛物线C ：22(0)x py p =>的焦点为F ，点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，且||5PF =. （1）求抛物线C 的方程；（2）设直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M ，且直线l 与抛物线的准线交于点Q ,试探究，在坐标平面内是否存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ？若存在，求出点N 的坐标，若不存在，说明理由.21. (本小题满分14分)已知函数()f x ax =，()ln g x x =，其中a R ∈．（1）若函数()()()F x f x g x =-，当1a =时，求函数()F x 的极值；（2）若函数()(sin(1))()G x f x g x =--在区间(0,1)上为减函数，求a 的取值范围；（3）证明：11sin ln(1)1nk n k =<++∑．长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）答卷班级：姓名：考号：成绩：一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二、填空题11、12、13、14(15)、三、解答题16、（本题12分）17、（本题12分）18、（本题14分）19、（本题14分）20、（本题14分）21、（本题14分）长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（一）一、选择题：BBDAC ABDCB解析：10. 由定义知⑴、⑶恒成立，⑵⑷不恒成立，正确答案B.二、填空题： 11. {|25}x x -<<；12.26；13. 3；14.43；15.57.解析：13.由2'()3f x x =得曲线的切线的斜率23k k a =，故切线方程为323()k k k y a a x a -=-，令0y =得123k k a a +=123k k a a +⇒=，故数列{}n a 是首项11a =，公比23q =的等比数列，又 3331210()()()f a f a f a +++101011210(1)3(1)1a q a a a q q-=+++==--，所以333121010()()()321()3f a f a f a +++=-.15．依题意得22BE =，因△BEA ∽△CFA 得AE BE ABAF FC AC==,所以2,AF =6,AC = 2257BC BE EC =+=．三、解答题： 16．解：（1）由2ππω=得=2ω------------------------------------------------2分（2）解法1：由π2()2sin(2)63f αα=+= 得π1sin(2)63α+= ------------------3分 ∵(,0)8πα∈-，∴π2(, )6126ππα+∈-， -----------------------------------4分 ∴2ππ22cos(2)1sin (2)663αα+=-+=------------------------------------6分 ∴cos 2cos[(2)]66ππαα=+------------------------------------------------8分 cos(2)cos sin(2)sin 6666ππππαα=+++ ------------------------------------10分2231126132326+=⋅+⋅=------------------------------------------------12分 [解法2：由π2()2sin(2)63f αα=+=得π1sin(2)63α+=，---------------------3分即1sin 2coscos 2sin663ππαα+=--------------------------------------------5分 ⇒2cos 23sin 23αα-=--------------①---------------------------------6分将①代入22sin 2cos 21αα+=并整理得24cos 212cos 2230αα--=，---------8分解得：12246126cos 2726α±±==，--------------②---------------------10分 ∵(,0)8πα∈-∴204πα-<<，∴cos 20α>，故②中负值不合舍去，-------11分∴126cos 26α+=.------------------------------------------------------12分 17．解：（1）---4分 ----8分(2) 由频率分布表知，该市本月前30天中空气质量优良的天数为19，-----------9分故此人到达当天空气质量优良的概率：190.63>0.630P =≈-------------------------------------------------------11分故可以认为此人到达当天空气质量优良的可能性超过60% --------------------12分 18.解：（1）证明：AB ⊥平面BCD ，CD ⊂平面BCD A B C D ∴⊥，---------1分又BC CD ⊥， ABBC B =， CD ∴⊥平面ABC ，------------------------2分又E 、F 分别是AC 、AD 的中点，∴//.EF CD ---------------------------------3分 ∴EF ⊥平面ABC又EF ⊂平面BEF ，∴平面BEF ⊥平面ABC ----------------------------------4分（2）CD // EF ，CD ⊄平面BEF ，EF ⊂平面BEF∴//CD 平面BEF ，----------------------------6分又CD ⊂平面BCD ，且平面BEF 平面BCD l =∴//CD l ．------------------------------------8分（3）解法1：由（1）知EF //CD∴AEF ACD ∆∆------------------------------9分1,4AEF ACD S S ∆∆∴= ∴14B AEF B ACD V V --=------------------11分 331444B ACD A BCD BCD V V V S AB --∆∴===⋅116116.428=⨯⨯⨯⨯=-------------14分 [解法2：取BD 中点G ，连结FC 和FG ，则FG//AB ，-----9分∵AB ⊥平面BCD ，∴FG ⊥平面BCD ，-----------------10分由（1）知EF ⊥平面ABC ，∴F EBC F BCD V V V --=+1133EBC BCD S EF S FG ∆∆=⋅+⋅------12分 1611166113423228=⨯⨯+⨯⨯⨯⨯=.----------------14分]19.解：（1）由2122232(21)S a a a =+=-⨯-和212.a =可得16a =，-------------2分（2）解法1：当2n ≥时，由1n n n a S S -=-得13(1)(1)3(1)(2)n n n a na n n n a n n -=-------，--------------------------4分 ⇒1(1)(1)6(1)n n n a n a n ----=-16(2,)n n a a n n N *-⇒-=≥∈---------------6分 ∴数列{}n a 是首项16a =，公差为6的等差数列，∴16(1)6n a a n n =+-=--------8分[解法2：当2n ≥时，由13(1)()3(1)n n n n S na n n n S S n n -=--=----------------4分可得1(1)3(1)n n n S nS n n ---=-131n n S S n n -∴-=-,---------------------------------6分 ∴数列{}n S n 为首项161S =,公差为3的等差数列， 63(1)33n S n n n ∴=+-=+，即233n S n n =+.∴6n a n =---------------------------------------------------------------8分（3）证明：由（2）知1()3(1)2n n n a a S n n +==+-----------------------------10分 11111()3(1)31n S n n n n ==-++--------------------------------------------12分 12111111111[(1)()()]32231n S S S n n ∴+++<-+-++-+111(1)313n =-<+，命题得证．-----------------------------------------------------------------14分20.解：(1)解法1： ∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,----------------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的准线为2p y =-，由||5PF =结合抛物线的定义得52p m +=---①-----2分又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.----------------②-----3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.-------------------------5分[解法2：∵点P 是直线y x =与抛物线C 在第一象限的交点，∴设点(,)(0)P m m m >,-------------------------------------------------1分 ∵抛物线C 的焦点为(0,)2p F ，由||5PF =得22()52p m m +-=, 即22()252p m m +-=，--------------------------------①-------------2分又点P 在抛物线C 上，∴22m pm =(0)m >⇒2m p =.-----②-------------3分由①②联立解得2p =，∴所求抛物线C 的方程式为24x y =.----------------5分（2）解法1：由抛物线C 关于y 轴对称可知，若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必在y 轴上，设(0,)N n ，-------------------------------6分又设点200(,)4x M x ，由直线:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线C 相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------------7分 ∴直线l 的方程为2000()42x x y x x -=-，-----------------------------------8分令1y =-得20022x x x -=，∴Q 点的坐标为002(,1)2x x --，--------------------9分 200002(,),(,1)42x x NM x n NQ n x ∴=-=---------------------------------10分 ∵点N 在以MQ 为直径的圆上， ∴22220002(1)()(1)20(*)244x x x NM NQ n n n n n ⋅=--+-=-++-=------12分要使方程(*)对0x 恒成立，必须有21020n n n -=⎧⎨+-=⎩解得1n =，-----------------13分 ∴在坐标平面内存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，其坐标为(0,1)．---14分[解法2：设点00(,)M x y ，由:l y kx m =+与抛物线C 有唯一公共点M 知，直线l 与抛物线相切，由214y x =得1'2y x =，∴001'|2x x k y x ===，-----------------------6分 ∴直线l 的方程为000()2x y y x x -=-，-------------------------------------7分令1y =-得002(1)y x x -=，∴Q 点的坐标为002(1)(,1)y x --，-------------------8分 ∴以MQ 为直径的圆方程为：00002(1)()(1)()[]0y y y y x x x x --++--=--③----10分分别令02x =和02x =-，由点M 在抛物线C 上得01y =，将00,x y 的值分别代入③得：(1)(1)(2)0y y x x -++-=--------------④(1)(1)(2)0y y x x -+++=---------------------⑤④⑤联立解得0,1.x y =⎧⎨=⎩或0,1.x y =⎧⎨=-⎩，---------------------------------12分∴在坐标平面内若存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，则点N 必为(0,1)或(0,1)-，将(0,1)的坐标代入③式得，左边=00002(1)2(1)()[]y y x x --+--002(1)2(1)0y y =-+-==右边，将(0,1)-的坐标代入③式得，左边=00002(1)()[]2(1)y x y x ---=-不恒等于0，-------------------------13分 ∴在坐标平面内是存在点N ，使得以MQ 为直径的圆恒过点N ，点N 坐标为为(0,1)14分21.解：（1）∵当1a =时，函数()ln F x x x =-，(0)x > ∴11'()1x F x x x-=-=，------------------------------------------------1分令'()0F x =得1x =，当(0,1)x ∈时'()0F x <，当(1,)x ∈+∞时，'()0F x >，即函数()F x 在(0,1)单调递减，在(1,)+∞单调递增，-------------------------------------------3分∴函数()F x 在1x =处有极小值，∴()F x 极小1ln11=-=.----------------------------------------------------4分（2）解法1：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴1'()cos(1)0G x a x x =--≤在(0,1)上恒成立1cos(1)a x x ⇔≤-在(0,1)上恒成立5分设1()cos(1)H x x x =-，则 ()()()()()2222cos 1sin 1sin 1cos 1'()cos (1)cos (1)x x x x x x H x x x x x -------==-- -------7分当()0,1x ∈时，()sin 10x -<，()cos 10x ->所以'()0H x <在()0,1上恒成立，即函数()H x 在()0,1上单调递减，----------8分∴当()0,1x ∈时，()(1)1H x H >=，∴1a ≤.---------------------------------------------------------------9分[解法2：∵函数()(sin(1))()G x f x g x =--=sin(1)ln a x x --在区间(0,1)上为减函数 ∴对(0,1)x ∀∈ ，1'()cos(1)0G x a x x =--≤-----------（*）恒成立，-------5分 ∵(0,1)x ∈，∴cos(1)0x ->，当0a ≤时，（*）式显然成立；-----------------------------------------------6分当0a >时，（*）式⇔1cos(1)x x a≥-在(0,1)上恒成立，设()cos(1)h x x x =-，易知()h x 在(0,1)上单调递增，-----------------------7分 ∴()(1)1h x h <=， ∴11a≥01a ⇒<≤，-------------------------------------------------8分综上得(,1]a ∈-∞.--------------------------------------------------------9分]（3）由（2）知，当1a =时，()sin(1)ln G x x x =--(1)0G >=,sin(1)ln x x ⇒->1sin(1)ln x x⇒-<，--------------------②----------------10分 ∵对k N *∀∈有(0,1)1k k ∈+，在②式中令1k x k =+得11sin(1)sin ln 11k k k k k+-=<++，-------------------12分 ∴11131sin sin sin ln 2ln ln 2312n n n++++<++++ 341ln(2)ln(1)23n n n+=⋅⋅⋅=+，即11sin ln(1)1n k n k =<++∑．--------------------------------------------------14分。

湖南省长沙市一中学高三数学第六次月考文新人教A版

湖南省长沙市一中学高三数学第六次月考文新人教A 版【会员独享】(考试范围：集合、逻辑用语、算法、函数、导数、三角函数、立体几何、平面向量、复数、数列、不等式、概率统计、解析几何)本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共8页。

时量120分钟。

满分150分。

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若A ＝{x |x ＋1>0}，B ＝{x |x －3<0}，x ∈Z ，则A ∩B ＝ A.{1,2} B.{0,1,2} C.{1,2,3} D.{0,1,2,3}2.一组实验数据如下表，与两个变量之间的关系最接近的是下列关系式中的t 1.02 1.99 3.01 4.00 5.10 6.12 V 0.01 1.50 4.04 7.50 12.09 18.01A.V ＝log 2tB.V ＝－log 2tC.V ＝12(t 2－1) D.V ＝2t －23.已知α、β是不同的两个平面，直线a ⊂α，直线b ⊂β.命题p ：a 与b 没有公共点；命题q ：α∥β，则p 是q 的A.充要条件B.必要不充分条件C.充分不必要条件D.既不充分也不必要条件4.直线x sin2－y cos2＝0的倾斜角的大小是A.－12B.－2C.12 D.25.在一次运动员的选拔中，测得到7名选手身高(单位：cm )分布的茎叶图如图.已知记录的平均身高为177cm ，但有一名候选人的身高记录不清楚，其末位数记为x ，那么x 的值为A.5B.6C.7D.86.执行如图所示的程序框图，若输出的n ＝6，则输入整数p 的最大值是 A.32 B.31 C.15 D.167.设双曲线x 2a 2- y 2b 2＝1(a>0，b>0)的离心率为54，抛物线y 2＝20x 的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为A.x 24－y 23＝1B.x 23－y 24＝1 C.x 216－y 29＝1 D.x 29－y 216＝1 8.已知实系数一元二次方程x 2＋(1＋a )x ＋a ＋b ＋1＝0的两个实根为x 1、x 2，满足0<x 1<2，x 2>2.则ba －1的取值范围是A.(－1，－13) B.(－3，－1)C.(－3，－12)D.(－3，12)二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分，把答案填在答题卡中对应题号后的横线上.9.sin45°cos15°＋cos45°sin15°的值为 .10.若＝ad －bc ，则复数＝ .11.函数y ＝2cos 2x2－1的最小正周期是 .12.若直线l ：y ＋1＝k (x －2)被圆C ：x 2＋y 2－2x －24＝0截得的弦AB 最短，则直线AB 的方程是 .13.有一个底面圆半径为1、高为2的圆柱，点O 为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P ，则点P 到点O 的距离大于1的概率为 .14.已知向量a ＝(3,4)，|a －b |＝1，则|b |的范围是 .15.某同学在研究函数f (x )＝x1＋|x |(x ∈R )时，分别给出下面几个结论：①等式f (－x )＋f (x )＝0对x ∈R 恒成立； ②函数f (x )的值域为(－1,1)；③若x 1≠x 2，则一定有f (x 1)≠f (x 2)；④函数g (x )＝f (x )－x 在R 上有三个零点.其中正确结论的序号有 .(请将你认为正确的结论的序号都填上)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.16.(本小题满分12分)在△ABC 中，角A 、B 、C 的对应边分别为a ，b ，c ，且满足a 2－ab ＋b 2＝c 2. (1)求角C ；(2)若△ABC 的面积为3，c ＝2，求a ＋b 的值.17.(本小题满分12分)如图，边长为2的等边△PCD 所在的平面垂直于矩形ABCD 所在的平面，BC ＝22，E 、M 分别是DC 、BC 的中点.(1)证明：AM ⊥面PME ；(2)求二面角P —AM —D 的大小.18.(本小题满分12分)已知：△ABC 为直角三角形，∠C 为直角，A (0，－8)，顶点C 在x 轴上运动，M 在y 轴上，AM ＝12(AB ＋AC )，设B 的运动轨迹为曲线E .19.(本小题满分13分)统计某校高三年级100名学生的数学月考成绩，得到样本频率分布直方图如下图所示，已知前4组的频数分别是等比数列{}a n 的前4项，后6组的频数分别是等差数列{}b n 的前6项，(1)求数列{}a n 、{}b n 的通项公式；(2)设m 、n 为该校学生的数学月考成绩，且已知m 、n ∈[)70，80∪[]140，150，求事件“||m －n >10”的概率.20.(本小题满分13分)为了加快经济的发展，某省选择A、B两城市作为龙头带动周边城市的发展，决定在A、B两城市的周边修建城际轻轨，假设10km为一个单位距离，A、B两城市相距8个单位距离，设城际轻轨所在的曲线为E，使轻轨E上的点到A、B两市的距离之和为10个单位距离，(1)建立如图的直角坐标系，求城际轻轨所在曲线E的方程；(2)若要在曲线E上建一个加油站M与一个收费站N，使M、N、B三点在一条直线上，并且AM＋AN＝12个单位距离，求M、N之间的距离有多少个单位距离？(3)在A、B两城市之间有一条与AB所在直线成45°的笔直公路l，直线l与曲线E交于P，Q两点，求四边形P AQB的面积的最大值.21.(本小题满分13分)定义在D上的函数f(x)，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有f(x)≥M成立，则称f()x是D上的有界函数，其中M称为函数f()x的下界.已知函数f(x)＝(x2－3x＋3)·e x，其定义域为[－2，t](t>－2)，设f(－2)＝m，f(t)＝n.(1)试确定t的取值范围，使得函数f(x)在[－2，t]上为单调递增函数；(2)试判断m，n的大小，并说明理由；并判断函数f()x在定义域上是否为有界函数，请说明理由；(3)求证：对于任意的t>－2，总存在x0∈(－2，t)满足f′(x0)e x0＝23(t－1)2，并确定这样的x0的个数.文科数学参考答案三、解答题16.解：(1)由cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝12，∴C ＝π3.(5分)(2)由S ＝12ab sin C ＝3，ab ＝4，(8分)故a 2＋b 2＝8，故a ＋b ＝(a ＋b)2＝a 2＋2ab ＋b 2＝8＋8＝4.(12分)17.解：(1)连接EA ，∵△PCD 为正三角形，∴PE ⊥CD ，∵平面PCD ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥平面ABCD ，∴PE ⊥AM.(3分)∵四边形ABCD 是矩形，∴△ADE 、△ECM 、△ABM 均为直角三角形，由勾股定理可求得EM ＝3，AM ＝6， AE ＝3，∴EM 2＋AM 2＝AE 2，∴∠AME ＝90°，∴AM ⊥EM.(4分) 又EM∩PE ＝E ，∴AM ⊥面PME.(6分)(2)∵AM ⊥平面PME ，∴PM ⊥AM ，∴∠PME 是二面角P —AM —D 的平面角， PE ＝PD sin 60°＝3，∴tan ∠PME ＝PE EM ＝33＝1，∴∠PME ＝45°，∴二面角P —AM —D 为45°.(12分)18.解：(1)由AM ＝12(AB ＋AC )，知M 为BC 中点，(2分)设B(x ，y)则M(0，y2)，C(－x,0).(4分)又∠C 为直角，故CB ·CA ＝0，∴x 2＝4y(5分) B 的运动轨迹曲线E 的方程为x 2＝4y.(x≠0)(6分) (2)∵QP ＝PN ，∴点P 是线段QN 的中点，设Q(x 1，y 1)、N(x 2，y 2)，线段QN 的中点P(2,4)，设l ：y －4＝k(x －2)方法一：则x 21＝4y 1，① x 22＝4y 2，②①－②得：4y 1－4y 2＝(x 1－x 2)(x 1＋x 2)，(8分) ∴直线l 的斜率为k ＝y 1－y 2x 1－x 2＝14(x 1＋x 2)＝1.(11分)方法二：由{y －4＝k(x －2)x 2＝4y ，消去y 得x 2－4kx ＋8k －16＝0，(*) 方程(*)中Δ＝16(k 2－2k ＋4)>0，显然方程(*)有两个不相等的实数根.(8分) 由x 1＋x 2＝4k ＝4⇒k ＝1.(11分)所以直线l 的方程为x －y ＋2＝0.(12分)19.解：(1)由已知：第2组的频数为3，第3组的频数为9，又前4组的频数是等比数列，所以a n ＝3n －1，(3分)又第4组的频数为27，后6组是首项为27，和是87的等差数列，所以b n ＝－5n ＋32.(6分)(2)由(1)知成绩在[)70，80中的有3人，成绩在[]140，150中的有2人，分别记为：a 1，a 2，a 3和b 1，b 2，由||m －n >10知，这两人必来自两个不同的组，(8分)所以事件“||m －n >10”的概率为35.(13分)20.解：(1)以AB 为x 轴，以AB 中点为原点O 建立直角坐标系.设曲线E 上点P(x ，y)，∵|PA|＋|PB|＝10＞||AB ＝8∴动点轨迹为椭圆，且a ＝5，c ＝4，从而b ＝3.∴曲线E 的方程为x 225＋y 29＝1.(4分)(2)由|AM|＋|AN|＋|BM|＋|BN|＝20，|AM|＋|AN|＝12，所以|MN|＝8.(8分)(3)将y ＝x ＋t 代入x 225＋y 29＝1，得34y 2－18ty ＋9t 2－25×9＝0.设P(x 1，y 1)、Q(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝9t17，y 1y 2＝9t 2－25×934.||y 1－y 2＝(y 1＋y 2)2－4y 1y 2＝11750×9×17－9×25t 2，S ＝S △ABP ＋S △ABQ ＝12AB·||y 1－y 2＝83450×9×17－9×25t 2，所以当t ＝0时，面积最大是601734，此时直线为l ：y ＝x.(13分)21.解：(1)f′(x)＝(x 2－3x ＋3)·e x ＋(2x －3)·e x ＝x(x －1)·e x .由f′(x)>0⇒x>1或x<0；由f′(x)<0⇒0<x<1，所以f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减，要使f(x)在[－2，t]上为单调递增函数，则－2<t ≤0.(4分) (2)n>m.因为f(x)在(－∞，0]，[1，＋∞)上单调递增，在[0,1]上单调递减，所以f(x)在x ＝1处取极小值e .又f(－2)＝13e2<e ，所以f(x)在[－2，＋∞)上的最小值为f(－2)，从而当t>－2时，f(－2)<f(t)，即m<n.(6分)由上知，因为f(x)在()－∞，0上递增，且恒大于0，f(x)在(0，＋∞)的最小值为e ，所以函数f ()x 在(－∞，＋∞)上是有界函数，M ＝0.(8分)(3)因为f′(x 0)e x 0＝x 20－x 0，所以f′(x 0)e x 0＝23(t －1)2，即为x 20－x 0＝23(t －1)2. 令g(x)＝x 2－x －23(t －1)2，从而问题转化为证明方程g(x)＝x 2－x －23(t －1)2＝0在(－2，t)上有解，并讨论解的个数. 因为g(－2)＝6－23(t －1)2＝－23(t ＋2)(t －4)，g(t)＝t(t －1)－23(t －1)2＝13(t ＋2)(t －1)，所以①当t>4或－2<t<1时，g(－2)·g(t)<0，所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且只有一解；②当1<t<4时，g(－2)>0且g(t)>0，但由于g(0)＝－23(t －1)2<0，所以g(x)＝0在(－2，t)上有解，且有两解；(10分) ③当t ＝1时，g(x)＝x 2－x ＝0⇒x ＝0或x ＝1，所以g(x)＝0在(－2，t)上有且只有一解；(11分) ④当t ＝4时，g(x)＝x 2－x －6＝0⇒x ＝－2或x ＝3，所以g(x)＝0在(－2,4)上有且只有一解.(12分)综上所述，对于任意t>－2，总存在x 0∈(－2，t)，满足f′(x 0)xx 0＝23(t －1)2，且当t ≥4或－2<t ≤1时，有唯一的x 0符合题意；当1<t<4时，有两个x 0符合题意.(13分)。

湖南长沙同升湖实验学校高三文科数学提高系列2

高中数学学习材料金戈铁骑整理制作2015文科数学提高系列（二）一、选择题1．已知D 为ABC ∆的边BC 的中点，ABC ∆所在平面内有一个点P ，满足P A P B P C =+，则||||PD AD 的值为（A ）13（B ）12（C ）1 （D ）22．设集合(){}{}12345,,,,1,0,1,1,2,3,4,5iA x x x x x x i =∈-=，那么集合A 中满足条件“1234513x x x x x ≤++++≤”的元素个数为（）A.60B.90C.120D.130 3．已知复数i a z 21+=，i z 212-=，若21z z 是纯虚数，则实数a 的值为（） A. 2- B. 1 C. 2 D. 44．已知抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上任意一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，||4PF =，则直线AF 的倾斜角等于（）A.712π B.23π C.34π D.56π 5．已知P(x,y)为区域2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩内的任意一点，当该区域的面积为4时，z=2x-y 的最大值是( )A ．6B ．0C ．2D ．226．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为正视图侧视图俯视图A ．π312B ．π12C ．π34D ．π3 二、填空题7．在等差数列{}n a 中，已知2811a a +=，则3113a a +的值为______.8．已知）（x f 是以2为周期的偶函数，当[0,1]x ∈时，()f x x =，那么在区间[1,3]-内，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根，则k 的取值范围是．9．在极坐标系中，圆24cos 30ρρθ-+=上的动点P 到直线()3R πθρ=∈的距离最小值是．三、解答题 10．（本小题满分12分）已知在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是矩形，且2AD =，1AB =，PA ⊥平面ABCD ，E 、F 分别是线段AB 、BC 的中点. （1）证明：PF FD ⊥；（2）判断并说明PA 上是否存在点G ，使得//EG 平面PFD ？若存在，求出PGPA的值；若不存在，请说明理由.11．（本题满分14分）已知{}n a 是递增的等差数列，21242,8a a a ==+．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若2n an n b a =+，求数列{}n b 的前n 项和S n ．PDCBAg FE12．已知焦点在x 轴上的椭圆)0(12222>>=+b a b y a x ，焦距为32，长轴长为4. （1）求椭圆的标准方程；（2）过点O 作两条互相垂直的射线，与椭圆交于,A B 两点.①证明：点O 到直线AB 的距离为定值，并求出这个定值； ②求的最小值AB .13．（本小题满分14分）已知函数()(0)tf x x x x =+>，过点(1,0)P 作曲线()y f x =的两条切线PM ，PN ，切点分别为M ，N ．（1）当2t =时，求函数()f x 的单调递增区间；（2）设()g t MN=，求函数()g t 的表达式；（3）在（2）的条件下，若对任意的正整数n ，在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦内，总存在1m +个数121,,,,,m m a a a a +使得不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，求m 的最大值．参考答案 1．C 【解析】试题分析：由已知及PA PB PC =+得PD PA 2=，故D A P ,,三点共线且D 为PA 的中点，||||PD AD =1 考点：向量几何意义【答案】D 【解析】试题分析：分以下三种情况讨论，（1）123451x x x x x ++++=，则上述五个数中有一个为1或1-，其余四个数为零，此时集合A 有1152C C10=个元素；（2）123452x x x x x ++++=，则上述五个数中有两个数为1或1-，其余三个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有224=中，此时集合A 有25440C =个；（3）123453x x x x x ++++=，则上述五个数中有三个数为1或1-，其余两个数为零，其中这两个数的所有可能搭配有328=中，此时集合A 有35880C =个；综上所述，集合A 共有104080130++=个元素.故选D. 【考点定位】本题考查分类计数原理，属于较难题. 3．D 【解析】试题分析：()()122(12)2(4)(22)1212(12)5a i i z a i a a iz i i i +++-++===--+,又因为21z z 是纯虚数，所以40a -=，即4a =，故选D.考点：复数相关概念及运算. 4．B. 【解析】试题分析：设11(,)P x y ，由题意得，(1,0)F ，∴11||143PF x x =+=⇒=，∴123y =，∴(1,23)A -，230311AF k -==---，∴倾斜角为23π.考点：1.抛物线的性质；2.直线的倾斜角与斜率.5．A 【解析】试题分析：由2200y x x a⎧-≤⎨≤≤⎩作出可行域，如图，由图可得，(,)A a a -，(,)B a a ，由1242AOB S a a ∆=⨯⨯=，得2a =，∴(2,2)A -，化目标函数2z x y =-为2y x z =-，∴当2y x z =-过A 点时，z 最大，max 22(2)6z =⨯--=．考点：线性规划． 6．D 【解析】试题分析：由三视图可知，该几何体为四棱锥，侧棱垂直底面，底面是正方形，将此四棱锥还原为正方体，则正方体的体对角线即外接球的直径，32=r ，23=∴r ，因此ππ342==r S 表面积，故答案为D. 考点：由三视图求外接球的表面积. 7．22 【解析】试题分析：因为28511211a a a +=⇒=，所以31153422.a a a +==考点：等差数列性质 8．1,03⎛⎫- ⎪⎝⎭．【解析】令1++=k kx y ，则化为)1(1+=-x k y ，即直线1++=k kx y 恒过)1,1(-M ；根据题意，画出[]3,1),(-∈=x x f y 的图像与直线1++=k kx y ；由图像，可知当直线介于直线MA 与MB 之间时，关于x 的方程()1f x kx k =++（k R ∈且1k ≠-）有4个不同的根；又因为0=MA k ,31-=MB k ,所以031<<-k ．考点：函数的性质、直线与曲线的位置关系． 9．31- 【解析】试题解析：圆24cos 30ρρθ-+= 和直线()3R πθθ=∈直角坐标方程分别是()2221,3x y y x -+==,圆心（2,0）到直线30x y -=距离3d = 所以最小值是31-．考点：考查直线和圆的极坐标方程，位置关系．点评：把直线和圆的极坐标方程转化为直角坐标方程是解本题的关键，利用圆心到直线的距离减半径为点到直线距离的最小值求出最小值． 10．（1）详见解析；（2）存在，34PG PA =. 【解析】试题分析：（1）首先根据条件中的数据说明AF DF ⊥，再由PA DF ⊥，再由线面垂直的判定可得DF ⊥平面PAF ，从而PF FD ⊥得证；（2）过点E 作//EH FD 交AD于点H ，则//EH 平面PFD ，且14AH A D =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，从而平面//GEH 平面PFD ，EG ⊂平面GEH ，即可得出结论. 试题解析：（1）连结AF ，∵底面ABCD 是矩形，2AD =，1AB =，F 是线段BC 的中点， ∴2AF DF ==，∴222AF DF AD +=，∴AF DF ⊥，又∵PA ⊥平面ABCD ，DF ⊂平面ABCD ，∴PA DF ⊥，又∵PA AF A =，∴DF ⊥平面PAF ，PF ⊂平面PAF ，∴PF FD ⊥；（2）取AD 的中点O ，连结OB ，则//OB FD ，过点E 作//EH FD 交AD 于点H ，则//EH 平面PFD ，∵E 为AB 的中点，∴14AH AD =，再过点H 作//HG DP 交PA 于点G ，则//HG PFD 且14AG AP =，又∵EG EH H =，∴平面//GEH 平面PFD ，∵EG ⊂平面GEH ，∴//EG 平面PFD ，从而确定点G 的位置，34PG PA =.考点：1.线面垂直的判定与性质；2.面面平行的判定与性质.11．（1）n a n 2=;（2）)1(3441++-+n n n ．【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差为d ，整理成关于d 的方程进行求解；（2）由（1）求出n b ，再利用等比、差数列的求和公式进行分组求和．试题解析：（1）设等差数列的公差为d ，0>d ．由题意得，832)2(2++=+d d ，)2)(3(62-+=-+d d d d ,得2=d ；故n n a n 2)1(22=-+=；（2）n n b nnn 24222+=+=，则)1(3442)22(41)41(41++-=++--=+n n n n S n n n 考点：1．等差数列；2．等比数列；3．分组求和．12．（1）2214x y +=；（2）①552=d ;②455. 【解析】试题分析：（1）根据题意知：222223,24,c a a b c ===+联立解得,,a b c 的值，进而求得椭圆的方程；（2）①根据题意对直线AB 按斜率存在与不存在两种情况，当斜率不存在时，AOB ∆为等腰直角三角形，很易得到点O 到直线AB 的距离；当直线AB 的斜率不存在时，设直线AB 的方程为：y kx m =+，联立椭圆方程消去y ，根据韦达定理得到12x x +和12x x ⋅代入OA OB ⊥即：02121=+y y x x 得到m 和k 的关系，利用点到直线的距离公式，得到点O 到直线AB 的距离，进而得到两种情况下，点O 到直线AB 的距离为定值;②因为OB OA AB d ⋅=⋅，及勾股定理222OA OB AB +=,再利用基本不等式，得到AB 的最小值. 试题解析：（1） 223,24c a ==2,3a c ==2221b a c =-=所以椭圆的标准方程为2214x y +=（2）（ⅰ）设),(),,(2211y x B y x A ,① 当直线AB 的斜率不存在时，则AO B ∆为等腰直角三角形，不妨设直线OA ：x y =将x y =代入1422=+y x ，解得552±=x 所以点O 到直线AB 的距离为552=d ； ② 当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为m kx y +=，代入椭圆2214xy +=联立消去y 得：222(14)8440k x kmx m +++-=122814km x x k +=-+，21224414m x x k -=+因为OB OA ⊥，所以02121=+y y x x ，1212()()0x x kx m kx m +++=即0)()1(221212=++++m x x km x x k 所以2222222448(1)01414m k m k m k k -+-+=++，整理得2254(1)m k =+，所以点O 到直线AB 的距离21m d k =+255=综上可知点O 到直线AB 的距离为定值552（ⅱ）在Rt AOB ∆中，因为OB OA AB d ⋅=⋅ 又因为OB OA ⋅2≤222AB OBOA =+，所以2AB ≥AB d ⋅2所以AB ≥4525AB d ≥=，当OB OA =时取等号，即AB 的最小值是455考点：1.椭圆的标准方程；2.韦达定理.13．（1）)2,⎡+∞⎣；（2）2()2020g t t t =+；（3）6.【解析】试题分析：本题主要考查导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力. 第一问，对()f x 求导，利用'()0f x >，解不等式结合函数的定义域，求出函数的单调递增区间；第二问，设出点M 、N 的横坐标，利用导数，写出切线PM 和切线PN 的直线方程，由于它们都过点(1,0)P ，所以整理出两个表达式，由于两个表达式形式一样，所以可以看出，1x 和2x 是方程220x tx t +-=的根，利用韦达定理得到12x x +和12x x ，代入到||MN 中，即得到()g t 的关系式；第三问，结合第二问判断出()g t 在64[2,]n n+上为增函数，将不等式121()()()()m m g a g a g a g a ++++<成立，转化为64(2)()mg g n n <+恒成立，整理表达式，转化为216464[()()]6m n n n n<+++恒成立，利用均值不等式变形得到结论.试题解析：（1）当2t =时，2(),f x x x =+22222()10x f x x x -'=-=>解得(,2)(2,)x ∈-∞-+∞.∵0x >∴函数()f x 有单调递增区间为)2,⎡+∞⎣（2）设M ，N 两点的横坐标分别为1x 、2x ，2()1tf x x '=-∴切线PM 的方程为：11211()(1)().t ty x x x x x -+=-- ∴切线PM 过点(1,0)P ，所以有112110()(1)(1).t tx x x x -+=--即21120.x tx t +-= ① 同理，由切线PN 过点(1,0)P ，，得22220.x tx t +-= ② 由（1）、（2），可得12,x x 是方程220x tx t +-=的两根，12122.x x t x x t +=-⎧∴⎨⋅=-⎩ ③22221212121212||()()()[1(1)]t t t MN x x x x x x x x x x =-++--=-+-22121212[()4][1(1)]t x x x x x x =+-+-把③式代入，得2||2020,MN t t =+因此，函数()g t 的表达式为2()2020g t t t =+ （3）易知()g t 在区间642,n n ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦上为增函数， (2)()(1,2,,1).i g g a i m ∴≤=+则12(2)()()().m m g g a g a g a ⋅≤+++ 121()()()()m m g a g a g a g a ++++<n ∀恒成立，所以不等式64(2)()m g g n n ⋅<+n ∀恒成立， 22646420220220()20(),m n n n n ⨯+⨯<+++ 即216464[()()]6m n n n n <+++n ∀恒成立，226416464113616,[()()][1616].663n n n n n n +≥∴+++≥+=1363m ∴<，由于m 为正整数，6m ∴≤.又当6m =，存在1212,16,m m a a a a +=====任意的正整数n 满足条件 ∴m 的最大值为6.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求曲线的切线、均值定理.。

湖南长沙同升湖实验学校高三高考文数沙盘演习3.docx

2 113 3正视图侧视图俯视图21高中数学学习材料唐玲出品长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（三）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{0,1,2},{|20}A B x x ==-<，则AB = （）A ．{}0,2B ．{}0,1C ．{}1,2D ．{}0,1,2 2．若函数()y f x =是函数2xy =的反函数，则(2)f = （）A ．1B ．2C ．1-D ．0 3．已知点(1,1)A ，(4,2)B 和向量a (2,)λ=，若a //AB ，则实数λ的值为（） A ．32-B ．23C ．32D ．23-4．已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，则456a a a ++= （） A ．45 B ．43 C ． 40 D ．42 5．下列函数中周期为π且为偶函数的是（） A ．cos 22()y x π=- B ．sin 22()y x π=+C ．(sin 2)y x π=+D ．(cos 2)y x π=- 6．已知某几何体的三视图如上图所示，则该几何体的体积为 ( ) A ．12 B ．1 C ．32D ．3 7．已知椭圆与双曲线221412x y -=的焦点相同，且椭圆上任意一点到两焦点的距离之和为10，那么椭圆的离心率等于 ( )OEDCB AA ．35B ．45C ．54D ．348．执行如图的程序框图，输出的T = （）A ．30B ．25C ．20D ．129．若变量x ，y 满足约束条件280403x y x y +≤⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩，则2z x y =+的最大值等于（）A ．7B ．8C ．11D ．1010. 若直角坐标平面内的两个不同点P 、Q 满足条件：①P 、Q 都在函数()y f x =的图像上；②P 、Q 关于原点对称，则称点对[,]P Q 是函数()y f x =的一对“友好点对”（注：点对[,]P Q 与[,]Q P 看作同一对“友好点对”）．已知函数()f x =21(),024,0xx x x x ⎧>⎪⎨⎪--≤⎩，则此函数的“友好点对”有（）对． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3二、填空题：本大题共5小题，分为必做题和选做题两部分．每小题5分，满分20分．（一）必做题：第11至13题为必做题，每道试题考生都必须作答． 11．计算：(1i)(12i)+-= ．（i 为虚数单位）12．函数32()34f x x x =-+在x = 处取得极小值.13．设0,0a b >>，若2是2a 与2b 的等比中项，则11a b+的最小值为．（二）选做题：第14、15题为选做题，考生只选做其中一题，两题全答的，只计前一题的得分．14．（坐标系与参数方程选做题）在极坐标系中，圆θρsin 4=的圆心到直线)(3R ∈=θπθ 的距离是 .15．（几何证明选做题）如图，AB 是圆O 的直径，点C 在圆O 上，延长BC 到D 使CD BC =，过C 作圆O 的切线交AD 于E . 若8=AB ，4=DC ，则DE = .O19题图181716151413秒频率组距0.060.080.160.320.38三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16.（本小题满分12分）已知函数()sin()6f x A x πω=+(0,0)A ω>>的最小正周期为6T π=，且(2)2f π=.(1) 求()f x 的表达式； (2) 设,[0,]2παβ∈，16(3)5f απ+=，520(3)213f πβ+=-，求cos()αβ-的值.17.（本小题满分12分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)，…，第五组[]17,18，下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．(1) 根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的平均值；(2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩，求这两个成绩的差的绝对值大于1的概率.18．（本小题满分14分）如图所示，在所有棱长都为2a 的三棱柱111ABC A B C -中，侧棱1AA ABC ⊥底面，D 点为棱AB 的中点．(1)求证：1AC ∥平面1CDB ； (2)求四棱锥111C ADB A -的体积．19．（本小题满分14分）若正项数列{}n a 的前n 项和为n S ，首项11a =，点()1,n n PS S +（*n N ∈）在曲线2(1)y x =+上.ABCD A 1B 1C 1(1)求数列{}n a 的通项公式n a ； (2)设11n n n b a a +=⋅，n T 表示数列{}n b 的前n 项和，求证：12n T <.20.（本小题满分14分）已知椭圆的中心在原点，焦点在x 轴上，离心率为32，且经过点(4,1)M . 直线:l y x m =+交椭圆于不同的两点,A B .(1)求椭圆的方程； (2)求m 的取值范围；(3)若直线l 不过点M ，求证：直线,MA MB 与x 轴围成一个等腰三角形.21.（本小题满分14分）已知a R ∈，函数3()42f x x ax a =-+．(1)求()f x 的单调区间；(2)证明：当01x ≤≤时，()20f x a +->．长沙同升湖实验学校2015届文科数学沙盘演习（三）答卷班级：姓名：学号：成绩：一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题11、12、13、14(15)、三、解答题16、（本题12分）17、（本题12分）18、（本题14分）19、（本题14分）AB CDA1B1 C120、（本题14分）21、（本题14分）yxO一、选择1．B 【解析】试题分析：由题根据集合{}2B x x =<，不难求得A,B 的交集；由题{}0,1AB =2．A 【解析】试题分析：根据互为反函数的两个函数间的关系，原函数中22x y ==时，1x =，故反函数中当2x =时1y =，即(2)1f =3．C 【解析】试题分析：根据A 、B 两点的坐标可得AB ＝（3，1），∵a ∥AB ，∴2130λ⨯-=，解得23λ=4．D 【解析】试题分析：2311113,213,23a a a d a d a d +=∴+++==∴=，45613123212342a a a a d ++=+=⨯+⨯=5．B 【解析】试题分析：由于周期为π，故排除C,D ；又由于是偶函数，而选项A ，函数cos 2(sin 2)2y x x π==-，故排除A ，又选项B ，sin 2()cos 22y x x π==+是偶函数6．C 解析:由三视图易知，该几何体是底面积为32，高为3的三棱锥，由锥体的体积公式得1333322V =⨯⨯=7．B 【解析】5a =，4124c =+=，45e =8．A 【解析】由题意可知，第一次循环S=5，n=2，T=2，不满足T>S ；第二次循环，S=10，n=4，T=2+4=6，不满足T>S ；第三次循环，S=15，n=6，T=12，不满足T>S ；第四次循环，S=20，n=8，T=20，不满足T>S ；第五次循环，S=25，n=10，T=30，满足T>S ；结束，此时T=30，故选A9．D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分，2z x y =+表示斜率为2-的直线系，z 表示直线在y 轴上的截距，由图象可知当直线过B 点时z 取得最大值，最大值为24210z =⨯+=题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 BACDBCBADBOEDCBAdox10．B 【解析】根据题意可知只须作出函数1()2xy =(0)x >的图象关于原点对称的图象，确定它与函数24(0)y x x x =--≤交点个数即可,由图象可知，只有一个交点．二．填空题11．3i - 12． 2 13． 4 14． 1 15． 211．【解析】因为2(1i)(12i)1223i i i i +-=-+-=-.12．【解析】由2()360f x x x '=-=得：02x x ==或，列表得：x(,0)-∞0 (0,2)2 (2,)+∞()f x ' +_0 +()f x↗ 极大值 ↘极小值↗所以在=2x 处取得极小值.13．【解析】由题意知2(2)221a ba b =⋅⇒+=，又0,0a b >>，所以1111()()1b a b a b a b a +=++=+124a b a b a b ++≥⋅=，所以11a b+的最小值为4.14．【解析】如下图:2sin16d π=⨯= .15. 【解析】如下图:CDE ABC ∆∆~，得8424AB BC DE DC DE DE=⇒=⇒=.三．解答题16. （本小题满分12分）解：(1)依题意得2π2π1==T 6π3ω=，∴x πf(x)=Asin(+)36， ……………………2分由(2)2f π=，得2ππAsin(+)=236，即5πAsin =26，∴4A =, ……………………4分∴()4sin()36x f x π=+ ……………………5分(2) 由16f(3α+π)=5，得1π164sin[(3α+π)+)]=365，即π164sin(α+)=25，4cos 5α=， ……………………6分又∵πα[0]2∈，，∴3sin 5α=， ……………………7分由5π20f(3+)=213β-，得15ππ204sin[(3+)+)]=32613β-，即5sin(+π)=13β-，∴5sin β13=， ……………………9分又∵πβ[0]2∈，，∴12cos β13=， ……………………10分cos()cos cos sin sin αβαβαβ-=+412356351351365=⨯+⨯=…………12分17．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为13.50.0614.50.1615.50.3816.50.3217.50.08x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯0.81 2.32 5.89 5.28 1.4=++++7.15= ……………………… 5分（Ⅱ）由频率分布直方图知，成绩在[13,14)的人数为500.063⨯=人，设为x 、y 、z ；成绩在[17,18) 的人数为500.084⨯=人，设为A 、B 、C 、D …………6分若,[13,14)m n ∈时，有,,xy xz yz 3种情况； ……………………7分若,[17,18)m n ∈时，有,,,,,AB AC AD BC BD CD 6种情况； ……………………8分若,m n 分别在[13,14)和[17,18)内时， A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD zzAzBzCzD共有12种情况. ……………………10分所以基本事件总数为21种，事件“||1m n ->”所包含的基本事件个数有12种。

高三数学第六次月考试题文实验班

湖南省衡阳市2017届高三数学第六次月考试文(实验班)注意事项:1.本卷为衡阳八中高三年级实验班第六次月考试卷，分两卷。

其中共23题，满分150分，考试时间为120分钟。

2.考生领取到试卷后，应检查试卷是否有缺页漏页，重影模糊等妨碍答题现彖，如有请立即向监考老师通报。

开考15分钟后，考生禁止入场，监考老师处理余卷。

3.请考生将答案填写在答题卡上，选择题部分请用2B铅笔填涂，非选择题部分请用黑色0. 5mm 签字笔书写。

考试结束后，试题卷与答题卡一并交回。

★预祝考生考试顺利★第I卷选择题(每题5分，共60分)本卷共12题，每题5分，共60分，在每题后面所给的四个选项中，只有一个是正确的。

1.已知集合A={x x2-2x-3<0}, B={x y=ln (2-x) },贝ij AAB=( )A. (1, 3)B. (1, 3]C.上恰有两个不同零点，求实数a的取值范围；(3)是否存在实数m,使函数f(X)和函数h (x)在公共左义域上具有相同的单调性？若存在，求出m的值，若不存在，说明理由.【选做题】请考生从22、23题中任选一题作答，共10分22.选修4-4.坐标系与参数方程在直角坐标系xOy中，直线1的方程为x - y+4=0，曲线C的参数方程为.严 .[y=smO-(1)已知在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位，且以原点0为极点，以x轴正半轴为极轴)中，点P的极坐标为(4,—判断点P与直线1的位置关系；(2)设点Q是曲线C上的一个动点，求它到直线1的距离的最小值.23.选修4-5.不等式选讲设函数 f (x)二x-a +5x.(1)当a二-1时，求不等式f (x) W5x+3的解集；(2)若x2 - 1时有f(X)20,求a的取值范围.衡阳八中2017届髙三实验班第六次月考文数参考答案题号 1 2 3 1 5 6 7 8 9 TO11 12 答案 C C C A B A B B A BA D13. 1214. 1215. 1516. 16 n17.解：（I ）由齢1二2何+1，沪得％+i -片二隔+1,故陥1二（离+1）2, .°.Sn>0, :S 时］討S 讥+1, ・•・数列吋瓦｝是首项为瓯二1，公差为1的等差数列./.^=l + （n-l ）=n, .-.s n =n 2,・・・2 分当 nM2 时，a n =S n - S n _L = n 2- （n~ 1 ） 2=2n - 1, a ：二 1,…厶分又aFl 适合上式，•••3F2n - 1.…6分4/（1【）将 a n =2n - 1 代入 »二 ----- ，R a n a n+lh 二 4显 _ 拧i i _ i n-(2n-l)(2n+l) "4n 2- 1"(2旷1)(2说1)2 k 2n»l 2n+l T n =n4r (1气琲-寺+…1^7! ~2二)曲2身1…s 分VT n -na<0, A" na< 0, 2n+l 18.(I ) VPC 丄平而 ABCD, ACu 平而 ABCD,•••AC 丄 PC,TAB 二2, AD 二CD 二 1,•••AC 二 BC 二逅・•••AC'+BC ：二 ABS •••AC 丄 BC.Tn*•- 1+^T ■ 呂< 0・・・10分 V2n+1^3,0< 1 2n+l 1 2n+l /. aL>y.…丄分又BCu 平而PBC, PCu 平而PBC, BCnPC=C,•••AC丄平面PBC,又VACc平而EAC,•••平而EAC丄平而PBC. （6分）（II ）取BC的中点F,连接EF, AF,VE, F是PB, BC的中点，AEF/7PC,由PC丄平而ABCD,•••EF丄平而ABCD.A ZEAF为AE与平而ABCD所成角.即ZEAF=45°・2TE是PB的中点，'I -心令^AABC ■ EF吉 X 寺X V2 X A/~2X:'二^^（分）（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是石匸需亦冷？50+150+100 50所以样本中包含三个年级的个体数量分别是50X-i-=l, 150X-i-=3, 100X-i-=2.bu b bu所以高一，高二，高三三个年级的学生被选取的人数分别为1, 3, 2. （6分）（2）设6件来自髙一，高二，高三三个地区的学生分别为：A： B：, B：, B5； C：, C c.则抽取的这2人构成的所有基本事件为：{A, B’}, {A% Bj, {A, B,}, {A, C：}, {A, C：}, {B” BJ, {B：, B,}, {B：, Cj, {B：, Cj, （B:,B s}, {B“ CJ, {B=, Cj, {B3,C I}, {B5, C3}, {G, C=},共15 个.每个人被抽到的机会均等，因此这些基本事件的岀现是等可能的.记事件D：“抽取的这2人来自相同年级”，则事件D包含的基本事件有{B” BJ, B,},他，B,}, {G，CJ,共4个.4 4所以P （D）二哇r,即这2人来自相同年级的概率为希.（12分）15 1520.（I）由题意知e-C-^s a2 - b==c:>a z即/岭护又寺仃刍■二1,3 a 4b可得十4, b2=3t2 2即有椭圆的方程为电-+—1；（4分）4 3（II）设A（Xit y：） , B （&, y2） >则p涪涉q（¥-浄馆分）由于以PQ为直径的圆经过坐标原点，所以丽♦在二0,即上丄乜+土2二0,4 3y=kx+rri今得（3+4k:） x:+8kmx+4 （m: - 3）=0,3x z Hy =12A=64mV - 16 （3+4k3）（m:-3） >0,化为3+4k3-m c>0.8km 4（ro2 - 3）,（7 分）Xi+x：=,, ? * X'X：二- 仃3+41/ 3+4 k 2yiy：= （kx：+m）（kx：+m） =k"XiX：+km （Xj+x：） +nf二Fxm+kin （Xi+x：） +m"二宀2罗）•畑（.伞）+上3卅-4宀3+4 k 23+4 k 23+4 k 2代入x: 2 +二!■■二o, EiPyjy2- -yx-j x2»（8分）得：.3宜二嚣）”二一壬」（亡屯,gm：-43+4 k 2辰3,4 3+4k /I AB | =Vl+k2^/（x1 + x2）2 - 4X1X2+F0到直线1的距离为d二,（10 分）△AB0的面积为把2m : - 4k-3代入上式得S A =V3. （12分） 21.（1）当 a 二0 时，f （x ） Mh （x ）在（1, +8）上恒成立，&卩：x 「・ mlnx^x - - x,mlnxWx,即：mW —在（1, +°°）上恒成立，lnx 因为子—在（1，+8）上的最小值为：e,lnx •'•mSe ・实数m 的取值范围：mWe （4分）（2）当呼2时，若函数k （X ）二f （X ）-h （x ）在上恰有两个不同零点，・即：k （x ） =x - 21nx - a,（3）假设存在实数m,使函数f （x ）和函数h （x ）任公共立义域上具有相同的单调性, 由图可知，只须函数f （X ）=x= - minx 在x 二寺处取得极小值即可.Vf （x ） =x : - minx•：f （x ） =2x - mX — f 将代入得：1 ~ 2m-0.x 2国鋁包/一〃+3） 3+4k 2 |m| Vl+k 2 1屁（4以- 1^+3）血 2 3+4k 2故存在实数m 冷,使函数f （x ）和函数h （x ）在公共定义域上具有相同的单调性.（12分）22.曲线C 的普通方程是弓-+ /二1，兀•••点P 的极坐标为（乳—）,7T 7T•••点P 的普通坐标为（4cos —, 4sin —）,即（0, 4）,把（0, 4）代入直线1： x ・y+4=0,得0・4+4二0,成立，故点P 在直线1上.（5分）（x"/3cos a（2） TQ 在曲线 C ： i ■宀上，（0°<360° ）y=smCt••• , sin□)到直线 1： x-y+4=0 的距离: ^~2~12sin(Q- + ® ) + 4 |» (0" WaV360。

湖南省长沙一中高三数学第六次月考试题(文科)

高三月考试卷（六）文科数学命题：长沙市一中高三数学备课组时量：120分钟满分：150分得分：一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．︒︒165cos 15sin 的值等于（）A ．41B ．41-C ．21D ．21-2．下列函数中既是奇函数，又在区间（0，1）上单调递增的是（）A ．xy )21(=B ．x y 21log =C ．y =sin xD ．y=x1 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若173a a +=10，则S 19的值为（）A ．95B ．100C ．115D ．1254．若点P 分有向线段AB 所成的比为1：3，则点B 分有向线段A P 所成的比为（）A ．43 B ．34C ．43-D ．34-5．已知a ),2,1(=b )2,3(-=，若k a +b 与a －3b 共线，则k 的值为（）A ．31B ．31-C ．－3D ．36．函数331)(x x x f -+=有（）A ．极小值－2，极大值2B ．极小值－2，极大值3C ．极小值－1，极大值1D ．极小值－1，极大值37．下列命题中，m ,n 表示两条不同的直线，α、β、γ表示三个不同的平面.①若n;m ,//,⊥⊥则ααn m ②若γβγ⊥⊥,a ，则βα//；③若α//,//n a m ，则n m //；④若γαγββα⊥⊥m ,,//,//则m .正确的命题是（）A ．①③B ．②③C ．①④D ．②④8．从a 、b 、c 、d 、e 五人中选1名组长，1名副组长，但a 不能当组长，b 不能当副组长，不同选法总数为（）A ．12B ．13C ．16D ．209．已知n n x b x b b x x x x n +++=++++++++ 1032)1()1()1()1(且+++321b b b …57=+n b ，则自然数n 等于（）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知A 、B 是两个定点，|AB |=4，点P 到A 、B 两点的距离之比为2，则点P 的轨迹是（）A ．半径为23的圆 B ．半径为2的圆 C ．半径为25的圆D ．半径为38的圆选择题答题卡二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。

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同升湖实验学校高三第六次月考文科数学试卷
时量：1 满分：150分
命题人：刘亮审题人：成俊杰
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 请将答案填在答卷中相应各题的空格内．
01、【】已知集合2{cos0,sin 270},{|0}A B x x x ==+=则A B 为
A ．{0,1}-
B ．{1,1}-
C ． {1}-
D ．{0}
02、【】在复平面内，复数0030sin 30cos i z +=（i 是虚数单位）对应的点位于
A 第一象限
B 第二象限
C 第三象限
D 第四象限
03、【】把函数sin(2)4y x π=-的图象向右平移8
π个单位，所得的图象对应的函数
A . 是奇函数
B . 是偶函数
C .既是奇函数又是偶函数
D . 是非奇非偶函数
04、【】为了了解某地区学生的身体情况，抽查了该地区10龄为高三男生
体重（kg ），得到频率分布直方图如下图，根据上图可得这100名学生中体重在［56.5，64.5］的学生人数是 A ． B ．30
C ．40
D ．50
05、【】等比数列}{n a 中,已知4,242-=-=a a ,则=6a
A. 6
B. 8-
C. 10
D. 16-
06、【】由直线1y x =+上的一点向圆22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为
A.1
B.
D.3
二、填空题（共7小题，每小题5分，共35分）请将答案填在答卷中相应各题的横线 09．函数()x x f +=1 的定义域为 .
10．命题:p 01,02
00≥++∈∃x x R x 的否定__________．
11. 输入5=x ,运行下面的程序之后得到y 等于_____。

Input x If 0<x then
)1()1(+*+=x x y
Else
)1()1(-*+=x x y
End if
Print y
End
12．已知α是第二象限的角，1
tan 2
α=-
，则cos α=__________。

13．.经过点(2,3)P -作圆2
2
(1)25x y ++=的弦AB ，使点P 为弦AB 的中点，则弦AB 所在直线方程为___________
14．一个正三角形的外接圆的半径为1，向该圆内随机投一点P ，点P 恰好落在正三角形外的概率是 .
15．已知ΔABC 中，A （0，1），B （2，4），C （6，1），P 为平面上任一点，点M 、N 分别使
)(3
1
,)(21PC ++=+=
，给出下列相关命题：①BC MN //；②直线MN 的方程是3x +10y -28=0；③直线MN 必过ΔABC 外心；④向量))((+∈+R λλ所在射线必过点N 。

上面四个选项中正确的是______。

（将正确的选项序号全填上）三、解答题（共6小题，共75分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤 16、（本小题满分12分）
设函数()sin cos f x m x x =+()x R ∈的图象经过点π
2
⎛⎫ ⎪⎝⎭
，1．（Ⅰ）求()y f x =的解析式，并求函数的最小正周期和最大值．（Ⅱ）
若(
)12
f A π
=，其中A
是面积为
2
的锐角ABC ∆的内角，且2AB =，求AC 的长．
17、（本小题满分12分）
设集合P={1，2，3}和Q={－1，1，2，3}，分别从集合P 和Q 中随机取一个数作为a
和b 组成数对（,)a b ，并构成函数
2
()41f x ax bx =-+．（Ⅰ）写出所有可能的数对（,)a b ，并计算b a >的概率；（Ⅱ）求函数()f x 在区间[),1+∞上是增函数的概率．
18、（本小题满分12分）
如图，三棱柱111ABC A B C -，1A A ⊥底面ABC ，且ABC ∆为正三角形，
16A A AB ==，D 为AC 中点．
(1)求D C 1与面ABC 所成角的余弦值； (2)求证：平面1BC D ⊥平面11ACC A ； (3)求证：直线1//AB 平面1BC D ． 19、（本小题满分13分）
A
B C
A 1
B 1
C 1
D
设O 为坐标原点，圆C ：016222=+-++y x y x 上有两点P 、Q,它们关于直线04=++my x 对称，且满足OP ⊥OQ 。

（1）求m 的值；
（2）求直线PQ 的方程.
本题满分13分）
设数列{}n a 的首项132
a =，前n 项和为n S ，且满足()*
123N .n n a S n ++=∈ （Ⅰ）求2a 及n a ；（Ⅱ）求满足
2188177
n n S S <<的所有n 的值. 21．（本小题满分13分）
已知2
()ln .f x x ax bx =--
（1）若1a =-，函数()f x 在其定义域内是增函数，求b 的取值范围；（2）当1,1a b ==-时，证明：函数()f x 只有一个零点；
（3）若()f x 的图象与x 轴交于1212(,0),(,0)()A x B x x x <两点，AB 中点为0(,0)C x ，
求证：0()0.f x '<。