《信息光学》单色光波场的一般数学描述

与前面讲过的FT和IFT相联系，则更易理解，物理意
义更清楚：
F ( u , v ) f ( x , y ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d x d y
f ( x , y ) F ( u , v ) e x p [ j 2 ( u x v y ) ]d u d v
r 2
k
1 球面波复振幅：
发散球面波： U°
(
v r
)
a 0
exp
j(kr
0)
r
会聚球面波：U°
(
v r
)
a0
exp
j(kr
0)
r
球面光波在整个 空间中，沿任何 方向上的空间频 率均为:1/; 沿任 何方向上的空间 周期均为: 。
在 z=z0 面上的复振幅分布为:
U° ( x , y , z ) 0
a
exp[ jk
x
2
x0
y
2
y0
z2 0
x
2
x 0
y
2
y 0
z2 0
]
如果在 z=z0 平面上，观察考察的区域较小，且z0较大时，
则在z=z0平面上的波前函数可表示为：
U° ( x , y , z ) 0
a
exp(
jkz ) exp 0
jk
x
2
x0
y
2
y0
z 0
2z 0
上述近似称为 傍轴近似；
F (u , v ) 称为空间频谱，
cos cos
F(
,
)
称为角谱。
第2章 光波衍射的线性系统分析（标量衍射角谱理论） ——标量波衍射理论
干涉、衍射满足：1.衍射孔径比波长大得多， 2.观察点离衍射孔不太贴近。
2.1 光波衍射的线性系统分析-基尔霍夫波衍射理论 2.1.1 惠菲原理与基尔霍夫衍射公式 2.1.2 惠菲原理与叠加积分 2.1.3 相干光场在自由空间的平移不变性
1.7.1 单色光波场的一般数学描述
实波函数：
v u(r,t)
a
v
v
(
r
)
co
s
(
r
)
t
v
v
v
复波函数：
u%( r , t ) a ( r ) e x p
j
(
r
)
t
v
v
复振幅：
a (r )
exp
j
(
r
)
exp
j t
v
v
v
r rr
U°
(r)
a(r) exp
j
(
r
)
( r ) k gr 0
x
y
z
a e x p j k c o s x k c o s y k c o s z
cos
cos
cos
a exp j2
x
y
z
a
exp
j 2
f x x
f y y
fz z
a e x p j 2 u x v y w z
z=z0的平面上:
z 2
2 f 2 2 f 2 2 f 2 1
x
y
z
cos
， 空间周期 d
z
1
fz cos
U%
x,
y,
z
a
exp
j2
xfx yf y
exp
j
2
z
1
2
f
2 x
2
f
2 y
U
0
x,
y,
0
exp
2 j
z
1
2
f2 x
2
f2 y
在波矢方向上:
f
f
2 x
f
2 y
f
2 z
1
k 2
在与波矢方向夹角为 的方向：
cos
cos
cos
gx
gy
gz
a
exp
j 2
f gx x
f gy y
f gz z
x 方 向 ：空 间 频 率
k
fx
x
2
cos ， 空间周期 dx
1
fx cos
y 方 向 ：空 间 频 率 f
ky
cos
， 空间周期 d
1
y 2
y
f
cos
y
k z 方 向 ：空 间 频 率 f z
cos
cos
cos
U ( x, y, z ) a exp( j2 0
z ) exp 0
j 2
x
y
a
exp(
j 2
wz ) exp 0
j 2
ux
v y
cos
U ( x, y ) a exp j2
cos x
y
a
exp
j 2
ux
v y
合成光波场的复振幅分布：ຫໍສະໝຸດ NU(x,
y)
o
o
j z
h( x x , y y )
0
0
z2 ( x x )2 ( y y )2
o
o
U ( x , y )
U ( x , y ) h ( x x , y y )d x d y U ( x , y ) h ( x , y )
0
0
0
0
0
00
0
2.1.4 相干光场在自由空间传播的脉冲响应的近似表达式
U
(x,
n
y)
n 1
N
a (u n , v n ) e x p j 2 u n x v n y ,
n 1
cos
cos
un
n , vn
n
cos
cos
U ( x , y ) a (u , v ) e x p j 2 u x v y d u d v , u , v
U% x , y , z a e x p jk z 1 c o s 2 c o s 2
e x p jk x c o s y c o s
等相位线方程
x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U% x , y , z
a exp j2
1 d
f
cos f
d
cos
vv
cos
Q k gr k gr c o s 2
gr
0
0
0
1.7.3 复振幅分布的空间频谱(角谱)
单色平面波复振幅分布与空间频谱(角谱)
v
v
U°
(r)
U°
(x,
y,
z)
a
exp
j
(
r
)
a exp j
vv k r
a
exp
j
k xk yk z
设点源S与场点Q距 衍射屏足够远（即z0, z 足够大），且观察范围 较小, 即:
(x2 y2) z2 m ax S
1 exp( jkr )
h(Q , P )
j
r
(x0,y0)
ur P r
0
(x,y)
r
r
Q
z
U(x , y ) 00
U (x, y)
h( x , y ; x , y ) 1 exp jk
等相位面与z=z0平面的交线（等相位线）的方程为：
2
2
x
x 0
y
y 0
c
c是 任 意 常 数
等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0) 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U% x , y , z a e x p j k x c o s k y c o s k z c o s
h( x x , y y ) 1 exp jk z 2 ( x x )2 ( y y )2
0
0
j z
0
0
1
r
z 2 ( x x )2 ( y 0
y )2 0
( x x )2 ( y y )2