江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）
江苏省历届高等数学竞赛试卷（1991-2010）江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是_____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=?_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ?'=+有特解ln x y x =，则()x ?=________________________。
8.直线21x zy =??=?绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=?????????? ??+???? ?+???? ??+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使?=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏高等数学竞赛历年试题(本一)
2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦ .2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ . 3.()14451x dx x=+⎰.4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为 .5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z z xy x y ∂∂+=∂∂ 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy -=+，点0x =是( )A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（ ） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=- （ ） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰.四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =.五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-. 六（6分）设()f x x =，()sin 0202x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求()()()0x F x f t g x t dt =-⎰.七（6分）已知(),u u x y =由方程()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===确定，其中,,f g h 都是可微函数，求,u ux y∂∂∂∂. 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数2311111323333n n +++++⋅⋅⋅⋅L L 的和. 十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 十一（8分）已知两个球的半径分别为,()a b a b >，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分()222xy z ds ∑++⎰⎰，其中∑为曲面0)z a =>.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xkx e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= .4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰.5. 曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 . 6.设(),sin xy z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰.8.幂级数111112n n x n∞=+++∑L 的收敛域 .二.（8分）设4tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-.三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nkn n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？ 六.（9分）设()()()()(),0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在()0,0连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，求41lim t Df ydxdy t +→⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的方程为()22430x y y x +=-≥，一质点P 在力F u r作用下沿曲线AB 从()0,1A 运动到()0,3B ，力F u r的大小等于P 到定点()2,0M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F u r对质点P 做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.0x →时，sin cos cos2x x x x -⋅⋅与kcx 为等价无穷小，则c =2. 21lim arctan x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3. lim n →∞⎛⎫+=L 4. ()()4ln 1,4f x x x n =->时()()0n f =5.()2sin cos cos sin x x xdx x x +⋅=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑ .7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x '在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，()0baf x dx =⎰，求证:1) (),a b 内至少存在一点ξ使得()()f fξξ'=；2）(),a b 内至少存在一点,,ηηξ≠使得()()f f ηη''=三.（10分）设22:4,D x y x y x +≤≤-，在D 的边界y x =-上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =-旋转一周的旋转体的体积.四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使PM MQ +最小. 五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域.六（10分）求证：332ππΩ<<，其中222:1x y z Ω++≤.七（10分）设()f x 连续，可导，()11f =，G 为不含原点单连通域，任取,M N G ∈，G 内积分()()212NMydx xdy x f y -+⎰与路径无关.（1）求()f x ；（2）求()()212ydx xdy x f y Γ-+⎰Ñ其中Γ为22331x y +=边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦L 2. ()()25001lim 1xtx x e dt x -→-=⎰3. ()1202arctan 1xdx x =+⎰ 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y zx ze+=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值. 7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3. 三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞.五（12分）设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，求2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰. 七（10分）1）设幂级数21nn n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a = ，b = 时，2limarctan 2xax x x bx x p+=--2. a = ，b = 时()ln(1)1xf x ax bx=-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。
江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)
2010年某某省《高等数学》竞赛试题〔本科二级〕一 填空题〔每题4分，共32分〕 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.1y x =+/y =3.2cos y x =，()()n y x =4.21xx e dx x-=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，如此(,)(2,1)x y dz==11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为. 二.〔10分〕设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰三．〔10分〕正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，〔1〕试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
〔2〕试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四〔12分〕ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五〔12分〕求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、〔12分〕求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.〔12分〕数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年某某省普通高等学校非理科专业一、填空题〔每一小题5分，共40分〕1〕___,____a b ==时，2lim arctan .2x ax x x bx x π→∞+=--2〕11lim __________.(3)nn k k k →∞==+∑ 3〕设()(1)(2)(100),f x x x x x =---如此(100)_______.f '= 4〕___,____a b ==时，2()1xf x ax x bx =+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.5〕2320sin cos _______.x xdx π⋅=⎰6〕2221_______.(1)x dx x +∞=+⎰7〕设,x z x y =-如此(2,1)_________.n nz y ∂=∂8〕设D 为,0,1y x x y ===所围区域，如此arctan _________.Dydxdy =⎰⎰二、〔8分〕 设数列{}n x为：111,(1,2)n x x n +===，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限三、〔8分〕 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,baa f x dx >=⎰求证：存在(,),a b ξ∈使得()().af x dx f ξξξ=⎰四、〔8分〕 将xy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、〔8分〕设242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).x yx yf x y x yx y≠=+⎪=⎩讨论(,)f x y在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、〔10分〕曲面222441x y z+-=与平面0x y z+-=的交线在xy平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、〔8分〕求2401lim sin().t txtdx y dy t+→⎰⎰八、〔10分〕求1,Ddxdy这里22:,0.D x y y x+≤≤≤2006年某某省高等数学竞赛试题〔本科一、二级〕一.填空〔每题5分，共40分〕 1.()3x f x a =，()()()41lim ln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦2.()()2501lim 1xtx x e dt x -→-=⎰ 3.()122arctan 1xdx x =+⎰()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，如此四面体OABC 的内接球面方程为y z x ze +=确定(,)z z x y =，如此(),0e dz=()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a =时，曲线积分()()222y xy dx xy edy Γ+++⎰取最大值.()11n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值X 围是 二.〔10分〕某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，假如开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.〔10分〕曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四〔8分〕设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五〔12分〕本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限局部为∑.〔1〕求曲面∑的面积；〔2〕用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限局部为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六〔10分〕曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω， 本科一级考生做2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰ 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七〔10分〕本科一级考生做1〕设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2〕试问命题1〕的逆命题是否正确，假如正确给出证明；假如不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数2004年某某省高等数学竞赛试题〔本科二级〕一.填空〔每题5分，共40分〕1.()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2.()2tan 2lim sin x x x π→= 3.2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 4.()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =5.()()21x x e x dx x e -=-⎰6.()112n n n n ∞==+∑. (),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=， 如此()1ϕ'=.8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，如此 ()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰.二．〔10分〕设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212b a f x dx b a =-⎰,求证：(),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+三.〔10分〕设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q1〕试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2〕求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四〔10分〕点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ，使PM MQ最小五〔10分〕求幂级数()()1132n n n n x n ∞=+-∑的收敛域。
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总
江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为（ ）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ． 无可去间断点 2．设21()sin,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln xf x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（ ）． A ．3 B ．2 C ．1 D ． 04．设()y f x =对一切x 满足240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少 5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++=C ．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ．四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点．六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数21(21)n n n x∞+=+∑的收敛域及和函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求581x xdx x -+⎰． 十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满足3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim(0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t =+=+，则22d ydx= ．5．设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ．6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰． 7．4+∞=⎰．8． 幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调减少，0a b <<，求证：()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰．三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？ （2）当6k =时，求Γ的圆心和半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭．八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c = ．3．2tan2lim(sin )xx x π→= ．4．2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为 ．8．1(1)2nn nn ∞==+∑ ． 二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ． （1）试将,P Q 的距离||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上处处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．23001lim (1)xt x e dt x-→-=⎰．3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)xf x x x e =++，则(0)f ''= ．5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d ydx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为 ．8． 已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为 ．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在．三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积．四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求120arctan (1)xdx x +⎰．六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）部分为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p，讨论级数1(1)n n ∞+=-∑何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与和函数．第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||lim arctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ．4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高． 5．2221(1)x dx x +∞=+⎰．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为 ．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为 ．8． 幂级数1nn nx∞=∑的和函数为 ，收敛域为 ．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +===，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0baa f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()af x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求20lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另一直线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数展开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ．3．设由y x x y =确定()y y x =，则dy dx= ．4．2cos y x =，则()n y = ．5．21x x e dx x -=⎰ ．6．2140arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 ． 8． 级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 ．二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰．四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰．五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的距离．七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满足123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．x →= ． 2．333412lim x n n →∞+++= ． 3．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ．5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos x dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z -+==-的距离为 ． 8． 级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是 ． 二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑．（2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求20(cos 1)1lim x f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格减少，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的极小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取极小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑的和．。
江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。
10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。
二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。
江苏省高校历届专科类数学竞赛试题
江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分） 1．已知21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '= ． 2．1ln 0lim (tan )xx x +→= ．3．= ．4．若级数11(2)66n n nn n an -∞=-+∑收敛，则a 的取值为 ． 5．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰．二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数21()(1)x e f x x x -=-的可去连续点为（ ）．A ．0,1x =B ．1x =C ．0x =D ． 无可去连续点2．设21()sin ,()sin f x x g x x x==，则当0x →时，()f x 是()g x 的（ ）． A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小 C ．高阶无穷小 D ．等价无穷小3．设常数0k >，函数()ln x f x x k e=-+在(0,)+∞内零点个数为（ ）．A ．3B ．2C ．1D ． 0 4．设()y f x =对一切x 满意240y y y '''--=，若0()0f x >且0()0f x '=，则函数()f x 在点0x （ ）．A ．获得极大值B ．获得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调削减5．过点(2,0,3)-且与直线2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩ 垂直的平面方程是（ ）．A ．16(2)1411(3)0x y z --+++=B ．(2)24(3)0x y z --++= C．3(2)52(3)0x y z -+-+=D ．16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dx x x x +∞→+-+=⎰，求常数,a b ． 四、（6分）已知函数()y y x =由方程组(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩ 确定，求220t d ydx =．五、（6分）设(),()f x g x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，且对于(,)a b 内的一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明：若()f x 在(,)a b 内有两个零点，则介于这两个零点之间，()g x 至少有一个零点． 六、（6分）设12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++，其中12,,,n a a a 是实数，且|()||sin |f x x ≤，试证：12|2|1n a a na +++≤七、（6分）过抛物线2y x =上一点2(,)a a 作切线，问a 为何值时所作切线与抛物线241y x x =-+-所围成的图形面积最小？八、（6分）当0x →时，220()()()xF x x t f t dt '=-⎰的导数与2x 为等价无穷小，求(0)f '．九、（8分）求级数210(21)n n n x ∞+=+∑的收敛域及与函数.十、（8分）将1()arctan1xf x x+=-展为x 的幂级数，并指明收敛域． 十一、（6分）求581x xdx x -+⎰．十二、（8分）设可微函数()f x 在0x >上有定义，其反函数为()g x ，且满意3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰，试求()f x ．第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．40ln(1)lim1cos(1cos )x x x →-=-- ． 2．设0lim (0)x kx e c c x +→-=≠，则k = ，c = ．3．设()f x 在[1,)+∞上可导，下列结论中成立的是 ． A ．若lim ()0x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上有界 B ．若lim ()0x f x →+∞'≠，则()f x 在[1,)+∞上无界C ．若lim ()1x f x →+∞'=，则()f x 在[1,)+∞上无界4．设2ln(1),arctan x t y t t=+=+，则22d ydx= ． 5．设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则(0)y ''= ． 6．(arcsin arccos )x x dx -=⎰ ． 7．4+∞=⎰ ．8． 幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域为 ． 二、（8分）设()f x 在[0,)+∞上连续且单调削减，0a b <<，求证： 三、（9分）设()sin f x kx x =+．（1）若1k ≥，求证：()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点；（2）若01k <<，且()f x 在(,)-∞+∞上恰有一个零点，求常数k 的取值范围．四、（8分）求2201tan 2xx e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰．五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当k 为何值时Γ为一圆？ （2）当6k =时，求Γ的圆心与半径．六、（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积．七、（9分）求2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭． 八、（9分）设k 为常数，试判别级数221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑的敛散性，何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．()f x 是周期为π的奇函数，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，则当,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()f x = ．2．当0x →时，sin cos x x x -与k cx 为等价无穷小，则k = ，c =．3．2tan 2lim(sin )x x x π→= ．4．2222lim 14n n nn n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 5．已知2()ln(1)f x x x =-，则当2n >时，()(0)n f = ．6．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰． 7．以直线x y z ==为对称轴，且半径1R =的圆柱面方程为 ． 8． 1(1)2nn nn ∞==+∑． 二、（10分）设()f x 在[,]a b 上连续，在(,)a b 内可导，()f a a =，221()()2baf x dx b a =-⎰，求证：在(,)a b 内至少有一点ξ，使得()()1f f ξξξ'=-+．三、（10分）设22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤．在D 的边界y x =上任取一点P ，设P 到原点的间隔 为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q ．（1）试将,P Q 的间隔 ||PQ 表示为t 的函数；（2）求D 绕y x =旋转一周的旋转体体积．四、（10分）设()f x 在(,)-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一实在数12,x x 有1212()()()f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(,)-∞+∞上到处连续．五、（10分）设k 为常数，方程110kx x-+=在(0,)+∞上恰有一根，求k 的取值范围．六、（10分）已知点(1,0,1)P -与(3,1,2)Q ，在平面212x y z -+=上求一点M ，使得||||PM MQ +最小．七、（10分）求幂级数11(32)nn nn x n ∞=+∑收敛域 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题 一、填空题（每小题5分，共40分）1．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭． 2．2301lim (1)xt x e dt x-→-=⎰ ． 3．若lim )0x ax b →+∞+=，则a = ，b = ．4．设2sin ()(1)x f x x x e =++，则(0)f ''= ． 5．设2ln(1),arctan x t y t =+=，则221t d y dx =-= ．6．1ln[()()]()()x bx ax a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰ ．7．,,,A B C D 为空间的4个定点，AB 与CD 的中点分别为,E F ，||EF a =（0a >为常数），P 为空间的任一点，则()()PA PB PC PD ++的最小值为 ．8． 已知点(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),A B C O --为原点，则四面体OABC 的外接球面的方程为 ．二、（8分）设2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩ ，试问：,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在． 三、（9分）过点(1,5)作曲线3:y x Γ=的切线L ．（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥的局部绕x 轴旋转一周所得立体的体积． 四、（8分）设()f x 在区间[0,)+∞上是导数连续的函数，(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤，求证：|()|1,[0,)x f x e x ≤-∈+∞．五、（8分）求12arctan (1)xdx x +⎰． 六、（9分）设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x z =++截下的（有限）局部为∑．为计算曲面∑的面积，我们用薄铁片制作∑的模型，其中(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --为∑上三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ．建立平面直角坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 的坐标为(0,5)．试写出D 的边界的方程，并求D 的面积．七、（9分）对常数p ，探讨级数11(1)n n ∞+=-∑何时肯定收敛？何时条件收敛？何时发散？ 八、（9分）求幂级数212nn n n x ∞=∑的收敛域与与函数． 第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分） 1．a = ，b = 时，2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--．2．11lim (2)nn k k k →∞==+∑ ．3．设()(1)(2)(100)f x x x x x =---，则(100)f '= ． 4．当a = ，b = 时，2()1xf x ax x bx=+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高．5．2221(1)x dx x +∞=+⎰ ．6．点(2,1,1)-关于平面25x y z -+=的对称点的坐标为 ．7．通过点(1,1,1)-与直线：,2,2x t y z t ===+的平面方程为 ．8． 幂级数1n n nx ∞=∑的与函数为 ，收敛域为 ．二、（8分）设数列{}n x为111,(1,2,)n x x n +==，求证数列{}n x 收敛，并求其极限．三、（8分）设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0ba a f x dx >=⎰，求证：存在(,)a b ξ∈，使得()()a f x dx f ξξξ=⎰．四、（8分）将xOy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积． 五、（8分）求200lim sin()tt tx dx +→⎰．六、（10分）在平面:220x y z ∏+-=内作一条直线Γ，使该直线经过另始终线221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩与平面∏的交点，且Γ与L 垂直，求直线Γ的参数方程．七、（8分）判别级数)11(1)1n n ∞+=-∑的收敛性（包括肯定收敛、条件收敛、发散）．八、（10分）求函数222()(1)(12)x f x x x +=-+的幂级数绽开式，并指出其收敛域．第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1． 30sin sin(sin )limx x x x →-= ．2．2arctan()tan x y x e x =+，则y '= ． 3．设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= ． 4．2cos y x =，则()n y = ． 5．21xx e dx x -=⎰． 6．214arctan()1x x dx x =+⎰ ．7．圆2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 ．8． 级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的与为 ． 二、（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值．三、（10分）设函数()f x 在[0,1]上连续，且1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在(0,1)ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰． 四、（12分）求反常积分4211dx x +∞-⎰． 五、（12分）过原点(0,0)作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积．六、（12分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中心．（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成的二面角的值；（2）试求点D 到过点1,,A E F 的平面的间隔 ． 七、（12分）已知数列{}n a 单调增加，满意123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-(2,3,)n =，记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性．第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分） 1．x →= ．2．333412limx n n →∞+++= ．3．3023sin lim sin xx t tdtx x→=⎰ ．4．ln(1)y x =-，则()n y = ． 5．2arctan x xdx =⎰． 6．11arccos dx x= ． 7．点(2,1,3)-到直线13122x y z-+==-的间隔 为 ．8． 级数2(1)1knn n n ∞=--∑为条件收敛，则常数k 的取值范围是 ． 二、（每小题6分，共12分）（1）求3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑． （2）设()f x 在0x =处可导，且(0)1,(0)2f f '==，求2(cos 1)1limx f x x →--．三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满意条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数()f x 在(,)δδ-上有定义（0δ>），当0x δ-<<时，()f x 严格增加，当0x δ<<时，()f x 严格削减，0lim ()x f x →存在，且(0)f 是()f x 的微小值．（2）函数()f x 在(,)δδ-上一阶可导（0δ>），(0)f 为极值，且(0,(0))f 为曲线()y f x =的拐点．四、（10分）求一个次数最低的多项式()P x ，使得它在1x =时取极大值13，在4x =时取微小值14-．五、（12分）过原点(0,0)作曲线:x y e -Γ=的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线及x 轴为边界的无界区域．（1）求切线L 的方程；（2）求区域D 的面积；（3）求区域D 绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点(1,2,1),(5,2,3)A B --在平面:223x y z ∏--=的两侧，过点,A B 作球面∑使其在平面∏上截得的圆Γ最小．（1）求直线AB 与平面∏的交点M 的坐标；（2）若点M 是圆Γ的圆心，求球面∑的球心坐标与该球面方程；（3）证明：点M 确是圆Γ的圆心．七、（12分）求级数1(1)(1)2n n n n n n ∞=++-∑的与．。
江苏高等数学历年本科三级竞赛真题史上最完整
2010年江苏省普通高等学校非理科专业第十届高等数学（本科三级）竞赛题一、填空题（每小题4分，共32分） 1) ()30sin sin sin limx x x x→- = 16 2）()2arctan e tan ,x y x x y '=+=则()242e tan sec 1x x x x x+++ 3） 设由y xx y =确定(),y y x =d d y x =则()()()()22ln ln 1ln ln 1.y x y y y x x y x x x y ----或 4）()2cos ,n y x y==则 12cos 22n n x π-⎛⎫+⎪⎝⎭5） 21e d xx x x-=⎰ e x C x -+ 6）设 2,,x z f x y y ⎛⎫=- ⎪⎝⎭f 可微，()()123,22,3,23,f f ''==则()()d z,2,1x y ==7d 8d x y -7) 设函数 (),F u v 可微，由 ()22,0F x z y z++=确定(),,z z x y =则z z x y ∂∂+=∂∂ 12z- 8）设22:2,0,d DD x y x y x y +≤≥=则169二、（10分）设a 为正常数，使得 2e ax x ≤ 对一切正数x 成立，求常数a 的 最小值。
22ln e 2ln ,axxx x ax a x≤⇔≤⇔≥解 （3分） 要求a 的最小值，只要求 ()2ln xf x x= 的最大值。
（2分） 令()()221ln 0x f x x -'== 得e,x = （2分）由于()()0e 0,e 0,x f x x f x ''<<><<时时()2e ef =所以为其最大值， （2分） 故a 的最小值为 2e. （1分）三、（10分）设()f x 在[]01， 上连续，且()()110d d f x x x f x x =⎰⎰，求证：存在 ()01,ξ∈，使得 ()0d 0.f x x ξ=⎰证法1：令()()()0d ,xF x x t f t t =-⎰ （3分）则()()()()()()1110=0,11d d d 0,F F t f t t f t t t f t t =-=-=⎰⎰⎰应用罗尔定理，()01,ξ∃∈，使得()0,F ξ'= （4分）()()()()()0d d ,x xF x f t t x f x x f x f t t '=+-=⎰⎰而于是 ()()()0d d 0.F f t t f x x ξξξ'===⎰⎰ （3分）证法2 ()()()()()0d ,00,,xF x f x x F F x f x '===⎰令则 （3分）()()()()()11100011d d d 0F f x x x F x x x F x F x x'∴===-⎰⎰⎰()()()111d ,d 0,F F x x F x x =-⇒=⎰⎰ （3分）应用积分中值定理，存在 ()0,1,ξ∈ 使得()()()()1d 10,F x x F F ξξ=-=⎰于是 ()()0d 0.F f x x ξξ==⎰ （4分）四、（12分）求广义积分421d .1x x +∞-⎰22221111d d 2121x x x x+∞+∞=++-⎰⎰解原式 （4分） 111arctan ln22241x x x +∞+∞+=+- （4分） 11arctan 2ln 3.424π=-- （4分） 五、（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线。
江苏省高等数学竞赛试题汇总情况
2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2ln(1x y x +=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21xx e dx x-=⎰ 5.211dx x+∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==8.级数11(1)!2!n nn n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()bbaab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。
（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y x x ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科三级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x-=⎰6.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==7设(),f u v 可微，由()22,0F x z y z ++=确定(),z z x y =，则z z x y∂∂+=∂∂8.设22:2,0D x y x y +≤≥，则D=二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四.（12分）求广义积分211dx x +∞-⎰五．（12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。
2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。
3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。
4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。
5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。
6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。
7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。
8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。
9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。
10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。
二、（7分） 设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。
三、（7分）求c 的值，使⎰=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。
四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。
五、（12分）一点先向正东移动a m,然后左拐弯移动aq m （其中01q <<），如此不断重复左拐弯，使得后一段移动距离为前一段的q倍，这样该点有一极限位置，试问该极限位置与原出发点相距多少米？六、（12分）已知()f x 在[0,2]上二次连续可微,(1)0f =,证明201()3f x dx M≤⎰，其中 [0,2]()max x M f x ∈''=.江苏省第二届（1994年）高等数学竞赛本科一级竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1. 111414242lim n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭________________.2.设z 是由方程组(1)cos sin x t z y t z =+⎧⎨=⎩确定的隐函数，则z x ∂=∂____________________。
3.设22()(32)cos16nx f x x x π=-+，则()(2)n f =________________。
4．设四阶常系数线性齐次微分方程有一个解为1cos2xy xe x =，则通解为_______________。
5. 平面0(0)Ax By Cz C ++=≠与柱面22221x y a b +=)0,(>B A 相交成的椭圆面积为____。
6.已知,a b 是非零常向量2b =，(,)3a b π∧=，则0l i m x a x b ax→+-=___________________。
7.2311(cot )dx x π=+⎰_______________________。
8.椭球面222241x y z ++=与平面0x y z ++=之间的最短距离为______________。
二、（8分）试比较e π与e π的大小。
三、（10分）已知,a b 满足12b ax dx =⎰，（0a b ≤≤），求曲线2y x ax =+与直线y bx =所围区域的面积的最大值与最小值。
四、（10分）设区域D ：)0(,222>≤+t t y x ，),(y x f 在D 上连续。
求证：)0,0(),(1lim20f dxdy y x f t Dt =⎰⎰→。
五、（10分）求不定积分dxxe x x x x ⎰++)1(cos 1sin 。
六、（10分）通过线性变换by x ay x +=+=ηξ,将方程04622222=∂∂+∂∂∂+∂∂y uy x u x u 化简成02=∂∂∂ηξu，求b a ,的值。
七、（12分）已知()f x 在[0,1]上具有二阶连续导数，且(0)(1)0,()0f f f x ==≠,证明：10[0,1]()4()max x f x dx f x ∈''≥⎰。
江苏省第三届（1996年）高等数学竞赛 本科三级、专科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共40分）1.若0a >，20061lim lim[sin()tan 3]sin 6xx x x x x x ππ→→=-- ，则a =____________.2.若()(21)(32)(10099),f x x x x x =--⋯⋯-则(0)f '=________________.3.已知当x 大于12且趋向于12时，-3arccos x π与1()2ba x -为等价无穷小，则 a =_____________,b =_______________.4.2||1x xe dx --=⎰___________________________.5.直线23223x y z x y z +-=⎧⎨-+=⎩在平面1z =上的投影为直线L ，则点(1,2,1)到直线L 的距离为____________.6.++παβα2β3αβ设与均为单位向量，其夹角为，则以与为邻边的平行四边形的6面积为______________.27.x 0(sin )(sin ),(0)0(0)_______.d d f x f x f f dx dx '==≠=设当时，则8.设函数)(x y y =是由0333=-+axy y x （0>a ）确定，则=+∞→x yx lim。
二、（10分）设,0()0,0x y f x x >===⎪⎩；讨论()f x 的连续性，求单调区间、极值与渐近线。
三、（10分）22(1)(3).x x --2设f(x)=x(1)(y ()f x =本科三级考生做）试问曲线有几个拐点，证明你的结论.(2)(f ()0x "=专科考生做）试问在区间（0,3）上有几个实根，证明你的结论.四、（10分）220x sin u x (sin ),.3sin 4cos xxf x dx dx x ππππ+⎰⎰⎰若f （）是连续函数，证明f(sinx)dx=并求2五、（10分）10()[0,1]0x<y 1|f(x)-f(y)||arctanx-arctany|,f(1)=0,1|f ()|ln 2.2f x x dx ≤≤≤≤⎰设在区间上可积，当时，又求证：六、(10分)求过点)0,9,11(，而与两直线⎩⎨⎧=++-=+4:1zyxyxL、⎩⎨⎧=-+=-+213:2zyyxL相交的直线方程。
七、（10分）设)(tf连续函数，求证2,2:,))(()(AyAxDdttAtfdxdyyxfDAA≤≤-=-⎰⎰⎰-。
江苏省第四届（2002年）高等数学竞赛本科三级、专科竞赛试题(有改动)一、填空题（每小题5分，共40分）1.____________x →=2. 函数f(x)=()2232xx x x++-的不可导点的个数为___________.3.设f(x)=0 0x x ⎧≤⎪ ,则31(2)f x dx -⎰=_______________.4.(本三考生做)设变量x,y,t 满足y=f(x,t)及F(x,y,t)=0,函数f ，F 的一阶偏导数连续，则dydx=_______________.(专科考生做)设f(x)的导数连续，且f （0）=0，则101lim()________x f xt dt x →=⎰5（本三考生做）已知直线l 过点M （1，-1，0）且与两条直线1l ：2135x z x y z +=⎧⎨-+=⎩和22,:14,3x t l y t z =-+⎧⎪=-⎨⎪=⎩垂直，则l 的参数方程为_______________________.6.ln x dx =⎰_____________________.7. 设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→， 极限与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.，则a =______________________、b =___________________________.8. 设)(x f 为偶函数，)(x g 为奇函数，且)0(3)(,2)(≠='='a a g a f ，那么 =-'+-')()(a g a f 。
二、（9分）求lim sin(n →∞.三、（9分）α为正常数，使得不等式x x e α≤对任意正数x 成立，求α的最大值.四、设函数f (x)在[a,b]上二阶可导，对于[a,b]内每一点x ，''()()0f x f x ≥,且在[a,b]的子区间上()f x 不恒等于零.试证()f x 在[a,b]中至多有一个零点.五、（9分）设连续函数()f x满足()f x=122300()(),().x x f x dx x f x dx f x++⎰⎰求六、（9分）设][)(xxxf-=（][x表示不超过x的最大整数），求极限⎰+∞→xxdxxfx0)(1lim。
七、（9分）有一形状为直角三角形的薄铜片，其密度(,)(12),0,0,120,kf x y k x y x y x y=--≥≥--≥为常数.今从中截取一矩形铜片（该矩形两条邻边位于三角形的两条直角边上）使其质量最大，求该矩形铜片质量与原直角三角形铜片质量之比。
八、（6分）地面虽然不太平坦，但请证明一张小方凳经过适当旋转总可以放平稳.这里假设小方凳四条腿的端点A，B，C，D为正方形四个顶点。
江苏省第五届（2000年）高等数学竞赛本科三级、民办本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题3分，共15分）1.已知31[()]()______________. df x f xdx x'==，则2.1lnlim(tan)______________.xxx+→=3._______________. =4. 设),(y x z z =由方程()0,,=---x z z y y x F 所确定，F 为可微函数，则=∂∂+∂∂y z x z ；5. [()()]sin ________________.aaf x f x xdx +-+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1.函数21()(1)x e f x x x -=-的可去间断点为( ) A 、0,1x = B 、1x = C 、0x = D 、无可去间断点 2. 改变积分次序21101(,)yy dy f x y dx --=⎰⎰( )A、11(,)dx f x y dy -⎰ B、011100(,)(,)xdx f x y dy dx f x y dy--+⎰⎰⎰C、1(,)dx f x y dy⎰ D、111(,)x dx f x y dy--⎰3.设()f x 可导, ()()(1sin )F x f x x =+，欲使()F x 在0x =处可导，则必有( )A 、(0)0f '=B 、 (0)0f =C 、 (0)(0)0f f '+=D 、 (0)(0)0f f '-=4.若0000(,)(,),x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(,)f x y 在()00,x y 是( )A 、连续且可微B 、连续但不一定可微C 、可微但不一定连续D 、不一定可微也不一定连续5. 22(,)(2)x f x y e x y y =++在点1,12⎛⎫- ⎪⎝⎭处取( ) A 、极大值2e -B 、极小值2e-C 、不取得极值D 、极小值e三、（8分）设2222ln(1)()lim(ln )xex t x ax bx dx x x e dt+∞→+-+=⎰⎰，求常数,a b 。