利用微分中值定理解题的一些技巧
微分中值定理
微分中值定理微分中值定理是微积分中的重要定理之一，它揭示了函数在某个区间内取得极值的一种方法。
微分中值定理包括拉格朗日中值定理和高尔的中值定理两种形式，下面将分别介绍这两种定理。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它表明如果函数满足一些条件，那么在某个区间内一定存在一个点，它的导数等于函数在这个区间两个端点处的斜率。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且a<b，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)这个定理的图像可以形象地理解为，曲线在某点的切线与连接两个端点的直线斜率相等。
高尔的中值定理是拉格朗日中值定理的一个推广，它是由高尔证明的。
高尔的中值定理的条件比拉格朗日中值定理更加宽松，它只要求函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。
具体来说，如果函数在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，并且函数在区间的两个端点处的斜率相等，那么存在一个点c∈(a,b)，使得函数在点c处的导数等于函数在区间的两个端点处的斜率。
也就是说，存在c∈(a,b)使得：f'(c) = (f(b) - f(a)) / (b - a)高尔的中值定理可以看做拉格朗日中值定理的推广，它更加灵活，适用范围更广。
微分中值定理的证明可以通过利用拉格朗日中值定理或高尔的中值定理的定义和一些基本的微积分知识进行推导。
证明的过程比较复杂，需要运用到数学分析中的一些技巧与方法。
微分中值定理在微积分的应用中有着广泛的应用。
它可以用来证明一些数学定理，比如费马最值定理、罗尔定理和拉格朗日多重中值定理等。
此外，微分中值定理还可以用来求函数的零点、证明函数的单调性和判断函数的极值等。
在实际问题中，微分中值定理常常被用来解决一些最优化问题，比如求函数的最值、最小二乘法中的参数估计等。
中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理是微积分中的一个重要定理，描述了一种函数的平均斜率与函数其中一点的斜率之间的关系。
下面将介绍中值定理的应用方法与技巧。
一、介值定理的应用方法1.求函数的零点：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$异号，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，通过寻找$f(a)$和$f(b)$异号的区间，可以确定函数的零点的存在性和位置。
2.确定函数的最值：根据介值定理，如果$f(a)$和$f(b)$是函数$f(x)$在区间$(a,b)$上的最小值和最大值，那么在区间$(a,b)$内必然存在一个点$c$，使得$f(c)$是函数的最小值和最大值。
因此，可以通过求解极值点来确定函数的最值。
3.求解方程与不等式：根据介值定理，如果$f(a)<0$且$f(b)>0$，那么在区间$(a,b)$内至少存在一个点$c$，使得$f(c)=0$。
因此，可以通过将方程或不等式转化为函数，然后求解函数的零点来求解方程或不等式。
4.判断函数的增减性：根据介值定理，如果函数$f'(x)>0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递增的；如果函数$f'(x)<0$在一些区间上恒成立，那么函数$f(x)$在该区间上是递减的。
因此，可以通过求导并分析导数的符号来判断函数的增减性。
二、中值定理的技巧1.构造辅助函数：有时候使用中值定理计算问题会比较复杂，需要构造辅助函数来简化计算。
辅助函数的选择需要考虑计算的便利性和准确性。
2.利用函数的性质和对称性：中值定理的应用过程中可以利用函数的性质和对称性来简化计算。
例如，如果已知$f(-x)=f(x)$，可以利用这一对称性将问题转化为求解正数情况下的解析表达式。
3.通过作图来理解问题：在使用中值定理计算问题时，可以通过绘制函数的图像来帮助理解问题，辅助解题。
通过图像可以直观地看到函数的变化趋势和函数的性质，更容易理解和判断。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分。
微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理，一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述。
积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在[a,b]上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a,b]上连续，且)(x g 在[a,b]上不变号，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明，也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同，又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数，套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在[0,1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明：任意给定正整数b a ,，必存在(0,1)内的两个数ηξ,，使得b a b a +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1：任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0,1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈η，使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法
运用中值定理证题时构造辅助函数的三种方法微分中值定理应用中，怎么寻找辅助函数，是比较头疼的一件事。
今天笔者就介绍下三种方式帮忙寻找到这个函数。
首先声明：这三种方式也不是万能的，但对常见题目还是挺有帮助的，而且学霸们应该都知道这些方法，故慎入。
因此本文目的是向还没留意过这些方法的同学做普及，尤其是线下笔者所带的那些可爱的学生们。
至于还有些仗着自己有点学识就恨不得鄙视这个、鄙视那个，恨不得日天日地日地球的所谓学霸请自行绕道。
一、积分原函数法具体方法简述：将要证明的式子整理为φ(ξ)=0 （一般不包含分式），然后令 F′(ξ)=φ(ξ) ，对两边式子分别积分，则有 F(ξ)=∫φ(ξ)dξ，那么F(x)就是我们所求的辅助函数。
说白了，就是将所证明的表达式进行积分还原，如果能够还原成功，那么成功找到的这个F(x)就是我们苦苦寻找的辅助函数。
还不懂？没事，举两个例子。
例1：设f(x)、g(x)在[a,b]上连续，(a,b)内可导，且 g′(x)≠0 ，证明：在（a,b）存在ξ，使得 f(ξ)−f(a)g(b)−g(ξ)=f′(ξ)g′(ξ) 。
解析：这是非常常见的一道题。
估计即使做过了这道题，还有很多同学很迷惑，解答中的辅助函数到底是咋构建出来的。
其实利用原函数法，很容易就找到这个辅助函数了。
首先先所证明的分式整理成易观的式子，如下：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)然后我们令：F′(ξ)=g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)好，对上式两边进行积分，如下：F(ξ)=∫g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)dξ=∫f(ξ)dg(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−∫g(ξ)df(ξ)+∫g(ξ)df(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)=f(ξ)g(ξ)−f(a)g(ξ)−g(b)f(ξ)所以我们要寻找的辅助函数就为：F(x)=f(x)g(x)−f(a)g(x)−g(b)f(x)很容易验证：F(a)=F(b)=−f(a)g(b)于是根据罗尔定理，在(a,b)上存在一点ξ，使得 F′(ξ)=0 ，也就是：g′(ξ)f(ξ)+f′(ξ)g′(ξ)−f(a)g′(ξ)−g(b)f′(ξ)=0整理便可得题目中的式子，因此原题得证。
微分中值定理解题方法
(3) 证明有关中值问题的结论
作业
P134
提示:
题14. 考虑
7, 8 , 10 , 12 , 14 , *15
题*15.
f (0) 0
f (0)
0
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思考与练习
1. 填空题
1) 函数 条件, 则中值 2) 设 在区间 [1, 2] 上满足拉格朗日定理
( ) n
即
n1
f ( ) f ( ) 0
n
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5. 设
在
上连续, 在
内可导, 且 使
证明至少存在一点
证: 问题转化为证 f ( ) 2 f ( ) 0 .
设辅助函数
显然 少存在一点
( x) x 2 f ( x)
使
在 [ 0 , 1 ] 上满足罗尔定理条件, 故至
在 I 上必为常数.
证: 在 I 上任取两点 格朗日中值公式 , 得
0
由
f (b) f (a) f ( ) , ( a, b) 的任意性知, b a 在 I 上为常数 .
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例2. 证明等式
证: 设
由推论可知 令x=0,得 又 故所证等式在定义域
(常数)
3 15 4 _____ .
方程
有 3 个根 , 它们分别在区间 (1, 2) , (2 , 3) , (3 , 4) 上.
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2. 设 f ( x) C[ 0 , π ], 且在 ( 0 , π )内可导, 证明至少存
在一点 ( 0 , π ) , 使 f ( ) f ( ) cot .
微分中值定理的学习技巧
（ ２ ） 在开 区间（ ａ ， ｂ ） 上可导 ，
则 至 少 存 在 一 点 ∈ ∈（ ａ ， ｂ ） ，使 得 ： ｆ ， （ 考） ＝
ｉｂ ｆ ） 一 ｆ （ ａ ）
ｂ— ａ
分析 ： 要想证明ｆ ， （ 考） ：
ｂ－ａ
，
ｇ Ｏ ￣ Ｔ ｆ
） 一
ｂ－ａ
： ０ ．
基 金项 目： ２ ０ １ ４ 年 山东省 自 然科学基金 “ ｇ 一 期望和Ｇ 一 期 望中的几个问题 ” （ ｚ Ｒ ２ Ｏ １ ４ Ａ Ｐ ｏ ０ ５ ） 作者简介 ： 李小娟 （ １ ９ ８ ４ 一 ） ， 女（ 汉族 ） ， 山西省晋中市人 ， 硕士研 究生 ， 讲 师， 研究方 向： 概率论 。
２ ５ ０ １ ０ ３ ）
摘要： 基 于 当代 大学生在 高等数 学的 学习上存 在学 习困难 的现 象较 为普遍 ， 而 学校给 出的课 时数 又相 对 较 少的 问题 ， 本文提 出了两点建议 ： 一、 及 时利用新知识 巩 固旧知识 ， 如利 用学 习不定积分复 － ３巩 固导数 ； 二、 在教 学方法上 强调 思想和解题技巧 的统一 ， 使复杂 问题 简单化 ， 如 学－ ３微分 中值定理 时， 基本都是 围绕一条主
２ Ｏ１ ７年 ９ 月 第 ３７ 期
教 育教 学论 坛
Ｅ ＤＵ ＣＡ ＴＩ ＯＮ ＴＥ Ａ ＣＨＩ ＮＧ Ｆ ＯＲ ＵＭ
Ｓｅ ｐｔ ．２０１ ７
Ｎ Ｏ． ３７
【 学法指导】
微 分 中值 定理 的学 习技巧
（ 山东青年政 治学院
李小娟 信息工程学 院 ， 山东
济南
．
（ ３ ） 在 区间两个端 点上的函数值相等 ，
微分中值定理的应用
一、 用微分中值定理证明函数恒等式1. 欲证：当x I ∈时，有恒等式()f x a =解题程序：⑴验证()0f x '=，由此推出()f x C =;⑵取区间I 内的一个特殊值确定常数：若0x I ∈,则有()0f x a =，即C a =。
2. 欲证两个函数恒等：当x I ∈时，有()()f x g x =若令()()()F x f x g x =-，这时化为1中0a =的情形。
3. 用拉格朗日中值定理证明函数恒等式 如证明arcsin arccos , 1.2x x x π+=≤ 二、 直接用微分中值定理证明中值等式所谓中值等式或中值不等式，就是证明等式或不等式仅在区间内的一点或至少一点成立。
证明中值等式须用微分中值定理，泰勒公式或积分中值定理。
下述情况的中值等式，一般需用微分中值定理证明 ⑴若题设函数()f x 或()f x 与()g x 在区间[],a b 上连续，在区间(),a b 内可导（或隐含），欲证：至少存在一点(),a b ξ∈或存在(),a b ξ∈，使一个等式成立，且等式中含有()(),f f ξξ'''或()(),f g ξξ''等。
若欲证：存在惟一一点(),a b ξ∈使等式成立，除证明存在(),a b ξ∈之外，一般尚需用反证法或函数的单调性证明惟一性。
直接用微分中值定理证明等式的解题思路：⑴ 若欲证等式本身就是或可改写成中值定理的形式，则可直接选用相应的微分中值定理：若存在(),a b ξ∈，使()0f ξ'=成立的形式，则()f x 用洛尔定理；若形如()()()()()()()()()()()()(),,;,01;,01fb f a f b aa b f b f a f a b a b a f x h f x f x h ξξθθθθ'-=-∈'-=+--<<'+-=+<< 的等式，则()f x 用拉格朗日中值定理。
微分中值定理解析
微分中值定理解析微分中值定理是微积分中一个重要的定理，它为我们提供了研究函数的性质和特点的重要工具。
本文将对微分中值定理进行解析，从定义、形式化表述、几何意义以及应用等方面进行论述。
一、定义微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是拉格朗日中值定理的推广和具体化。
该定理的核心思想是：若函数f(x)在[a, b]上满足一定条件，那么在(a, b)的某一点c处，函数的导数f'(c)与函数在[a, b]上的平均斜率相等。
二、形式化表述设函数f(x)在[a, b]上连续，在(a, b)上可导。
则存在某一点c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)三、几何意义微分中值定理的几何意义是：在函数图像上，必然存在一条与割线平行的切线。
也即，函数在区间[a, b]上的斜率是局部变化率的平均值，那么在(a, b)的某一点c处，函数的斜率与该平均斜率相等。
四、应用微分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，下面举几个例子进行说明：1. 高速公路行车速度问题：假设一辆汽车在时间t内，以速度v(t)行驶。
则根据微分中值定理，可以得知在某个时刻c，汽车的瞬时速度v'(c)等于汽车在整个行驶过程中的平均速度。
2. 生产线产品质量控制问题：假设某个生产线上，产品的质量由参数q(t)表示，其中t为生产时间。
根据微分中值定理，可以得知在某个时间点c，产品的质量变化率q'(c)等于该产品在整个生产过程中的平均变化率。
3. 就业市场薪水调查问题：假设在某个城市中，不同行业的毕业生就业薪水分别由函数f(x)表示，其中x表示毕业生的学历水平。
根据微分中值定理，可以得知在某个学历水平c处，不同行业的薪水增长率f'(c)等于整个就业市场中薪水增长的平均率。
五、总结微分中值定理是微积分中的一个重要定理，它通过连接函数的斜率、平均斜率和切线的关系，为我们提供了研究函数特性的重要工具。
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利用微分中值定理解题的一些技
巧
微分中值定理是微分学的理论基础。
它是研究函数的有力工具，其中最重要的内容是拉格朗日定理。
可以说其他中值定理都是拉格朗日中值定理的特例或推广。
熟练应用中值定理真的不容易，尤其是引入辅助函数，更是五花八门。
下面给出微分中值定理在一些证明题中的巧妙运用。
一、微分中值定理的主要应用
1. 证明等式;
2. 证明恒等式;
3. 证明不等式;
4.讨论方程实根(或函数零点)的存在性。
二、掌握微分中值定理应用方法的关键
——在分析解题思路时，必须紧紧抓住“定理”、“函数”、“区间”三要素
“定理” ——适用定理的选择
“函数” ——辅助函数的构造
“区间” ——讨论区间的确定。
三、运用中值定理证明关于两个中间点等式的方法
方法一:构造一个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
方法二:构造两个辅助函数，在相同的区间内应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
方法:构造两个辅助函数，在两个不同的区间应用拉格朗日定理或柯西定理，然后对定理的结论做一些运算。
微分中值定理证明试题范例
设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且
f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1.试证: (1)存在η∈(1/2,1),使
f(η)=η; (2)对任意实数λ,必存在ξ∈(0,η),使得
f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]1 第二问最后少打了等号，应该是
f'(ξ)-λ[f(ξ)-ξ]=1
(1)证明：由介值定理知，至少存在一点ζ∈(0, 1/2), 使
f(ξ)=1/2再由介值定理知，至少存在一点η∈(ζ,1),即存在η∈(1/2,1),使f(η)=η
(2) 证明：构造函数F(x)=e^(-λx)[f(x)-x]则F(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导F(η)=0, F(0)=0∴由罗尔定理知，必存在ξ∈(0,η), 使F'(ξ)=0即-λe^(-
λξ)[f(ξ)-ξ]+e^(-λξ)[f'(ξ)-1]=0∴f'(ξ)-
λ[f(ξ)-ξ]=1。