高考数学高频考点揭秘与仿真测试专题57立体几何直线平面的平行的判定与性质1文含解析

专题57 立体几何直线、平面的平行的判定与性质1
【考点讲解】
一、具本目标：
1.以立体几何的上述定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行、垂直的有关性质与判定.
理解以下判定定理.
◆如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行.
◆如果一个平面内的两条相交直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行.
理解以下性质定理，并能够证明.
◆如果一条直线与一个平面平行，那么经过该直线的任一个平面与此平面的交线和该直线平行.
◆如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线相互平行.
◆垂直于同一个平面的两条直线平行.
2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间图形的位置关系的简单命题.
考点透析：以几何体为载体，考查线线、线面、面面平行证明.利用平行关系及平行的性质进行适当的转化，处理综合问题.
3.备考重点：
(1) 掌握相关定义、公理、定理；(2)掌握平行关系、垂直关系的常见转换方法.
（3）证明平行关系，要充分利用中点、三角形中位线、平行四边形以及成比例线段
二、知识概述：
直线与平面平行的判定与性质
a∥α面面平行的判定与性质
线面、面面平行的综合应用
1．平面与平面的位置关系有相交、平行两种情况．
2．直线和平面平行的判定
(1)定义：直线和平面没有公共点，则称直线平行于平面；
(2)判定定理：a⊄α，b⊂α，且a∥b⇒a∥α；
(3)其他判定方法：α∥β；a ⊂α⇒a ∥β.
3．直线和平面平行的性质定理：a ∥α，a ⊂β，α∩β＝l ⇒a ∥l .
4．两个平面平行的判定
(1)定义：两个平面没有公共点，称这两个平面平行；
(2)判定定理：a ⊂α，b ⊂α，a ∩b ＝M ，a ∥β，b ∥β⇒α∥β；
(3)推论：a ∩b ＝M ，a ，b ⊂α，a ′∩b ′＝M ′，a ′，b ′⊂β，a ∥a ′，b ∥b ′⇒α∥β.
5．两个平面平行的性质定理
(1)α∥β，a ⊂α⇒a ∥β；
(2)α∥β，γ∩α＝a ，γ∩β＝b ⇒a ∥b .
6．与垂直相关的平行的判定
(1)a ⊥α，b ⊥α⇒a ∥b ；
(2)a ⊥α，a ⊥β⇒α∥β.
【真题分析】
1.【2015全国2】设α，β是两个不同的平面，m 是直线且m α⊂．“m β∥”是“αβ∥”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
【解析】本题考点是线面平行与面面平行与充要条件的综合应用.因为α，β是两个不同的平面，m 是直线
且m α⊂．若“m β∥”，则平面、αβ可能相交也可能平行，不能推出//αβ，反过来若//αβ，
m α⊂，则有m β∥，则“m β∥”是“αβ∥”的必要而不充分条件，故选B.
【答案】B
2.【2017优选题】设,a b 是空间中不同的直线， ,αβ是不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. //,a b b α⊂，则//a α B.，则//a b
C.，则//αβ
D.，则//a β 【解析】本题考点是线面平行，面面平行的判定。

由于可能出现a α⊆，所以A 错。

两平面平行，要与第三平面相交，才能推出两交线平行，B 选项不符，所以B 错。

线面平行，需与过直线的平面与已知平面的交线平行，所以C 错。

D 中，两平面平行，则一平面中的任一直线与另一平面平行。

D 对。

选D.
【答案】D
3.【2018优选题】空间中，设,m n 表示不同的直线， ,,αβγ表示不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A. 若，则//αβ
B. 若，则//αβ
C. 若，则//m α
D. 若，则//m α
【解析】本题考点是面面平行，线面平行的判定.
A 项，若，过正方体同一顶点的三个平面分别为,,αβγ，则αβ⊥，故A 项不合题意；
B 项，若，根据垂直于同一条直线的两个平面平行，则//αβ，故B 项符合题意；
C 项，若，由同时垂直于一个平面的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故C 项不合题意；
D 项，若,由同时垂直于一条直线的直线和平面的位置关系可以是直线在平面内或平行可知，直线m 在平面α内或平行，故D 项不合题意.
故选B.
【答案】B
4.【2016全国课标2】α，β是两个平面，m ，n 是两条直线，有下列四个命题：
①如果m ⊥n ，m ⊥α，n ∥β，那么α⊥β. ②如果m ⊥α，n ∥α，那么m ⊥n .
③如果α∥β，m ⊂α，那么m ∥β.
④如果m ∥n ，α∥β，那么m 与α所成的角和n 与β所成的角相等.
其中正确的命题有 .(填写所有正确命题的编号）
【解析】对于①，，则,αβ的位置关系无法确定，故错误；对于②,因为//n α，所以
过直线n 作平面γ与平面α相交于直线c ，则//n c ，因为
，故②正确；对于③，由两个平面平行的性质可知正确；对于④，由线面所成角的定义和等角定理可知其正确，故正确的命题有②③④.
【答案】②③④
5.【2016课标3】如图，四棱锥P ABC -D 中，PA ⊥平面ABCD ，AD BC ∥，
，
，M 为线段AD 上一点，，N 为PC 的中点．
（I ）证明MN ∥平面PAB ；
（II ）求四面体N BCM -的体积.
【分析】（I ）取PB 的中点T ，然后结合条件中的数据证明四边形AMNT 为平行四边形，从而得到MN AT ，由此结合线面平行的判断定理可证；（II ）由条件可知四面体N-BCM 的高，即点N 到底面的距离为棱PA 的一半，由此可顺利求得结果．本题考点直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积.
【解析】（I ）由已知得，取BP 的中点T ，连接TN AT ,，由N 为PC 中点知BC TN //，
. 又BC AD //，故TN 平行且等于AM ，四边形AMNT 为平行四边形，于是AT MN //.
因为⊂AT 平面PAB ，⊄MN 平面PAB ，所以//MN 平面PAB .
（Ⅱ）因为⊥PA 平面ABCD ，N 为PC 的中点，所以N 到平面ABCD 的距离为PA 2
1. 取BC 的中点E ，连结AE .由得BC AE ⊥，
. 由BC AM ∥得M 到BC 的距离为5，故.
所以四面体BCM N -的体积.
6.【2016江苏】如图，在直三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，D ，E 分别为AB ，BC 的中点，点F 在侧棱B 1B 上，且11B D A F ⊥ ，1111AC A B ⊥.
求证：（1）直线DE ∥平面A 1C 1F ；（2）平面B 1DE ⊥平面A 1C 1F .
（第6题）
【分析】（1）利用线面平行判定定理证明线面平行，而线线平行的寻找往往结合平面几何的知识，如中位线的性质等；（2）利用面面垂直判定定理证明，即从线面垂直出发给予证明，而线面垂直的证明，往往需要多次利用线面垂直性质定理与判定定理.
【解析】证明：（1）在直三棱柱中，11AC ∥AC ，
在三角形ABC 中，因为D ，E 分别为AB ，BC 的中点，
所以DE AC ∥，于是11DE AC ∥，
又因为DE ⊄平面平面11AC F ，
所以直线DE //平面11AC F .
（2）在直三棱柱中，.因为11AC
⊂平面111A B C ，所以111AA ⊥A C ， 又因为，所以11AC ⊥平面11ABB A . 因为1B D ⊂平面11ABB A ，所以111AC B D ⊥.
又因为，所以. 因为直线，所以1B DE 平面
7.【2016山东理】在如图所示的圆台中，AC 是下底面圆O 的直径，EF 是上底面圆O '的直径，FB 是圆台的一条母线.
（I ）已知G ,H 分别为EC ，FB 的中点，求证：GH ∥平面ABC ；
（II ）已知EF =FB =12
AC =AB =BC .求二面角F BC A --的余弦值.
【分析】
（I ）根据线线、面面平行可得与直线GH 与平面ABC 平行；（II ）解法一建立空间直角坐标系求解；解法二找到FNM ∠为二面角F BC A --的平面角直接求解.。