光波场的复振幅描述
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信息光学基础2-1光波的数学描述 -2015 [兼容模式]
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2015/11/18§2‐1 二维光场分析1. 光振动的复振幅表示单色光场中某点在某一时刻的光振动可表示成：()()(),cos 2πνφu P t A P t P =-⎡⎤⎣⎦(){}[2πνφ()],Re ()j t P u P t A P e--=用复指数函数表示上式：{}φ()2πνRe ()j P j tA P ee-=2015/11/18令-—复振幅()()()exp φU P A P j P =⎡⎤⎣⎦复振幅包含了点P处光振动的振幅和初相位，——是位置坐标的复值函数，与时间无关——定态光场(){}φ()2πν,=Re ()j P j tu P t A P ee-00注：平方根二项式展开1 112b b +=+-2015/11/18)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=线性位相因子和球面波表达式类似，平面波复振幅可分成与坐标有关和与坐标无关的两部分。
Cy x =+βαcos cos 等相位线方程为可见，等位相线是一些平行直线。
2015/11/18π2yx-虚线表示相位值相差的一组波面与平面的交线，——等相位线.2015/11/18如何理解空间频率、空间周期？2015/11/18若假设波矢k位于平面0x z exp[cos ]A jkx α=)]cos cos (exp[),(βαy x jk A y x U +=——一列沿波矢k方向传播的平面波2015/11/18空间频率与平面波的传播方向有关，——波矢量与轴的夹角越大，则λ在轴上的投影就越大，即在某方向上的空间频率就越小，——空间频率的最大值是波长的倒数。
2015/11/18尽管各方向的空间频率不同——沿波的传播方向波场的空间周期恒为。
空间频率恒为λλ/1=f。
单色光波场的一般数学描述
在 z=z0 平面上的复振幅分布为：
exp( j2
cos
z0 )exp
j2 (ux vy)
可见，单色平面波从 z=0 平面传播到 z=z0 平面上，其在xy平面上的相位分布不变，只是整体发生一个相移:
exp( j2
cos
z0 )
而
exp
j2
(ux
vy)
exp
j2
cos
x cos
exp jk x cos y cos
等相位线方程 x cos y cos C
等相位线是一族等间距的平行直线。
1.7.2 平面波的空间频率
U
x,
y, z
a
exp
j2
cos
x cos
y cos
z
a exp j2 fx x fy y fz z
x方向：空间频率
x x0 2 y y0 2 c 等相位线是z=z0平面上, 以(x0,y0)
c是任意常数 为圆心的同心圆环族。(内疏外密)
2 单色平面波 在整个空间中:
U x, y, z a exp j kx cos ky cos kz cos
U x, y, z a exp jkz 1 cos2 cos2
fx
kx
2
cos
，
空间周期 dx
1 fx
cos
y方向：空间频率 f y
ky
2
cos
，
空间周期
dy
1 fy
cos
z方向：空间频率
fz
kz
2
cos
，
空间周期
dz
1 fz
cos
2
复振幅的几何意义-概念解析以及定义
复振幅的几何意义-概述说明以及解释1.引言1.1 概述概述部分的内容可以按照以下方式编写：概述：复振幅作为一个重要的概念，在物理学、工程学以及其他领域有着广泛的应用。
它对我们理解振动现象以及解释和预测自然现象和工程问题起到了重要作用。
复振幅的数学表示和几何意义是理解复振幅的关键。
本文主要目的是介绍复振幅的几何意义，包括对其定义的概述和具体的数学表示。
我们将探讨复振幅的几何解释，以及它在现实世界中的应用领域和未来研究方向。
文章结构：本文将按照以下结构进行论述：首先，我们将在引言部分提供对复振幅的概述和目的，以帮助读者理解复振幅的重要性和本文的内容。
然后，在正文部分，我们将详细介绍复振幅的定义和数学表示，以帮助读者建立起对这一概念的初步了解。
接着，我们将探讨复振幅的几何意义，描述它在几何空间中的具体表达和解释。
最后，在结论部分，我们将总结复振幅的几何意义，并探讨它在不同领域的应用及未来研究方向。
通过本文的阅读，读者将能够充分理解复振幅的几何意义，并对其在各个领域的应用和未来研究方向有一个清晰的认识。
文章结构部分的内容如下：1.2 文章结构本文分为引言、正文和结论三个部分。
在引言部分中，我们将对复振幅的概述进行简要介绍，包括定义和重要性。
接着，我们将说明本文的结构和目标。
正文部分将从三个方面展开对复振幅的几何意义进行探讨。
首先，我们将给出复振幅的定义，并从数学角度对其进行表示。
其次，我们将重点讨论复振幅的几何意义，探究它在空间中的表现形式和几何特征。
这将涉及到复振幅与相位的关系、振动方向和振幅大小的描绘等内容。
最后，我们将总结复振幅的几何意义，讨论它在不同领域中的应用，并对未来研究方向进行展望。
结论部分将对全文进行总结，并强调复振幅的几何意义在实际应用中的重要性。
我们还将讨论当前已知的应用领域，并展望未来研究的发展方向。
通过以上的分章节结构，本文将全面而系统地介绍复振幅的几何意义，并为读者提供一个清晰的框架，以便更好地理解和应用复振幅的概念和数学表示。
光波场的描述
的间隔。显然，波面随空间的分布与考察的方向有
关。在x轴方向，相距的波面在x轴上的截距为
x / cos ，同样，这两个波面在y轴上的截距为
(P0, t) Acos[(t kr0 0 )]
式中r0为O至P0的距离
x
现考察在某一时刻，同
k
一波面上任一点P(x,y,z)的
振动，因P与P0处于同一波 面，故P与P0点振动相同， 则P点的波函数取为：
o
r0
P0 • •P
r
y
z
波设函(OP至数, tP在)的P矢点A径的co为值s[r(，(tP则, t有k)r0r0Acr0o)s][kk(代t入上k式 r得：0 )]
若用复指数函数形式表示，则其复振幅为
复振幅
~( P )
Ae
i
(
k
r
0
)
若传播方向的 方向余 弦为(cos， cos， cos)，则
k
k
kxex k cos
ekxyey
kckozsez ey
的三个分量为：
k
cosez
kx
k cos
,
ky k cos ,
kz k cos
k r kx x ky y kzz
波位函 置数r ： 和描 时述 间波t 而动变过化程的中函被数传关播系的式物理(量r, 随t)。空间
1.1 一维平面简谐波
简谐波 — 简谐振动的传播。
平面简谐波 — 波面是平面的简谐波 。
（1）平面简谐波的波函数
设一维平面简谐波以速度 V 沿 z 轴正方向传
播，则其波函数：
ψ(z, t)
A cos[ω( t
k cos x k cos y k cos z
光波场的复振幅描述
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表 示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]} = e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于 = e{a(P) e jj(P). e -j2pnt } 将时空变量分开
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测 n为常数,线性运算后亦不变 对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分. 故引入复振幅U(P): jj(P)
U(P) = a(P) e
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt }
§1-1光波场的复振幅描述
亥姆霍兹（Helmholtz)方程
常数幅相因子, A
随x,y线性变化的 位相因子
U ( x, y) A exp[ jk ( x cosa y cos b )]
在x-y平面上的等位相线 xcosa + ycosb = const 为平行直线族
光波场的复振幅描述
4、平面波的空间频率
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的位相分布.等位相 线是平行直线族. 为简单计, 先看k在x-z平面内: cosb =0 复振幅分布:
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关; • U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)| 和相对位相 arg(U)= j(P) • 方便运算, 满足叠加原理 • 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动: u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可 • 光强分布: I = UU*
光学课件：2a波动、复振幅的基本概念
光的传播理论应当是矢量波的形式。
光的标量波理论从如下方式进行简化： 光频下，介质磁机制几乎不起作用 E和H之间有确定的关系 可以把E矢量作为光矢量。光矢 量波可以当做标量波来处理。
在各项同性媒质中满足旁轴条件时，用标量波理论处理光的干涉、衍 射等问题基本正确
定态光波的描述
但对符合上述条件的定态光波，用标量表达式 描述定态光波的波函数：
U (P,t) A(P) cos[t (P)] A(P) cos[(P) t]
A(P) ：振幅的空间分布；(P) ：位相的空间分 布。
时间项：t [为圆频率]
定态平面波
z’ k
特点：
z’
P
r
波面
(P)=常数
•振幅A(P)是常数，它与场点坐标无关;
• 位相是直角坐标的线性函数，即
(P) k r 0 kxx ky y kz z 0
1.2 定态光波的概念
定态波：光源持续且稳定地发光，波场中各点都以同一 频率作稳定的振荡。
定态波场的性质： 1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，
在空间形成一个稳定的振幅分布。 频率单一，振幅稳定。
满足上述要求的光波是无限长的单色波列。 当波列的持续时间比其扰动周期 长得多时，即可将其当作无限长波列处理。
U (P) Aexp[i(kz 0 )] *
例题：
已知位相分布 (P) lx my nz p，求波的传播 方向和波长
根据 (P) k(x cos y cos z cos ) 0
解：这是平面波的线性位相分布。波矢的方向余弦为
cos l
k
cos m
k
cos n
k
其中 k 为波矢的大小 k l2 m2 n2
光的标量波理论从如下方式进行简化： 光频下，介质磁机制几乎不起作用 E和H之间有确定的关系 可以把E矢量作为光矢量。光矢 量波可以当做标量波来处理。
在各项同性媒质中满足旁轴条件时，用标量波理论处理光的干涉、衍 射等问题基本正确
定态光波的描述
但对符合上述条件的定态光波，用标量表达式 描述定态光波的波函数：
U (P,t) A(P) cos[t (P)] A(P) cos[(P) t]
A(P) ：振幅的空间分布；(P) ：位相的空间分 布。
时间项：t [为圆频率]
定态平面波
z’ k
特点：
z’
P
r
波面
(P)=常数
•振幅A(P)是常数，它与场点坐标无关;
• 位相是直角坐标的线性函数，即
(P) k r 0 kxx ky y kz z 0
1.2 定态光波的概念
定态波：光源持续且稳定地发光，波场中各点都以同一 频率作稳定的振荡。
定态波场的性质： 1）空间各点的扰动是同频率的简谐振动。 2）波场中各点扰动的振幅不随时间变化，
在空间形成一个稳定的振幅分布。 频率单一，振幅稳定。
满足上述要求的光波是无限长的单色波列。 当波列的持续时间比其扰动周期 长得多时，即可将其当作无限长波列处理。
U (P) Aexp[i(kz 0 )] *
例题：
已知位相分布 (P) lx my nz p，求波的传播 方向和波长
根据 (P) k(x cos y cos z cos ) 0
解：这是平面波的线性位相分布。波矢的方向余弦为
cos l
k
cos m
k
cos n
k
其中 k 为波矢的大小 k l2 m2 n2
10-标量衍射理论2-角谱及传播
2、平面波角谱的传播
角谱沿 z 传播遵循的规律
l l l l l l l A c, o c, s o z 4 s 2 2 c2o c2 s o d d 2 s 2 A z c, o c, s o z k s 2 A c, o c, s o z 0 s
方向余弦 cos2 cos2 的平面波, /, k 在xy 平面,不
沿 z 轴传播.
cos2 cos2 > : 代表倏逝波
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
A co ,cs o ,z sA co ,cs o ,0 e sx jk 1 p c z( 2 o c s2 o )s
l l l l
Afx, fy
系统的输出
A0 fx, fy
系统的输入
fx
coαs, λ
fy
coβs λ
表征系统频谱特性的传递函数 ：
l l H fx,fyA A ((ffx x ,,ffy y )) ex jk p zfxfy
系统的
传递函数:Hfx,fy
ex jk p1 z λ fx2λ fy2
0
fx 2fy 2<λ 1 2 其他
2、平面波角谱的传播
传播现象作为线性空不变系统
系统的
传递函数:Hfx,fy
ex jk p1 z λ fx2λ fy2
g (x ,y ) G (fx ,fy )ex j2( p fx x [fy y )d ] x d f y f
光波场的复振幅描述
g ( x, y) G( f x, f y ) exp[ j 2p ( f x x f y y)]dfx df y
光波场的复振幅描述
平面波的空间频率-信息光学中最基本的概念
三个空间频率不能相互独立： l2 因此
2 2 2
fx l fy l fz 1
2 2 2 2 2
定义:复振幅变化空间周期的倒数称为平面波的空间频率 平面波在x和y方向的空间频率分别为: 1 cosa 1 cos b cosa, cosb 为波 fx ; fy 矢的方向余弦 X l Y l
若波矢在x-z平面或y-z平面中, a b 又常用它 们的余角qx (qy)表示,故: 1 sinq x
光波场的复振幅描述
球面波 : 在给定平面的分布 以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播. 所考察的平面垂直于z 轴
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其 距离为z的x - y平面上的光分布
r [( x x0 ) 2 ( y y0 ) 2 z 2 ]1/ 2 ( x x0 ) ( y y0 ) z 1 2 z
常量振幅 线性位相因子
光波场的复振幅描述
3、平面波: 在给定平面的分布
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
cosg 1 cos2 a cos2 b
U ( x, y, z ) a exp( jk z 1 cos2 a cos2 b ) exp[ jk ( x cosa y cos bz )]
对给定平面 是常量 随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z > 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z < 0, 上式代表向 S 会聚的球面波. x-y 平面上等位相线方程为 : 球面波中心 在原点:
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z
0 x k: 传播矢量
球面波的等位相面: kr=c. 为球面
§1-1光波场的复振幅描述
会聚球面波
会聚球面波 U(P) a0 ejkr r
(P(x,y,z)) y (rkLeabharlann 会聚点S z 0 x.
§1-1光波场的复振幅描述
球面波 : 空间分布
P点处的复振幅:U(P) a0 ejkr 取决于k与r是平行
在与原点相距为 z 的平面上考察平面波的复振幅:
.
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示: 说明
U(P) = a(P) e jj(P)
• U(P)是空间点的复函数, 描写光场的空间分布, 与时间无关;
• U(P)同时表征了空间各点的振幅 |U(P)| = |a(P)|
和相对位相 arg(U)= j(P)
• 方便运算, 满足叠加原理
• 实际物理量是实量. 要恢复为真实光振动:
光场随时间的变化关系: 由频率n表征. 可见光: n ~1014Hz
光场变化的时间周期为1/ n. 严格单色光: n为常数
光场随空间的变化关系体现在: (1) 空间各点的振幅可能不同
光场变化的空间周期为l.
(2) 空间各点的初位相可能不同, 由传播引起.
由于u(P,t) 必须满足波动方程，
可以导出a(P)、n、 .j(P)必须满足的关系
u(P,t)= e{U(P)exp(-j2pnt)} 即可
• 光强分布: I = UU*
光强是波印廷矢量的时间平. 均值, 正比于电场振幅的平方
§1-1光波场的复振幅描述
2、球面波的复振幅表示
球面波: 等相面为球面, 且所有等相面有共同中心的波
点光源或会聚中心
设观察点P(x, y, z)与发散球面波中心的距离为r,
§1-1光波场的复振幅描述
光振动的复振幅表示
为了导出a(P)、n、 j(P)必须满足的关系，将光场用复数表
示,以利于简化运算
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]}
= e{a(P)e-j[2pnt -j(P)] } 复数表示有利于
= e{a(P) e . jj(P) e -j2pnt } 将时空变量分开
r [(xx0)2 (yy0)2 z2]1/2
z1(xx0)2
(yy0)2 z2
1/2
z
需要作近轴近似
.
光波场的复振幅描述
球面波 : 近轴近似
只考虑 x - y平面上对源点 S 张角不大的范围,
即
(xx0)2(yy0)2 z2
1
可以作泰勒展开 rz(xx0)2(yy0)2
(1+D)1/2 1+ D /2
k 的方向余弦, 均为常量
以 k 表示的等相平面方程为 k .r = const. 故平面波复振幅表达式为:
U (x ,y ,z) a ex jkp r)(
a ex j( k p xc[a o s yco b s zcgo )
常量振幅
线性位相因子
.
光波场的复振幅描述
3、平面波: 在给定平面的分布
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且 这些平面垂直于 光波传播矢量 k.
k 的方向余弦 均
为常量
等相平面的法线方向k (kcosa,. kcosb, kcosg)
光波场的复振幅描述
3、 平面波的复振幅表示
等相面为平面,且这些平面垂直于光波传播矢量 k.
等相平面的法线方向 k (kcosa, kcosb, kcosg)
r
还是反平行
距离 r 的表达
若球面波中心在原点:
r x2y2z2
若球面波中心在 S (x0, y0, z0):
r(x x0)2 (yy0)2 (z z0)2
.
光波场的复振幅描述
球面波 : 在给定平面的分布
以系统的光轴为z轴,光沿 z 轴正方向传播. 所考察的平面垂直于z 轴
令点光源位于z = 0的平面上坐标(x0, y0)处. 考察与其 距离为z的x - y平面上的光分布
j(P) = k . r k = | k |=2p /l , 为波数. 表
(P(x,y,z))
k : 传播矢量 球面波: k//r
示由于波传播, 在单位长度 上引起的位相变化, 也表明 了光场变化的“空间频率”
y k
(r
则P点处的复振幅:
U(P) a0 ejkr r
a0: 单位距离 处的光振幅
源点S
2z
一级近似 二级近似
对振幅中r 的可作一级近似. 但因为 k 很大, 对位相中的 r 须作二级近似
.
§1-1光波场的复振幅描述
二、球面波 : 近轴近似
U ( P ) U ( x ,y ) a z 0 ex j) k e p z x j2 k ( z( p x x 0 ) 2 ( y y 0 ) 2
第1章 现代光学的数学物理基础
Scalar Angle-Spectrum Theory of Diffraction
§1-1 光波场的复振幅描述 1、光振动的复振幅和亥姆霍兹方程
单色光场中某点 P(x,y,z)在时刻 t 的光振动可表为:
u(P,t) = a(P)cos[2pnt - j(P)]
振幅 频率 初位相
光场随时间的变化e -j2pnt不重要: n ~1014Hz, 无法探测
n为常数,线性运算后亦不变
对于携带信息的光波, 感兴趣的是其空间变化部分.
故引入复振幅U(P): U(P) = a(P) e jj(P)
则 u(P,t)= e{ U(P) e -j2pnt } .
§1-1光波场的复振幅描述
亥姆霍兹（Helmholtz)方程
将U(P)exp(j2pn t)代入波动方程
2uv12
2 t2
u0
可导出复振幅满足的方程为：
(2k2)U0 即亥姆霍兹（Helmholtz)方程
-—不含时间的波动方程
k 2p
称为波数或传播常数，
l
表示单位长度上产生的相位变化
在自由空间传播的任何单色光扰动的复振幅都必须满足 亥姆霍兹方程。也就是说，可以用不含时间变量的复振幅分 布完善地描述单色光波场。
对给定平面 是常量
随x, y变化的二次位相因子 球面波特征位相
已将球面波中心取在 z = 0的平面, 且光波沿 z 轴正方向传播. 如果 z > 0, 上式代表从 S 发散的球面波. 如果 z < 0, 上式代表向 S 会聚的球面波.
x-y 平面上等位相线方程为 : xxyyC
球面波中心 在原点:
U (x,y)a z0e.xjk p )ez(x j2 p k z(x2y2)