非平稳信号分析与处理概述
平稳和非平稳振动信号的若干处理方法及发展
平稳和非平稳振动信号的若干处理方法及发展①丁康(西安交通大学机械工程学院西安,710049)陈健林苏向荣(汕头大学机械电子工程系广东汕头,515063)摘要回顾了稳态或准稳态振动信号处理方法中的离散频谱分析与校正、细化选带频谱分析、解调分析和高阶谱分析,非平稳振动信号处理方法中的转速跟踪分析、短时傅立叶分析、Wi g n e r-V i l l e分布、小波分析和H i l b e r t-H u a n g变换的发展历史,论述了各类方法的原理,分析其特点和在工程中的应用,探讨了发展前景。
关键词:信号处理;频谱校正;解调分析;时频分析中图分类号:T N11.72;T H856概述在很多行业中,对实际测量的振动信号采用各种数字信号处理方法进行分析和处理,提取各种特征,用以参数检测、质量评价、状态监视和故障诊断,所以振动信号的数字处理方法一直是近10年的主要研究方向之一。
振动信号数字处理方法大致分为两类:一类是稳态或准稳态信号的各类处理方法,典型的有离散频谱分析和校正理论、细化选带频谱分析、解调分析和高阶谱分析等;第二类是非平稳信号的各类处理方法,典型的有转速跟踪分析、短时傅立叶分析、Wi g n e r-V i l l e分布、小波分析和H i l b e r t-H u a n g变换等。
近几年来盲信号分离和循环统计量也开始应用于振动信号分析中[1～2]。
1稳态或准稳态振动信号的处理方法稳态振动信号是指频率、幅值和相位不变的动态信号,主要的分析方法有离散频谱分析和校正理论、细化选带频谱分析、高阶谱分析。
对于频率、幅值和相位周期性变化的准稳态信号分析方法主要是解调分析。
1.1离散频谱分析与校正1965年库利-图基在计算数学杂志上首次提出快速傅立叶变换(F F T)以来[3],离散频谱分析实现了信号从时域到频域分析的转变。
F F T成为数字信号分析的基础,广泛应用于工程技术领域,所以F F T是信号处理的一个辉煌的里程碑。
故障诊断信号的非平稳性
收 稿 日期 ：０ １０ ＿８ ２ １ ． ｏ ４
河北联合 大学 学报 （ 自然科学 版 ）
第３ ４卷
１假设我们观察一段长度为 的时域数据 ， ） 并等间隔采样。将数据归一化 ， ０ １ 范围内生成一个 在［ ， ］
ｆ ＝ Ｔ ）一 ）＝ 一ｉ ＞ ｉ Ｄ （ｆ （ √ ，、 ，
【 ＝Ｎ —Ｔ ）＋ ）＝Ｎ —ｉ Ｊ Ｄ （ｆ （ ＋， Ｊ＜ｉ 其中 ）：ｉ （ 代表点 沿轨迹的时间定位 ｉ 。 ４ 对于一个参照点 ∈Ａ， ） 在给定的空间距离 占 内找到 所有的附近点的集合 ：
１ 故 障诊 断信号 的非平稳性分析
在信号处理中， 平稳性主要是根据信号的统计量特征来衡量。若该信号各阶统计量与时间无关 ， 则称该 信号是平稳信号 ； 若该信号某阶统计量随时问变化 ， 则称该信号为非平稳信号。在机械设备监测诊断中， 准 确地分辨信号 的平稳性至关重要 ， 只有对信号进行了非平稳判定才能选择适合 的分析方法和手段＿ 。 ４ Ｊ
第３ 卷 ４
第１ 期
河北联合大学学报 （ 自然科学版）
Ｊｕｎｌ ｆ ｂｉ ｎｔｄＵｎｖｒｉ Ｎ ｔｒｌ ｃ ｎｅＥ ｉｏ） ｏｒａ ｅ Ｕ ｉ ｉ ｅｓｙ（ ａ ａ Ｓｉ ｃ ｄｉ ｏ Ｈｅ ｅ ｔ ｕ ｅ ｔｎ
Ｖｏ ． ４ Ｎｏ １ １３ ．
２１ ０２年 １ 月
６ 从时间一 ） 指数的最小值到最大值将全体数据平分（ １ 等份 ， Ｋ＋ ） 创建一个归一化的概率密度分布 函数 ：
法是促使机械监测诊断不断发展的客观需要 。 短时博里叶变换 （ Ｔ ）缺乏细化能力 ， ｓ ｎ１ 反映强烈瞬变信号的非平稳性功能不足 ； 主分量 自回归谱有一 定 的时频局部化功能， 但对于非平稳信号分析能力不强 ； ｇｅ 时频分布具有对准平稳或非平稳信号分析 Ｗｉ ｒ ｎ 的功能 ， 是具 有交叉 干涉项 ¨ 。小波 变换具有 良好 的时 频局 部性 ， 但 Ｊ 根据 需要 调整 时 间与频 率 分辨 率 ， 有 具 多分辨率分析的特点。其时频分析的结果同经典的分析方法有所不同 ， 在高频范围内时间分辨率高 ， 在低频 范围内频率分辨率高 ， 在全频带 内正交分解的结果， 信息量既无冗余也不疏漏， 尤其适合分析时变非平稳信
平稳和非平稳振动信号的若干处理方法及发展
采用复解析带通滤波器进行选带细化谱分析的
A D 板可以研制出标定仪器, 填补这方面的空白; 原理为: 构造复解析带通滤波器→对时域信号隔D
(5) 精密分析各类振动信号频谱。
(细化倍数) 点或 2D 点进行复解析带通滤波→移频
到目前为止, 以上的校正方法都只能解决离散 →FFT 和谱分析。典型的算法为: (1) 确定中心频率
三点卷积校正法不受转速有小波动的影响, 是稳态 换是解析带通, 故称复解析带通滤波器。
扭振信号的最佳选择; (4) 高精度的频率与幅值校准 系统, 目前国内在精确标定动态信号的频率和幅值
1. 2. 2 基于复解析带通滤波器的复调制细化选带 频谱分析方法[27～ 29 ]
的仪器方面还是空白, 利用比值校正法配合高精度
1 稳态或准稳态振动信号的处理方法
稳态振动信号是指频率、幅值和相位不变的动 态信号, 主要的分析方法有离散频谱分析和校正理 论、细化选带频谱分析、高阶谱分析。对于频率、幅值 和相位周期性变化的准稳态信号分析方法主要是解 调分析。
1. 1 离散频谱分析与校正
1965 年库利2图基在计算数学杂志上首次提出 快速傅立叶变换 (FFT ) 以来[3], 离散频谱分析实现 了信号从时域到频域分析的转变。FFT 成为数字信 号 分 析 的 基 础, 广 泛 应 用 于 工 程 技 术 领 域, 所 以 FFT 是信号处理的一个辉煌的里程碑。
加 H ann ing 窗 的 校 正 精 度 非 常
(1) 不适用于频率过于密集的分 析场合或连续谱。
法 (内 插 法)
两条谱线的窗谱函数比值, 建立一个以 校正频率为变量的方程, 解出校正频率, 进而进行幅值和相位校正[4, 11 ]。
高, 频率误差小于 010001 倍频率 分辨率, 幅值误差小于万分之一, 相位误差小于 1 度。
非平稳信号的时频分析与处理方法研究
非平稳信号的时频分析与处理方法研究非平稳信号的时频分析与处理方法研究摘要：随着科学技术的不断发展，各种实际应用中所涉及的信号越来越复杂。
而这些复杂信号往往都属于非平稳信号，传统的频域和时域分析方法已经无法满足对这些信号的需求。
因此，本文将探讨非平稳信号的时频分析与处理方法，并介绍一些常用的方法。
一、引言非平稳信号是指在一定时间范围内，信号的统计特性随时间变化的信号。
非平稳信号的时频分析与处理是研究领域中的一个重要课题。
本文将从频域分析和时域分析两个方面，介绍一些常见的非平稳信号的时频分析与处理方法。
二、频域分析频域分析是通过将信号从时域变换到频域，可以观察信号在不同频率上的特性。
常用的频域分析方法有傅里叶分析和小波分析。
1. 傅里叶分析傅里叶分析是最常用的频域分析方法之一，它可以将信号分解为不同频率的正弦函数的叠加。
在非平稳信号的分析中，可以使用短时傅里叶变换（STFT）来对信号进行时频分析。
STFT 将信号分成多个时间段，在每个时间段内进行傅里叶变换，从而得到不同时间段上的频谱。
2. 小波分析小波分析是近年来发展起来的一种频域分析方法，它可以同时给出信号的时间和频率信息，并且在时频域上的分辨率更高。
小波分析的基本思想是使用一组母小波作为基函数来对信号进行分解，从而得到不同尺度和不同频率上的信号分量。
常用的小波分析方法包括连续小波变换（CWT）和离散小波变换（DWT）。
三、时域分析时域分析是研究信号在时间上的特性，可以观察信号的波形、振幅和相位等特性。
常用的时域分析方法有移动平均、高斯滤波和自回归模型等。
1. 移动平均移动平均是一种简单的时域分析方法，它通过计算信号一段时间内的平均值来平滑信号。
移动平均可以降低信号的高频成分，使得信号更加平稳。
2. 高斯滤波高斯滤波是一种基于高斯函数的平滑滤波器，可以在时域上对信号进行平滑处理。
高斯滤波通过卷积操作实现，可以去除信号中的噪声和干扰。
3. 自回归模型自回归模型是一种常用的线性预测模型，它利用信号的过去值来预测当前值，从而对信号进行分析和预测。
一种新的非平稳信号分析方法
数字信号处理学号：130080402025学生所在学院：测试与光电工程学院学生姓名：XXX任课教师：李志农教师所在学院：测试与光电工程学院2013年12月13级4班一种新的非平稳信号分析方法——局部特征尺度分解法XXX（南昌航空大学测试与光电工程学院，南昌江西330063）摘要：在研究内禀时间尺度分解(Intrinsic Time-Scale Decomposition,ITD)方法的基础上提出了一种新的自适应时频分析方法——局部特征尺度分解(Local Characteristic-scaleDecomposition,LCD)方法,该方法可以自适应地将一个复杂的多分量信号分解为若干个瞬时频率具有物理意义的内禀尺度分量(Intrinsic Scale Component,ISC)之和。
首先对LCD方法的原理进行了分析,关键词：局部特征尺度分解；时频分析；内禀时间尺度分解；非平稳信号引言经典的傅里叶变换方法只能处理线性和平稳信号,而自然界中的大部分信号是非线性和非平稳的。
由于时频分析方法能同时提供非平稳信号在时域和频域的局部化信息而得到了广泛的应用。
典型的时频分析方法有短时傅里叶变换、Wigner-Wille分布、小波变换等[1]。
但这些方法都有各自的缺点,如窗口傅里叶变换具有固定的时频窗口,Wigner-Wille分布[2-3]存在交叉项干扰,而小波变换则需要事先选择小波基,缺乏自适应性[3]。
这样就出现了自适应时频分析，自适应时频分析方法的特点主要表现在不需要对被分析信号的形态特征或者信息做出预测和限制的前提下，可以在对信号进行分解的过程中根据信号本身的特性自动产生基线信号，从而使得分解结果具有一定的物理意义[4]。
其中，最具代表性的是EMD方法，该方法在定义瞬时频率具有物理意义的内禀模态函数(简称IMF)的基础上，将复杂得多分量信号自适应的分解为若干个IMF分量之和，进一步对每个IMF分量进行希尔伯特变换求出瞬时频率和瞬时幅值，从而得到原始信号的完整的时频分布[5]。
非平稳信号分析的技术现状与方法研究
格式No1—2D目次前言 (1)第一章故障信号的非平稳性 (2)第二章非平稳信号常用的处理方法 (4)2.1 非平稳信号的处理方法 (4)2.1.1 分段或选段傅里叶变换 (5)2.1.2 加Hanning窗转速跟踪分析 (5)2.1.3 短时傅立叶变换 (5)2.1.4 小波变换 (6)2.2 Wigner-Ville分布 (7)2.3 奇异值分解方法 (8)2.3.1 基于奇异值分解的故障诊断技术现状 (9)2.3.2 提取突变信息的奇异值分解方法 (10)2.3.3 提取突变信息的改进奇异值分解方法 (11)2.3.4 模拟信号提取结果及与改进前的比较 (14)2.4 局部均值分解 (16)2.5 数学形态学 (19)2.6 分数Fourier变换 (23)2.6.1 Fourier变换简介 (23)2.6.2分数阶Fourier变换的应用 (24)第三章常用非平稳信号处理方法的比较 (26)3.1 Fourier变换、短时Fourier变换和小波变换的比较 (26)3.2 小波变换与奇异值分解方法的比较 (27)3.3 奇异值技术与改进奇异值技术之间的比较 (31)3.3.1 J103型模型试验器动静件较重碰摩振动信号 (32)3.3.2 柔性转子实验台动静件碰摩振动信号 (34)3.4 EMD方法与LMD方法的比较 (36)第四章结论 (39)前言本报告主要是研究非平稳信号的特性及其在发动机典型故障诊断中的应用特点，从而对不同故障的引起的非平稳性信号处理方法进行选择，并加以改进，达到应用于工程实际的目的。
第一章故障信号的非平稳性设备或工程系统在运行中产生的各种信息、被诊断结构系统在激励作用下产生的各种信息，由传感器变换为信号输出。
信号中包含有丰富的用来作为故障诊断依据的各种特性参数，同时还伴随着各种各样的噪声，并多半以随机的形式出现。
因此为了对系统进行故障诊断，就需要从这些信号中提取出诊断所需的特性参数和确定它的特性曲线。
现代信号处理第5章 非平稳信号处理方法
经典的傅里叶分析能够完美地描绘平稳的正弦信号及其组合，
但不能恰当地反映非平稳信号的特征。 许多随机过程从本质上来讲是非平稳的，例如语音信号、冲 击响应信号 、机组启、停机信号等。 必须寻找既能够反映时域特征又能够反映频域特征的新方法。
本章介绍短时傅里叶变换、小波变换和小波包分析等非平稳
x(t ), h(t )e j 2ft
(5.1.2)
h(t ) 是中心位于 0，高度为 1、宽度有限的时窗函数，通过 h(t ) 所观察到的信 号 x(t ) 的部分是 x(t )h(t )。 h(t )e j 2ft 是 STFT的基函数。
x(t)h(t)
h(t) 1
h(t-τ)
x(t)
0
2018年10月17日
τ
t
5
机械工程学院机自所动态室
5.1 短时傅里叶变换
窗函数 h(的选取是关键。最优窗函数是高斯函数。 t)
hG (t ) 1 2 e
t2 4
0
(5.1.3)
高斯窗函数的形状是：
1 ，1/4 ， 1/16
2018年10月17日 机械工程学院机自所动态室 17
5.2 小波变换
5.2.1 多分辨分析及其工程意义
j Z; 3) 伸缩规则性： x(t ) V j x(2t ) V j 1 , (5.2.9)
性质3)表明所有的子空间可以由一个基本空间通过尺度的伸缩变化得到， 在不同的分辨率时，逼近运算相同。
“小波”就是小的波形。所谓“小”是指局部非零，波形 具有衰减性；“波”则是指它具有波动性，包含有频率的 特性。 小波分析的思想来源于伸缩和平移方法。
平稳和非平稳振动信号的处理方法综述
平稳和非平稳振动信号的处理方法周景成（东华大学机械工程学院，上海 201620）摘要：本文主要综述了当前对于平稳和非平稳振动信号的处理方法及其优缺点，同时列举了目前振动信号处理的研究热点和方向。
关键词：稳态非稳态振动信号处理；方法；优缺点。
1．稳态与非稳态振动信号的界定稳态振动信号是指频率、幅值和相位不变的动态信号，频率、幅值和相位做周期性变化的信号称为准稳态信号，而对于频率、幅值和相位做随机变化的信号则称为非稳态信号。
2. 稳态或准稳态振动信号的主要处理方法及其优势与局限对于稳态振动信号，主要的分析方法有离散频谱分析和校正理论、细化选带频谱分析和高阶谱分析。
对于准稳态信号主要采用的是解调分析。
对于非稳态振动信号主要采用加Hanning窗转速跟踪分析、短时傅里叶变换、Wigner-Ville 分布和小波变换等。
对于任一种信号处理方法都有其优势和劣势，没有完美的，具体在工程实际中采用哪一种分析方法得看具体的工程情况而定，不能一概而论。
2. 1 离散频谱分析与校正离散频谱分析是处理稳态振动信号的常用方法，离散频谱分析实现了信号从时域到频域分析的转变。
FFT成为数字信号分析的基础，广泛应用于工程技术领域。
通过离散傅里叶变换将振动信号从时域变换到频域上将会获得信号更多的信息。
对于这一方法，提高信号处理的速度和精度是当下两个主要的研究方向。
由于计算机只能对有限多个样本进行运算，FFT 和谱分析也只能在有限区间内进行，这就不可避免地存在由于时域截断产生的能量泄漏，离散频谱的幅值、相位和频率都可能产生较大的误差，所以提高精度成为近一段时间主要的研究方向。
上世纪70年代中期，有关学者开始致力于离散频谱校正方法的研究。
目前国内外有四种对幅值谱或功率谱进行校正的方法：(1)比值校正法(内插法)；(2)能量重心校正法；(3)FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法；(4)相位差法。
四种校正方法的原理和特点见表1[1].从理论上分析，在不含噪声的情况下，比值法和相位差法是精确的校正法，而能量重心法和FFT+FT谱连续细化分析傅立叶变换法是精度很高的近似方法。
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《非平稳信号分析与处理概述》2 时频表示与时频分布本章主要内容：讨论非平稳信号的时－频分析，包括分析的有关概念短时傅立叶变换、Wigner分布及Cohen类分布。
重点是Wigner的性质、Wigner 分布的实现、Wigner分布中交叉项的行为及Cohen分布中核函数对交叉项的抑制等。
时频表示与时频分析的提出分析与处理平稳信号最常用的数学工具是Fourier分析。
它建立了信号从时域到频域变换的桥梁。
它表征了信号从时域到频域的一种整体（全局）变换。
在许多实际应用中，信号大多是非平稳的，其统计量（如均值、相关函数、功率谱等）是时变的，这时采用传统的Fourier变换并不能反映信号频谱随时间变化的情况，需引入新的处理信号的数学工具，时频表示和时频分析是源于考虑信号的局部特性而引入的。
时频表示：用时间和频率的联合函数来表示信号，记作T（t，f）。
时频分析：能够描述信号的能量密度分布的时频表示称为时频分析，记作P（t，f）。
典型的线性时频表示有：短时Fourier变换、小波变化和Gabor变换。
2．1 基本概念1．传统的Fourier变换及反变换：S（f）=s（t）=2．解析信号与基带信号⑴定义（解析信号）：与实信号s（t）对应的解析信号（analytic signal）z（t）定义为z（t）=s（t）+jн[s（t）]，其中н[s（t）]是s（t）的Hilbert变换。
实函数的Hilbert变换的性质：若x(t)= н[s(t)]则有s(t)=- н[x（t）]s(t)=- н2[x（t）]⑵实的调频信号a（t）cos对应的解析信号为z（t）=a（t）cos+jн[a（t）cos]=A（t）（2.1）⑶任何一个实调幅-调频信号a（t）cos的解析信号若满足一定的条件，就可写成式(2.1)所示的形式。
⑷实窄带高频信号s（t）=a（t）cos[2πf0t+]的解析信号为z（t）=a（t）（2.2）将上式乘以，即经过向左频移f0成为零载频，其结果称为基带信号 z B（t）= a（t）它是解析信号的复包络，也是解析信号的频移形式，因此在时频分析中和解析信号具有相同的性质。
⑸高频窄带信号的实信号、解析信号和基带信号的比较及其转换。
3．瞬时频率和群延迟⑴ 瞬时频率f i信号s（t）=a（t）cos 的瞬时频率定义为可以看出它为解析信号的相位的导数。
物理意义：把解析信号z（t）表示为复平面的一向量，则瞬时频率即为向量幅角的转速。
⑵群延迟τg（f）频率信号的群延迟定义为τg（f）=物理意义：设零相位的信号加有一线性相位，则信号做不失真延迟，其延迟时间为该线性相位特性的负斜率。
需要指出的是，瞬时频率和群延迟可以描述非平稳信号的时频局域特性，但它们只能用于理想的单分量信号场合。
4．不确定性原理对有限能量的零均值复信号z（t），其有限宽度T=和频谱Z（f）的有限宽度B=分别称为该信号的时宽和带宽，并定义为：T2== 和 B==对信号z（t）沿时间轴做拉伸z k（t）=z（kt），由时宽定义可求得拉伸信号是原信号时宽的k倍，即；类似地，可求出拉伸信号的带宽是原信号带宽的,即。
由此可见==常数，这一结论说明对任何信号恒有TB=常数的可能性。
命题：（不确定性原理）对于有限能量的任意信号，其时宽和带宽的乘积总满足不等式：时宽-带宽乘积=TB=≥或TB=≥不确定性原理也称测不准原理或Heisenberg不等式，式中的Δt和Δf分别称为时间分辨率和频率分辨率，表示两时间点和两频率点之间的区分能力。
重要意义：既有任意小的时宽，又有任意小的带宽的窗函数是根本不存在的。
2．2 短时Fourier变换线性时频表示：满足叠加原理或线性原理，如：z（t）=c1z1（t）+c2z2（t）→T z（t，f）=c1T z1（t，f）+c2T z2（t，f）1．连续短时Fourier变换⑴ 定义： 给定一个时间宽度很短的窗函数γ（t），令窗滑动，则信号z（t）的短时Fourier变换定义为STFT z（t，f）= （2.3）可以看出，由于窗函数γ（t）的移位使短时Fourier变换具有选择局域的特性，它既是时间的函数，又是频率的函数，对于一定的时刻t，STFTz（t，f）可视为该时刻的“局部频谱”。
⑵信号完全重构的条件：重构就是由STFTz（t，f）求出原信号z（t）的过程p（u）= （2.4）===z(u)=z(u)显然，为了实现信号的“完全重构”，则需窗函数满足如下条件： =1 （2.5）才能使p(u)=z(u)。
可以看出，满足式（2.5）的窗函数很多，如何选择将取决于所研究信号的局域平稳特性。
这里有三种最简单的选择：① g(t)=γ(t)② g(t)=(t)③ g(t)=1当取条件①时，完全重构条件成为=1即所谓能量归一化，这时式（2.4）可写成：z(t)= （2.6）与维数相同的正、反Fourier变换形成对照的是，短时Fourier正变换是一维变换，而它的反变换是则为二维变换。
以上讨论表明：短时Fourier变换式（2.3）相当于信号分析，通过分析窗得到二维的时频分布STFT（t,f），它在任一时刻t的切片即是信号在该时刻的“局部频谱”。
短时Fourier反变换即式（2.6）相当于信号的综合，它通过综合窗从STFT（t,f）恢复或综合得到原信号z(t)。
2．短时Fourier变换的基本性质⑴ 频移和时移特性：（2.7）（2.8）以上两式表明，STFT具有频移不变性，但不具有时移不变性。
不过，在相差一相位因子范围内可以保持时移不变性。
⑵ 将（2.3）式在时域的加窗实现变换为频域的滤波实现，则有STFT（t，f）= （2.9）其中，谱窗是时间窗的Fourier变换。
式（2.9）可以解释为信号通过频率响应为的滤波器输出乘以得到，它是一个带通滤波器，中心频率为f。
将式（2.9）做变量代换：,可得STFT（t，f）= （2.10）式（2.10）可视为短时Fourier的低通滤波器实现，与带通实现等价。
3．窗函数g（t）的选择如前所述，满足能量归一条件的窗函数很多，然而描述局部特性的时间分辨率和频率分辨率相互制约，即不可能同时获得具有高分辨率的时宽和高分辨率的带宽。
如 g(t)= (t)和g(t)= 1即为两个极端的情况：当g(t)= (t)时，时宽为零，频率带宽为无穷大，所以相应的STFT具有理想的时间分辨率，但此时没有频率分辨率；当g(t)= 1时，相应的STFT虽可获得理想的频率分辨率，但却丧失了时间分辨率。
综上所述，局部谱的正确表示应考虑窗函数g（t）的宽度与信号的局域平稳长度相适应。
在实际应用中，我们希望选择的窗函数具有很好的时间和频率聚集性（即能量在时频平面是高度集中的），使得STFT（t，f）能够有效地对应为信号z（t）在时频点（t，f）附近的“内容”。
4．离散短时Fourier变换对应于连续的短时Fourier变换，离散的短时Fourier变换和反变换分别为：=z(k)=其中，T>0和F>0分别是时间变量和频率变量的采样周期，m，n为整数。
与（2.5）相对应的约束条件为：2.3 时频分布的一般理论1.信号的双线性变换和局部相关函数对非平稳信号进行时频分析的主要目的是要设计时间和频率的联合函数，用它表示每单位时间和每单位频率的能量。
这种时间和频率的联合函数称为信号的时频分布。
类似于平稳信号中自相关函数和功率谱密度的关系：（2.12）我们定义非平稳信号的双线性变换为（2.13）上式中使用对称形的双线性变换更能表现出非平稳信号的某些重要性质。
其中Φ（t,τ）为沿t轴滑动的窗函数，同时沿加权，称为“局部相关函数”。
对局部相关函数作Fourier变换，可得到时变功率谱，即信号能量的时频分布：（2.14）这表明，时频分布也可用局部相关函数来定义，而且取不同的局部相关函数形式，就可得到不同的时频分布。
取窗函数＝，则有（2.15）称为瞬时相关函数。
它的Fourier变换就是著名的Wigner-Ville分布：（2.16）Wigner-Ville分布是时频分布中最基本的一种，在其基础上发展得到多种其他时频分布，后面将作详细讨论。
2 时频分布的基本性质要求对于任何一种实际有用的非平稳信号分析，通常要求时频分布具有表示信号能量分布的特性。
因此，希望时频分布满足下面的一些基本性质。
性质1：实的（且是非负的）。
性质2：边缘特性信号在频率的谱密度信号在时刻的瞬时功率可以证明，任何具有边缘特性的联合分布都服从不确定性原理。
性质3：时频分布关于时间和频率的积分应给出信号的总能量E，即性质4：时频分布的一阶矩给出信号的瞬时频率和群延迟，即 和性质5：有限支撑特性如果信号只在某个时间区间取非零值，并且信号的频谱也只在某个频率区间取非零值，则称信号z（t）及其频谱是有限支撑的。
相应地，如果在和的总支撑区以外，信号的时频分布等于零，我们称时频分布是有限支撑的，这是一种“弱”有限支撑。
与此相对应，凡在信号和它的频谱等于零的各区域，时频分布等于零，这是Cohen提出的一种理想的具有“强”有限支撑的时频分布。
边缘特性连同非负性一起可以保证时频分布准确反映信号的谱能量，瞬时功率和总能量，同时还可保证时频分布的强有限支撑性。
表2.3.1列出了所有 “所期望具有的”数学性质。
需要注意的是，并不是所有的时频分布都能满足表中的所有性质。
实际中适用的时频分布不一定满足所有基本性质。
根据应用场合，某些性质是可以不必强求的。
3．时频分布的二次叠加原理线性时频表示满足叠加原理，这对多分量信号的分析和处理带来很大的方便。
但是二次型或双线性变换破坏了线性叠加原理，使得时频分析不再能像线性时频分布的处理那样简单。
因此，这里引入时频表示的“二次叠加原理”如下：令则任何二次型时频分布服从下面的二次叠加原理：式中＝代表信号的“自时频分布”（简称“信号项”），它是的双线性函数；表示信号和的“互时频分布” （简称“交叉项”），它是和的双线性函数，交叉项通常相当于干扰。
类似地，可推广到多个分量信号的二次叠加原理。
时频分布的交叉项一般比较严重，而且在大多情况下是有害的，需对它进行有效地抑制。
2.4 模糊函数时频分布是对信号的双线性变换作关于变量的Fourier变换，如Wigner-Ville分布，如果对该双线性变换关于时间t作Fourier反变换，则可得到另一种二维时频分布函数：（2.17）称为模糊函数，式中是s(t)的解析信号。
式（2.15）定义的瞬时相关函数ｔ为时间，τ为时延。
可见，模糊函数可以视为瞬时相关函数关于的Fourier反变换：＝ （２.１８）对比模糊函数和Wigner-Ville分布知，它们都是双线性变换信号或瞬时相关函数的某种线性变换，后者变换到时频平面，表示能量分布，称为能量域；而前者则变换到时延－频偏平面，表示相关，称为相关域。