线性代数第一章
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第1章线性代数
第一节 二阶、三阶行列式
第一章 行列式
hang lie shi
二阶、三阶行列式的概念在中学已有介绍，在此进一步复习巩固。
一、二阶行列式
对于二元线性方程组
aa1211xx11
a12 x2 a22 x2
b1 ， b2 ，
由消元法得
((aa1111aa2222
a12a21 )x1 a12a21 )x2
第一章 行列式
第一章 行列式
行列式的概念是由解线性方程组 引入的，是线性代数中最基本的内容， 也是学习矩阵与线性方程组的理论基 础。本章主要包括行列式的概念、性 质、展开及应用——克莱姆法则。
目录
1 第一节 二阶、三阶行列式 2 第二节 n阶行列式 3 第三节 行列式的性质 4 第四节 行列式的展开 5 第五节 行列式的应用
研究问题的简捷，引入记号
第一章 行列式
hang lie shi
a11 a12 a13 D a21 a22 a23
a31 a32 a33
来表示变形方程（1-3）中 x1的系数，它是由未知量系数排成三行三列构成的，
称为三阶行列式，即
a11 a12 a13
D a21 a22 a23 a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32 a13a22a31 a12a21a33 a11a23a32
显然， D1 ，D2 可看作是以 b1 ，b2 为一列分别取代Ｄ中第1列、第2列得到。
于是，方程组的解可表示为
x1
D1 D
，
x2
D
．
由此，二元线性方程组可通过其未知量系数、常数项构成的二阶行列式
线性代数第一章
线性变换 (3)可看成是先作线性变换 ( 2)再作线性变换 (1) 的结果 .称线性变换 (3)为线性变换 (1) 与 ( 2)的乘积 , 相应把 (3) 所对应的矩阵定义为 (1) 与 ( 2) 所对应的矩阵的乘积 , 即
return PLAY
a11 a12 a 21 a22
b11 b12 a13 b21 b22 a23 b31 b32
由此得矩阵A与B相等是指A和B的对应元素都相等.
PLAY BACK
二、 数与矩阵的乘法
定义3 数λ与矩阵A的乘积记作λ A或 Aλ , 规定为
数乘矩阵满足以下运算规律(设A, B为同类型m × n矩阵, λ , µ为数)
λ a11 λ a12 L λ a1n λa 21 λ a22 L λ a2 n λ A = Aλ = M M M λa λ am 2 L λ amn m×n m1
a11b11 + a12b21 + a13b31 a11b12 + a12b22 + a13b32 = a21b11 + a22b21 + a23b31 a21b12 + a22b22 + a23b32 注意 : 第一个矩阵为 2 × 3而第二个矩阵为 3 × 2, 即 前面矩阵的列数与后面 矩阵的行数相等 .
θ + ϕ .因此, 这是把向量op (依逆 时针方向)旋转ϕ角(即把点p以 原点为中心逆时针旋转ϕ角)的
旋转变换.
PLAY
2. 矩阵与矩阵相乘
引例 设有线性变换 y1 = a11x1 + a12x2 + a13x3 y = a x + a x + a x 21 1 22 2 23 3 2 (1)
线性代数第一章行的列变换
假设矩阵为$A$，要乘以标量$k$ 得到新的矩阵$B$，则$B = kA$。
列倍乘
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍乘
1&2&3 4&5&6 7&8&9
列倍乘
01
end{bmatrix}$
02
乘以2得到
$begin{bmatrix}
03
列倍乘
2&4&6 14 & 16 & 18
THANKS
先求出原矩阵的行列式，然后求出 原矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩 阵的行列式除以原矩阵的行列式得 到逆矩阵。
初等行变换法
通过一系列初等行变换将原矩阵变 为单位矩阵，同时记录下每一步的 变换，最后得到逆矩阵。
06
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵按照某一 行展开，得到一个更 简单的方程组。
回代求解，得到方程 组的解。
8 & 10 & 12 end{bmatrix}$
列倍加
定义
将矩阵中的某一列加上另一个列。
公式
假设矩阵为$A$，要加上第$j$列得到新的矩阵$B$，则$B = A + A_{ j}$，其中$A_{ j}$表示第$j$列。
列倍加
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍加
1&2&3
1
4&5&6
行交换不改变矩阵的行列式值和秩。
行交换是可逆的，即交换任意两行后，可以通过再次交换这两行来恢复原始矩阵。
行倍乘
行倍乘是指将矩阵中的某一行 乘以一个非零常数。
行倍乘不改变矩阵的行列式值， 但会改变矩阵的秩。
列倍乘
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍乘
1&2&3 4&5&6 7&8&9
列倍乘
01
end{bmatrix}$
02
乘以2得到
$begin{bmatrix}
03
列倍乘
2&4&6 14 & 16 & 18
THANKS
先求出原矩阵的行列式，然后求出 原矩阵的伴随矩阵，最后将伴随矩 阵的行列式除以原矩阵的行列式得 到逆矩阵。
初等行变换法
通过一系列初等行变换将原矩阵变 为单位矩阵，同时记录下每一步的 变换，最后得到逆矩阵。
06
线性方程组的解法
高斯消元法
将增广矩阵按照某一 行展开，得到一个更 简单的方程组。
回代求解，得到方程 组的解。
8 & 10 & 12 end{bmatrix}$
列倍加
定义
将矩阵中的某一列加上另一个列。
公式
假设矩阵为$A$，要加上第$j$列得到新的矩阵$B$，则$B = A + A_{ j}$，其中$A_{ j}$表示第$j$列。
列倍加
例子：对于矩阵
$begin{bmatrix}
列倍加
1&2&3
1
4&5&6
行交换不改变矩阵的行列式值和秩。
行交换是可逆的，即交换任意两行后，可以通过再次交换这两行来恢复原始矩阵。
行倍乘
行倍乘是指将矩阵中的某一行 乘以一个非零常数。
行倍乘不改变矩阵的行列式值， 但会改变矩阵的秩。
线性代数 第一章、矩阵
张一 98 90 87 72 李二 89 90 86 98 王三 97 84 75 87 刘六 85 88 85 88
解： 用矩阵表示为
98
89
90 90
87 86
72
98
97 84 75 87
85 88 85 88
11
几种比较特殊的矩阵：
行矩阵：只有一行的矩阵
列矩阵：只有一列的矩阵
L
L L L
称为线性变换的系数矩阵。
am1
am 2
0 0 3
14
数量矩阵：对角矩阵中当 1 2 n时
例如：
5 0 0 0
0
5
0
0
就是一个数量矩阵
0 0 5 0
0
0
0
5
也就是说，数量矩阵是对角矩阵的一种特例
15
单位矩阵：当数量矩阵中对角线上的常数为1，
称为单位矩阵，用字母 E 或 En 表示
1 0 L 0
即
M M O M
ym am1 x1 am2 x2 amn xn .
称为由变量x1 ,x2 , ... ,xn到变量y1 ,y2 , ... ,ym的
变换为线性变换。线性变换由 m 个 n元函数
组成，每个函数都是变量的一次幂，故而称
之为线性变换。
17
a11 a12 L
其中,由系数构成的矩阵
A
a21
a22
0
0
L
1
特点:从左上角到右下角的直线(主对角线)上
的元素都是1，其他元素都是0。
16
定义1.4
线性变换：
如果变量y1 ,y2 ,... ,ym可由变量x1 ,x2 ,... ,xn线性表示,
线性代数第一章 矩阵
16 150 160 140
丁 25
16 180 150 150
甲乙丙丁 单价 20 50 30 25 重量 16 20 16 16
200 180 190 100 120 100 150 160 140 180 150 150
第一章 矩阵
§1.1 矩阵概念
例2. 四个城市间的单向航线如图所示.
1
4
甲 220 185 200
乙 105 120 110
第二次
两次累计:
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 420
乙
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
§1.2 矩阵的基本运算
一. 矩阵的线性运算
1. 加法
例3.
产品
发到各商场的数量
ABC
甲 200 180 190
乙 100 120 100
第一次
产品
发到各商场的数量
例如A =
1 0
1 0
,B=
1 1
0 0
,
AB =
2 0
0 0
,
A2 =
1 0
1 0
= A, B2 =1 10ຫໍສະໝຸດ 0=B,(AB)2 =
4 0
0 0
,
A2B2 = AB =
2 0
0 0
,
第一章 矩阵
§1.2 矩阵的基本运算
例:
1 设A = BC, 其中B = 2 , C = [1 2 3],
2
3
若用aij表示从i市到j市航线的条数, 则上图信息可表示为
a11 a12 a13 a14
01 1 1
a21 a22 a23 a24 a31 a32 a33 a34
第一章线性代数
2. 初等矩阵的性质 定理1.1. 定理1.1. 对m×n矩阵A施行一次初等行变换 矩阵A施行一次初等行 相当于在A 相当于在A的左边乘以相应的初等 矩阵; 施行一次初等列 矩阵; 对A施行一次初等列变换相 当于在A 当于在A的右边乘以相应的初等矩 阵.
第一章 矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵
§1.5 方阵的逆矩阵 一. 逆矩阵的概念 1. 定义: 设A为方阵, 若存在方阵B, 使得 定义: 为方阵, 若存在方阵B AB = BA = E, 则称A可逆, 并称B 则称A可逆, 并称B为A的逆矩阵. 逆矩阵. 2. 逆矩阵是唯一的， A−1. 逆矩阵是唯一的， 记为A 记为 3. 性质:设A, B为同阶可逆方阵, 数k ≠ 0. 则 性质: 为同阶可逆方阵, (1) (A−1)−1 = A. (2) (AT)−1 = (A−1)T. (A (3) (kA)−1 = k−1A−1. (4) (AB)−1 = B−1A−1.
则λA =
λA11 λA12 … λA1r λA21 λA22 … λA2r
… … … … . λAs1 λAs2 … λAsr
第一章 矩阵
§1.3 分块矩阵
3. 分块乘法
设A为m×l矩阵, B为l ×n矩阵, 将它们分块如下 矩阵, 矩阵, A11 A12 … A1t B11 B12 … B1r A21 A22 … A2t B21 B22 … B2r A= … … … … , B= … … … … , As1 As2 … Ast Bt1 Bt2 … Btr 其中A 的列数分别与B 其中Ai1, Ai2, …, Ait的列数分别与B1j, B2j, …, Btj的 行数相等. 行数相等. C11 C12 … C1r t C21 C22 … C2r 其中C 则AB = … … … … , 其中Cij = Σ AikBkj , k=1 Cs1 Cs2 … Csr (i = 1, 2, …, s; j = 1, 2, …, r.)
线性代数第一章矩阵的转置
矩阵转置的性质
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。
矩阵转置具有一些重要的性质，如$(A+B)^T=A^T+B^T$、$(AB)^T=B^TA^T$、$(A^T)^T=A$等，这 些性质在基变换过程中具有重要作用。
实例分析：利用矩阵转置进行向量空间基变换
实例描述
基变换过程
结果分析
考虑二维平面上的一个向量空间，其 原基为$begin{bmatrix} 1 0 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} 0 1 end{bmatrix}$，现需要将其变换为 新基$begin{bmatrix} 1 1 end{bmatrix}$和$begin{bmatrix} -1 1 end{bmatrix}$。
线性代数第一章矩阵的转置
• 矩阵转置基本概念 • 矩阵转置与线性变换 • 特殊类型矩阵的转置 • 矩阵转置在方程组求解中应用 • 矩阵转置在向量空间中应用 • 总结与回顾
01
矩阵转置基本概念
矩阵转置定义
01
将矩阵的行和列互换得到的新矩 阵称为原矩阵的转置矩阵。
02
对于任意矩阵A，其转置矩阵记为 AT或A'，满足AT=A'。
关键知识点总结
01
02
03
04
$(kA)^T = kA^T$，其中$k$ 是常数
$(AB)^T = B^TA^T$
对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = A$，则称$A$为对称
矩阵。
反对称矩阵：若矩阵$A$满足 $A^T = -A$，则称$A$为反
对称矩阵。
常见误区提示
误区一
认为只有方阵才能进行转 置操作。实际上，任何形 状的矩阵都可以进行转置。
误区二
错误地认为$(AB)^T = A^TB^T$。正确的公式是 $(AB)^T = B^TA^T$。
线性代数第一章行列式
04
式可以表示为三个向量的向量积的 二倍，即 |a b c| = 2abc。
向量积的符号由行列式的值决定，当行列式 值为正时，向量积为正；当行列式值为负时， 向量积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的 形状，当行列式值为正时，平行四 边形为锐角；当行列式值为负时， 平行四边形为钝角。
行列式与平行四边形面积的关系
行列式可以表示平行四边形的面积，即 |a b| = ab/2。
当行列式值为正时，平行四边形的面积为正； 当行列式值为负时，平行四边形的面积为负。
行列式可以用来判断平行四边形的方向，当行 列式值为正时，平行四边形为顺时针方向；当 行列式值为负时，平行四边形为逆时针方向。
行列式与空间向量的关系
01
02
03
行列式可以表示空间向量的模长，即 |a b c| = abc。
当行列式值为正时，空间向量的模长 为正；当行列式值为负时，空间向量 的模长为负。
行列式可以用来判断空间向量的方向 ，当行列式值为正时，空间向量为右 手系；当行列式值为负时，空间向量 为左手系。
05
行列式的应用实例
在线性方程组中的应用
定义
代数余子式是去掉一个元素所在的行和列后，剩 下的元素构成的二阶行列式。
性质
代数余子式与去掉的元素所在的行和列的符号有 关。
计算方法
可以通过二阶行列式的计算法则来计算代数余子 式。
行列式的展开定理
01
定理内容
一个n阶行列式等于它的任一行 （或列）的所有元素与其对应的 代数余子式的乘积之和。
02
03
定性。
求解线性方程组
03
在求解线性方程组时，可以利用展开定理计算系数矩阵的行列
式值，从而判断方程组是否有解。
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4
主要内容
向量 矩阵
二次型
矩阵的特征 值、向量
线性方程组
行 列 式
5
第1讲 低阶行列式 一、一个新的数学符号
， ， ， ， 等 功能（性质）符合 ，
b
运算符号
， ， ， , lim, 等
a x
介绍一个新的运算符号 a11 a12 a1n -------行列式
19
x 0 ex、计算行列式D 0 y
y x 0 0
0 y x 0
0 0 y x
20
21
第2讲 n 阶行列式
a11 a 21 Dn a n1
a12 a 22
a1n a2n
n n
?
a n 2 a nn
行列式=不同行不同列元 素乘积的“代数和”
22
j1 j2 jn
7
x 2 ex2, 0的充要条件是。 2 x
a11 (2), a21 a31 a12 a22 a32 a13 a23 a11a22 a33 a13 a21a32 a12 a23 a31 a33
a13 a22 a31 a11a23 a32 a12 a21a33
1 2 4 1 2 4
2 5 1 2 8 10 3 1 2 8 9 3 27 3 1 9
11
3，交换两行，其值变号；
2 3 1 ex、计算D1 D2 , 其中D1 4 1 0 2 1 3 2 1 3 D2 4 0 1 2 3 1
12
可以推出：
1，两行相等 2, 两行成比例
行列式 n!个因子的代数和， 1 （其中正、负项各为 n!个。） 2
25
二、行列式的计算
a11 a21 Dn an1
a12
a1n
a22 a2 n an 2 ann
nn
j1 j2 jn
( j1 j2 jn ) ( 1 ) a1 j1 a2 j2 anjn
a12 a 22 a32
a 23 aij Aij (i 1,2,3) j 1 a33
a13
3
且有a11 Aj1 a12 Aj 2 a13 Aj 3 0, ( j 2,3)
D i j 即：ai1 A j1 ai 2 A j 2 ai 3 A j 3 0 i j
1
线性代数与解析几何
教材：《线性代数与空间解析几何》
赵礼峰 李雷 张爱华 王晓平 万彩云 编
2
学科特点
1.概念多，且概念之间联系紧密； 2. 内容比较抽象； 3.运算多且许多运算与数的运算有很大差别； 4.计算与证明有时不一定分得清楚； 5.教学任务重，部分同学有考研任务。
3
约法三章： 1、不影响我上课的情绪 2、根据上课进度自己从小册子 上选择作业( 每1周交一次） 3、保证保质保量地完成教学任务
D aij
nn
, D T D a ji
2 3
nn
1 验证D1 0 3
1 0
3
1 0 D2 2 2 2 3
1 2 0 2
以下仅考虑有关行的性质
10
2，某一行有公因子，可以提到行列式外
2 4 8 1 2 4 ex、D 5 10 40 2 5 10 40 9 3 27 9 3 27
i1i2 in
(i1i2 in ) ( 1 ) ai11ai2 2 ainn
26
1 0 ex1、D1 0
0 2 0
0 0 n
0 0 D3 n 0 2 0 1 0 0
27
1 2 n 0 2 n D2 0 0 n
17
ex, D
1 0 3 1
0 1 4 2
Байду номын сангаас
3 2 0 2
7 0 3 1
,求
1, A12 , A23； 2，A11 2 A12 2 A13 A14； 3，A11 A21 2 A31 2 A41。
18
t1 A11 t 2 A21 t 3 A31 t 4 A41 1 0 3 1 0 1 4 2 3 t1 2 0 2 t2 t3 t4
1、排列、全排列
1，2，3，4； 1，3，2，4； 2，4，3，1；
2、逆序，逆序数 3、奇（偶）排列 4、对换，对奇（偶）排列的影响
2， 1， 4， 5， 3 1， 2， 4， 5， 3 5， 1， 4， 2， 3
24
由n个数组成的排列中：
1、共有n!个排列； 1 2、奇、偶排列各有 n!个。 2
7
7
28
1 2 2 1 3 x ex3、方程； 3 4 3 4
3 4 3 4 0，的根为 。 1 2 1 6 x2
29
三
n阶行列式的计算
a b b b a b ex1, D , ( a b) b b a
30
1 x1 ex2, D 1 1
(1)
( j1 j2 jn )
a1 j1 a2 j2 anjn
i1i2 in
(1)
(i1i2 in )
ai11ai2 2 ainn
ai1 j1 ai2 j2 ain jn
(1)
i, j
(i1i2 in ) ( j1 j2 jn )
23
一、一些基本概念、结论
1
1 1 , ( x j 0)
1 x2 1
1 xn
31
a1 x ex3, D x x
x a2 x x
x
x x x , (a j 0)
x a3 x
an
32
33
1 27 0 0
1 1 1
1
1
1 1 0
1 3 27 1
3 27 0 4 0
14
5，一个行列式可以以某行为基础拆
成两个行列式之和。
a
b
c
验证D D1 D2 其中D 2a a b a c 1 2 3 a b c a b c D1 a b c , D2 a a a 1 2 3 1 2 3
a21 an1 a22 a2 n an 2 ann
nn
6
?
规定：
(1),
a11
a12
a21 a22
a11a22 a12 a21
x D2 y y x
1 2 ex1, D1 3 4
sin D3 cos cos sin
a b a b D4 a b a b
其值为零。
ex, 验证：D1 D2 0, 其中 1 D1 1 x 1 1 y 1 z 2 a 1 1 b c
13
1 , D2 10 5 5
4，某一行元素同乘一常数后加入另一行， 其值不变。！！
102 103 105 ex : 计算行列式D 75 76 78 10 11 14 27 27 27 1 1 1 75 76 78 27 75 76 78 10 11 14 10 11 14
15
三、行列式的展开
1，行列式的子式、余子式；元素的余子式 代数余子式
ex,已知：D x 2 1 6
2
0 1 1 y
2x 2y y 2
xy x 1 0
，求
(1), 第一、三行，二、四列 的子式，余子式； (2), 元素x , y的余子式，代数余子式 .
16
2
2，展开定理
a11 D a 21 a31
行列式=不同行不同列元素 乘积的“代数和”
8
x 2 0 ex3, f ( x) 2 x 0 , 求： 1，方程f ( x) 0的根， 2 2 x 2, 解不等式f ( x) 0, 3，求f ( x).
1 ex4, 计算行列式 2 3
0 1 0
3 2 的值。 2
9
二、行列式的性质 1、转置行列式其值不变
x 3 x ex2、f ( x) x4 4
x2 x 0 3
1 2 x 4
0 1 , 则： 2 x
1，f ( x)的次数为 ； 2，其系数为 。
a12 a21a33 a44 1x ,
7
a12 a23 a 31 a44 2 x 3 x