第8课时三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例

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高考数学《解三角形应用举例》

解三角形应用举例主标题：解三角形应用举例副标题：为学生详细的分析解三角形应用举例的高考考点、命题方向以及规律总结。

关键词：距离测量，高度测量，仰角，俯角，方位角，方向角难度：3重要程度：5考点剖析：能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．命题方向：1．测量距离问题是高考的常考内容，既有选择、填空题，也有解答题，难度适中，属中档题．2．高考对此类问题的考查常有以下两个命题角度：(1)测量问题；(2)行程问题．规律总结：1个步骤——解三角形应用题的一般步骤2种情形——解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．2个注意点——解三角形应用题应注意的问题(1)画出示意图后要注意寻找一些特殊三角形，如等边三角形、直角三角形、等腰三角形等，这样可以优化解题过程．(2)解三角形时，为避免误差的积累，应尽可能用已知的数据(原始数据)，少用间接求出的量．知识梳理1．距离的测量背景可测元素图形目标及解法两点均可到达a，b，α求AB：AB＝a2＋b2－2ab cos α只有一点可到达b，α，β求AB：(1)α＋β＋B＝π；(2)ABsin β＝bsin B两点都不可到达a，α，β，γ，θ求AB：(1)△ACD中，用正弦定理求AC；(2)△BCD中，用正弦定理求BC；(3)△ABC中，用余弦定理求AB2.高度的测量背景可测元素图形目标及解法底部可到达a，α求AB：AB＝a tan_α底部不可到达a，α，β求AB：(1)在△ACD中用正弦定理求AD；(2)AB＝AD sin_β3.实际问题中常见的角(1)仰角和俯角在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时叫仰角，目标视线在水平视线下方时叫俯角(如图1)．(2)方位角从正北方向起按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．如B点的方位角为α(如图2)．(3)方向角：正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，如南偏东30°，北偏西45°等．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数．。

解三角形的实际应用举例ppt

A
(1) 已知三边 , 求三个角;
A
B
C
BCຫໍສະໝຸດ (2) 已知两边和它们的夹角,
(2) 已知两边和一边对角, 求其它元素。
A C
求其它元素。
A C
B
B
补充：我军有A、B两个小岛相距10海里，敌军在C岛，从A岛望C岛和B岛成60°的视角，从B岛望C岛和A岛成75°的视角，为提高炮弹命中率，须计算B岛和C岛间的距离，请你算算看。
0
A
6 2 0
0
D B
0
1 . 95 m
1 . 95
1 . 40
2
2 1 . 95 1 . 40 cos 66 2 0
=3.571 ∴BC≈1.89(m)．答：顶杆BC约长1.89m．
练1.如图,一艘船以32海里/时的速度向正北航行,在A处看灯塔S 在船的北偏东200, 30分钟后航行到B处,在B处看灯塔S在船的北偏东650方向上,求灯塔S和B处的距离.（保留到0.1）解：AB=16，由正弦定理知：
数学结论解三角形问题
谢谢
再见！
解三角形问题是三角学的基本问题之一。什我国古代很早就有测量方面的知识，公元解三角形的方法在度量工件、测量距离和高么是三角学？三角学来自希腊文“三角形”和一世纪的《周髀算经》里，已有关于平面测量度及工程建筑等生产实际中，有广泛的应用， “测量”。最初的理解是解三角形的计算，后的记载，公元三世纪，我国数学家刘徽在计在物理学中，有关向量的计算也要用到解三角来，三角学才被看作包括三角函数和解三角形算圆内接正六边形、正十二边形的边长时，就形的方法。两部分内容的一门数学分学科。已经取得了某些特殊角的正弦……

人教a版必修五课件：解三角形-应用举例：三角形中的几何计算(54页)

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第一章 1.2 第3课时
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课堂互动探究
例练结合 · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · · ·素能提升
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π 又0＜A＜π，故A＝ . 3
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1 (2)△ABC的面积S＝2bcsinA＝ 3，故bc＝4. 而a2＝b2＋c2－2bccos A，故b2＋c2＝8. 解得b＝c＝2.
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典例导悟
类型一 [例1] 三角形中的面积计算 (2012· 全国新课标卷)已知a，b，c分别为△
ABC三个内角A，B，C的对边，acos C＋ 3 asin C－b－c ＝0. (1)求A； (2)若a＝2，△ABC的面积为 3，求b，c.
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1 1 1 (4)S＝2absinC＝2acsinB＝_________. 2bcsinA
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2．三角形中的计算、证明问题除正弦定理、余弦定理外，常见的公式还有： (1)P＝a＋b＋c(P为三角形的周长)； (2)A＋B＋C＝π； 1 (3)S＝ aha(ha表示a边上的高)； 2 1 1 1 (4)S＝ absinC＝ acsinB＝ bcsinA； 2 2 2

解三角形应用举例》教案

教学过程一、复习预习教师引导学生复习上节内容，并引入本节课程内容二、知识讲解考点1 用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．考点2 实际应用中的常用术语术语名称术语意义图形表示仰角与俯角在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角，目标视线在水平视线下方的叫做俯角方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角叫做方位角．方位角的范围是(0°，360°)方向角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)××度例：(1)北偏东m °：(2)南偏西n °：坡角坡面与水平面的夹角设坡角为α，坡度为i ，则i ＝hl＝tan α坡度坡面的垂直高度h 和水平宽度l的比三、例题精析【例题1】【题干】隔河看两目标A与B，但不能到达，在岸边选取相距 3 km的C、D两点，同时，测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°(A、B、C、D在同一平面内)，求两目标A、B之间的距离．【解析】如图，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，所以AC＝CD＝ 3.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°，由正弦定理知BC＝ 3 sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC中，由余弦定理，得AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos∠ACB＝(3)2＋⎝⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，所以AB＝ 5 km，所以A，B两目标之间的距离为 5 km.【题干】某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40 m 后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．【解析】如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°.过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°.在△BCD 中，CD ＝40， ∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD ，则BD ＝40sin 30°sin 135°＝20 2.∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°. 在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，则AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)．故塔高为103(3－3) m.【题干】如图，在海岸A 处发现北偏东45°方向，距A 处(3－1)海里的B 处有一艘走私船．在A 处北偏西75°方向，距A 处2海里的C 处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．【解析】设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获(在D 点)走私船，则CD ＝10 3 t 海里，BD ＝10 t 海里，在△ABC 中，由余弦定理，有BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos A ＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.解得BC ＝ 6.又∵BC sin A ＝AC sin ∠ABC ，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin A BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上，∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12. ∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°，∴∠D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15分钟． ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．【题干】(2013·广州模拟)在一个特定时段内，以点E 为中心的7海里以内的海域被设为警戒水域．点E 正北55海里处有一个雷达观测站A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点A 的北偏东45°且与点A 相距402海里的位置B ，经过40分钟又测得该船已行驶到点A 的北偏东(45°＋θ)(其中sin θ＝2626，0°＜θ＜90°)且与点A 相距1013海里的位置C . (1)求该船的行驶速度(单位：海里/时)；(2)若该船不改变航行方向继续行驶．判断它是否会进入警戒水域，并说明理由．【解析】如图所示，AB ＝402，AC ＝1013，∠BAC ＝θ，sin θ＝2626.因为0＜θ＜90°，所以cos θ＝1－⎝⎛⎭⎫26262＝52626.BC ＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos θ＝10 5.所以船的行驶速度为10523＝155海里/时．(2)法一：如图所示以A 为原点建立平面直角坐标系，设点B ，C 的坐标分别是B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)，BC 与x 轴的交点为D .由题设，得x 1＝y 1＝22AB ＝40， x 2＝AC cos ∠CAD ＝1013·cos(45°－θ)＝30， y 2＝AC sin ∠CAD ＝10 13·sin(45°－θ)＝20. 所以过点B ，C 的直线l 的斜率k ＝2010＝2，直线l 的方程为y ＝2x －40.又点E (0，－55)到直线l 的距离d ＝|0＋55－40|1＋4＝35＜7，所以船会进入警戒水域．法二：如图所示，设直线AE 与BC 的延长线相交于点Q .在△ABC 中，由余弦定理，得cos ∠ABC ＝AB 2＋BC 2－AC 22AB ·BC ＝402×2＋102×5－102×132×402×105＝31010.所以sin ∠ABC ＝1－cos 2∠ABC ＝1－910＝1010. 在△ABQ 中，由正弦定理，得AQ ＝AB ·sin ∠ABCsin 45°－∠ABC＝402×101022×21010＝40.由于AE ＝55＞40＝AQ ，所以点Q 位于点A 和点E 之间，且QE ＝AE －AQ ＝15. 过点E 作EP ⊥BC 于点P ，则EP 为点E 到直线BC 的距离．在Rt △QPE 中，PE ＝QE ·sin ∠PQE ＝QE ·sin ∠AQC ＝QE ·sin(45°－∠ABC )＝15×55＝35＜7.所以船会进入警戒水域．四、课堂运用【基础】1．某人向正东方向走x km后，向右转150°，然后朝新方向走3 km，结果他离出发点恰好是 3 km，那么x的值为()A.3B．23C.3或2 3 D．3解析：选C如图所示，设此人从A出发，则AB＝x，BC＝3，AC＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x2＋32－2x·3·cos 30°，整理得x2－33x＋6＝0，解得x＝3或2 3.2．一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A向北偏东30°前进100 m到达点B，在B点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是()A．50 m B．100 mC．120 m D．150 m解析：选A设水柱高度是h m，水柱底端为C，则在△ABC中，A＝60°，AC＝h，AB ＝100，BC＝3h，根据余弦定理得，(3h)2＝h2＋1002－2·h·100·cos 60°，即h2＋50h－5 000＝0，即(h－50)(h＋100)＝0，即h＝50，故水柱的高度是50 m.3．如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂面内，若飞机的高度为海拔18 km ，速度为1 000 km/h ，飞行员先看到山顶的俯角为30°，经过1 min 后又看到山顶的俯角为75°，则山顶的海拨高度为(精确到0.1 km)( )A ．11.4B ．6.6C ．6.5D ．5.6解析：选B ∵AB ＝1 000×1 000×160＝50 0003m ， ∴BC ＝AB sin 45°·sin 30°＝50 00032m. ∴航线离山顶h ＝50 00032×sin 75°≈11.4 km. ∴山高为18－11.4＝6.6 km.【巩固】4.2012年10月29日，超级风暴“桑迪”袭击美国东部，如图，在灾区的搜救现场，一条搜救狗从A处沿正北方向行进x m到达B处发现一个生命迹象，然后向右转105°，行进10 m到达C处发现另一生命迹象，这时它向右转135°后继续前行回到出发点，那么x＝________.解析：∵由题知，∠CBA＝75°，∠BCA＝45°，∴∠BAC＝180°－75°－45°＝60°，∴xsin 45°＝10sin 60°.∴x＝1063m.答案：1063m5．(2013·铜川模拟)一船向正北航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后，看见一灯塔在船的南偏西60°方向，另一灯塔在船的南偏西75°方向，则这只船的速度是________海里/小时．解析：如图，依题意有∠BAC＝60°，∠BAD＝75°，所以∠CAD＝∠CDA＝15°，从而CD ＝CA＝10.在直角三角形ABC中，可得AB＝5，于是这只船的速度是5＝10海里/小时．0.5答案：10【拔高】6．如图，某市拟在长为8 km 的道路OP 的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段OSM ，该曲线段为函数y ＝A sin ωx (A ＞0，ω＞0)，x ∈[0,4]的图象，且图象的最高点为S (3,23)；赛道的后一部分为折线段MNP .为保证参赛运动员的安全，限定∠MNP ＝120°.(1)求A ，ω的值和M ，P 两点间的距离；(2)应如何设计，才能使折线段赛道MNP 最长？解：(1)如图所示，连接MP .依题意，有A ＝23，T 4＝3. ∵T ＝2πω，∴ω＝π6.∴y ＝23sin π6x . 当x ＝4时，y ＝23sin2π3＝3，∴M (4,3)．又P (8,0)，∴MP ＝42＋32＝5km.(2)在△MNP 中，∠MNP ＝120°，MP ＝5，设∠PMN ＝θ，则0°＜θ＜60°.∵由正弦定理得MP sin 120°＝NP sin θ＝MN sin 60°－θ， ∴NP ＝1033sin θ，MN ＝1033sin(60°－θ)，故NP ＋MN ＝1033sin θ＋1033sin(60°－θ)＝1033⎝⎛⎭⎫12sin θ＋32cos θ＝1033sin(θ＋60°)． ∵0°＜θ＜60°，∴当θ＝30°时，NP ＋MN 最大，即将∠PMN 设计为30°时，才能使折线赛道MNP 最长．7．为扑灭某着火点，现场安排了两支水枪，如图，D 是着火点，A 、B 分别是水枪位置，已知AB ＝1 5 2 m ，在A 处看到着火点的仰角为60°，∠ABC ＝30°，∠BAC ＝105°，求两支水枪的喷射距离至少是多少？解：在△ABC 中，可知∠ACB ＝45°，由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝AC sin ∠ABC，解得AC ＝15 m.又∵∠CAD ＝60°，∴AD ＝30，CD ＝153，sin 105°＝sin(45°＋60°)＝6＋24. 由正弦定理得AB sin ∠ACB ＝BC sin ∠BAC，解得BC ＝156＋22m. 由勾股定理可得BD ＝BC 2＋CD 2＝155＋ 3 m ，综上可知，两支水枪的喷射距离至少分别为30 m ，155＋ 3 m.课程小结解三角形应用题常有以下两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．课后作业【基础】1.如图所示，已知两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a kmB.3a kmC.2a kmD ．2a km解析：选B 利用余弦定理解△ABC .易知∠ACB ＝120°，在△ABC 中，由余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°＝2a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2，故AB ＝3a .2．(2013·永州模拟)张晓华同学骑电动自行车以24 km/h 的速度沿着正北方向的公路行驶，在点A 处望见电视塔S 在电动车的北偏东30°方向上，15 min 后到点B 处望见电视塔在电动车的北偏东75°方向上，则电动车在点B 时与电视塔S 的距离是( )A ．2 2 kmB ．3 2 kmC ．3 3 kmD ．2 3 km解析：选B 如图，由条件知AB ＝24×1560＝6.在△ABS 中，∠BAS ＝30°，AB ＝6，∠ABS ＝180°－75°＝105°，所以∠ASB ＝45°.由正弦定理知BS sin 30°＝ABsin 45°，所以BS ＝ABsin 45°sin 30°＝3 2.3.如图，在湖面上高为10 m 处测得天空中一朵云的仰角为30°，测得湖中之影的俯角为45°，则云距湖面的高度为(精确到0.1 m)( )A ．2.7 mB ．17.3 mC ．37.3 mD ．373 m解析：选C ∵在△ACE 中，tan 30°＝CE AE ＝CM －10AE . ∴AE ＝CM －10tan 30°m. ∵在△AED 中，tan 45°＝DE AE ＝CM ＋10AE， ∴AE ＝CM ＋10tan 45° m ，∴CM －10tan 30°＝CM ＋10tan 45°， ∴CM ＝103＋13－1＝10(2＋3)≈37.3 m.【巩固】4某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是________ m.解析：如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，所以∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AOsin 45°＝20sin 60°，解得AO ＝2063 m.答案：20635.如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A 、B 、C 三点进行测量．已知AB ＝50 m ，BC ＝120 m ，于A 处测得水深AD ＝80 m ，于B 处测得水深BE ＝200 m ，于C 处测得水深CF ＝110 m ，求∠DEF 的余弦值．解：作DM ∥AC 交BE 于N ，交CF 于M ，DF ＝MF 2＋DM 2＝302＋1702＝10298，DE ＝DN 2＋EN 2＝502＋1202＝130，EF ＝BE －FC 2＋BC 2＝902＋1202＝150.在△DEF 中，由余弦定理得，cos ∠DEF ＝DE 2＋EF 2－DF 22DE ·EF ＝1302＋1502－102×2982×130×150＝1665.【拔高】6.如图，甲船以每小时302海里的速度向正北方航行，乙船按固定方向匀速直线航行．当甲船位于A 1处时，乙船位于甲船的北偏西105°方向的B 1处，此时两船相距20海里，当甲船航行20分钟到达A 2处时，乙船航行到甲船的北偏西120°方向的B 2处，此时两船相距102海里．问：乙船每小时航行多少海里？解：如图，连接A 1B 2∵由已知A 2B 2＝102，A 1A 2＝302×2060＝102，∴A 1A 2＝A 2B 2.又∠A 1A 2B 2＝180°－120°＝60°，∴△A 1A 2B 2是等边三角形，∴A 1B 2＝A 1A 2＝10 2.由已知，A 1B 1＝20，∠B 1A 1B 2＝105°－60°＝45°，在△A 1B 2B 1中，由余弦定理得B 1B 22＝A 1B 21＋A 1B 22－2A 1B 1·A 1A 2·cos 45°＝202＋(102)2－2×20×102×22＝200，∴B 1B 2＝10 2.因此，乙船的速度为10220×60＝302海里/时．7.如图，渔船甲位于岛屿A的南偏西60°方向的B处，且与岛屿A相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿A出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从B处出发沿北偏东α的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．(1)求渔船甲的速度；(2)求sin α的值．解：(1)依题意，∠BAC＝120°，AB＝12，AC＝10×2＝20，∠BCA＝α.在△ABC中，由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB×AC×cos ∠BAC＝122＋202－2×12×20×cos 120°＝784.解得BC＝28.＝14海里/小时．所以渔船甲的速度为BC2(2)法一：在△ABC中，因为AB＝12，∠BAC＝120°，BC＝28，∠BCA＝α，由正弦定理，得AB sin α＝BC sin 120°. 即sin α＝AB sin 120°BC ＝12×3228＝3314. 法二：在△ABC 中，因为AB ＝12，AC ＝20，BC ＝28，∠BCA ＝α，由余弦定理，得cos α＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ×BC，即cos α＝202＋282－1222×20×28＝1314. 因为α为锐角，所以sin α＝1－cos 2 α＝ 1－⎝⎛⎭⎫13142＝3314.。

2三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例.

第8课时三角形中的几何计算、解三角形的实际应用举例
工具
第三章三角函数
栏目导引
工具
第三章三角函数
栏目导引
1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下方的角叫俯角(如图①)．
2．方位角
从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为
α(如图②)．
某单位在抗雪救灾中，需要在 A、B 两地之间架设高压电线，测量人员在相距 6 000 m 的 C、D 两地(A、B、C、D 在同一平面上)，测得 ∠ACD＝45°，∠ADC＝75°，∠BCD＝30°，∠BDC＝15°(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所需电线长度大约应该是 A、B 距离的 1.2 倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？(参考数据：
栏目导引
3．点 B 在点 A 的东偏北 60°方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30°方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( )
A. 3 km
B. 5 km
C. 7 km
D. 2 km
解析：由题意知∠BAC＝60°，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos∠BAC ＝1＋4－2×2×1×cos 60°＝3. ∴BC＝ 3.
工具
第三章三角函数
栏目导引
5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________m.
工具
第三章三角函数
栏目导引
解析：如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求宽度，在△ABC中，

解三角形应用举例高考数学知识点总结高考数学真题复习

§4.7解三角形应用举例2014高考会这样考考查利用正弦定理、余弦定理解决实际问题中和三角形有关的角度、方向、距离等测量问题．复习备考要这样做 1.会从实际问题抽象中解三角形问题，培养建模能力；2.掌握解三角形实际应用的基本方法，体会数学在实际问题中的应用．1．用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型测量距离问题、高度问题、角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等．2．实际问题中的常用角(1)仰角和俯角与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①)．(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等．(3)方位角指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②)．(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值．3．解三角形应用题的一般步骤(1)阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．(2)根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．(3)根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．(4)将三角形问题还原为实际问题，注意实际问题中的有关单位问题、近似计算的要求等．[难点正本疑点清源]解三角形应用题的两种情形(1)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量全部集中在一个三角形中，可用正弦定理或余弦定理求解．(2)实际问题经抽象概括后，已知量与未知量涉及到两个或两个以上的三角形，这时需作出这些三角形，先解够条件的三角形，然后逐步求解其他三角形，有时需设出未知量，从几个三角形中列出方程(组)，解方程(组)得出所要求的解．1．在某次测量中，在A处测得同一半平面方向的B点的仰角是60°，C点的俯角是70°，则∠BAC＝________.答案130°解析由已知∠BAD＝60°，∠CAD＝70°，∴∠BAC＝60°＋70°＝130°.2．(2011·上海)在相距2千米的A，B两点处测量目标C，若∠CAB＝75°，∠CBA＝60°，则A，C两点之间的距离是__________千米．答案 6解析如图所示，由题意知∠C ＝45°，由正弦定理得AC sin 60°＝2sin 45°，∴AC ＝222·32＝ 6. 3．江岸边有一炮台高30 m ，江中有两条船，船与炮台底部在同一水面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°和60°，而且两条船与炮台底部连线成30°角，则两条船相距________ m. 答案 10 3解析如图，OA 为炮台，M 、N 为两条船的位置，∠AMO ＝45°，∠ANO＝60°，OM ＝AO tan 45°＝30，ON ＝AO tan 30°＝33×30＝103，由余弦定理得，MN ＝900＋300－2×30×103×32＝300＝103(m)． 4．某登山队在山脚A 处测得山顶B 的仰角为45°，沿倾斜角为30°的斜坡前进1 000 m 后到达D 处，又测得山顶的仰角为60°，则山的高度BC 为____________ m. 答案 500(3＋1)解析过点D 作DE ∥AC 交BC 于E ，因为∠DAC ＝30°，故∠ADE ＝150°. 于是∠ADB ＝360°－150°－60°＝150°. 又∠BAD ＝45°－30°＝15°，故∠ABD ＝15°，由正弦定理得AB ＝AD sin ∠ADBsin ∠ABD＝1 000sin 150°＝500(6＋2)(m)．sin 15°所以在Rt△ABC中，BC＝AB sin 45°＝500(3＋1)(m)．5．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的() A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°答案 B解析灯塔A、B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.题型一测量距离问题例1要测量对岸A、B两点之间的距离，选取相距 3 km的C、D两点，并测得∠ACB＝75°，∠BCD＝45°，∠ADC＝30°，∠ADB＝45°，求A、B之间的距离．思维启迪：将题中距离、角度转化到一个三角形中，再利用正、余弦定理解三角形．解如图所示，在△ACD中，∠ACD＝120°，∠CAD＝∠ADC＝30°，∴AC＝CD＝ 3 km.在△BCD中，∠BCD＝45°，∠BDC＝75°，∠CBD＝60°.∴BC ＝3sin 75°sin 60°＝6＋22.在△ABC 中，由余弦定理，得AB 2＝(3)2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫6＋222－2×3×6＋22×cos 75°＝3＋2＋3－3＝5，∴AB ＝ 5 (km)，∴A 、B 之间的距离为 5 km.探究提高这类实际应用题，实质就是解三角形问题，一般都离不开正弦定理和余弦定理，在解题中，首先要正确地画出符合题意的示意图，然后将问题转化为三角形问题去求解．注意：①基线的选取要恰当准确；②选取的三角形及正、余弦定理要恰当．如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°的扇形AOB ，C 是该小区的一个出入口，且小区里有一条平行于AO 的小路CD .已知某人从O 沿OD 走到D 用了2分钟，从D 沿着DC 走到C 用了3分钟．若此人步行的速度为每分钟50米，则该扇形的半径为________米．答案 507解析连接OC ，在△OCD 中， OD ＝100，CD ＝150，∠CDO ＝60°，由余弦定理可得OC 2＝1002＋1502－2×100×150×12＝17 500，解得OC ＝507(米)．题型二测量高度问题例2 某人在塔的正东沿着南偏西60°的方向前进40米后，望见塔在东北方向，若沿途测得塔顶的最大仰角为30°，求塔高．思维启迪：依题意画图，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40米，此时∠DBF ＝45°，从C 到D 沿途测塔的仰角，只有B 到测试点的距离最短时，仰角才最大，这是因为tan ∠AEB ＝ABBE ，AB为定值，BE 最小时，仰角最大．要求出塔高AB ，必须先求BE ，而要求BE ，需先求BD (或BC )．解如图所示，某人在C 处，AB 为塔高，他沿CD 前进，CD ＝40，此时∠DBF ＝45°，过点B 作BE ⊥CD 于E ，则∠AEB ＝30°，在△BCD 中，CD ＝40，∠BCD ＝30°，∠DBC ＝135°，由正弦定理，得 CD sin ∠DBC ＝BDsin ∠BCD，∴BD ＝40sin 30°sin 135°＝202(米)．∠BDE ＝180°－135°－30°＝15°.在Rt △BED 中，BE ＝DB sin 15°＝202×6－24＝10(3－1)(米)．在Rt △ABE 中，∠AEB ＝30°，∴AB ＝BE tan 30°＝103(3－3)(米)．故所求的塔高为103(3－3)米．探究提高在测量高度时，要正确理解仰角、俯角的概念，画出准确的示意图，恰当地选取相关的三角形和正、余弦定理逐步进行求解．注意综合应用方程和平面几何、立体几何等知识．如图所示，B ，C ，D 三点在地面的同一直线上，DC＝a ，从C ，D 两点测得A 点的仰角分别为β和α(α<β)，则A 点距地面的高AB 为_______________．答案a sin αsin βsin (β－α)解析 AB ＝AC sin β，AC sin α＝DC sin ∠DAC ＝asin (β－α)，解得AB ＝a sin αsin βsin (β－α).题型三测量角度问题例3 某渔轮在航行中不幸遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处获悉后，立即测出该渔轮在方位角为45°，距离为10 n mile 的C 处，并测得渔轮正沿方位角为105°的方向，以9 n mile /h 的速度向某小岛靠拢，我海军舰艇立即以21 n mile/h 的速度前去营救，求舰艇的航向和靠近渔轮所需的时间．思维启迪：本题中所涉及的路程在不断变化，但舰艇和渔轮相遇时所用时间相等，先设出所用时间t ，找出等量关系，然后解三角形．解如图所示，根据题意可知AC ＝10，∠ACB ＝120°，设舰艇靠近渔轮所需的时间为t h ，并在B 处与渔轮相遇，则AB ＝21t ，BC ＝9t ，在△ABC 中，根据余弦定理得AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC ·cos 120°，所以212t 2＝102＋81t 2＋2×10×9t ×12，即360t 2－90t －100＝0，解得t ＝23或t ＝－512(舍去)．所以舰艇靠近渔轮所需的时间为23h ．此时AB ＝14，BC ＝6.在△ABC 中，根据正弦定理得BC sin ∠CAB ＝ABsin 120°，所以sin ∠CAB ＝6×3214＝3314，即∠CAB ≈21.8°或∠CAB ≈158.2°(舍去)．即舰艇航行的方位角为45°＋21.8°＝66.8°.所以舰艇以66.8°的方位角航行，需23h 才能靠近渔轮．探究提高对于和航行有关的问题，要抓住时间和路程两个关键量，解三角形时将各种关系集中在一个三角形中利用条件．如图所示，位于A 处的信息中心获悉：在其正东方向相距40海里的B 处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°、相距20海里的C 处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向即沿直线CB 前往B 处救援，则cos θ等于( )A.217B.2114C.32114D.2128答案 B解析如图所示，在△ABC 中，AB ＝40，AC ＝20，∠BAC ＝120°，由余弦定理，得BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos 120°＝2 800，所以BC ＝ 207.由正弦定理，得sin∠ACB＝ABBC·sin∠BAC＝21 7.由∠BAC＝120°，知∠ACB为锐角，故cos∠ACB＝277.故cos θ＝cos(∠ACB＋30°)＝cos∠ACB cos 30°－sin∠ACB sin 30°＝2114.正、余弦定理在实际问题中的应用典例：(14分)如图，在海岸A处发现北偏东45°方向，距A处(3－1)海里的B处有一艘走私船．在A处北偏西75°方向，距A处2海里的C处的我方缉私船奉命以103海里/小时的速度追截走私船，此时走私船正以10海里/小时的速度，以B处向北偏东30°方向逃窜．问：缉私船沿什么方向行驶才能最快截获走私船？并求出所需时间．审题视角(1)分清已知条件和未知条件(待求)．(2)将问题集中到一个三角形中，如△ABC和△BCD.(3)利用正弦定理或余弦定理求解．规范解答解设缉私船应沿CD方向行驶t小时，才能最快截获(在D点)走私船，则CD＝103t(海里)，BD＝10t(海里)，[2分]在△ABC中，由余弦定理，有BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos∠BAC＝(3－1)2＋22－2(3－1)·2·cos 120°＝6.∴BC ＝6(海里)．[3分] 又∵BC sin ∠BAC ＝ACsin ∠ABC，∴sin ∠ABC ＝AC ·sin ∠BAC BC ＝2·sin 120°6＝22，∴∠ABC ＝45°，∴B 点在C 点的正东方向上， ∴∠CBD ＝90°＋30°＝120°，[6分]在△BCD 中，由正弦定理，得BD sin ∠BCD ＝CDsin ∠CBD ，∴sin ∠BCD ＝BD ·sin ∠CBD CD ＝10t ·sin 120°103t＝12.∴∠BCD ＝30°，∴缉私船沿北偏东60°的方向行驶．[8分] 又在△BCD 中，∠CBD ＝120°，∠BCD ＝30°， ∴D ＝30°，∴BD ＝BC ，即10t ＝ 6.∴t ＝610小时≈15(分钟)．[12分] ∴缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要15分钟．[14分]答题模板解斜三角形应用题的一般步骤为第一步：分析——理解题意，分清已知与未知，画出示意图；第二步：建模——根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建立一个解斜三角形的数学模型；第三步：求解——利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得数学模型的解；第四步：检验——检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解．温馨提醒(1)由实际出发，构建数学模型是解应用题的基本思路．如果涉及三角形问题，我们可以把它抽象为解三角形问题进行解答，之后再还原成实际问题，即利用上述模板答题．(2)本题的易错点：不能将已知和待求量转化到同一个三角形中，无法运用正、余弦定理求解.方法与技巧1．合理应用仰角、俯角、方位角、方向角等概念建立三角函数模型．2．把生活中的问题化为二维空间解决，即在一个平面上利用三角函数求值．3．合理运用换元法、代入法解决实际问题．失误与防范在解实际问题时，应正确理解如下角的含义．1．方向角——从指定方向线到目标方向线的水平角．2．方位角——从正北方向线顺时针到目标方向线的水平角．3．坡度——坡面与水平面所成的二面角的正切值．4．仰角与俯角——与目标视线在同一铅直平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方时称为仰角，目标视线在水平视线下方时称为俯角．A组专项基础训练(时间：35分钟，满分：57分)一、选择题(每小题5分，共20分)1．如果在测量中，某渠道斜坡的坡度为34，设α为坡角，那么cos α等于 ( ) A.35B.45C.34D.43 答案 B解析因为tan α＝34，所以cos α＝45. 2．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin 10°C ．2cos 10°D ．cos 20° 答案 C解析如图，∠ABC ＝20°，AB ＝1，∠ADC ＝10°，∴∠ABD ＝160°.在△ABD 中，由正弦定理得AD sin 160°＝AB sin 10°， ∴AD ＝AB ·sin 160°sin 10°＝sin 20°sin 10°＝2cos 10°. 3．一个大型喷水池的中央有一个强力喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在喷水柱正西方向的点A 测得水柱顶端的仰角为45°，沿点A 向北偏东30°前进100 m 到达点B ，在B 点测得水柱顶端的仰角为30°，则水柱的高度是( ) A ．50 mB ．100 mC ．120 mD ．150 m答案 A解析设水柱高度是h m ，水柱底端为C ，则在△ABC 中，∠A ＝60°，AC ＝h ，AB ＝100，BC ＝3h ，根据余弦定理得，(3h )2＝h 2＋1002－2·h ·100·cos 60°，即h 2＋50h －5 000＝0，即(h －50)(h ＋100)＝0，即h ＝50，故水柱的高度是50 m.4. 如图，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 所在的同侧河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( ) A ．50 2 mB ．50 3 mC ．25 2 mD.2522 m 答案 A解析 ∵∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°，∴∠ABC ＝180°－105°－45°＝30°.在△ABC 中，由正弦定理得AB sin C ＝AC sin B ， ∴AB ＝AC ·sin C sin B ＝50×2212＝50 2 (m)．二、填空题(每小题5分，共15分)5．甲、乙两楼相距20米，从乙楼底望甲楼顶的仰角为60°，从甲楼顶望乙楼顶的俯角为30°，则甲、乙两楼的高分别是________________．答案 203米、4033米解析如图，依题意有甲楼的高度为AB ＝20·tan 60°＝203(米)，又CM ＝DB ＝20(米)，∠CAM ＝60°，所以AM ＝CM ·1tan 60°＝2033(米)，故乙楼的高度为CD ＝203－2033＝4033(米)． 6．一船以每小时15 km的速度向东航行，船在A 处看到一个灯塔M 在北偏东60°方向，行驶4 h 后，船到B 处，看到这个灯塔在北偏东15°方向，这时船与灯塔的距离为______ km. 答案 30 2解析如图所示，依题意有AB ＝15×4＝60，∠MAB ＝30°，∠AMB ＝45°，在△AMB 中，由正弦定理得60sin 45°＝BM sin 30°，解得BM ＝30 2 (km)．7. 如图，在四边形ABCD 中，已知AD ⊥CD ，AD ＝10，AB ＝14，∠BDA＝60°，∠BCD ＝135°，则BC 的长为________．答案 8 2解析在△ABD 中，设BD ＝x ，则BA 2＝BD 2＋AD 2－2BD ·AD ·cos ∠BDA ，即142＝x 2＋102－2·10x ·cos 60°，整理得x 2－10x －96＝0，解之得x 1＝16，x 2＝－6(舍去)．在△BCD 中，由正弦定理：BC sin ∠CDB ＝BD sin ∠BCD， ∴BC ＝16sin 135°·sin 30°＝8 2. 三、解答题(共22分)8． (10分)如图所示，测量河对岸的塔高AB 时，可以选与塔底B 在同一水平面内的两个观测点C 与D ，测得∠BCD ＝15°，∠BDC ＝30°，CD ＝30 m ，并在点C 处测得塔顶A 的仰角为60°，求塔高AB .解在△BCD 中，∠CBD ＝180°－15°－30°＝135°，由正弦定理，得BC sin ∠BDC ＝CD sin ∠CBD，所以BC ＝30sin 30°sin 135°＝15 2 (m)．在Rt △ABC 中，AB ＝BC ·tan ∠ACB ＝152tan 60°＝15 6 (m)．所以塔高AB 为15 6 m.9． (12分)如图，在△ABC 中，已知∠B ＝45°，D 是BC 边上的一点，AD＝10，AC ＝14，DC ＝6，求AB 的长．解在△ADC 中，AD ＝10，AC ＝14，DC ＝6，由余弦定理得cos ∠ADC ＝AD 2＋DC 2－AC 22AD ·DC＝100＋36－1962×10×6＝－12，∴∠ADC ＝120°，∴∠ADB ＝60°.在△ABD 中，AD ＝10，∠B ＝45°，∠ADB ＝60°，由正弦定理得AB sin ∠ADB ＝ADsin B ，∴AB ＝AD ·sin ∠ADB sin B ＝10sin 60°sin 45°＝10×3222＝5 6.B 组专项能力提升(时间：25分钟，满分：43分)一、选择题(每小题5分，共15分) 1．在△ABC 中，已知∠A ＝45°，AB ＝2，BC ＝2，则∠C 等于( ) A ．30° B ．60° C ．120°D ．30°或150°答案 A解析利用正弦定理可得2sin 45°＝2sin C， ∴sin C ＝12，∴∠C ＝30°或150°. 又∵∠A ＝45°，且∠A ＋∠B ＋∠C ＝180°，∴∠C ＝30°，故选A.2．某人向正东方向走x km 后，向右转150°，然后朝新方向走3 km ，结果他离出发点恰好是 3 km ，那么x 的值为( ) A. 3B ．2 3 C.3或2 3D ．3 答案 C解析如图所示，设此人从A 出发，则AB ＝x ，BC ＝3，AC ＝3，∠ABC＝30°，由余弦定理得(3)2＝x 2＋32－2x ·3·cos 30°，整理，得x 2－33x ＋6＝0，解得x ＝3或2 3.3．一艘海轮从A 处出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40°的方向直线航行，30分钟后到达B 处，在C 处有一座灯塔，海轮在A 处观察灯塔，其方向是南偏东70°，在B 处观察灯塔，其方向是北偏东65°，那么B ，C 两点间的距离是( ) A ．102海里B ．103海里C ．203海里D ．202海里答案 A解析如图，易知，在△ABC 中，AB ＝20，∠CAB ＝30°，∠ACB ＝45°，根据正弦定理得BC sin 30°＝AB sin 45°，解得BC ＝102(海里)．二、填空题(每小题5分，共15分)4．一船由B 处向正北方向航行，看见正西方向有相距10海里的两个灯塔C 、D 恰好与它在一条直线上，继续航行半小时后到达A 处，看见灯塔C 在它的南偏西60°方向，灯塔D 在它的南偏西75°方向，则这艘船的速度是______海里/小时．答案 10解析如图所示，依题意有∠BAC ＝60°，∠BAD ＝75°，所以∠CAD ＝∠CDA ＝15°，从而CD ＝CA ＝10，在直角三角形ABC 中，得AB ＝5，于是这艘船的速度是50.5＝10(海里/小时)．5．某路边一树干被大风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20米，则折断点与树干底部的距离是__________米．答案 2063解析如图，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°. 由正弦定理知，AO sin 45°＝20sin 60°， ∴AO ＝2063(米)． 6．在△ABC 中，D 为边BC 上一点，BD ＝12DC ，∠ADB ＝120°，AD ＝2.若△ADC 的面积为3－3，则∠BAC ＝_____.答案 60°解析 S △ADC ＝12×2×DC ×32＝3－3，解得DC ＝2(3－1)，∴BD ＝3－1，BC ＝3(3－1)．在△ABD 中，AB 2＝4＋(3－1)2－2×2×(3－1)×cos 120°＝6，∴AB ＝ 6. 在△ACD 中，AC 2＝4＋[2(3－1)]2－2×2×2(3－1)×cos 60°＝24－123，∴AC ＝6(3－1)，则cos ∠BAC ＝AB 2＋AC 2－BC 22AB ·AC ＝12， ∴∠BAC ＝60°.三、解答题7． (13分)如图，A 、B 、C 、D 都在同一个与水平面垂直的平面内，B 、D为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面A 处测得B 点和D 点的仰角分别为75°、30°，于水面C 处测得B 点和D 点的仰角均为60°，AC ＝0.1 km.试探究图中B 、D 间距离与另外哪两点间距离相等，然后求B 、D 的距离(计算结果精确到0.01 km ，2≈1.414，6≈2.449)．解在△ACD 中，∠DAC ＝30°，∠ADC ＝60°－∠DAC ＝30°，所以CD ＝AC ＝0.1.又∠BCD ＝180°－60°－60°＝60°，故CB 是△CAD 底边AD 的中垂线，所以BD ＝BA .在△ABC 中，AB sin ∠BCA ＝AC sin ∠ABC，所以AB ＝AC sin 60°sin 15°＝32＋620，即BD ＝32＋620≈0.33(km)．故B 、D 的距离约为0.33 km.。

2011届高三数学一轮复习精品课件：解三角形应用举例

课堂互动讲练
考点三测量角度
测量角度问题也就是通过解三角形求角问题，形求角问题，求角问题可以转化为求该角的函数值；该角的函数值；如果是用余弦定理求得该角的余弦，该角容易确定，得该角的余弦，该角容易确定，如果用正弦定理求得该角的正弦，用正弦定理求得该角的正弦，就需要讨论解的情况了．讨论解的情况了．
课堂互动讲练
结合题意思路点拨】【思路点拨】画出图形在底面三角形中借助余弦定理列方程用山高h表示用山高表示底面三角形未知边长度
解方程求出高h 求出高
课堂互动讲练
【解】画出示意图
课堂互动练
设山高 PQ＝h，则△APQ、△ BPQ 均＝，、为直角三角形，为直角三角形，在图① 在图 ①中， PAQ＝30°， PBQ＝45°. ∠ ＝， ∠ ＝ 1 ∴AQ ＝ PQ ＝ 3 h ， BQ ＝ tan30° 1 PQ ＝ h. tan45° 在图② 在图 ②中，∠ AQB＝57°＋78°＝ 135°，＝＋＝， AB＝ 2500，＝，
三基能力强化
1．两座灯塔A和B与海岸观察站．两座灯塔和与海岸观察站 C的距离相等，灯塔在观察站北偏东的距离相等，的距离相等灯塔A在观察站北偏东 40°，灯塔在观察站南偏东 °，在观察站南偏东60° ° 灯塔B在观察站南偏东则灯塔A在灯塔的( 则灯塔在灯塔B的 ) 在灯塔 A．北偏东 ° ．北偏东10° B．北偏西 ° ．北偏西10° C．南偏东 ° ．南偏东10° D．南偏西 ° ．南偏西10° 答案：B 答案：
速度追截走私船．此时，速度追截走私船．此时，走私船正以 10 n mile/h的速度从处向北偏东 ° 的速度从B处向北偏东的速度从处向北偏东30° 方向逃窜，方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？快追上走私船？

高中数学必修5《解三角形应用举例》知识全解

《解三角形应用举例》知识全解一、知识结构二、内容解析正弦定理和余弦定理在实际测量中有许多应用，如测量距离、高度、角度等.对于未知的距离、高度等，存在着许多可以供选择的测量方案，可以应用全等三角形的方法，也可以应用相似三角形的方法，或借助解直角三角形的方法，以及在本节介绍的应用两个定理的方法，等等.但是，由于在测量问题的实际背景下，某些方法也许不能实施，如因为没有足够的空间，不能用全等三角形的方法来测量，所以，一种方法会有局限性.关于三角形的有关几何计算，书中涉及了三角形的高和面积的问题.课本直接给出了计算三角形的高的公式，这三个公式实际上在正弦定理的证明过程中就已经得到.书中证明了已知三角形的两边及其夹角时的面积公式..在不同已知条件下求三角形的面积的问题，与解三角形问题有密切的关系，我们可以应用解三角形的知识，求出需要的元素，就可以求出三角形的面积.三、重点、难点.本节的教学重点是解决两个与测量有关的问题，也就是如何将实际问题转化为数学问题，并利用解斜三角形的方法予以解决．.分析、探究并确定将实际问题转化为数学问题的思路是难点和关键．四、教法导引在教学设计时，对教学的每一个环节都强调了学生的主体地位.对每一个问题的解决，从问题的分析、方案的讨论、数据的获取、信息的分析、结论的得出、方法的总结，无一不是由学生亲自参与、合作完成的，而教师很好地充当了指导者和合作伙伴的角色，形成了一个自由的、开放的生态化课堂.从而运用认知建构教学理论和多元智能发展观，在教学中采用自主探究与尝试指导相结合，引导学生通过分析实践、自主探究、合作讨论得出转化（解决）问题的方法．在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对于不同的方法进行必要的分析和比较．对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中可以直接应用的算法．适当安排一些实习作业，让学生进一步巩固所学的知识，提高学生分析问题的解决实际问题的能力、动手操作的能力以及用数学语言表达实习过程和实习结果能力，增强学生应用数学的意识和数学实践能力．教师要注意对于学生实习作业的指导，包括对于实际测量问题的选择，及时纠正实际操作中的错误，解决测量中出现的一些问题．五、学法建议在实践中体验过程，在过程中感受应用，在交流中升华知识.。

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第三章
三角函数
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解析：在△ACD 中，∠CAD＝180° －∠ACD－∠ADC＝60° ， CD＝6 000 m，∠ACD＝45° ，根据正弦定理 AD＝ CDsin 45° ＝ sin 60° 2 CD， 3
在△BCD 中，∠CBD＝180° －∠BCD－∠BDC＝135° ， CD＝6 000 m，∠BCD＝30° ， CDsin 30° 2 根据正弦定理 BD＝ sin 135° ＝ 2 CD. 又在△ABD 中，∠ADB＝∠ADC＋∠BDC＝90° ，根据勾股定理有 AB＝ AD2＋BD2＝ 2 1 ＋ CD＝1 000 42(m)， 3 2
答案： 60
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以平面几何图形为背景，求解有关长度、角度、面积、最值和优
化等问题，通常是转化到三角形中，利用正、余弦定理加以解决．在解
决某些具体问题时，常先引入变量(如边长、角度等)，然后把要解的三角形的边或角用所设变量表示出来，再利用正、余弦定理列出方程，解之．
x1＝15 2tsin 45° ＝15t，则 y1＝x1＝15t.
1 2 5 5 由 tan θ＝可得，cos θ＝，sin θ＝ . 2 5 5
x2＝10 5tsin θ＝10t，故 y2＝10 5tcos θ－40＝20t－40.
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(1)令 t＝3，P、Q 两点的坐标分别为(45,45)、(30,20)， |PQ|＝ 45－302＋45－202＝ 850＝5 34，即出发后 3 小时两船相距 5 34海里． (2)由题意得： |PQ|＝ x2－x12＋y2－y12 ＝ 10t－15t2＋20t－40－15t2 ＝ 50t2－400t＋1 600＝ 50t－42＋800≥20 2， ∴当且仅当 t＝4 时，|PQ|取得最小值 20 2. 即两船出发后 4 小时时距离最近，最近距离为 20 2海里．
解析：由题意知∠BAC＝60° ，AB＝1，AC＝2 ∴BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝1＋4－2×2×1×cos 60° ＝3. ∴BC＝ 3.
答案： A
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4．轮船A和轮船B在中午12时同时离开海港O，两船航行方向的夹
角为120°，两船的航行速度分别为25 n mile/h、15 n mile/h，则下午2时两船之间的距离是________n mile.
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【思考探究】 2.如何用方位角、方向角确定一点的位置？提示：一点的位置．利用方位角或方向角和目标与观测点的距离即可唯一确定
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1．从A处望B处的仰角为α，从B处望A处的俯角为β，则α，β之间的关系是( ) B．α＝β D．α＋β＝180°
A．α＞β C．α＋β＝90°
解析：如图，由题意可得 OA＝50， OB＝30. 而 AB2＝OA2＋OB2－2OA· OBcos 120°
1 ＝50 ＋30 －2×50×30×－2
2 2
＝2 500＋900＋1 500＝4 900，∴AB＝70.
答案： 70
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5．如图，为了测量河的宽度，在一岸边选定两点A，B望对岸的标记物C，测得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120 m，则这条河的宽度为________m.
cos 2β＝－sin α，即cos 2β＋sin α＝0. ①
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DC AC (2)在△ADC 中，＝， sin α sin β 即 sin β＝ 3sin α. ② ①代入②整理得： 2 3sin2β－sin β－ 3＝0. 3 3 解得 sin β＝ 2 ，或 sin β＝－ 3 舍去，又 β 为锐角，则 β＝60° .
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【思考探究】 1.仰角、俯角、方位角有什么区别？提示：三者的参照不同．仰角与俯角是相对于水平线而言的，而
方位角是相对于正北方向而言的．
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3．方向角
相对于某一正方向的水平角(如图③) (1)北偏东α°即由指北方向顺时针旋转α°到达目标方向． (2)北偏西α°即由指北方向逆时针旋转α°到达目标方向． (3)南偏西等其他方向角类似．
架测角仪(可以测量仰角、俯角和视角)，再给你一把尺子(可以测量地面
上两点间距离)，图中给出的是在一侧河岸地面C点测得仰角∠ACB＝α，请设计一种测量塔建筑高度AB的方法(其中测角仪支架高度忽略不计，计算结果可用测量数据所设字母表示)．
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解析：方法一：选择水平基线 BC，在 BC 的延长线上取一点 D，在 D 点测得仰角∠BDA＝β，同时测得 CD 的长度为 a. 在△ADC 中∠DAC＝α－β，在△ADC 中，由正弦定理 AC DC ＝， sin β sinα－β
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如右图，D是直角△ABC斜边BC上一点，AB＝AD，记∠CAD＝
α，∠ABC＝β. (1)证明：sin α＋cos 2β＝0； (2)若AC＝DC，求β的值．解析： (1)证明：∵AB＝AD，则∠ADB＝β，∴∠C＝β－α. 又∠B＋∠C＝90°，
即2β－α＝90°，则2β＝90°＋α，
解析：根据仰角与俯角的含义，画图即可得知．答案： B
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2．若点A在点B的北偏西30°，则B点在A点的(
A．西偏北30° C．南偏东30°
)
B．西偏北60° D．东偏南30°
解析：如图，可知B在点A的南偏东30°或东偏南60°.
答案： C
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3．点 B 在点 A 的东偏北 60° 方向距 A 为 1 km 的地方，点 C 在点 A 的北偏西 30° 方向且距 A 为 2 km 的地方，则 B、C 间的距离为( A. 3 km C. 7 km B. 5 km D. 2 km )
命以10 n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度
从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
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解析：设缉私船用 t h 在 D 处追上走私船，画出示意图如图，则有 CD＝10 3t，BD＝10t. 在△ABC 中，∵AB＝ 3－1，AC＝2，∠BAC＝120° ， ∴由余弦定理，得 BC2＝AB2＋AC2－2AB· cos∠BAC AC· ＝( 3－1)2＋22－2×( 3－1)×2×cos 120° ＝6， ∴BC＝ 6，
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【变式训练】 3.A、B是海平面上的两个点，相距800 m，在A点测得山顶C的仰角为45°，∠BAD＝120°，又在B点测得∠ABD＝45°，其中D是点C到水平面的垂足，求山高CD.
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解析：在△ABD 中， ∠BDA＝180° －45° －120° ＝15° . AB AD 由sin 15° sin 45° ＝，得 2 800× 2 AB· 45° sin AD＝＝＝800( 3＋1)(m)． sin 15° 6－ 2 4 ∵CD⊥平面 ABD，∠CAD＝45° ，∴CD＝AD＝800( 3＋1)(m)．故山高 CD 为 800( 3＋1)m.
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测量高度问题一般是利用地面上的观测点，通过测量仰角、俯角等
数据计算物体的高度，这类问题一般用到立体几何知识，先把立体几何问题转化为平面几何问题，再通过解三角形加以解决．如图，测量河对岸的塔形建筑AB，A为塔的顶端，B为塔的底端，河两岸的地面上任意一点与塔底端B处在同一海拔水平面上，现给你一
工具பைடு நூலகம்
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解析：
如图，在△ABC中，过C作CD⊥AB于D点，则CD为所求
宽度，在△ABC中， ∵∠CAB＝30°，∠CBA＝75°， ∴∠ACB＝75°，∴AC＝AB＝120 m. 在Rt△ACD中， CD＝ACsin∠CAD＝120sin 30°＝60(m)，
因此这条河宽为60 m.
在 Rt△ACB 中，AB＝ACsin α＝msin α.
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方法三：如图，在河的这岸抽取一点 D，测得 CD＝b，并测∠BCD ＝γ，∠BDC＝β. 在△BCD 中，∠CBD＝π－γ－β. BC CD 由正弦定理得＝， sin∠BDC sin∠CBD CD· sin∠BDC b· β sin ∴BC＝＝ . sin∠CBD sinβ＋γ b· βtan α sin 在 Rt△ABC 中，AB＝BCtan ∠ACB＝ . sinβ＋γ
第8课时三角形中的几何计算、
解三角形的实际应用举例
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1．仰角和俯角在视线和水平线所成的角中，视线在水平线上方水平线下方的角叫俯角(如图①)．的角叫仰角，在
2．方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 α(如图②)．
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求距离问题要注意： (1)选定或确定要创建的三角形，要首先确定所求量所在的三角形，若其他量已知则直接解；若有未知量，则把未知量放在另一确定三角形中求解． (2)确定用正弦定理还是余弦定理，如果都可用，就选择更便于计算的定理．