高中新课程数学(新课标人教A版)选修2-2《第一章 导数及其应用》知识点、考点、及其例题

第一章导数及其应用知识点及练习题
知识点1：导数概念的引入
1. 导数的物理意义：瞬时速率。

一般的，函数()y f x =在0x x =处的瞬时变化率是
000
()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆，
我们称它为函数()y f x =在0x x =处的导数，记作0()f x '或0|x x y ='， 即0()f x '=000
()()
lim
x f x x f x x
∆→+∆-∆
2. 导数的几何意义：曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点n P 趋近于P 时，直线PT 与曲
线相切。

容易知道，割线n PP 的斜率是00
()()
n n n f x f x k x x -=
-，当点n P 趋近于P 时，函数
()y f x =在0x x =处的导数就是切线PT 的斜率k ，
即000
()()
lim ()n x n f x f x k f x x x ∆→-'==-
3. 导函数：当x 变化时，()f x '便是x 的一个函数，我们称它为()f x 的导函数. ()y f x =的导函数有时也记作y ',即0
()()
()lim
x f x x f x f x x
∆→+∆-'=∆
考点：导数的几何意义及其应用
[例题] 已知曲线y ＝13x 3＋4
3.
(1)求曲线在点P (2，4)处的切线方程；
(2)求曲线过点P (2，4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程．
[变式训练] 已知函数f(x)＝x3＋x －16.
(1)求曲线y ＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；
(2)直线l 为曲线y ＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l 的方程及切点坐标．
知识点2：导数的计算
1）基本初等函数的导数公式:
1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 2 若()f x x α
=,则1
()f x x
αα-'=;
3 若()sin f x x =,则()cos f x x '=
4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-;
5 若()x
f x a =,则()ln x f x a a '=
6 若()x f x e =,则()x
f x e '=
7 若()log x
a f x =,则1()ln f x x a '=
8 若()ln f x x =,则1
()f x x
'=
2）导数的运算法则
1. [()()]()()f x g x f x g x '''±=±
2. [()()]()()()()f x g x f x g x f x g x '''•=•+•
3. 2
()()()()()
[
]()[()]
f x f x
g x f x g x g x g x ''•-•'= 3）复合函数求导
()y f u =和()u g x =,称则y 可以表示成为x 的函数,即(())y f g x =为一个复合函数 (())()y f g x g x '''=•
考点：导数的求导及运算
1、已知
()22sin f x x x π=+-，则()'0f =
2、若()sin x f x e x =，则()'f x =
3.)(x f =ax 3+3x 2+2 ，
4)1(=-'f ，则a=（ ）
3
19.3
16.3
13.3
10.D C B A 4.过抛物线y=x 2上的点M )4
1,21(的切线的倾斜角是（） A.30° B.45° C.60° D.90° 5.如果曲线2
932
y x =
+与32y x =-在0x x =处的切线互相垂直，则0x =
知识点3：导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性与导数:
一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系：
在某个区间(,)a b 内，如果()0f x '>，那么函数()y f x =在这个区间单调递增； 如果()0f x '<，那么函数()y f x =在这个区间单调递减. 2.函数的极值与导数
极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数()y f x =的极值的方法是:
(1) 如果在0x 附近的左侧()0f x '>,右侧()0f x '<,那么0()f x 是极大值;
(2) 如果在0x 附近的左侧()0f x '<,右侧()0f x '>,那么0()f x 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数
函数极大值与最大值之间的关系.
求函数()y f x =在[,]a b 上的最大值与最小值的步骤 （1） 求函数()y f x =在(,)a b 内的极值；
（2） 将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的是一个
最大值，最小的是最小值.
考点：1.导数在研究函数单调性中的应用
2.导数在求函数极值与最值中的应用
题型一：导数在研究函数单调性中的应用
[例题] 设函数f (x )＝x e a －x ＋bx ，曲线y ＝f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y
＝(e －1)x ＋4.
(1)求a ，b 的值； (2)求f (x )的单调区间．
[变式训练] 设函数f(x)＝xekx(k ≠0)．
(1)讨论函数f(x)的单调性；
(2)若函数f(x)在区间(－1，1)内单调递增，求k 的取值范围．
题型二：导数在求函数极值与最值中的应用
[例题]已知函数f(x)＝－x3＋ax2＋bx在区间(－2，1)内，当x＝－1时取
极小值，当x＝2
3时取极大值．
(1)求函数y＝f(x)在x＝－2时的对应点的切线方程；
(2)求函数y＝f(x)在[－2，1]上的最大值与最小值．
[变式训练] 设函数f(x)＝[ax2－(4a＋1)x＋4a＋3]e x.
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程与x轴平行，求a；
(2)若f(x)在x＝2处取得极小值，求a的取值范围．
知识点4：解决实际问题
利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题
考点：1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用
3、导数在极值、最值中的应用
4、导数在恒成立问题中的应用
题型一：导数在切线方程中的运用
1.曲线3
x y =在P 点处的切线斜率为k,若k=3，则P 点为（ ） A.（－2，－8） B.（－1，－1）或（1，1）
C.（2，8）
D.（－21
，－81）
2.曲线53
123
+-=
x x y ，
过其上横坐标为1的点作曲线的切线，则切线的倾斜角为（ ） A.6π B.4π C.3π D.π
43
题型二：导数在单调性中的运用
1.函数
32
()31f x x x =-+是减函数的区间为( ) A.(2,)+∞ B.(,2)-∞ C.(,0)-∞ D.(0,2)
2．关于函数
762)(2
3+-=x x x f ，下列说法不正确的是（ ） A ．在区间（∞-，0）内，)(x f 为增函数 B ．在区间（0，2）内，)(x f 为减函数 C ．在区间（2，∞+）内，)(x f 为增函数 D ．在区间（∞-，0）
),2(+∞⋃内,)(x f 为增函数
3．已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'()f x 是函数()f x 的导函数)，下面四个图
象中()y f x =的图象大致是（ ）
4、（2010年山东21）（本小题满分12分）
已知函数).(111)(R a x
a
ax nx x f ∈--+-= （Ⅰ）当处的切线方程；在点时，求曲线))2(,2()(1f x f y a
=-
=
（Ⅱ）当1
2
a ≤时，讨论()f x 的单调性．
题型三：导数在最值、极值中的运用
1.函数
93)(2
3-++=x ax x x f ，已知)(x f 在3-=x 时取得极值，则a =（ ） A ．2
B. 3
C. 4
D.5
2．函数512322
3
+--=x x x y 在[0,3]上的最大值与最小值分别是（ ） A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16
3.已知函数
)0
(
)
(3≠
+
+
=a
d
cx
ax
x
f
是R上的奇函数，当1
=
x时)
(x
f取得极值－2.
（1）试求a、c、d的值；
（2）求
)
(x
f的单调区间和极大值；
4.设函数
2
3
1
2
)
(bx
ax
e
x
x
f x+
+
=-，已知1
2=
-
=x
x和为)
(x
f的极值点。

（1）求
b
a,的值；
（2）讨论
)
(x
f的单调性；。