高中数学必修2(人教B版)第一章立体几何初步1.1知识点总结含同步练习题及答案
D．棱柱
如图所示，是一个三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ ，试用两个平面把这个三棱台分成三部分，使每一部 分都是一个三棱锥．
解：如图，过 A ′ ，B ，C 三点作一个平面，再过 A ′ ，B ，C ′ 作一个平面，就把三棱台 ABC − A ′ B ′ C ′ 分成三部分，形成的三个三棱锥分别是 A ′ − ABC，B ′ − A ′ BC ′ ， A ′ − BC C ′ ．
− − − − − −
− − − − − −
轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥．已知某等边圆锥的轴截面面积为 √3 ，求该圆锥的底面 半径、高和母线长． 解：
如图所示，作出等边圆锥的轴截面 P AB，设圆锥的底面半径为 r ，高为 h ，母线长为 l ，则 在轴截面 P AB 中，有 OB = r，P O = h，P B = l，且∠P BO = 60∘ ．在 Rt△POB 中， h = √3 r ，l = 2r ，所以
2.空间几何体的结构特征
描述： 多面体 由若干个平面多边形围成的几何体叫做多面体．围成多面体的各个多边形叫做多面体的面；相邻 两个面的公共边叫做多面体的棱；棱与棱的公共点叫做多面体的顶点；连接不在同一个面上的两 个顶点的线段叫做多面体的对角线． 按多面体的面数可把多面体分为四面体、五面体、六面体⋯ ⋯．其中，四个面均为全等的正三 角形的四面体叫做正四面体． 旋转体 由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．这条定直 线叫做旋转体的轴． 棱柱的结构特征 一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行， 由这些面所围成的多面体叫做棱柱（prism）．棱柱中，两个互相平行的面叫做底面，简称底；其 余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧棱与底面的公共顶点叫做棱柱的 顶点． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱⋯ ⋯，可以用表 示底面各顶点的字母或一条对角线端点的字母表示棱柱，如下图的六棱柱可以表示为棱柱 ABCDEF − A ′ B ′ C ′ D ′ E ′ F ′ 或棱柱 A ′ D ．
应的 x ′ 轴和 y ′ 轴，两轴交于点 O ′ ，且使 ∠x′ O ′ y ′ = 45∘ 或 135 ∘ ，它们确定的平面表示 水平面． ② 已知图形中平行于 x 轴或 y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于 x′ 轴或 y ′ 轴的线 段． ③ 已知图形中平行于 x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于 y 轴的线段，长度为 原来的一半． 对斜二测画法的补充 ① 空间几何体的直观图要比平面图形的直观图多画一个 z 轴， z 轴是与空间几何体的高平行 的． ② 采用斜二测画法画出的平面图形的直观图面积是原平面图形面积的
侧棱与底面不垂直的棱柱叫做斜棱柱；侧棱与底面垂直的棱柱叫做直棱柱；底面是正多边形的直 棱柱叫做正棱柱；底面是平行四边形的棱柱叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的平行六面体叫 做直平行六面体．
棱锥的结构特征 一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 叫做棱锥（pyramid）．这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥
由正棱锥截得的棱台叫做正棱台，正棱台的各个侧面都是全等的等腰梯形，这些等腰梯形的高叫 做棱台的斜高． 圆柱的结构特征 以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆柱（circular cylinder）．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的 边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母 线．
）
A．①② B．①③ C．③ D．②③ 解：C 利用棱台的定义求解．①中各侧棱的延长线不能交于一点；②中的截面不平行于底面；③中各侧 棱的延长线能交于一点且截面与底面平行． 有下列四种说法： ①圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体； ②以直角三角形的一直角边为旋转轴，旋转所得几何体是圆锥； ③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交； ④半圆绕其直径所在直线旋转一周形成球． 其中错误的有（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 解：D
二、知识清单
典型空间几何体 展开图 三视图 表面积与体积 空间几何体的结构特征 截面分析 表面距离 组合体 直观图 球面距离
三、知识讲解
1.典型空间几何体 描述： 空间几何体的概念 只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形就叫做空间 几何体． 例题： 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，得到两个几何体，一个是______，另一个是______． 解：棱锥；棱台．
例题： 下列命题中，正确的是（ ） A．有两个面互相平行，其余各面都是四边形的几何体叫棱柱 B．棱柱中互相平行的两个面叫做棱柱的底面 C．棱柱的侧面是平行四边形，而底面不是平行四边形 D．棱柱的侧棱长相等，侧面是平行四边形
解：D 如图(1)，满足 A 选项条件，但不是棱柱；对于 B 选项，如图(2)，构造四棱柱 ABCD − A 1 B 1 C1 D 1 ，令四边形 ABCD 是梯形，可知 面 ABB 1 A 1 ∥ 面 DC C1 D 1 ，但这两 个面不能作为棱柱的底面；C选项中，若棱柱是平行六面体，则它的底面是平行四边形．
例题： 描述图中几何体的结构特征．
解：图（1）所示的几何体是由两个圆台拼接而成的组合体；图（2）所示的几何体是由一个圆台 挖去一个圆锥得到的组合体；图（3）所示的几何体是在一个圆柱中间挖去一个三棱柱后得到的组 合体． 下图中的几何体是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
解：D
4.展开图 描述： 空间形体的表面在平面上摊平后得到的图形，是画法几何研究的一项内容． 例题： 如图所示，是一个正方体的展开图，每一个面内都标注了字母，则展开前与字母 B 相对的是（ ）
型，会用斜二测法画出它们的直观图．
3. 会画某些简单实物的直观图（在不影响图形特征的基础上，直观图的尺寸、线条等不作严格 要求）． 4. 会用平行投影与中心投影两种方法，画出简单空间图形的三视图与直观图，了解空间图形的 不同表示形式． 5. 了解球、棱柱、棱锥、台的表面积和体积的计算公式．会求直棱柱、正棱锥、正棱台、圆 柱、圆锥、圆台和球的表面积和体积．
圆锥的结构特征 以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆 锥（circular cone）．
圆台的结构特征 用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫做圆台（frustum of a cone）．棱 台与圆台统称为台体．
球的结构特征 以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称球（solid sphere）．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．球 常用表示球心的字母 O 表示．
A．字母 E 解：B
B．字母 C
C．字母 A
D．字母 D
下图是一个正方体表面的一种展开图，图中的四条线段 AB 、CD 、EF 和 GH 在原正方体中 不在同一平面内的有______对．
解：3 将展开图恢复为正方体，如图，可见 AB 与 CD ，AB 与 GH ，EF 与 GH 不在同一平面 内．
如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（
5.截面分析 描述： 截面 用平面截立体图形所得的封闭平面几何图形称为截面． 平行截面、中截面 与立体图形底面平行的截面称为平行截面，等分立体图形的高的平行截面称为中截面． 轴截面 包含立体图形的轴线的截面称为轴截面． 球截面 球的截面称为球截面．球的任意截面都是圆，其中通过球心的截面称为球的大圆，不过球心的截 面称为球的小圆． 球心与球的截面的圆心连线垂直于截面，并且有 r2 + d 2 = R 2 ，其中 R 为球的半径， r 为 截面圆的半径， d 为球心到截面的距离． 例题： 下面几何体的截面一定是圆面的是（ ） A．圆台 B．球 C．圆柱 解：B
如图，正方体 ABCD − A 1 B 1 C1D 1 中，P ，Q ，R 分别是 AB，AD ，B 1 C1 的中点，那么正方体中过点 P ，
Q ，R 的截面形状是（
） C．五边形 D．六边形
A．三角形
B．四边形
解：D 作截面图如图所示，可知是六边形．
两平行平面截半径为 5 的球，若截面面积分别为 9π 和 16π ，则这两个平面间的距离是（ ） A．1 B．7 C．3 或 4 D．1 或 7 解：D 两平行截面可在球心的同一侧，也可在球心的两侧． i）若两个平行截面在球心的同侧，如图(1)所示，则 CD = √5 2 − 3 2 − √5 2 − 4 2 = 1 ； − − − − − − − − − − − − ii）若两平行截面在球心的两侧，如图(2)所示，则 CD = √5 2 − 3 2 + √5 2 − 4 2 = 7 ．
） A．30∘ 解：C
B．45∘
C．60∘
D．90∘
设圆的底面半径为 r ，母线长为 l ，因为侧面展开图的半圆周长应等于圆锥底面圆的周长，所以
2πr = πl ，即 l = 2r ．设圆锥的轴截面顶角为 2θ ，则 sin θ = 2θ = 60∘ ．
r 1 = ，所以 θ = 30∘ ，从而 l 2
棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上，这个棱锥叫做正棱 锥．正棱锥各侧面都是全等的等腰三角形，这些等腰三角形底边上的高都相等，叫做棱锥的斜 高．
棱台的结构特征 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱 台（frustum of a pyramid）．原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；其他各面 叫做棱台的侧面；相邻两侧面的公共边叫做棱台的侧棱；两底面的距离叫做棱台的高．
的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱． 底面是三角形、四边形、五边形⋯ ⋯的棱锥分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥⋯ ⋯其中三棱锥 又叫四面体．棱锥也用表示顶点和底面各顶点的字母或者用表示顶点和底面一条对角线端点的字 母来表示，如下图的四棱锥表示为棱锥 S − ABCD 或者棱锥 S − AC ．
高中数学 第一章 立体几何初步 1.2.1 平面的基本性质与推论同步练习(含解析)新人教B版必修2(
高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质与推论同步练习（含解析）新人教B版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第一章立体几何初步1.2.1 平面的基本性质与推论同步练习（含解析）新人教B版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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平面的基本性质与推论1．下列图形中，满足αβ＝AB，aα,bβ，a∥AB，b∥AB的图形是( ）．2．平面αβ＝l，点A∈α，点B∈α，且C l,但C∈β,又AB l＝R，如图，过A、B、C三点确定的平面为γ，则βγ是( )．A．直线AC B．直线BCC．直线CR D．直线AR3．下列四种叙述：①空间四点共面，则其中必有三点共线；②空间四点不共面，则其中任何三点不共线;③空间四点中有三点共线，则此四点必共面；④空间四点中任何三点不共线，则此四点不共面．其中正确说法的序号是（）．A．②③④ B．②③C．①②③ D．①③4．如果平面α和平面β有三个公共点A、B、C，则平面α和β的位置关系为( ）．A．平面α和平面β只能重合B．平面α和平面β只能交于过A、B、C三点的一条直线C．如果点A、B、C不共线，则平面α和平面β重合，若A、B、C三点共线，则平面α与平面β重合或相交于直线ABD．以上说法均不正确5．两条异面直线在同一个平面内的俯视图有可能是__________________________．6．下列命题：①空间三点确定一个平面；②有3个公共点的两个平面必重合；③空间两两相交的三条直线确定一个平面；④等腰三角形是平面图形；⑤平行四边形、梯形、四边形都是平面图形；⑥垂直于同一直线的两直线平行；⑦一条直线和两平行线中的一条相交．也必和另一条相交．其中正确的命题是________．7．求证:三个平面两两相交得到三条交线,如果其中的两条相交于一点，那么第三条也经过这个点．8．如图所示，△ABC与△A′B′C′不在同一平面内，如果三条直线AA′、BB′、CC′两两相交．证明：三条直线AA′、BB′、CC′共点．9.正方体是常见的并且重要的多面体，对它的研究将有助于我们对立体几何一些概念的理解和掌握．如图所示，在正方体AC1中，E、F、G、H分别是所在棱的中点，请思考并回答下列问题:（1）直线EF、GH、DC能交于一点吗？(2）若E、F、G、H四点共面，怎样才能画出过四点E、F、G、H的平面与正方体的截面?（3）若正方体的棱长为a，那么（2）中的截面面积是多少？参考答案1。
高中数学必修2(人教B版)第一章集合1.2知识点总结含同步练习题及答案
描述：高中数学必修2(人教B版)知识点总结含同步练习题及答案第一章 立体几何初步 1.2 点、线、面之间的位置关系一、学习任务1. 理解空间点、线、面的位置关系，会用数学语言规范地表述空间点、线、面的位置关系；了解可以作为推理依据的公理和定理，能正确地判断空间线线、线面与面面的位置关系．2. 认识和理解空间中线面平行、垂直的有关判定定理和性质定理，能用图形语言和符号语言表述这些定理，并能证明有关性质定理；能运用公理、定理和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题．二、知识清单平面的概念与基本性质点、线、面的位置关系 空间的平行关系空间的垂直关系点面距离三、知识讲解1.平面的概念与基本性质平面的概念生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．几何里所说的平面就是从这样的一些物体中抽象出来的，但是几何中的平面是没有厚度、无限延展的．平面的画法我们常常把水平的平面画成一个平行四边形，用平行四边形表示平面，平行四边形的锐角通常画为 ，且横边长等于其邻边长的 倍．如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡的部分用虚线画出来．平面的表示为了表示平面，常把希腊字母 等等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 、平面 ；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点，或者相对的两个顶点的大写英文字母作为这个平面的名称，如图中的平面可以表示为平面 、平面 或者平面 ．集合符号在立体几何中的应用以点作为元素，直线和平面都是由点构成的集合．几何中许多符号的规定都是源于将图形视为点集．例如：点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线 在平面 内，记作 ；直线 不在平面 内，记作 ；直线 与 相交于点 ，记作 ；平45∘2α,β,γαβABCD AC BD A αA ∈αA αA ∉αl αl ⊂αl αl ⊄αl m A l ∩m =A例题：面 与平面 相交于直线 ，记作 ．平面的基本性质平面的基本性质是由三条公理描述的：公理1 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．符号语言：，，且 ，．公理2 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．推论1 经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面．推论2 经过两条相交直线，有且只有一个平面．推论3 经过两条平行直线，有且只有一个平面．公理3 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．符号语言：，且 ，且 ．空间位置关系与几何量的基础平行公理 平行于同一条直线的两条直线互相平行．等角定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．αβaα∩β=aA∈l B∈l A∈αB∈α⇒l⊂αP∈αP∈β⇒α∩β=l P∈l用符号语言表示下列语句．（1）点 在平面 外，点 在平面 内，直线 经过点 ，；（2） 与 交于 ， 与 交于 ．解：（1），，，．（2），．AαBαl A B平面ABD平面BCD BD平面ABC平面ADC ACa∉αB∈αA∈l B∈l平面ABD∩平面BCD=BD平面ABC∩平面ADC=AC如图所示，在四面体 中，、、、 分别是 、、、 上的点，且 ，求证 ，， 三点共线．ABCD E F G H AB AD BC CDEF∩GH=PB D P2.点、线、面的位置关系证明：因为 ，，所以 ，同理，，又，所以 ，，而 ，所以 ，即 ，， 三点共线．E ∈ABF ∈AD EF ⊂平面 ABD GH ⊂平面 BCD EF ∩GH =P P ∈平面 ABD P ∈平面 BCD 平面 ABD ∩平面 BCD =BD P ∈直线BD B D P 已知：如图，，，．求证：直线 ，， 在同一平面内．证法一：（同一法）因为 ，所以 和 确定一个平面 ． 因为 ，所以 ．又因为 ，所以 ．同理可证 ．又 ，，所以 ．因此，直线 ，， 在同一个平面内．证法二：（重合法）因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．因为 ，所以 ， 确定一个平面 ．又因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．同理可证得 ，，，．所以不共线的三个点 ，， 在平面 内，又在平面 内．所以平面 和平面 重合，即直线 ，， 在同一平面内．∩=A l 1l 2∩=B l 2l 3∩=C l 1l 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3B ∈l 2⊂αl 2B ∈αC ∈αB ∈l 3C ∈l 3⊂αl 3l 1l 2l 3∩=A l 1l 2l 1l 2α∩=B l 2l 3l 2l 3βA ∈l 2⊂αl 2A ∈αA ∈l 2⊂βl 2A ∈βB ∈αB ∈βC ∈αC ∈βA B C αβαβl 1l 2l 3结合空间想象回答下列问题：（1） 个平面可以分空间为______部分；（2） 个平面可以分空间为______部分；（3）正方体的各个面延伸后将空间分成______部分．解：（1），；（2），，，；（3）．对于（1）：当 个平面平行时，分成 部分；当两个面相交时，分成 部分；对于（2）：当 个平面两两平行时，分成 部分；当其中两个平面平行，和另外一个平面相交或者三个平面相交于一条直线时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线两两平行时，分成 部分；当 个平面两两相交且交线相交于一点时，分成 部分；对于（3）：首先，将正方体的四个侧面延伸，可知将空间分成 部分，然后，将正方体的上下底面延伸可知将之前部分分成了 层，每层 部分，共 部分 ．233446782723434637389393×9=27若直线 、、 相交于一点，则这 条直线可能确定的平面有（ ）A． 个 B． 个 C．无数个 D． 个或 个解：D当 、、 三线共面时，平面只有 个；当三线不共面时，任意两条可确定一个平面，共 个．a b c 30113a b c 13描述：例题：点与平面的位置关系平面内有无数个点，平面可以看成点的集合．点 在平面 内，记作 ；点 不在平面 内，记作 ．直线与直线的位置关系空间直线与直线的位置关系共有以下两种：共面直线 在同一平面内的两条直线．更进一步，若这两条直线有且只有一个公共点，则称它们是相交直线 ，若这两条直线没有公共点，则称它们是平行直线；异面直线 不同在任何一个平面内的两条直线．直线垂直如果两条直线所成的角是直角，那么我们就说这两条直线互相垂直，记作 ．在空间，两条直线垂直包括两种情形：共面垂直和异面垂直．直线与平面的位置关系空间直线与平面的位置关系共有以下三种：直线在平面内 直线上的所有点都在平面内；直线与平面相交 直线与平面有且仅有一个公共点；直线与平面平行 直线与平面没有公共点．平面与平面的位置关系空间平面与平面的位置关系共有以下两种：平行 两个平面没有公共点，则称这两个平面平行；相交 两个平面有一条公共直线，则称这两个平面相交，此时这条公共直线称为这两个平面的交线．A αA ∈αA αA ∉αa ⊥b 如果在两个平面内分别各有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面的位置关系是（）A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．垂直相交解：C可根据题意作图判断，如图所示，分别为两个平面平行、相交的情况 ．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是（ ）A．相交 B．异面 C．异面或相交 D．平行解：C如图所示，可能相交，也可能异面，若两直线平行，则此两条直线确定一个平面，且原两条异面直线均在此平面内，故矛盾 ．描述：3.空间的平行关系空间四边形顺次连接不共面的四个点 、、、 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．空间四边形用表示顶点的四个字母表示．例如，图中的四边形可以表示为空间四边形 ，线段 ， 是它的对角线．直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行． 用符号表示：，，且．平面与平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．用符号表示：，，，，．平面与平面平行的判定定理的推论如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行．若直线 不平行于平面 ，且 ，则（ ）A． 内的所有直线与 异面 B． 内不存在与 平行的直线 C． 内存在唯一的直线与 平行 D． 内的直线与 都相交解：B依题意，设直线 ，如图． 内的直线若经过点 ，则与直线 相交；若不经过点 ，则与直线 是异面直线，但不可能与 平行．l αl ⊄ααl αl αl αl l ∩α=A αA l A l l A B C D ABCD AC BD a ⊄αb ⊂αa ||b ⇒a ||αa ⊂βb ⊂βa ∩b =P a ||αb ||α⇒β||α例题：直线与平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．用符号表示：，，．平面与平面平行的性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行．用符号表示：，，．a ||αa ⊂βα∩β=b ⇒a ||b α||βα∩γ=a β∩γ=b ⇒a ||b 下列命题（其中 ， 表示直线， 表示平面）中，正确的个数是（ ）①若 ，，则；②若 ，，则 ；③若 ，，则 ；④若 ，，则 ．A． 个 B． 个 C． 个 D． 个解：A①中缺少 这一条件；②中 ， 还有可能相交或异面；③中还有可能 ；④中 与 还有可能异面．a b αa ∥b b ⊂αa ∥αa ∥αb ∥αa ∥b a ∥b b ∥αa ∥αa ∥αb ⊂αa ∥b 0123a ⊄αa b a ⊂αa b 若平面 ，直线 ，点 ，则在 内过点 的所有直线中（ ）A．不一定存在与 平行的直线B．只有两条与 平行的直线C．存在无数条与 平行的直线D．有且只有一条与 平行的直线解：D直线 与点 确定平面 ，设 ，则 唯一．α∥βa ⊂αB ∈ββB a a a a a B γβ∩γ=l l 如图，四棱锥 中，底面 是正方形， 是棱 的中点．求证：．证明：P −ABCD ABCD E P D P B ∥平面 EAC连接 ，与 相交于点 ，连接 ．因为四边形 为正方形，所以 为 中点 ．又因为 为棱 中点，所以 ．又 ，，故 ．BD AC O EO ABCD O BD E P D P B ∥EO P B ⊄平面 EAC EO ⊂平面 EAC P B ∥平面 EAC 如图所示，三棱锥 被一平面所截，截面为平行四边形 ．求证：．证明：因为四边形 为平行四边形，所以 ．又 ，，所以 ．而 ，，所以 ．A −BCD EF GH CD ∥EF EF GH EF ∥GH GH ⊂平面BCD EF ⊄平面BCD EF ∥平面BCD EF ⊂平面ACD 平面ACD ∩平面BCD =CD EF ∥CD 如图所示，在三棱锥 中， ，， 分别是棱 ，， 的中点，求证：．证明：因为 ，分别是棱 ， 的中点，所以 是 的中位线，．因为 ，，所以．同理，．又因为 ，，，所以 ．S −ABC D E F AC BC SC 平面DEF ∥平面SAB D E AC BC DE △ABC DE ∥AB DE ⊄平面SAB AB ⊂平面SAB DE ∥平面SAB DF ∥平面SAB DE ∩DF =D DE ⊂平面DEF DF ⊂平面DEF 平面DEF ∥平面SAB 如图所示，已知在正方体 中，， ， 分别是 ，， 的中点．求证：．证明：ABCD −A 1B 1C 1D 1M N P C C 1B 1C 1C 1D 1平面 MNP ∥平面BD A 1描述：4.空间的垂直关系直线与平面垂直的判定如果直线 与平面 内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 与平面 互相垂直．记作 ．直线 叫做平面 的垂线，平面 叫做直线 的垂面．直线与平面垂直时，它们唯一的公共点 叫做垂足．直线与平面垂直的判定定理 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直．用符号表示：，，，，．平面与平面垂直的判定定理 一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．用符号表示：，．直线与平面垂直的性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平行．用符号表示：，．平面与平面垂直的性质定理 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．用符号来表示：连接 ，，因为 ， 分别是 ， 的中点，所以 ．又因为 是正方体，所以 ，所以 ．同理可得，．因为 ，，，，所以．B 1D 1C B 1N P B 1C 1C 1D 1PN ∥B 1D 1ABCD −A 1B 1C 1D 1∥BD B 1D 1PN ∥BD MN ∥D A 1PN ,MN ⊂平面MNP PN ∩MN =N ,BD ⊂平面BD A D A 1D ∩BD =D A 1平面 MNP ∥平面 BD A 1l αl αl ⊥αl ααl P ab ⊂αa ∩b =P l ⊥a l ⊥b ⇒l ⊥αl ⊥αl ⊂β⇒α⊥βa ⊥αb ⊥α⇒a ||b AB ⊂αAB ⊥CD ⇒AB ⊥β例题：，，，．α⊥βα∩β=CD AB⊂αAB⊥CD⇒AB⊥β下列命题中，正确的序号是______．①若直线 与平面 内的无数条直线垂直，则 ；②若直线 与平面 内的一条直线垂直，则 ；③若直线 不垂直于平面 ，则 内没有与 垂直的直线；④若直线 不垂直于平面 ，则 内也可以有无数条直线与 垂直；⑤过一点与已知平面垂直的直线有且只有一条．解：④⑤当直线 与平面 内的无数条平行直线垂直时， 与 不一定垂直，所以①不正确；当 与 内的一条直线垂直时，不能保证 与平面 垂直，所以②不正确；当 与 不垂直时，可能与 内的无数条平行直线垂直，所以③不正确，④正确；过一点有且只有一条直线垂直于已知平面，所以⑤正确．故填④⑤．lαl⊥αlαl⊥αlααllααllαlαl αlαlαl α如图，三棱锥 中，，底面 的斜边为 ， 为上一点．求证： ．证明：因为 ，，所以 ．又 ，，所以 ．又 ，所以 ．P−ABC P A⊥平面ABC Rt△ABC AB F P CBC⊥AFP A⊥平面ABC BC⊂平面ABC P A⊥BCAC⊥BC AC∩P A=A BC⊥平面P ACAF⊂平面P AC BC⊥AF如图，已知四棱锥 ，底面 是菱形，，，，点 为 的中点．求证：．证明：如图，连接 ，因为 ，，所以 为等边三角形．因为 是 的中点，所以 ．因为 ，，所以 ．因为 ，，，所以 ．又 ，所以 ．P−ABCD ABCD∠DAB=60∘P D⊥平面ABCD P D=AD E AB平面P ED⊥平面P ABBD AB=AD∠DAB=60∘△ADBE AB AB⊥DEP D⊥面ABCD AB⊂平面ABCD AB⊥P DDE⊂平面P ED P D⊂平面P ED DE∩P D=D AB⊥平面P EDAB⊂平面P AB平面P ED⊥平面P ABAB⊂P AB3P C⊥AC C，求点 到平面 P C⊥CD CH答案：1. 在下列命题中，不是公理的是 A ．平行于同一个平面的两个平面相互平行B ．过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面C ．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在此平面内D ．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么他们有且只有一条过该点的公共直线A()答案：2. 设 是两条不同的直线， 是两个不同的平面 A ．若 ，则 B ．若 ，则 C ．若 ，则 D ．若 ，则 Cm ,n α,β()m ∥α,n ∥αm ∥n m ∥α,m ∥βα∥βm ∥n ,m ⊥αn ⊥αm ∥α,α⊥βm ⊥β答案：3. 一定能得到结论"平面 平面 "的条件是 A ．存在一条直线 ，使得 B ．存在一个平面 ，使得 C ．存在一个平面 ，使得 D ．存在一条直线 ，使得 Dα⊥β()l l ⊥α,l ⊥βγγ⊥α,γ⊥βγγ∥α,γ∥βl l ∥α,l ⊥β答案：4. 下列正方体或正四面体中，，，， 分别是所在棱的中点，这四个点不共面的一个图是 A．B ．C ．D ．D P Q R S()高考不提分，赔付1万元，关注快乐学了解详情。
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_2
1.1.2多面体和棱柱
一、教学目标
1、知识与技能：认识和了解多面体和棱柱的结构特征，掌握棱柱的概念和性质；
2、过程和方法：培养学生几何直观以及空间想象能力、归纳概括能力，让学生能初步利用棱柱的概念及其性质解决一些简单的问题；
3、情感与态度：让学生欣赏数学的美，培养学生自主学习的良好习惯以及探究精神和合作意识。
二、教学重点、难点
重点：棱柱的概念及其性质；
难点：几种概念相近的四棱柱特征性质的区别。
三、教法和教具
教法：问题探究、讨论、讲授、观察
教具：多媒体课件、模型
五、板书设计
六、教学反思。
必修第二册(人教大纲本B版)知识点总结
高中数学人教大纲本必修第二册（B版）知识点汇总一、立体几何初步（一）几何体1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。
底面是三角形、四边形、五边形……的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱……圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。
棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。
底面是三角锥、四边锥、五边锥……的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥……圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。
棱锥与圆锥统称为锥体。
（3）台棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点。
圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴。
圆台和棱台统称为台体。
（4）球以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_14
第一章：空间几何体1.1.1柱、锥、台、球的结构特征第一课时简单多面体的结构特征一、教学目标1．知识与技能：（1）通过实物操作，增强学生的直观感知。
（2）能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（1）让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出柱、锥、台、球的几何结构特征。
（2）让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
3．情感态度与价值观（1）使学生感受空间几何体存在于现实生活周围，增强学生学习的积极性，同时提高学生的观察能力。
（2）培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教学重点、难点重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、教学思路（一）、学生了解教学目标见PPT（二）、学生自学教材P2~P4，探究新知自主探究，通过学生观察、思考、交流、讨论，对物体进行分类，分辩棱柱、棱锥、棱台等。
并且通过交流、讨论、概括出各几何体的结构特征，完成下表。
教师对学生的活动及时给予评价。
1、自学检测题填空：如果只考虑物体的和，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的叫做空间几何体；常见的空间几何体有和两类。
2、完成表格，认识几何体的结构特征见PPT①棱柱名称棱柱直棱柱正棱柱图形动画展示定义有两个面互相平行，而其余各面都是四边形且每相邻两个四边形的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形②棱锥和棱台名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所两侧面所成角都相等成角都相等③几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分（三）质疑答辩，排难解惑，发展思维，教师提出问题，让学生思考。
人教课标版(B版)高中数学必修2知识归纳：人教B版数学必修2知识点
人教B版数学必修2知识点一、立体几何初步（一）几何体1．柱、锥、台、球的结构特征（1）柱什么是棱柱、三棱柱、四棱柱、正三棱柱、正四棱柱？什么是圆柱的轴、圆柱的轴截面、圆柱的侧面、圆柱侧面的母线、圆柱侧面展开图.（2）锥什么是棱锥、棱锥的底、棱锥的侧面、棱锥的顶点；棱锥的侧棱，什么是三角锥、四边锥、正三角锥、正四边锥、正四面体什么是圆锥、圆锥的轴、圆锥的底面、圆锥的侧面、圆锥的轴截面，圆锥的侧面展开图是什么？（3）台什么是棱台、圆台台体与对应锥体的“亲子关系”及砍头定理.（4）什么是球球内接正方体棱长与球半径关系2．空间几何体的三视图是从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.柱、锥、台、球、正方体、正4面体的正视图、侧视图、俯视图；3．空间几何体的直观图（1）斜二测画法“横等斜半45 竖也等”，直观图如何恢复成原图（2）平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.（二）面积与体积1．棱柱、棱锥、棱台的表面积、侧面积公式和体积公式，注意：侧面积为各侧面积之和.2．圆柱、圆锥与球的表面积、侧面积公式和体积公式（三）空间点线面1．三公理三推论:推论一：经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面.推论二：经过两条相交直线,有且只有一个平面.推论三：经过两条平行直线,有且只有一个平面.2．空间2条直线的位置关系：相交、平行、异面，（1）异面直线——不同在任何一个平面内，没有公共点.相交直线和平行直线也称为共面直线.（2）平行直线：在平面几何中，平行于同一条直线的两条直线互相平行，这个结论在空间也是成立的.即公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行.（3）异面直线定理：连结平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.,,,A B a B a ααα∉∈⊂∉⇒AB 与a 是异面直线. 3．直线和平面的位置关系 （1）直线在平面内 （2）直线和平面相交（3）直线和平面平行、线面平行的判定定理： ,,////a b a b a ααα⊄⊂⇒．线面平行的性质定理： //,,//a a b a b αβαβ⊂=⇒．4．两个平面的位置关系有两种：两平面相交（有一条公共直线）、两平面平行（没有公共点）（1）两个平面平行的判定定理及平行的性质 5．判断线线垂直的方法：所成的角是直角； 6．线面垂直：定义、判定定理和性质定理7．面面垂直：定义：相交、判定定理：（线面垂直⇒面面垂直）、性质定理：（面面垂直⇒线面垂直）8.二面角的求法：先找二面角的棱，再在两个半平面内找(作)棱的垂线，其夹角即二面角的平面角.9.线垂直面，则垂直面上所有线，但线平行面，线与面上的线平行或异面 二、解析几何初步 1．倾斜角：范围为[)π,0.2．斜率：当直线的倾斜角不是900时，则称其正切值为该直线的斜率，即k=t a n α;当直线的倾斜角等于900时，直线的斜率不存在.3．过两点p 1(x 1,y 1),p 2(x 2,y 2)(x 1≠x 2)的直线的斜率公式:（若x 1＝x 2，则直线p 1p 2的斜率不存在，此时直线的倾斜角为900）.4．直线方程的五种形式确定直线方程需要有两个互相独立的条件.确定直线方程的形式很多，但必须注意各种形式的直线方程的适用范围.直线的点斜式与斜截式不能表示斜率不存在（垂直于x 轴）的直线；两点式不能表示平行或重合两坐标轴的直线；截距式不能表示平行或重合两坐标轴的直线及过原点的直线. 5．直线l 1与直线l 2的的平行与垂直（1）若l 1，l 2均存在斜率且不重合：①l 1//l 2⇔ k 1=k 2；②l 1⊥l 2⇔ k 1k 2=－1. （2）若11112222:0,:0lA xB yC l A x B y C ++=++= 若A 1、A 2、B 1、B 2都不为零.①l 1//l 2⇔111222A B C A B C =≠；②l 1⊥l 2⇔ A 1A 2+B 1B 2=0； ③l 1与l 2相交⇔1122A B A B ≠；④l 1与l 2重合⇔111222A B C A B C ==；注意：若A 2或B 2中含有字母，应注意讨论字母=0与≠0的情况.两条直线的交点的个数取决于这两条直线的方程组成的方程组的解的个数. 6.距离（1）平面直角坐标系中两点间距离：若1122(,),(,)A x y B x y ，则AB ，在空间直角坐标系中，公式又是（2）平行线间距离：若1122:0,:0l Ax By C l Ax By C ++=++=， 则距离d =注意点：x ，y 对应项系数应相等.（3）点到直线的距离：0C By Ax :l ),y ,x (P =++ ，则P 到l 的距离为：22Ax By Cd A B+++7．圆的方程圆心为),(b a C ，半径为r 的圆的标准方程为：222()()(0)x a y b r r -+-=>.特殊地，当0==b a 时，圆心在原点的圆的方程为：222r y x =+.圆的一般方程22x y Dx Ey F ++++=，圆心为点(,)22D E --，半径r 2240DE F +->.8．直线0Ax By C ++=与圆222)()(r b y a x =-+-的位置关系有三种（1）若d ，0d r >⇔⇔∆<相离；（2）0d r =⇔⇔∆=相切； （3）d r <⇔⇔∆>相交.还可以利用直线方程与圆的方程联立方程组22Ax By C x y Dx Ey F ++=++++=⎧⎨⎩求解，通过解的个数来判断： 9．两圆位置关系的判定方法设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，12O O d=.124d r r >+⇔⇔外离条公切线；123d r r =+⇔⇔外切条公切线； 12122r r d r r -<<+⇔⇔相交条公切线；121d r r =-⇔⇔内切条公切线；120d r r <<-⇔⇔内含无公切线；判断两个圆的位置关系也可以通过联立方程组判断公共解的个数来解决. 10.中点坐标公式11.两圆相交则连心线垂直平分相交弦12、线圆相交，计算弦长，常用勾股定理：弦长一半、半径、弦心距. 13、光线反射问题：入射点的“像”在反射光线的反向延长线上，反射点的“像”在入反射光线的反向延长线上14.求支点的轨迹，参考课本例题，回忆初中学过的几何知识. 15.坐标法解题要建立适当的直角坐标系.16.课本、小测、月考、练习上多次重复出现的题目要重视.对做过的题目要做好复习.。
人教B版高中数学必修二《第一章 立体几何初步 1.1 空间几何体 1.1.2 棱柱、棱锥和棱台的结构特征》_4
接柱，棱锥和棱台的结构特征1.多面体观察图18中的几何体，这些几何体都是多面体，我们来研究所有多面体构成的集合。
现在要问:多面体集合的哪些性质可以作为它的特征性质(多面体具有，都不具有的性质)?建议同学们通过思考或讨论，回答上面的问题。
多面体的每面都是多边形(围成多面体的多边形都包含它内部的平面部分，而圆柱、圆锥、球等其他几何体就不具有这种性质，由此得出多面体的结构特征:多面体是由若干个平面多边形所围成的几何体.如图1-9，围成多面体的各个多边形叫做多面体的面.如面ABCD、面BCCB':相邻的两个面的公共边叫做多面体的棱，如棱AB、棱AA':棱和棱的公共点叫做多面体的顶点，如顶点A、顶点A':连接不在同一个面上的两个顶点的线段叫做多面体的对角线，如对角线BD' 把一个多面体的任意一个面延展为平面，如果其余的各面都在这个平面的同一侧，则这样的多面体就叫做凸多面体。
如图1-8中的(1)(2)(3)都是凸多面体，而(4)不是本书中说到多面体，如果没有特别说明，指的都是凸多面体，多面体至少有4个面.多面体按照围成它的面的个数分别叫做四面体、五面体、六面.....一个几何体和一个平面相交所得到的平面图形(包含它的内部)，叫做这个几何体的截面，在图1-9中画出了多面体的一个截面EAC.在小学和初中，同学们已经学习过些特殊的多面体。
如棱柱、棱锥和棱台，对这些几何体大家都能直现地区分它们。
这是因为它们各自具有自己的结构特征。
这节，我们要通过实验、观察，进一步研究它们的特征性质。
2.棱柱当你观察图1-10中的多面体时，根据小学和初中学过的儿何知识，你可能会到定这些多面体是此棱柱，为什么你会判定它们是棱柱呢?请你通过自己思考或与同学讨论，回答下面的问题:棱柱有哪此性质?哪此性质可以作为棱柱集合的特征性质?如果我们以运动的观点来观察，棱柱可以看成一个多边形(包括图形围成的平面部分)上各点都沿着同个方向移动相同的距离所形成的几何体，观察这个移动过程，我们可以得到棱柱的主要特征性质: 棱柱有两个互相平行的面，而且夹在这两个平行平面间的每相邻两个面的交线都互相平行(图110),棱柱的这两个n相平行的面叫做棱柱的底面，其余各面叫做棱柱的侧面，两侧面的公共边叫做棱柱的侧棱, 棱柱两底面之间的距离，叫做棱柱的高。
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第一章立体几何初步
第一课时棱柱、棱锥和棱台
教学目标：
使学生掌握集合的概念和性质，集合的元素特征，有关数的集合；培养学生的思维能力，提高学生理解掌握概念的能力；培养学生认识事物的能力，引导学生爱班、爱校、爱国.
教学重点：
集合的概念，集合元素的三个特征.
教学难点：
集合元素的三个特征，数集与数集关系.
教学方法：
尝试指导法
学生依集合概念的要求、集合元素的特征，在教师指导下，能自己举出符合要求的实例，加深对概念的理解、特征的掌握.
教学过程：
观察下面的几何体，它们有什么共同特点？
它们分别由一平面多边形按一定的方向平移而得。
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点
高中数学必修二第一章立体几何初步知识点立体几何初步是高中数学必修二第一章的内容，有哪些知识点需要掌握的呢?下面是店铺给大家带来的高中数学必修二立体几何初步知识点，希望对你有帮助。
高中数学必修二第一章立体几何初步棱柱表面积A=L*H+2*S,体积V=S*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积)圆柱表面积A=L*H+2*S=2π*R*H+2π*R^2,体积V=S*H=π*R^2*H(L--底面周长,H--柱高,S--底面面积,R--底面圆半径)球体表面积A=4π*R^2,体积V=4/3π*R^3(R-球体半径)圆锥表面积A=1/2*s*L+π*R^2,体积V=1/3*S*H=1/3π*R^2*H (s--圆锥母线长,L--底面周长,R--底面圆半径,H--圆锥高)棱锥表面积A=1/2*s*L+S,体积V=1/3*S*H(s--侧面三角形的高,L--底面周长,S--底面面积,H--棱锥高)长方形的周长=(长+宽)×2 正方形 a—边长 C=4aS=a2 长方形 a和b-边长 C=2(a+b)S=ab 三角形 a,b,c-三边长 h-a边上的高s-周长的一半 A,B,C-内角其中s=(a+b+c)/2 S=ah/2 =ab/2·sinC [s(s-a)(s-b)(s-c)]1/2a2sinBsinC/(2sinA) 四边形d,D-对角线长α-对角线夹角S=dD/2·sinα 平行四边形 a,b-边长 h-a边的高α-两边夹角S=ah =absinα =菱形 a-边长α-夹角 D-长对角线长 d-短对角线长 S=Dd/2=a2sinα 梯形 a和b-上、下底长 h-高m-中位线长 S=(a+b)h/2 =mh d-直径C=πd=2πrS=πr2 =πd2/4 扇形 r—扇形半径正方形的周长=边长×4 长方形的面积=长×宽正方形的面积=边长×边长三角形的面积=底×高÷2 平行四边形的面积=底×高梯形的面积=(上底+下底)×高÷2 直径=半径×2 半径=直径÷2 圆的周长=圆周率×直径= 圆周率×半径×2 圆的面积=圆周率×半径×半径长方体的表面积= (长×宽+长×高+宽×高)×2 长方体的体积 =长×宽×高正方体的表面积=棱长×棱长×6正方体的体积=棱长×棱长×棱长圆柱的侧面积=底面圆的周长×高圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积圆柱的体积=底面积×高圆锥的体积=底面积×高÷3 长方体(正方体、圆柱体)的体积=底面积×高平面图形名称符号周长C和面积S a—圆心角度数C=2r+2πr×(a/360) S=πr2×(a/360)弓形l-弧长b-弦长h-矢高r-半径α-圆心角的度数S=r2/2·(πα/180-sinα) =r2arccos[(r-h)/r] -(r-h)(2rh-h2)1/2 =παr2/360 - b/2·[r2-(b/2)2]1/2=r(l-b)/2 + bh/2≈2bh/3 圆环R-外圆半径r-内圆半径D-外圆直径d-内圆直径S=π(R2-r2)=π(D2-d2)/4 椭圆 D-长轴 d-短轴S=πDd/4立方图形名称符号面积S和体积V 正方体 a-边长 S=6a2 V=a3 长方体 a-长 b-宽 c-高 S=2(ab+ac+bc)V=abc 棱柱 S-底面积 h-高 V=Sh 棱锥 S-底面积h-高V=Sh/3 棱台S1和S2-上、下底面积h-高V=h[S1+S2+(S1S1)1/2]/3拟柱体 S1-上底面积 S2-下底面积S0-中截面积 h-高 V=h(S1+S2+4S0)/6圆柱 r-底半径 h-高 C—底面周长S底—底面积 S侧—侧面积 S表—表面积C=2πr S底=πr2S侧=Ch S表=Ch+2S底 V=S底h =πr2h空心圆柱 R-外圆半径 r-内圆半径h-高V=πh(R2-r2) 直圆锥 r-底半径 h-高V=πr2h/3圆台 r-上底半径 R-下底半径h-高V=πh(R2+Rr+r2)/3 球 r-半径d-直径V=4/3πr3=πd2/6 球缺 h-球缺高 r-球半径a-球缺底半径V=πh(3a2+h2)/6 =πh2(3r-h)/3 a2=h(2r-h) 球台r1和r2-球台上、下底半径 h-高V=πh[3(r12+r22)+h2]/6 圆环体 R-环体半径D-环体直径r-环体截面半径d-环体截面直径V=2π2Rr2 =π2Dd2/4桶状体 D-桶腹直径 d-桶底直径 h-桶高V=πh(2D2+d2)/12 (母线是圆弧形,圆心是桶的中心) V=πh(2D2+Dd+3d2/4)/15(母线是抛物线形)三视图的投影规则是：主视、俯视长对正主视、左视高平齐左视、俯视宽相等点线面位置关系公理一：如果一条线上的两个点在平面上则该线在平面上公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上公理三：三个不共线的点确定一个平面推论一：直线及直线外一点确定一个平面推论二：两相交直线确定一个平面推论三：两平行直线确定一个平面公理四：和同一条直线平行的直线平行异面直线定义：不平行也不相交的两条直线判定定理：经过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是异面直线。
数学新学案同步必修二人教B版全国通用版讲义：第一章 立体几何初步1.1.1 Word版含答案
§1.1空间几何体1.1.1构成空间几何体的基本元素学习目标 1.了解空间中点、线、面、体之间的关系.2.了解轨迹和图形的关系.3.初步了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系．知识点一构成几何体的基本元素思考1平面几何研究的主要对象是什么？构成平面图形的基本元素是什么？答案平面图形；点与直线．思考2构成几何体的基本元素是什么？答案点、线、面．梳理几何体的定义(1)定义：只考虑一个物体占有空间部分的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分叫做一个几何体．(2)构成空间几何体的基本元素：点、线、面．知识点二长方体思考长方体的基本元素有哪些？如何定义？答案6个面，12条棱，8个顶点，长方体是由六个矩形(包括它的内部)围成的．梳理长方体的概念(1)基本元素：长方体有12条棱，8个顶点，6个面．(2)面：围成长方体的各个矩形．(3)棱：相邻两个面的公共边．(4)顶点：棱和棱的公共点．知识点三平面思考平的镜面是一个平面吗？答案不是，数学中的平面是个抽象的概念，它是无限延展的．梳理平面的概念(1)特征：平面是处处平直的面，是无限延展的．(2)画法：通常画一个平行四边形表示一个平面．(3)命名：用希腊字母α，β，γ，…来命名，还可以用表示它的平行四边形的对角顶点的字母来命名．知识点四空间中直线、平面的位置关系思考空间中直线与平面、平面与平面的位置关系有哪些？答案直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行．平面与平面的位置关系有平面与平面平行、平面与平面相交两种．梳理特殊位置关系的几个定义比较1．8个平面重叠起来要比6个平面重叠起来厚．( × ) 2．空间不同三点确定一个平面．( × ) 3．一条直线和一个点确定一个平面．( × )类型一 几何体的基本元素例1 试指出下图中各几何体的基本元素．解 (1)中几何体有6个顶点，12条棱和8个面． (2)中几何体有12个顶点，18条棱和8个面． (3)中几何体有6个顶点，10条棱和6个面．(4)中几何体有2条曲线，3个面(2个平面和1个曲面)．反思与感悟 点是最基本的元素，只有位置，没有大小；直线没有粗细，向两方无限延伸；平面没有厚度，向周围无限延展．要熟记这三种基本元素的特点．在现实生活中要多观察几何体，以便加深对构成空间几何体的基本元素的认识．跟踪训练1 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，下列说法正确的有________．(填序号)①长方体的顶点一共有8个；②线段AA1所在的直线是长方体的一条棱；③矩形ABCD所在的平面是长方体的一个面；④长方体由六个平面围成．答案①类型二空间中点、线、面的位置关系的判定例2如图所示，在长方体ABCD—A′B′C′D′中，如果把它的12条棱延伸为直线，6个面延展为平面，那么在这12条直线与6个平面中：(1)与直线B′C′平行的平面有哪几个？(2)与直线B′C′垂直的平面有哪几个？(3)与平面BC′平行的平面有哪几个？(4)与平面BC′垂直的平面有哪几个？(5)平面AC与平面A′C′间的距离可以用哪些线段来表示？解(1)有平面ADD′A′与平面ABCD.(2)有平面ABB′A′、平面CDD′C′.(3)有平面ADD′A′.(4)有平面ABB′A′、平面CDD′C′、平面A′B′C′D′与平面ABCD.(5)可用线段AA′，BB′，CC′，DD′来表示．反思与感悟(1)解决此类问题的关键在于识图，根据图形识别直线与平面平行、垂直，平面与平面平行、垂直．(2)长方体和正方体是立体几何中的重要几何体，对其认识有助于进一步认识立体几何中的点、线、面的基本关系．跟踪训练2下列关于长方体ABCD－A1B1C1D1中点、线、面位置关系的说法正确的是________．(填序号)①直线AA1与直线BB1平行；②直线AA1与平面C1D1DC相交；③直线AA1与平面ABCD垂直；④点A1与点B1到平面ABCD的距离相等．答案①③④解析①正确，由于AA1与BB1是矩形ABB1A1的一组对边，所以AA1∥BB1；②不正确，由于直线AA1与平面C1D1DC没有交点，所以AA1∥平面C1D1DC；③正确，由于直线AA1与平面ABCD内的两条相交直线AB，AD垂直，所以AA1⊥平面ABCD；④正确，点A1到平面ABCD的距离为AA1，点B1到平面ABCD的距离为BB1，又AA1＝BB1，因此距离相等．类型三几何体的表面展开图例3把如图所示的几何体沿线段AA′及与上、下底相关的棱剪开，然后放在平面上展开，试画出这些图形．解画出的相应图形如图所示．反思与感悟多面体表面展开图问题的解题策略(1)绘制展开图：绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征，发挥空间想象能力或者是亲手制作多面体模型．在解题过程中，给多面体的顶点标上字母，先把多面体的底面画出来，然后依次画出各侧面，便可得到其表面展开图．(2)已知展开图：若是给出多面体的表面展开图，来判断是由哪一个多面体展开的，则可把上述过程逆推．同一个几何体的表面展开图可能是不一样的，也就是说，一个多面体可有多个表面展开图．跟踪训练3一个无盖的正方体盒子的平面展开图如图，A、B、C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC＝________.答案60°解析将平面图形翻折，折成空间图形，如图．由图可知AB＝BC＝AC，所以△ABC为等边三角形．所以∠ABC＝60°.1．有以下结论：①平面是处处平的面；②平面是无限延展的；③平面的形状是平行四边形；④一个平面的厚度可以是0.001 cm.其中正确的个数为()A．1 B．2 C．3 D．4考点平面的概念、面法及表示题点平面概念的应用答案 B解析平面是无限延展的，但是没有大小、形状、厚薄，①②两种说法是正确的；③④两种说法是错误的．故选B.2．下列结论正确的个数有()①曲面上可以存在直线；②平面上可存在曲线；③曲线运动的轨迹可形成平面；④直线运动的轨迹可形成曲面；⑤曲面上不能画出直线．A．3 B．4 C．5 D．2答案 B解析由空间中构成几何体的基本元素可判断①②③④均正确，而曲面上可以画出直线，所以⑤错误，故选B.3．下列说法正确的是()A．在空间中，一个点运动成直线B．在空间中，直线平行移动形成平面C．在空间中，直线绕该直线上的定点转动形成平面或锥面D．在空间中，矩形上各点沿同一方向移动形成长方体答案 C解析一个点运动也可以成曲线，故A错；在空间中，直线平行移动可以形成平面或曲面，故B错；在空间中，矩形上各点沿铅垂线向上(或向下)移动相同距离所形成的几何体是长方体，故D错．4.在长方体ABCD－A1B1C1D1中(如图所示)，和棱A1B1不相交的棱有________条．答案7解析在长方体中一共有12条棱，除去与A1B1相交的与其本身，还剩7条．5．如图，一个封闭的长方体，它的六个表面各标有A，B，C，D，E，F这六个字母之一，现放置成如图三种不同的位置，则字母A，B，C对面的字母分别为________．答案E，D，F解析第一个正方体已知A，C，D，第二个正方体已知B，C，E，第三个正方体已知A，B，C，且不同的面上写的字母各不相同，则可知，A对面标的是E，B对面标的是D，C对面标的是F.1．点、线、面是构成几何体的基本元素．2．平面是无限延展的，通常画一个平行四边形表示一个平面．3．平面的记法(1)平面一般用希腊字母α、β、γ…来命名；(2)平面图形顶点法．4．认识空间中的点、直线和平面之间的位置关系，我们可以动手制作一些模型或画出图形，来帮助我们理解和提高空间想象能力．一、选择题1．下列不属于构成空间几何体的基本元素的是()A．点B．线段C．曲面D．多边形(不包括内部的点)答案 D解析空间中的几何体是由点、线、面构成的，而线有直线和曲线之分，面有平面和曲面之分，只有多边形(不包括内部的点)不属于构成几何体的基本元素．2．下列说法正确的是()A．水平放置的平面是大小确定的平行四边形B．平面ABCD即平行四边形ABCD的四条边围起来的部分C．一条直线和一个平面一定会有公共点D．平面是光滑的，可向四周无限延展答案 D解析平面可以用平行四边形来表示，但平行四边形只是平面的一部分，不能理解为平面，A错；平面是一个抽象的概念，是无限延展的，没有大小、厚薄之分，B错；直线和平面可以没有公共点，此时直线和平面平行，C错．故选D.3．下列关于长方体的叙述中不正确的是()A．将一个矩形沿竖直方向平移一段距离一定能形成一个长方体B．长方体中相对的面互相平行C．长方体某一底面上的高就是这一面与其所对面的距离D．两相对面之间的棱互相平行且等长答案 A解析A选项中，若矩形斜放，则不会形成长方体，故选A.4．下列四个长方体中，由图中的纸板折成的是()答案 A解析根据题图中纸板的折叠情况及特殊面的阴影部分可以判断B，C，D不正确，故选A.5.某同学制作了一个对面图案相同的正方体礼品盒(如图)，则这个正方体礼品盒的表面展开图应该为()答案 A解析两个☆不能并列相邻，B、D错误；两个※不能并列相邻，C错误，故选A.也可通过实物制作检验来判定．6．两个平面可以将空间分成()A．3部分B．4部分C．2或4部分D．3或4部分答案 D解析当两平面平行时，将空间分成3部分；当两平面相交时，将空间分成4部分，故选D.二、填空题7．下列说法：①任何一个几何体都必须有顶点、棱和面；②一个几何体可以没有顶点；③一个几何体可以没有棱；④一个几何体可以没有面．其中正确的是________．(填序号)答案②③解析球只有一个曲面围成，故①错，②③对，由于几何体是空间图形，故一定有面，④错．8.在如图所示的长方体ABCD－A′B′C′D′中，互相平行的平面共有________对，与A′A 垂直的平面是________________．答案3平面ABCD，平面A′B′C′D′解析平面ABCD与平面A′B′C′D′平行，平面ABB′A′与平面CDD′C′平行，平面ADD′A′与平面BCC′B′平行，共3对．与AA′垂直的是平面ABCD，平面A′B′C′D′.9．线段AB的长为5 cm，在水平面上向右移动4 cm后记为CD，将CD沿铅垂线方向向下移动3 cm后记为C′D′，再将C′D′沿水平方向向左移动4 cm后记为A′B′，依次连接构成长方体ABCD－A′B′C′D′.(1)该长方体的高为________ cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为________ cm.(3)点A到平面BCC′B′的距离为________ cm.答案(1)3(2)4(3)5解析如图，(1)该长方体的高为3 cm.(2)平面A′B′BA与平面CDD′C′间的距离为4 cm.(3)A到平面BCC′B′的距离为5 cm.10．一个正方体去掉一个“角”后减少了一个顶点，这个几何图形是________．(填序号)答案③解析正方体共有8个顶点，去掉一个“角”后减少了一个顶点即有7个顶点．11．如图是一个正方体的表面展开图，A，B，C均为所在棱的中点，D为正方体的顶点．若正方体的棱长为2，则封闭折线ABCDA的长为________．答案2＋25＋ 6解析如图，AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋ 5＝2＋25＋6，即折线ABCDA的长为2＋25＋ 6.AB＋BC＋CD＋DA＝2＋6＋5＋5＝2＋25＋ 6.三、解答题12．如图所示，指出几何体的点、线、面．解其中的点有A，B，C，D，M，N.其中的线有AB，BC，CD，DA，MA，MB，MC，MD，NA，NB，NC，ND.其中的平面有平面MAD，平面MAB，平面MBC，平面MDC，平面NAB，平面NAD，平面NDC，平面NBC.13．如图所示是一个正方体表面的展开图，图中四条线段AB，CD，EF和GH在原正方体中的位置关系是什么？解选择一个面为底面，将图形向上折成正方体，如图，点G与点C重合，点F与点B重合，则线段AB与EF相交，线段HG与CD相交，线段EF与CD平行．四、探究与拓展14．如图，模块①－⑤均由4个棱长为1的小正方体构成，模块⑥由15个棱长为1的小正方体构成．现从模块①－⑤中选出三个放到模块⑥上，使得模块⑥成为一个棱长为3的大正方体，则下列选择方案中，能够完成任务的为()A．模块①，②，⑤B．模块①，③，⑤C．模块②，④，⑤D．模块③，④，⑤答案 A解析先将⑤放入⑥中的空缺部分，然后在上层放入①②，可得正方体，而可验证其余不合题意．故选A.15．如图是边长为1 m的正方体，有一蜘蛛潜伏在A处，B处有一小虫被蜘蛛网粘住，请制作出模型，将正方体剪开，描述蜘蛛爬行的最短路线．解通过正方体的展开图(如图所示)，可以发现，AB间的最短距离为A，B两点间的线段的长，为22＋12＝5(m)．由展开图可以发现，C点为其中一条棱的中点．爬行的最短路线如图(1)～(6)所示．。