2018年高考数学二轮复习专题8选修系列第1讲坐标系与参数方程课件
(t为参
• 1．极坐ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ与直角坐标互化的前提是把直角坐标系的原点 作为极点，x轴正半轴作为极轴，且在两坐标系中取相同 的长度单位． • 2．在将曲线的参数方程化为普通方程时，不仅仅是要把 其中的参数消去，还要注意其中的x、y的取值范围，即在 消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价 性．
[ 解析]
x2 2 (1)曲线C的普通方程为 9 ＋y ＝1．
当a＝－1时，直线l的普通方程为x＋4y－3＝0． x＋4y－3＝0， 2 由x 2 ＋ y ＝1， 9 21 x＝－25， x＝3， 解得 或 y＝0 y＝24. 25 21 24 从而C与l的交点坐标为(3,0)，(－25，25)．
π ③直线过M(b，2)且平行于极轴：ρsin θ＝b．
4．几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcos α， ①以O′(a，b)为圆心，r为半径的圆的参数方程是 y＝b＋rsin α，
其中α是
参数．
x＝rcos α， ②当圆心在(0,0)时，方程为 y＝rsin α，
核心知识整合
1．直角坐标与极坐标的互化公式 把直角坐标系的原点作为极点，x轴正半轴作为极 轴，并在两坐标系中取相同的长度单位．设M是平面内 任意一点，它的直角坐标是(x，y)，极坐标是(ρ，θ)，
2 2 2 ρ ＝ x ＋ y ， x＝ρcos θ， 则 y y＝ρsin θ， tan θ＝ x≠0. x
2．圆的极坐标方程 (1)若圆心为M(ρ0，θ0)，半径为r，则圆的方程为：ρ2－2ρ0ρcos(θ－θ0)＋ρ 2 0－ r2＝0． (2)几个特殊位置的圆的极坐标方程 ①当圆心位于极点，半径为r：ρ＝r； ρ＝2acosθ ②当圆心位于M(a,0)，半径为a：__________________ ； π ③当圆心位于M(a，2)，半径为a：ρ＝2asin θ．
其中α是参数．
(2)椭圆
x＝acos φ， x2 y2 ①椭圆a2＋b2＝1(a>b>0)的参数方程是 其中φ是参数． y＝bsin φ， x＝bcos φ， x2 y2 ②椭圆b2＋a2＝1(a>b>0)的参数方程是 其中φ是参数． y ＝ a sin φ ，
(3)直线
3．直线的极坐标方程 (1)若直线过点M(ρ0，θ0)，且极轴到此直线的角为α，则它的方程为：ρsin(θ －α)＝ρ0sin(θ0－α)． (2)几个特征位置的直线的极坐标方程 ①直线过极点：θ＝θ0和θ＝π－θ0；
ρcos θ＝a ②直线过点M(a,0)且垂直于极轴：________________；
[ 解析]
设P的极坐标为(ρ，θ)(ρ>0)，M的极坐标为(ρ1，θ)(ρ1>0)．
4 由题设知|OP|＝ρ，|OM|＝ρ1＝cos θ． 由|OM|· |OP|＝16得C2的极坐标方程为ρ＝4cos θ(ρ>0)． 因此C2的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4(x≠0)．
(2)设点B的极坐标为(ρB，α)(ρB>0)． 1 由题设知|OA|＝2，ρB＝4cos α，于是△OAB的面积S＝ 2 |OA|· ρB· sin∠AOB＝ π 4cos α· |sin(α－3)| π 3 ＝2|sin(2α－3)－ 2 |≤2＋ 3． π 当α＝－12时，S取得最大值2＋ 3． 所以△OAB面积的最大值为2＋ 3．
x＝x0＋tcos α， 经过点P0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程是 y＝y0＋tsin α，
其中t是
参数．
5．直线参数方程中参数t的几何意义 过定点M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线的参数方程为 数)①． 通常称①为直线l的参数方程的“标准式”，其中参数t的几何意义是：|t|是 直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离，即|M0M|＝|t|． 当0<α<π时，sin α>0，所以，直线l的单位方向向量e的方向总是向上．此 → → 时，若t>0，则 M 0M 的方向向上；若t<0，则 M0M 的方向向下；若t＝0，则点M与 → 点M0重合，即当点M在M0上方时，有t＝| M 0M |；当点M在M0下方时，有t＝－ → |M 0M|．
2．(2017· 全国卷Ⅱ，22)在直角坐标系xOy中，以坐标原点为极点，x轴正半 轴为极轴建立坐标系，曲线C1的极坐标方程为ρcos θ＝4. 导学号 52135000 (1)M为曲线C1上的动点，点P在线段OM上，且满足|OM|· |OP|＝16，求点P的 轨迹C2的直角坐标方程； π (2)设点A的极坐标为(2，3)，点B在曲线C2上，求△OAB面积的最大值．
1
高考考点聚焦
2
3 4 5
核心知识整合
高考真题体验 命题热点突破 课后强化训练
高考考点聚焦
高考考点
考点解读 1.直线、圆、椭圆、抛物线的参数方程 2．参数方程与普通方程的互化 1.常见的直线及圆的极坐标方程 2．极坐标方程与直角坐标方程的互化
参数方程 极坐标
• 备考策略 • 本部分内容在备考时应注意以下知识点： • 一是参数方程、极坐标与曲线的关系；二是由参数方程、 极坐标方程求解曲线的一些基本量，主要是极坐标与直角 坐标、参数方程(直线、圆、椭圆的参数方程)与普通方程 的互化问题的应用等，考查知识点较为简单和稳定，这也 为大家的备考指明了方向．
(2)直线l的普通方程为x＋4y－a－4＝0， 故C上的点(3cos θ，sin θ)到l的距离为 |3cos θ＋4sin θ－a－4| d＝ ． 17 a＋9 当a≥－4时，d的最大值为 ． 17 a＋9 由题设得 ＝ 17，所以a＝8； 17
－a＋1 当a<－4时，d的最大值为 ． 17 －a＋1 由题设得 ＝ 17， 17 所以a＝－16． 综上，a＝8或a＝－16．
高考真题体验
1．(2017· 全国卷Ⅰ，22)在直角坐标系xOy中曲线C的参数方程为
x＝3cos θ， y＝sin θ x＝a＋4t， (θ为参数)，直线l的参数方程为 y＝1－t
(t为参数).
导学号 52134999 (1)若a＝－1，求C与l的交点坐标； (2)若C上的点到l距离的最大值为 17，求a．
2018年高考数学总复习 选考部分 坐标系与参数方程
l 的距离为 d=|3cos������+√41s7in������-������-4|. 当 a≥-4 时,d 的最大值为���√���+179.由题设得���√���+179 = √17,所以 a=8;
当 a<-4 时,d 的最大值为-√������1+71.由题设得-√������1+71 = √17,所以 a=-16. 综上,a=8 或 a=-16.
(1)在伸缩变换下,直线仍然变成直线,圆仍然变成圆. ( × )
(2)点 P 在曲线 C 上,则点 P 的极坐标一定满足曲线 C 的极坐标
方程.
(× )
(3)如果点 P 的直角坐标为(-√2, √2),那么它的极坐标可表示为
2,
3π 4
.
(4)参数方程
������ ������
= =
-21+-������,������(t
选修4—4 坐标系与参数方程
-2-
考纲要求
五年考题统计
1.了解坐标系的作用,了
解在平面直角坐标系伸
缩变换作用下平面图形 的变化情况. 2.了解极坐标的基本概 念,会在极坐标系中用极 坐标刻画点的位置,能进 行极坐标和直角坐标的 互化. 3.能在极坐标系中给出简 单图形表示的极坐标方
程. 4.了解参数方程,了解参 数的意义. 5.能选择适当的参数写出
①直线过极点:θ=θ0和 θ=π +θ0 ;
②直线过点M(a,0),且垂直于极轴: ρcos θ=a ;
③直线过 M
������,
π 2
,且平行于极轴:
ρsin θ=b
.
5.圆的极坐标方程
(1)若圆心为M(ρ0,θ0),半径为r,则圆的方程为 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+������0.2-r2=0
2018高考数学文二轮复习课件：第二编 专题整合突破 专题八 系列4选讲 第一讲选修4-4坐标系与参
(2)若曲线 C 上存在点 P 到直线 l 的距离为 22，求实数 m 的取值范围．
解 (1)曲线 C 的普通方程为：(x－1)2＋(y－1)2＝2，是 一个圆；当 m＝0 时，直线 l 的直角坐标方程为：x＋y＝0，
圆心 C 到直线 l 的距离为 d＝ |11＋2＋11| 2＝ 2＝r，r 为圆 C 的半径，所以直线 l 与圆 C 相切．
4sinθ－6π. (1)求圆 C 的直角坐标方程；
(2)若 P(x，y)是直线 l 与圆面 ρ≤4sinθ－6π的公共点， 求 3x＋y 的取值范围．
解 (1)因为圆 C 的极坐标方程为 ρ＝4sinθ－6π， 所以 ρ2＝4ρsinθ－6π＝4ρ 23sinθ－12cosθ 又 ρ2＝x2＋y2，x＝ρcosθ，y＝ρsinθ， 所以 x2＋y2＝2 3y－2x， 所以圆 C 的普通方程为 x2＋y2＋2x－2 3y＝0.
把 θ＝π6代入 ρsinθ＋6π＝ 23得 ρ1＝1，P1，6π. 把 θ＝π6代入 ρ2＝1＋26sin2θ得 ρ2＝2，Q2，6π. ∴|PQ|＝|ρ2－ρ1|＝1，即 P，Q 两点间的距离为 1.
4．[2016·长春质量监测]在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为xy＝＝2＋3＋tctossiαnα， (t 是参数)，以原点 O 为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2 的极坐标方程为 ρ ＝8cosθ－3π.
(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程； (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面 积．
解 (1)由曲线 C 的极坐标方程 ρ＝2scino2sθθ，得 ρ2sin2θ＝ 2ρcosθ，所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2＝2x.
高三数学一轮复习课件坐标系与参数方程ppt.ppt
5．(2012·江西模拟)在极坐标系中，圆 ρ＝4cos θ 的圆心 C 到
直线 ρsinθ＋π4＝2 2的距离为________．
解析：注意到圆 ρ＝4cos θ 的直角坐标方程是 x2＋y2
＝4x，圆心 C 的坐标是(2,0)．直线 ρsinθ＋π4＝2 2的
直角坐标方程是 x＋y－4＝0，因此圆心(2,0)到该直线
(1)在以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，
分别写出圆 C1，C2 的极坐标方程，并求出圆 C1，C2 的交点 坐标(用极坐标表示)；
(2)求圆 C1 与 C2 的公共弦的参数方程．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
其普通方程为 x2＋y2＝2y，
ρcos θ＝－1 的普通方程为 x＝－1，
联立xx2＝＋－y21＝，2y， 解得xy＝＝1－，1，
故交点(－1,1)的极坐标为
2，34π.
答案：
2，34π
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
[自主解答] (1)圆 C1 的极坐标方程为 ρ＝2， 圆 C2 的极坐标方程 ρ＝4cos θ. 解ρρ＝ ＝24，cos θ 得 ρ＝2，θ＝±π3， 故圆 C1 与圆 C2 交点的坐标为2，π3，2，－π3. 注：极坐标系下点的表示不惟一．
病原体侵入机体，消弱机体防御机能 ，破坏 机体内 环境的 相对稳 定性， 且在一 定部位 生长繁 殖，引 起不同 程度的 病理生 理过程
的距离等于|2＋0－4|＝ 2
2.
2018版高考数学一轮复习 选修系列 14.1 坐标系与参数方程 第1课时 坐标系 理
第1课时 坐标系1．平面直角坐标系设点P (x ，y )是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝λ·xλ，y ′＝μ·yμ的作用下，点P (x ，y )对应到点P ′(x ′，y ′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换． 2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O ，自点O 引一条射线Ox ，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O 称为极点，射线Ox 称为极轴．平面内任一点M 的位置可以由线段OM 的长度ρ和从射线Ox 到射线OM 的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M 的极坐标．ρ称为点M 的极径，θ称为点M 的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ) (ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角． (2)极坐标与直角坐标的互化设M 为平面内的一点，它的直角坐标为(x ，y )，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ或⎩⎪⎨⎪⎧ρ2＝x 2＋y 2，tan θ＝y x x .这就是极坐标与直角坐标的互化公式． 3．常见曲线的极坐标方程1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，π2)且与极轴平行的直线方程．解 点(2，π2)在直角坐标系下的坐标为(2cos π2，2sin π2)，即(0,2)．∴过点(0,2)且与x 轴平行的直线方程为y ＝2. 即为ρsin θ＝2.2．在极坐标系中，已知两点A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，求△AOB (其中O 为极点)的面积．解 由题意知A 、B 的极坐标分别为(3，π3)、(4，π6)，则△AOB 的面积S △AOB ＝12OA ·OB ·sin∠AOB＝12×3×4×sin π6＝3. 3．在以O 为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin θ和直线ρsin θ＝a 相交于A ，B 两点．当△AOB 是等边三角形时，求a 的值．解 由ρ＝4sin θ可得x 2＋y 2＝4y ，即x 2＋(y －2)2＝4.由ρsin θ＝a 可得y ＝a .设圆的圆心为O ′，y ＝a 与x 2＋(y －2)2＝4的两交点A ，B 与O 构成等边三角形，如图所示．由对称性知∠O ′OB ＝30°，OD ＝a . 在Rt△DOB 中，易求DB ＝33a ，∴B 点的坐标为(33a ，a )． 又∵B 在x 2＋y 2－4y ＝0上，∴(33a )2＋a 2－4a ＝0， 即43a 2－4a ＝0，解得a ＝0(舍去)或a ＝3.题型一 极坐标与直角坐标的互化例1 (1)以直角坐标系的原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y ＝1－x (0≤x ≤1)的极坐标方程．(2)在极坐标系中，曲线C 1和C 2的方程分别为ρsin 2θ＝cos θ和ρsin θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C 1和C 2交点的直角坐标．解 (1)∵⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，∴y ＝1－x 化成极坐标方程为ρcos θ＋ρsin θ＝1， 即ρ＝1cos θ＋sin θ.∵0≤x ≤1，∴线段在第一象限内(含端点)， ∴0≤θ≤π2.(2)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，由ρsin 2θ＝cos θ，得ρ2sin 2θ＝ρcos θ，所以曲线C 1的直角坐标方程为y 2＝x .由ρsin θ＝1，得曲线C 2的直角坐标方程为y ＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝x ，y ＝1得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，故曲线C 1与曲线C 2交点的直角坐标为(1,1)．思维升华 (1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x 轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x ＝ρcos θ及y ＝ρsin θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos θ，ρsin θ，ρ2的形式，进行整体代换．(1)曲线C 的直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，以原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C 的极坐标方程．(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos θ垂直于极轴的两条切线方程．解 (1)将x 2＋y 2＝ρ2，x ＝ρcos θ代入x 2＋y 2－2x ＝0，得ρ2－2ρcos θ＝0，整理得ρ＝2cos θ.(2)由ρ＝2cos θ，得ρ2＝2ρcos θ，化为直角坐标方程为x 2＋y 2－2x ＝0，即(x －1)2＋y 2＝1，其垂直于x 轴的两条切线方程为x ＝0和x ＝2，相应的极坐标方程为θ＝π2(ρ∈R )和ρcos θ＝2.题型二 求曲线的极坐标方程例2 将圆x 2＋y 2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C . (1)写出曲线C 的方程；(2)设直线l ：2x ＋y －2＝0与C 的交点为P 1，P 2，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P 1P 2的中点且与l 垂直的直线的极坐标方程．解 (1)设(x 1，y 1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C 上的点(x ，y )，依题意，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝x 1，y ＝2y 1.由＋y 21＝1得x 2＋(y2)2＝1， 即曲线C 的方程为x 2＋y 24＝1.(2)由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 24＝1，2x ＋y －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝2.不妨设P 1(1,0)，P 2(0,2)，则线段P 1P 2的中点坐标为(12，1)，所求直线斜率为k ＝12，于是所求直线方程为y －1＝12(x －12)，化为极坐标方程，并整理得2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 即ρ＝34sin θ－2cos θ.思维升华 求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P (ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关21x系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．在极坐标系中，已知圆C 经过点P (2，π4)，圆心为直线ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32与极轴的交点，求圆C 的极坐标方程．解 在ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝－32中，令θ＝0，得ρ＝1， 所以圆C 的圆心坐标为(1,0)． 如图所示，因为圆C 经过点 P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，π4，所以圆C 的半径PC ＝ 22＋12－2×1×2cos π4＝1，于是圆C 过极点，所以圆C 的极坐标方程为ρ＝2cos θ. 题型三 极坐标方程的应用例3 (2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy 中，直线C 1：x ＝－2，圆C 2：(x －1)2＋(y －2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求C 1，C 2的极坐标方程；(2)若直线C 3的极坐标方程为θ＝π4(ρ∈R )，设C 2与C 3的交点为M ，N ，求△C 2MN 的面积．解 (1)因为x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， 所以C 1的极坐标方程为ρcos θ＝－2，C 2的极坐标方程为ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0.(2)将θ＝π4代入ρ2－2ρcos θ－4ρsin θ＋4＝0，得ρ2－32ρ＋4＝0，解得ρ1＝22，ρ2＝ 2. 故ρ1－ρ2＝2，即|MN |＝ 2.由于C 2的半径为1，所以△C 2MN 为等腰直角三角形， 所以△C 2MN 的面积为12.思维升华 (1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋π4)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．解 由ρsin(θ＋π4)＝2，得22(ρsin θ＋ρcos θ)＝2可化为x ＋y －22＝0.圆ρ＝4可化为x 2＋y2＝16，由圆中的弦长公式得：2r 2－d 2＝242－2222＝4 3.故所求弦长为4 3.1．(2015·广东)已知直线l 的极坐标方程为2ρsin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2，点A 的极坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4，求点A 到直线l 的距离．解 依题可知直线l ：2ρsin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π4＝2和点A ⎝ ⎛⎭⎪⎫22，7π4可化为l ：x －y ＋1＝0和A (2，－2)，所以点A 到直线l 的距离为d ＝|2－－＋1|12＋－2＝522. 2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1与ρ(sin θ－cos θ)＝1的交点的极坐标．解 曲线ρ(cos θ＋sin θ)＝1化为直角坐标方程为x ＋y ＝1，ρ(sin θ－cos θ)＝1化为直角坐标方程为y －x ＝1.联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝1，y －x ＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝1，则交点为(0,1)，对应的极坐标为⎝⎛⎭⎪⎫1，π2.3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos θ与直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0相切，求实数a 的值．解 圆ρ＝3cos θ的直角坐标方程为x 2＋y 2＝3x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋y 2＝94，直线2ρcos θ＋4ρsin θ＋a ＝0的直角坐标方程为2x ＋4y ＋a ＝0. 因为圆与直线相切，所以|2×32＋4×0＋a |22＋42＝32， 解得a ＝－3±3 5.4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程．解 以极点为坐标原点，极轴为x 轴建立直角坐标系， 则曲线ρ＝2cos θ的直角坐标方程为(x －1)2＋y 2＝1， 且圆心为(1,0)．直线θ＝π4的直角坐标方程为y ＝x ，因为圆心(1,0)关于y ＝x 的对称点为(0,1)，所以圆(x －1)2＋y 2＝1关于y ＝x 的对称曲线为x 2＋(y －1)2＝1.所以曲线ρ＝2cos θ关于直线θ＝π4对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin θ.5．在极坐标系中，P 是曲线C 1：ρ＝12sin θ上的动点，Q 是曲线C 2：ρ＝12cos(θ－π6)上的动点，求|PQ|的最大值．解 对曲线C 1的极坐标方程进行转化：∵ρ＝12sin θ，∴ρ2＝12ρsin θ，∴x 2＋y 2－12y ＝0， 即x 2＋(y －6)2＝36.对曲线C 2的极坐标方程进行转化： ∵ρ＝12cos(θ－π6)，∴ρ2＝12ρ(cos θcos π6＋sin θsin π6)，∴x 2＋y 2－63x －6y ＝0，∴(x －33)2＋(y －3)2＝36， ∴|PQ|max ＝6＋6＋32＋32＝18.6．在极坐标系中，O 是极点，设A (4，π3)，B (5，－5π6)，求△AOB 的面积．解 如图所示，∠AOB ＝2π－π3－5π6＝5π6，OA ＝4，OB ＝5，故S △AOB ＝12×4×5×sin 5π6＝5.7．已知P (5，2π3)，O 为极点，求使△POP ′为正三角形的点P ′的坐标．解 设P ′点的极坐标为(ρ，θ)． ∵△POP ′为正三角形，如图所示，∴∠POP ′＝π3.∴θ＝2π3－π3＝π3或θ＝2π3＋π3＝π.又ρ＝5，∴P ′点的极坐标为(5，π3)或(5，π)．8．在极坐标系中，判断直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0与圆ρ＝2sin θ的位置关系． 解 直线ρcos θ－ρsin θ＋1＝0可化成x －y ＋1＝0，圆ρ＝2sin θ可化为x 2＋y 2＝2y ，即x 2＋(y －1)2＝1.圆心(0,1)到直线x －y ＋1＝0的距离d ＝|0－1＋1|2＝0<1.故直线与圆相交．9．在极坐标系中，已知三点M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2，－π3、N (2,0)、P ⎝ ⎛⎭⎪⎫23，π6. (1)将M 、N 、P 三点的极坐标化为直角坐标； (2)判断M 、N 、P 三点是否在一条直线上．解 (1)由公式⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ得M 的直角坐标为(1，－3)；N 的直角坐标为(2,0)；P 的直角坐标为(3，3)．(2)∵k MN ＝32－1＝3，k NP ＝3－03－2＝ 3.∴k MN ＝k NP ，∴M 、N 、P 三点在一条直线上．10．在直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C 的极坐标方程为ρcos(θ－π3)＝1，M ，N 分别为C 与x 轴、y 轴的交点．(1)写出C 的直角坐标方程，并求M 、N 的极坐标； (2)设MN 的中点为P ，求直线OP 的极坐标方程． 解 (1)由ρcos(θ－π3)＝1得ρ(12cos θ＋32sin θ)＝1.从而C 的直角坐标方程为12x ＋32y ＝1，即x ＋3y ＝2.当θ＝0时，ρ＝2，所以M (2,0)． 当θ＝π2时，ρ＝233，所以N (233，π2)．(2)M 点的直角坐标为(2,0)．N 点的直角坐标为(0，233)． 所以P 点的直角坐标为(1，33)． 则P 点的极坐标为(233，π6)，所以直线OP 的极坐标方程为θ＝π6(ρ∈R )．。
2018届高三数学文高考二轮复习课件 第一部分 专题七 第一讲 坐标系与参数方程选修4-4 精品
试题 解析
(1)C1的普通方程为x32＋y2＝1，C2的直角坐标方程为x＋y－4＝0.
(2)由题意，可设点P的直角坐标为( 3cos α，sin α)．
因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值，
d(α)＝|
3cos α＋sin α－4|＝ 2
2sinα＋π3－2，
当且仅当α＝2kπ＋π6(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为 2，此时
试题 解析
(1)因为圆C的极坐标方程为ρ＝4sin(θ－π6)，
所以ρ2＝4ρsin(θ－π6)＝4ρ(
3 2 sin
θ－12cos
θ)．
又ρ2＝x2＋y2，x＝ρcos θ，y＝ρsin θ，
所以x2＋y2＝2 3y－2x，
所以圆C的直角坐标方程为：x2＋y2＋2x－2 3y＝0.
试题 解析
(2)设z＝ 3x＋y，由圆C的方程x2＋y2＋2x－2 3y＝0⇒(x＋1)2＋(y－ 3)2＝ 4，所以圆C的圆心是(－1， 3)，半径是2.
(t 为参数)，
与 C2 的直角坐标方程联立，得 t2－2tcos α＋1－2sin α＝0， 则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sin α|，
因为 α∈(0，π2]，所以|TM|·|TN|∈[0,1]．
限时规范训练
本课内容结束
试题 解析
(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2＋(y－1)2＝a2，则C1是以(0,1)为圆心，a为 半径的圆． 将x＝ρcos θ，y＝ρsin θ代入C1的普通方程中，得到C1的极坐标方程为ρ2－ 2ρsin θ＋1－a2＝0.
ρ2－2ρsin θ＋1－a2＝0， (2)曲线C1，C2的公共点的极坐标满足方程组ρ＝4cos θ. 若ρ≠0，由方程组得16cos2 θ－8sin θcos θ＋1－a2＝0， 由已知tan θ＝2，可得16cos2 θ－8sin θcos θ＝0， 从而1－a2＝0，解得a＝－1(舍去)或a＝1. 当a＝1时，极点也为C1，C2的公共点，且在C3上． 所以a＝1.
全国通用2018高考数学一轮复习坐标系与参数方程第1节坐标系课件文
∴y－x＝1. 由
A 2
7π 2， ，得点 A 的直角坐标为(2，－2)． 4
|2＋2＋1| 5 2 ∴点 A 到直线 l 的距离 d＝ ＝ .] 2 2
不妨设 P1(1,0)，P2(0,2)，则线段 1 k＝ ，8 分 2
1 P1P2 的中点坐标为2，1 ，所求直线斜率为
1 1 于是所求直线方程为 y－1＝ x－2 ， 2 化为极坐标方程，并整理得 2ρcos θ－4ρsin θ＝－3， 3 故所求直线的极坐标方程为 ρ＝ .10 分 4sin θ－2cos θ
x′ x＝ ， 3 得 8分 y＝2y′，
x′ 代入 y＝6x，得 2y′＝6· ＝2x′， 3 ∴y′＝x′为所求直线 l′的方程.10 分
极坐标与直角坐标的互化
(2015· 全国卷Ⅰ)在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x＝－2，圆 C2：(x －1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． (1)求 C1，C2 的极坐标方程； π (2)若直线 C3 的极坐标方程为 θ＝ (ρ∈R)，设 C2 与 C3 的交点为 M，N，求 4 △C2MN 的面积．
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
x′＝3x， 得 2分 y y′＝ ， 2
－2 1 ∴x′＝ ×3＝1，y′＝ ＝－1.∴点 A′的坐标为(1，－1).5 分 3 2
(2)设 P′(x′，y′)是直线 l′上任意一点． 由伸缩变换
x′＝3x， φ： 2y′＝y，
逆时针 方向)，这样就建 度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取_______
专题第讲选修坐标系与参数方程高三高考数学二轮复习课件1
●
定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．
●
定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，
等号成立
●
典例2
( 2 0 2 0 ·运 城 模 拟 ) 已 知 函 数 f ( x ) ＝ | 2 x － a | ＋ | x － 1 | ， a ∈ R .
●
(2)当x∈[－1,1]时，g(x)＝2，
●
若不等式f(x)≥g(x)的解集包含[－1,1]，则
●
当x∈[－1,1]时，f(x)≥2，
● 又f(x)在[－1,1]的最小值为min{f(－1)，f(1)}，
●
∴只需f(－1)≥2 且 f(1)≥2，∴－1≤a≤1，
●
∴a的取值范围为[－1,1]
考点二 绝对值不等式恒(能)成立问题
4．(2019·全国卷Ⅱ)已知f(x)＝|x－a|x＋|x－2|(x－a)．
(含2)绝若对f(x值)≥的3－不●|等x－式1的|，求x∈解∴R、，a利求的用a不的取等取值式值恒范范成围立．围求是参数(范－围∞ ， － 5 ] ∪ [ 1 ， ＋ ∞ ) ．
考点一 绝对值不等式的解法
【解析】 (1)∵f(x)＝|2x－a|＋|x－1|，
●
即－1≤x<1；
● 当x>2时，x－2＋x>x＋1，解得x>3，即x>3，
● 综上所述，不等式f(x)>g(x)的解集为
● {x|－3<x<1或x>3}．
●
(2)由不等式m－g(x)≥f(x)＋x(m∈R)，
●
可得m≥|x－2|＋|x＋1|，所以m≥(|x－2|＋|x＋1|)min，
18版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第2课时参数方程课件理
x2 y2 a2＋b2＝1(a>b>0)
y2＝2px (p>0)
x＝acos φ， (φ 为参数) y＝bsin φ ————————————
2 x ＝ 2 pt ， (t 为参数) y＝2pt
抛物线
考点自测
x＝1＋t， 1.直线 l 的参数方程为 (t 为参数)，求直线 l 的斜率. y＝2－3t
解答
将直线l的参数方程化为普通方程为 y－2＝－3(x－1)，因此直线l的斜率为－3.
x＝1－2t， x＝s， 2.已知直线 l1： (t 为参数)与直线 l2： (s 为参数) y＝2＋kt y＝1－2s
跟踪训练 3
在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立
π 极坐标系，圆 C 的极坐标方程为 ρ＝2 2cos(θ＋4)，直线 l 的参数方程为
x＝t， (t 为参数)，直线 l 和圆 C 交于 A，B 两点，P 是圆 C 上不 y＝－1＋2 2t
同于 A，B 的任意一点.
弦长.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
x＝4＋at， x＝2＋ 3cos θ， 2.直线 (t 为参数)与圆 (θ 为参数)相切， y＝bt y＝ 3sin θ
求切线的倾斜角.
解答
直线的普通方程为bx－ay－4b＝0，圆的普通方程为(x－2)2＋y2＝3，
直 线 与 圆 相 切 ， 则 圆 心 (2,0) 到 直 线 的 距 离 为 3 ， 从 而 有 3 ＝ |2b－a· 0－4b| 2 2 2 ，即 3 a ＋ 3 b ＝ 4 b ， 2 2 a ＋b
2018届高三数学二轮复习课件：专题八选修系列8.1坐标系与参数方程
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
◎ 变式训练 (2017· 福建省普通高中质量检查)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程
x＝2＋2cos t， 为 y＝2sin t
(t 为参数)．在以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴的极
π π (2)法一：依题意，设点 P，Q 的极坐标分别为ρ1，6，ρ2，6.
π 将 θ＝6代入 ρ＝4cos θ，得 ρ1＝2 3， π 将 θ＝6代入 ρ＝2sin θ，得 ρ2＝1， 所以|PQ|＝|ρ1－ρ2|＝2 3－1， π π 依题意，点 A(2,0)到曲线 θ＝6(ρ>0)的距离 d＝|OA|sin 6＝1， 1 1 1 所以 S△APQ＝2|PQ|· d＝2×(2 3－1)×1＝ 3－2.
2．直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0，θ0)，且极轴与此直线所成的角为 α，则它的方程为：ρsin(θ －α)＝ρ0sin(θ0－α)． 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：θ＝θ0 和 θ＝π＋θ0； (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴：ρcos θ＝a；
π (3)直线过 Mb，2且平行于极轴：ρsin θ＝b.
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
题型二 参数方程 几种常见曲线的参数方程 (1)圆
x＝a＋rcos α， 以 O′(a，b)为圆心，r 为半径的圆的参数方程是 y＝b＋rsin α，
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
高考· 题型突破 高考· 专题集 训
高考·题型突破
二轮数 学· 理
第一部分 专题突破——破译命 题密码
【师说系列】届高考数学一轮复习讲义课件：选修-坐标系与参数方程(共46张PPT)
因为△OMN 为正三角形，
ρ＝ρ1
ρ1＝ρ，
所以θ＝θ1＋π3 ⇒θ1＝θ－π3，
代入①得 ρ2－2ρ0ρcos(θ－π3)＋ρ20－r2＝0， 这就是点 N 的轨迹方程． 点评 对于有些几何图形，选用极坐标系可以使建立的方程更
加简单．本题涉及角度、长度，选用极坐标系则更易将已知的几何
Hale Waihona Puke 条件转化为数量关系.4．圆的极坐标方程
选修4－4 坐标系(1与)参圆数方心程 为 M(ρ0，θ0)，半径为 r 的圆的极坐标方程为：ρ2－
选选修修44－－442ρ坐坐·标标ρ0系系c与与o参参s(数数θ方方－程程 θ0)＋ρ20－r2＝0.特别地，以极点为圆心，半径为 r 的圆的
选选修修44－－44极坐坐坐标标系系标与与参参方数数程方方程程为：ρ＝r；
xy＝＝yx00＋＋ttscionsαα (t 为参数) 其中参数 t 是以定点 P(x0，y0)为起点，M(x，y)为终点的有向线
段 PM 的数量，又称为点 P 与点 M 间的有向距离． 根据 t 的几何意义，有以下结论： 设 A、B 是直线上任意两点，它们对应的参数分别为 tA 和 tB，
则 AB＝|tB－tA|＝ tB＋tA2－4tA·tB，线段 AB 的中点所对应的参数值 等于tA＋2 tB.
解析 以左焦点 F1 为极点，长轴所在直线为极轴建立极坐标系，
则椭圆的极坐标方程为
ρ＝1－eepcosθ＝3－
2
1， 2cosθ
设∠F2F1M＝ α，
则 MN＝3－2 12cosα＋3－2
1 2cosπ＋α
＝9－
6 8cos2α.
又 MN＝2，∴9－86cos2α＝2，
解得 sinα＝12， ∴∠F2F1M＝30°或 150°.