中值定理的分析性质研究 文献综述
微分中值定理的相关研究与分析
微分中值定理的相关研究与分析魏建荣（宣化科技职业学院新能源学院，河北张家口075100）技能◆人才◆研究在现代高数教学中，微积分是一项相当重要的课程，需要对其做出严格分析，在古代的微分中值定理中包含了Lagrange 中值定理和Cauchy中值定理，在对其研究的过程中，需要对其局部的性质以及函数中的整体性质做出严格分析，从而实现利用导数的局部性质对其函数的整体性质做出推论。
在微分中值定理中，对其理论和实际的应用都需要通过严格的分析进行推导，因此，需要对其进行相关研究。
一、微分中值定理概述微分学是高等数学的重要部分，其中微分中值定理属于其中的基本定理，是由Rolle定理、Lagrange中值定理、Cauchy定理、Taylor公式构成的，可以实现函数与其导数之间的良好沟通。
在对微分中值定理进行研究的过程中，需要将函数的局部性质以及函数的整体性质作为主要的出发点，对导数的局部性质推断函数的整体性质做出全面的研究，从而对函数的性质进行全方位的研究。
在微分中值定理的内容中，主要是从几个方面进行分析的，其中包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理以及泰勒中值定理等。
在罗尔定理中，主要是在闭区间中进行连续的实现，一般都是在开区间（a，b）内是属于可导的范围其中在区间端点中保持相等的函数的。
在拉格朗日中值定理定义的过程中，需要在闭区间中连续，但是在开区间中的范围内属于可导的状态。
二、微分中值定理的应用在对微分中值定理的应用中，涉及很多方面的内容，主要从以下几个方面进行了分析：在等式的证明中，利用微分中值定理可以对一些等式做出证明，一般都会以存在一点使某等式成立的形式出现。
例1：如果f（x）在（0，1）上可微的，且满足，需要求证在（0，1）的范围内，至少是存在一点的。
在对题目进行分析的时候需要充分利用已知条件进行函数的构建，经过计算可以证明存在f（0）=f（12）=0，故存在ξ1∈（0，12），从而得出了f（1）=ξ1f（ξ1）的结论。
关于微分中值定理的研究
关于微分中值定理的研究微分中值定理是微积分中一个经典的定理，它是由18世纪法国数学家埃米尔克尔帕特里克所推导出的，指出在一定的条件下，如果一个函数在某一段间隔内变动连续，那么这个函数的极值点（即函数的最大值和最小值）可能位于这段间隔的中点，而不是在段落的两端。
这个定理对于理解和分析函数的变化起着重要的作用，在金融学、物理学、天文学等多个领域也有重要研究和应用价值。
本文就微分中值定理进行详细的介绍和研究，其中包括定理的证明、示例与推广等内容。
一、定理的证明微分中值定理可以用积分公式和链式法则来证明。
首先，假设函数f(x)在区间[a, b]上具有连续和微分的导数，其中f′(x)为函数f(x)的一阶导数。
那么，函数f(x)在区间[a, b]上可以表示为：f(x) = f(a) + f′(ζ)(x a) (其中ζ为[a，b]之间的某一常数)此外，f(x)区间[a, b]上的最大值M 与最小值m以用积分公式表示为：M = (b-a)f′(x)dx , m = (b-a)f′(x)dx由此，中值定理可以得到：f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m即M + m 与f(a) + f′(ζ) ( b a )相等，因此当f(x)在[a，b]上具有连续的一阶导数时，它的极值一定取得在区间的中间，也就是f(a) + f′(ζ) ( b a ) = M + m 。
该定理的证明完成。
二、定理的示例通过上述证明，已经得出微分中值定理的结论，下面通过实例来进一步加深对定理的理解。
假设函数f(x)定义在区间[a，b]内，求该函数在区间内的极大值和极小值，首先假定函数f(x)具有连续的一阶导数，那么根据上述微分中值定理，该函数的极值可以通过以下公式求出：M = f(a) + f′(ζ) ( b a ) , m = f(a) + f′(ζ) ( b a ) 其中ζ为[a，b]之间的某一常数。
由此可以看出，微分中值定理可以准确地求出函数在区间内的最大值和最小值，有效地满足函数的变动规律，极大地拓展了函数的研究范围。
毕业论文拉格朗日中值定理分析
毕业论文题 目 拉格朗日中值定理 指导教师 王子华学生姓名 卢波 学 号 201200702049 专 业 信息与计算科学 教学单位 德州学院数学科学学院二O 一六年五月二十日德州学院毕业论文课题说明书德州学院毕业论文开题报告书德州学院毕业论文中期检查表院(系)：数学科学学院专业：信息与计算科学 2016年 4备注：目录摘要 (1)关键字 (1)Abstract (1)KeyWord (1)0前言 (1)1对拉格朗日中值定理的理解 (1)1.1承上启下的定理 (1)1.2定理中的条件 (1)1.3定理中的 (2)1.4定理的意义 (2)2 拉格朗日中值定理的证明 (2)3 拉格朗日中值定理的应用 (3)3.1求极限 (3)3.2证明不等式 (5)3.3证明恒等式 (8)3.4证明等式 (9)3.5研究函数在区间上的性质 (10)3.6估值问题 (11)3.7判定级数的收敛性 (12)3.8证明方程根的存在性 (13)3.9误用拉格朗日中值定理 (14)结束语 (15)参考文献 (16)致谢 (16)拉格朗日中值定理的应用学生姓名：卢波学号：201200702049院系：数学科学学院专业：信息与还算科学指导老师：王子华职称：教授摘要：拉格朗日中值定理是微分学的基础定理之一，它是沟通函数及其导数之间关系的桥梁，课本中关于拉格朗日中值定理的应用并没有专门的讲解，而很多研究者也只是研究了它在某个方面的应用，并没有系统的总结。
本文首先进一步分析了定理的实质，以便使读者深入理解拉格朗日中值定理；然后从课本中证明拉格朗日中值定理的思想（构造辅助函数法）出发，提出了一个较简单的辅助函数，从而使拉格朗日中值定理的证明简单化；以此为理论依据并在别人研究的基础上，最后重点总结了拉格朗日中值定理在各个方面的应用。
这对于正确的理解掌握拉格朗日中值定理，以及以后进一步学习数学具有重要的作用和深远的意义。
关键词：拉格朗日中值定理；应用；极限；不等式；收敛；根的存在性The Application of Lagrange's mean value theoremAbstract：The Lagrange's mean value theorem is one of basic theorems of differential calculus and it also is communication function and its derivative bridge. There is no special ex plaination about the applications of Lagrange's mean value theorem and many resea rchers also just studied it in some applications and no systematic summary. In order t o make the reader understand Lagrange's mean value theorem, this paper first analy zed the essence of the theorem and then from textbook proof Lagrange's mean valu e theorem thoughts (structure method of auxiliary function), puts forwards a simpler auxiliary function. Thus make the proof of Lagrange's mean value theorem simplify. According to this theorem and the basis of others study, finally summarized all the as pects application of Lagrange's mean value theorem. It is quite important for underst anding and mastering Lagrange's mean value theorem and also have a significant an d profound significance for further study of mathematics.Keywords：Lagrange's mean value theorem; Application; Limit; Inequality; Convergence; Roots0前言函数与其导数是两个不同的的函数，而导数只是反映函数在一点的局部特征，如果要了解函数在其定义域上的整体性态，就需要在导数及函数间建立起联系，微分中值定理就是这种作用.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理，是沟通导数值与函数值之间的桥梁，是利用导数的局部性质推断函数的整体性质的工具。
关于拉格朗日中值定理应用的研究
关于拉格朗日中值定理应用的研究拉格朗日中值定理（RolleTheorem）是18世纪法国数学家艾里斯拉格朗日在他的《微积分学教科书》中提出的一项定理，它说明如果在一个有界区间（a，b）上定义一个函数f，满足以下三点，则f 在区间（a，b）内至少存在一个t，使得f(t)=0：1. f(a)=f(b);2. f在（a，b）连续（即，对任意x∈(a，b)，f(x)在x点上存在连续的一阶导数）；3. f在（a，b）上单调（表示f在（a，b）上增减）。
拉格朗日中值定理一直是微积分领域重要的定理，它与泰勒级数展开、极限求值有着密切的联系，因此它还在几何学中得到了广泛的应用。
在高等教育领域，拉格朗日中值定理是一个重要的教学内容，它也是数学哲学等相关研究的研究基础。
本文旨在探讨拉格朗日中值定理在几何学中的应用，以及它在高等教育中的重要性。
首先，我们将介绍拉格朗日中值定理的基本概念，并且介绍它的基本性质和普遍性。
接着，我们将讨论拉格朗日中值定理在几何学中的应用，并且将使用具体的实例来说明中值定理在几何学中的运用价值。
最后，我们将讨论拉格朗日中值定理在高等教育中的重要性，以及它在数学哲学等研究领域中应用的可能性。
一、拉格朗日中值定理及其性质拉格朗日中值定理是微积分中一项重要的定理，它与泰勒级数展开、极限求值有着密切的联系，在实际应用中也受到了广泛的重视。
拉格朗日中值定理是指：若在一个有界区间（a，b）上定义一个函数f，满足如下三个条件，则必有一个t∈(a，b)，使得f(t) = 0。
1. f(a) = f(b)；2. f在(a，b)连续；3. f在（a，b）上单调（表示f在（a，b）上增减）。
拉格朗日中值定理具有极为宽泛的适用范围，它包括（但不限于）二次函数、三次函数、指数函数、对数函数、三角函数等多种函数的求根。
此外，拉格朗日中值定理也被用于求解几何形状的极点、计算复平面函数的定积分、计算泰勒级数的展开以及解决其他复杂的数学计算问题等等。
微分中值定理论文
引言通过对数学分析的学习我们知道，微分学在数学分析中具有举足轻重的地位，它是组成数学分析的不可缺失的部分。
对于整块微分学的学习，我们可以知道中值定理在它的所有定理里面是最基本的定理，也是构成它理论基础知识的一块非常重要的内容。
由此可知，对于深入的了解微分中值定理,可以让我们更好的学好数学分析。
通过对微分中值定理的研究，我们可以得到它不仅揭示了函数整体与局部的关系,而且也是微分学理论应用的基础。
微分中值定理是一系列中值定理总称，但本文主要是以拉格朗日定理、罗尔定理和柯西定理三个定理之间的关系［1-3]以及它们的推广为研究对象，利用它们来讨论一些方程根(零点)的存在性， 和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明。
中值定理的内容及联系 基本内容［4]［5]对于,微分中值定理的了解,我们了解到它包含了很多中值定理，可以说它是一系列定理的总称。
而本文主要是以其中的三个定理为对象，进行探讨和发现它们之间的关系。
它们分别是“罗尔(Rolle ）定理、拉格朗日(Lagrange)定理和柯西（Cauchy ）定理”。
这三个定理的具体内容如下： Rolle 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()()f a f b =，则至少存在一点(),a b ξ∈，使()0f ξ'=。
Lagrange 定理若()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导,则至少存在一点(),a b ξ∈，使()()()()=f b f a f b a ξ-'-Cauchy 定理设()f x ，()g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导，且()0g x '≠,则至少存在一点(),a b ξ∈,使得()()()()()()f b f a fg b g a g ξξ'-='-.三个中值定理之间的关系 现在我们来看这三个定理，从这三个定理的内容我们不难看出它们之间具有一定的关系。
拉格朗日中值定理论文
摘要本文主要论述拉格朗日中值定理在函数极限计算、不等式证明以及根的存在性的判别这几个方面的应用.并给出实例进行说明.关键词: 关键词拉格朗日中值定理可导连续Lagrange mean value theorem and some applicationsAbstractThis paper mainly discusses the Lagrange mean value theorem in computing function limit, the inequality proof as well as the root of existence theorem for several aspects of this application and gives examples to illustrate.Key words: Lagrange mean value theorem can be mediated by continuous1 引言拉格朗日中值定理是微分学最重要的定理之一,又称为微分中值定理.它是沟通函数与其导数之间的桥梁,是应用导数局部性研究函数整体性的重要工具.利用微分中值定理可用巧妙地解决一些问题,下面将论述拉格朗日中值定理在几个方面的应用. 一．预备知识 1. 定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, 则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得 f ' ( x) = 也可变形为f (b) − f (a ) 成立.定理的结论 b−af (b) − f (a ) = f ' (a + ϕ (b − a )) (0 < ϕ < 1) . b−a2. 拉格朗日中值定理的几何意义：若闭区间 [a, b] 内有一条连续曲线,曲线上每一点都存在切线, 则曲线上至少存在一点 M (c, f (c)) , 过点 M 的切线平行于过点 A(a, f (a )).B (b, f (b)) 的直线 AB .3. 拉格朗日中值定理的证明：作辅助函数ϕ ( x) = f ( x) − f (a) −f (a ) − f (b) ( x − a) . b−a已知函数ϕ(x) 在 [a, b] 上连续,在开区间 (a, b) 上可导.又ϕ(a ) = ϕ (b) = 0 .根据罗尔定理.在 (a, b) 内至少存在一点 c .使得ϕ ' (c) = 0 .而f (b) − f (a ) f (b) − f (a ) 于是ϕ ' (c) = f ' (c) − = 0 ,即 b−a b−a f (b) − f (a ) f ' (c ) = . b−a 4. 拉格朗日中值定理和洛尔定理：ϕ ' ( x) = f ' ( x) −洛尔定理：若函数 f (x) 满足如下条件：（1）在闭区间 [a, b] 上连续, （2）在开区间 (a, b) 上可导, （3） f (a ) = f (b) 则在 (a, b) 内至少存在一点 c ,使得 f ' (c) = 0 . 通过比较可知洛尔定理是拉格朗日中值定理的当 f (a ) = f (b) 时的特殊形式.5.拉格朗日中值定理和可惜中值定理柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广,而拉格朗日中值定理是柯西中值定理中 g ( x ) = x 时的特殊情况. 可惜中值定理：若函数 f (x) 与 g(x) 满足下列条件:(1) 在闭区间 [a, b] 上连续, (2) 在开区间 (a, b) 上可导,且对∀x ∈ (a, b) ,有 g ' ( x) = 0 ,则在 (a, b) 内至少存在一点ξ ,使得f ' (c) f (b) − f (a) =g ' (c) g (b) − g (a )二、拉格朗日中值定理在函数极限运算中的应用若计算函数极限时,题目中出现有 f (b) −f (a ) ” “ f (a) −f (b) ” “ 型或型的式子,并且函数f (x ) 在[ a, b] 连续, 在(a, b) 上可导, 满足拉格朗日中值定理的条件, 此时可构造“ ( a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”型或“ (b − a )f (b) − f (a)b−a”型,利用拉格朗日中值定理转变为导f (a ) − f (b) a −b数形式进行极限计算,方便快捷;若果其中出现“ 型或“f (a ) − f (b) b−a”型或“f (b ) − f ( a ) b−a””型或“f (b ) − f ( a ) a −b”型,并且f (x) 在[a, b] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可直接利用拉格朗日中值定理进行转换计算极限. 例 1.求lim e sin x − e tan x x →0 sin x − tan x0 ”型,可用罗必达法则求解,但是用罗必达法则则须求0 f (a ) − f (b) ”型,只须令函很多次导数之比,非常麻烦,通过观察此极限发现它是“ a−b 分析：此极限满足“数f ( x) = e x ,则f (x) 在区间[sin x, tan x] 上满足拉格朗日中值定理条件,e sin x − e tan x =f (sin x) −f (tan x) = (sin x − tan x) f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1)即e sin x − e tan x =f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) (0< θ < 1) ,由于f ( x) = e x 在[sin x, tan x] sin x − tan x e sin x − e tan x = lim f ' (sin x + θ (tan x − sin x)) = f ' (0) = 1 x →0 sin x − tan x x →0上连续, 所以lim从而有lime sin x − e tan x =1 x →0 sin x − tan x2 2例2.求lim n 4 ( n a − nn →∞+1a ) . (a > 1, 且a ≠ 1)分析：通过观察发现该题所求极限为“ f (b) − f (a ) ”型.故只须令f ( x) =a x .易知f (x) 在区间[ 得1 11 1 ,2 ] 上满足拉格朗日中值定理条件,运用拉格朗日中值定理n +1 n2an2−an 2 +1= a 3 ln(1 1 1 1 −2 )( 2<ξ < 2), 2 n n +1 n +1 n1 1 n2解：原式= lim n (a4 n →∞−an 2 +1) = lim n 4 a ξ ln a(n →∞1 1 −2 ) 2 n n +1= limn4 1 1 a 3 ln a = ln a ( 2 < ξ 2 ). 2 2 n →∞ n ( n + 1) n +1 n例3.求极限lim x →0tan(sin x) − tan(tan x) sin(sin x) − sin(tan x)分析：观察该例题,可以看出,此例题坟墓和分子两部分都是“ f (a) − f (b) ”型. 此时分子分母均可以构造为“ (a − b)f ( a ) − f (b ) a −b”.同时该例题又符合柯西中值定理条件,在该例题中,可设f ( x) = tan x , g ( x) = sin x ,并且f (x) 与g (x) 在[sin x, tan x] 上连续. 于是在(sin x, tan x) 内可导, 并且∀x ∈(sin x, tan x), x ≠ 0 . 于是在(sin x, tan x) 内至少存在一点ξ 使f ' (ξ ) tan ' ξ tan(sin x) − tan(tan x) = = , sin x< ξ < tan x, x ≠ 0g ' (ξ ) sin ' ξ sin(sin x) − sin(tan x)解：lim x →0tan(sin x) −tan(tan x) tan ' ξ 1 =lim = lim = 1 , (sin x < ξ < tan x, x ≠0) sin(sin x) −sin(tan x) x → 0sin ' ξ x → 0 cos 3 x f (b ) −f ( a ) b−af (c) − f (b) ”的形式,并且f (x) 在[a, b] 和c−b三.利用拉格朗日中值定理证明不等式在证明不等式时,出现“ ” “ 和[b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则可以将不等式根据拉格朗日中值定理进行变换在证明；若在不等式的两边出现“ f (b) − f (a ) ”型,另一边出现“ b −a ”型,则可将不等式变形为含“f (b ) − f ( a ) b−a”型.若同时 f (x) 在 [a, b] 和 [b, c] 上满足拉格朗日中值定理条件,则利用拉格朗日中值定理条件进行证明.若只出现“ f (b) −f (a ) ” 型，则构造“ (b − a ) 例 3.证明：f (b) − f (a) b−a”型.1 1 < ln( x + 1) − ln( x) < , x > 0 为 x +1 x分析：通过观察,不等式中“ ln( x + 1) −ln( x) ”为“ f (b) − f(a ) ”型, 令 f ( x) = ln x .可知 f (x) 在[0,+∞] 上连续,当 x >0 时, f (x) 在 [ x, x + 1] 上连续, 则f (x) 在区间 [ x, x + 1] 上满足拉格朗日中值定理.证明： ln( x + 1) − ln( x) =1ξ( x + 1 − x) =1ξ( x < ξ < x + 1) ,由于(0 < x < ξ < x + 1) ,则有1 1 1 1 1 < < ,即 < ln( x + 1) −ln( x) < . x +1 ξ x x +1 x例 4.sin x 2 − sin x1 sin x3 −sin x 2 > , 0 ≤ x1 < x 2 < x3 < π . x 2 − x1 x3 − x 2f (b) −f (a ) ”型.令 f ( x) = sin x ,则 f (x) 在 b−a分析：通过观察发现此不等式为“区间 [ x1 , x 2 ] 和 [ x 2 , x3 ] 上满足拉格朗日中值定理的条件. 证明：sin x3 − sin x 2 sin x 2 −sin x1 = cos ξ1 ( x1 < ξ < x 2 ) , = cos ξ 2 ( x 2 < ξ < x3 ) x 2 − x1 x3 − x 2由于0 ≤ x1 < ξ 1 < x 2 < ξ 2 < x 3 < π ,则可知cos ξ1 > cos ξ 2 ,即sin x 2 − sin x1 sin x3 − sin x 2 > x 2 − x1 x3 − x 2例 5.证明不等式：1 1 1 1 < [ −], p > 1, n ≥2 np p − 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − (n − 1) p −1 n p −1分析：例题中出现“” “ f (b) −f (a ) ” ,此时可以考虑 f ( x) = 是型1 , x p −1在区间 [n − 1, n] 上的情况. 证明：设 f ( x) =1 x p −1, 则 f (x) 在区间 [n −1, n], (n ≥ 2) 上连续,在开区间(n − 1, n) 上可导 , 显然 f (x ) 在区间 [n − 1, n] 上满足拉格朗日中值定理条件 , 则有1 1 − 1 1 (n − 1) p −1 n p −1 1 1 − p −1 = = −f ' (ξ ) = −(1 − p) p = ( p − 1) p , (n −1 < ξ < n), p −1 (n − 1) n (n − 1) −n ξ ξ则不等式右边1 1 1 1 1 1 [ − p −1 ] = [( p − 1) p ] = p , (n −1 < ξ < n). p −1 ξ ξ p − 1 (n − 1) n p −11由于 n −1 < ξ < n ,并且n ≥ 2 ,则ξp>1 ,故原不等式成立. np四.利用拉格朗日中值定理判别根的存在性在讨论函数根的存在性问题时,可利用函数与其导数之间的关系,借助拉格朗日中值定理（或罗尔定理）判别某些函数根的存在性.当需要判别某个函数的导函数在某个区间是否有根时,若此函数在该区间上连续,则看该函数在这个区间上是否有两个或者有两个以上的点的函数值相等.若存在, 则其导函数在该区间有根；若不存在,则其导函数在该区间无根.当需要判别某个函数在某个区间上是否有根时,则看起导数在该区间上是否存在导数值为零的点.若存在使其导函数值为零的点,则原来的函数可能有根; 若不存在使其导函数值为零的点,则原来的函数一定不存在根. 这不是一个充要条件,,说明利用拉格朗日中值定理判别根的存在与否有局限性例6.证明：若方程a 0 x n + a1 x n−1 + a 2 x n − 2 + K + a n −1 x = 0 有正根x0 ,则方程na 0 x n −1 + (n − 1)a1 x n−2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 必存在小于x0 的正根.证明：令f ( x) = a 0 x n + a1 x n −1 + a 2 x n− 2 + K + a n −1 x , 则可知f (0) = f ( x0 ) = 0 且f (x) 在[0, x0 ] 上连续,根据拉格朗日中值定理（或罗尔定理）可知,至少存在一个ξ ∈(0, x0 ) 有f ' (ξ ) = 0 , 且f ' ( x) = na0 x n −1 + (n− 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 ,则可知方程na 0 x n −1+ (n − 1)a1 x n− 2 + (n − 2)a 2 x n−3 + K + a n −1 = 0 至少存在一个根ξ , 且0 < ξ < x0 ,故证毕.例7.方程x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内没有两个不同的根.3证明：运用反证法, 假设x − 3 x + c = 0 在区间(0,1) 内有两个相同的根x1 , x 2 , 且3 3 0 < x1 < x 2 < 1 .令f ( x ) = x − 3 x + c ,则f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上连续, 则有f (x ) 在区间[ x1 , x 2 ] 上满足拉格朗日中值定理（或罗尔定理）的条件,则有存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ( x 2 ) −f ( x1 ) = f ' (ξ )( x 2 −x1 ) = 0 即存在ξ ∈( x1 , x 2 ) 使得f ' (ξ ) = 0 .而f ' ( x) = 3 x 2 −3 即3ξ 2 −3 = 0 ,解得ξ = −1,1 ,又−1,1 ∉ (0,1) .则假设不成立, 故原命题得证.五.参考文献[1].同济大学应用数学.高等数学[M].同济大学出版社.2004.132. [2].数学分析讲义(第五版).刘玉琏编.高等教育出版社.2007 年5 月.。
中值定理的分析性质研究【开题报告】
毕业论文开题报告数学与应用数学中值定理的分析性质研究一、选题的背景、意义人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展至此是对微分中值定理和积分中值定理的讨论，人们对微分中值定理的研究，大约经历了二百多年的时间．从费马定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段．人们正是在这一发展的过程中，逐渐认识到微分中值定理的普遍性．微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新，吐故纳新的过程，是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程，是一个由低级向高级发展过程，是分析、代数和几何统一的过程．“数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着，这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边．数学科学发展的这种特点是根深蒂固的．”中值定理是反映函数与导数之间联系的重要定理，也是微积分学的理论基础，在许多方面它都有重要的作用，在进行一些公式推导与定理证明中都有很多应用。
在一元函数微分学中，微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具，它在数学分析中占有重要的地位，其中拉格朗日中值定理是核心，罗尔定理是其特殊情况，柯西定理是起推广。
拉格朗日微分中值定理有许多推广，这些推广有一些基本的特点，这就是把定理条件中可微性概念拓宽，然后推广微分中值表达公式。
微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。
微分中值定理是数学分析乃至整个高等数学的重要理论.它架起了利用微分研究函数的桥梁.微分中值定理从诞生到现在的近300年间,对它的研究时有山现.特别是近十年来,我国对中值定理的新证明进行了研究，如微分中值定理的推广、证明方法、中间点的渐近性及与定理有关的证明题中辅助函数的构造等问题。
微分中值定理及应用综述
微分中值定理及应用综述谢娟 09211045江苏师范大学 数学与统计学院 徐州 221116摘 要：微分中值定理是一系列中值定理的总称，是研究函数的有力工具，包括费马中值定理、罗尔定理、拉格朗日定理、柯西定理、泰勒定理.以罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成的一组中值定理是一整个微分学的重要理论。
它不仅沟通了函数与其导数的关系，而且也是微分学理论应用的桥梁和基石.本文对微分中值定理中的一些条件给予了相关说明，介绍了微分三大中值定理以及它们之间的关系，后又在此基础上，综述了微分中值定理在研究函数性质，讨论一些方程零点（根）的存在性，和对极限的求解问题，以及一些不等式的证明.关键词：微分中值定理；关系；应用引言微分中值定理是微分学的基本定理，是沟通函数与其导数之间的桥梁，是应用导数的局部性研究函数整体性的重要数学工具，应用十分广泛.1 浅谈微分中值定理1.1 微分中值定理的基本内容微分中值定理是反映导数值与函数值之间的联系的定理, 它们分别是罗尔定理、拉格朗日定理和柯西中值定理.具体内容如下:1.1.1 罗尔定理如果函数()y f x = 满足: ( 1) 在闭区间[],a b 上连续; ( 2) 在开区间(),a b 内可导;( 3) 在区间端点的函数值相等, 即()()f a f b =, 那么在区间(),a b 内至少有一点ε()a b ε<< , 使函数()y f x =在该点的导数等于零, 即()/0f ε=几何分析在（图1） 中可见()y f x =曲线在[],a b 上是一条连续光滑的曲线, 曲线()y f x =在(),a b 内处处有切线且没有垂直于x 轴的切线.在曲线的两端点一般高(罗尔定理的三条件在平面几何中成立), 因而在(),a b 内曲线()y f x =至少有一点处的切线平行于x 轴(罗尔定理的结论成立,/()0f x =).通过对罗尔定理的几何分析, 抽象的罗尔定理得到了具体化(这也反应了数学的一般思想, 抽象思维具体化)。
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中值定理的分析性质研究文献综述文献综述中值定理的分析性质研究一、前言部分微分中值定理是微分学的基本定理之一,研究函数的有力工具.微分中值定理有着明显的几何意义和运动学意义.以拉格朗日Lagrange微分中值定理为例,它的几何意义:一个在上连续,在内可微的曲线段,必有,曲线在点的切线平行于连接点与的割线.它的运动学意义:设是质点的运动规律,则质点在时间区间上走过的路程为,在上的平均速度为,存在的某一时刻,质点在的瞬时速度恰好是它的平均速度.人们对微分中值定理的研究,从微积分建立之始就开始了.它首先是法国著名的数学家费马于1637年给出了费马定理,在教科书中,人们通常将它称为费马定理.1691年,法国数学家罗尔Rolle在《方程的解法》一文中给出多项式形式的罗尔定理.1797年,法国数学家拉格朗日在《解析函数论》一书中给出拉格朗日定理,并给出最初的证明.对微分中值定理进行系统研究的是法国数学家柯西Cauchy,他首先赋以中值定理重要的作用,使其成为微分学的核心定理,并给出了广义的中值定理?柯西定理.主题部分一、微分中值定理产生的历史文献[1]和[2]中说到了微积分学简史,费马对微积分作出过重要的贡献.他在研究极大和极小问题的解法时,得到统一的解法“虚拟等式法”,从而得出原始形式的费马定理.所谓的虚拟等式法,用现代语言来说,对于函数,让自变量从变化到,当为极值时,和的差近似为,用除虚拟等式,,然后让,就得到函数极值点的导数值为,这就是费马定理:函数在处取极值,并且可导,则.应该指出:费马给出以上结论,微积分还处于初创阶段,并没有明确导数,极限连续的概念,用现代眼光来看,其论断也是不严格的.现在看到的费马定理是后人根据微积分理论和费马发现的实质重新给出的.罗尔在1691年发表的论著《方程的解法》给出了“在多项式的两个相邻根中,方程至少有一个实根.”正好是定理的一个特例,这也是此定理成为罗尔定理的原因.罗尔当时提出这个结论,主要是针对多项式函数,现在看到的罗尔定理,是后人根据微积分理论重新证明,并把它推广为一般函数.“罗尔定理”这一名称是由德国数学家德罗比什Drobisch在1834年给出,并由意大利数学家贝拉维蒂斯Bellavitis在1846年发表的论文中正式使用的. 文献[1]-[5]中都涉及到了中值定理的基本概念.拉格朗日定理是微分中值定理中最主要的定理.它是指:“在上连续,在上可导,则存在一点,使.”这一定理是拉格朗日在《解析函数论》一书中首先给出的,它最初形式为:“函数在和之间连续,的最大值为,最小值为,则必取,之间一个值.”柯西定理被认为是拉格朗日定理的推广.它是指:设和在上连续,在上可导,并且,,则至少存在一点,使柯西的证明与拉格朗日对拉格朗日中值定理很相似.微分中值定理在柯西的微积分理论系统中占有重要的地位.例如他利用微分中值定理给洛必达法则以严格的证明,并研究泰勒公式的余项.从柯西起,微分中值定理就成为研究函数的重要工具和微分学的重要组成部分.微分中值定理中间点的分析性质2.1 Lagrange中值定理中间点的渐进性及其分析性质在一元函数微分学中,拉格朗日中值定理是核心,因此对Lagrange中值点的研究就成了一项重要内容.Lagrange中值定理只断言的存在性.至少有一个,但可能不止一个,除了对一些比较简单的函数,无法指明这种点的确切位置.文献[6]中有了下面的结论:结论 1. 若函数满足下列条件:在上连续;在内存在二阶导数;,;则在内存在唯一一点,使得.结论 2.若函数满足下列条件:在上连续;在内可导,且在的任何子区间上为非线性函数;方程在内恰有个根;则在内存在个点使得.结论 3 若函数满足下列条件:在上连续;在内可导;方程在内恰有个根;则在内至少存在一点,使得.在此给出结论1的证明:由Lagrange中值定理知,点是存在的.下面证明点的唯一性,用反证法:假设存在两点,分别使由条件二知函数在区间上满足Rolle定理,所以使得,这与题设条件3矛盾,因此,在内存在唯一一点,使得. 此外,文献[7]-[9]中还给出了中间点的单调性、连续及可导性质:设函数在上满足Lagrange中值定理的条件,对于任意,则当固定时.满足式 (2.1)的“中间点”随而变化,并且具有下述性质. 定理1 设函数在闭区间上连续,在开区间内可导,且在内严格单调,则 (1)满足 2.1式的点是的单值函数简称函数,记; (2)满足2.1式的点是的单调增加的函数.定理 2 设函数在闭医间上连续,在开区间内可导,又设在内具有二阶连续导数且在内保号恒正或恒负,则 1满足2.1式的点是的连续函数; 2满足2.1式的点是的可导函数,其导数为 (2.2) 定理 3.设函数和是上二阶连续可导,且,在内保号恒正或恒负,则 1满足2.2式的“中问点”是的单值连续函数; 2满足2.2式的“中间点”是的可导函数,其导数为(2.3) 在对Lagrange中值定理中值定理“中间点”的渐近性态进行讨论时,文献[6]-[9]给出了下面的结论: 定理 4. 若函数在内二阶连续可导,且,则对Lagrange中值定理中的有(2.4) 定理5. 函数在内阶连续可导,,且,则对Lagrange中值定理中的有 (2.5) 2.1 Cauchy中值定理中间点的渐进性及其分析性质文献[10]中同时给出了Cauchy中值定理“中间点”的渐近性态,设,在上连续,在内可导,且,则在内至少存在一点,使,其中“中间点”随而变化,并且具有下述性质. 定理 6. 设,在上有二阶导数,,,在点连续且,则柯西中值定理“中间点”,满足 (2.6) 定理7. 设,在可微且,又设,且存在,则柯西中值定理中的“中间点”,有渐近估计式(2.7) 其中为非零常数,为实数,.三、拉格朗日中值定理和柯西中值定理的统一形式在文献[4]中还提到了,拉格朗日中值定理和柯西中值定理可以看成下列中值定理的特例: 设,在区问上连续,在内可导,并且,,则存在一点,使得.引入函数,则,对利用罗尔定理,即得结论.若取,,则可得拉格朗日中值定理:设和在上连续,在上可导,并且,取,对,应用上述结果,可得柯西中值定理.四、积分中值定理“中间点”的分析性质文献[11]和[12]中提到了积分中值定理“中间点”的分析性质。
积分中值定理的表述为:若函数在上连续,则在上至少存在一点,使得注1:结论中的可以加强为注2:当固定时,中间点随着点变化而变化定理8. 设在上连续,且在内严格单调,则由下式 (4.1)确定的是的单值函数:. 定理9. 设在上连续,且在上严格单调,则由(4.1)式确定的是的严格单调函数定理10. 设在上连续,且在内恒正(或恒负),则由(4.1)式确定的是的连续函数定理11. 设在上连续,且在内恒正(或恒负),则由(4.1)式确定的是的可导函数,且(4.2)五、微分中值定理与积分中值定理文献[13]中强调了微分中值定理与积分中值定理的联系,我们熟知积分学中的积分中值定理12. 设在区间上连续.则存在使得.实际上Lagrange中值定理与积分中值定理之间存在着一定的联系。
及式(5.1)和式(5.2)之间的关系。
对于式(5.1)而言,当连续可导,,由牛顿莱布尼茨公式,使得(5.3)于是由式(5.1)和式(5.3)得即这说明在满足适当的条件下式(5.2)成立。
这正是积分中值定理的表达形式. 反过来,对于式(5.2)而言,再由牛顿莱布尼茨公式(5.4)再由(5.2)式和(5.4)式得.即因此.这说明在满足适当的条件下式(5.1)成立。
这正是微分中值定理的表达形式。
于是,只要加强Lagrange中值定理的条件(在上可导且一阶导数连续)则Lagrange中值定理与积分中值定理等价.如果从另一方面来说,积分中值定理的几何意义是由曲线在区间上覆盖的曲边梯形的面积等于以及为边长的长方形面积.如果我们令积分中值定理变为:.由此看出,积分中值定理与微分中值定理实际上说的同一件事,只是一个用微分形式,一个用积分形式来表达而已.五、微分中值定理的推广5.1 泰勒微分中值定理关于微分中值定理的推广,在文献[14] [15]中被提到。
在高等数学中,Taylor定理是我们所熟知的:如果函数在含有的某个开区间内具有阶的导数,则对任意一 ,有这里是与之间的某个值.5.2 微分中值定理可以推广到无穷的区间上罗尔定理推广到无穷区间上有下列结果: 设函数在有穷或无穷区间内可微,而且存在极限有穷或无穷则存在一点使得.利用这个推广的罗尔定理可以将柯西微分中值定理推广到无穷维空间,有下列结果:设函数,在有穷或无穷区间内可微,且,,,皆存在,而且,。
则存在一点使得三、总结部分至此是对微分中值定理和积分中值定理的讨论,人们对微分中值定理的研究,大约经历了二百多年的时间.从费马定理开始,经历了从特殊到一般,从直观到抽象。
从强条件到弱条件的发展阶段.人们正是在这一发展的过程中,逐渐认识到微分中值定理的普遍性.微分中值定理的形成历史和发展过程深刻的揭示了数学发展是一个推陈出新,吐故纳新的过程,是一些新的有力工具和更简单方法的发现与一些陈旧的、复杂的东西被抛弃的过程,是一个由低级向高级发展过程,是分析、代数和几何统一的过程.“数学中每一步真正的发展都与更有力的工具和更简单的方法的发现密切联系着,这些工具和方法同时会有助于理解已有的理论并把陈旧、复杂的东西抛到一边.数学科学发展的这种特点是根深蒂固的.”其实在一元函数微分学中,微分中值定理是应用函数的局部性质研究函数在区间上整体性质的重要工具,它在数学分析中占有重要的地位,其中拉格朗日中值定理是核心,罗尔定理是其特殊情况,柯西定理是起推广。
拉格朗日微分中值定理有许多推广,这些推广有一些基本的特点,这就是把定理条件中可微性概念拓宽,然后推广微分中值表达公式。
微分中值定理的应用为数学的进一步发展提供了广阔的天地。
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