3.3 数学期望的定理
第三章 数学期望
r ( x ) f ( x)(离散变量)
r
r ( x ) r f ( x)dx(连续变量)
X关于原点的r阶矩也称为r阶原点矩，定义为 ‘r = E(Xr)
矩母函数
X的矩母函数定义为： MX(t)=E(etX) 在假设收敛的条件下，它是
M X (t ) e tX f ( x)(离散的变量) M X (t )
数学期望
数学期望的定义
数学期望就是一个随机变量的期望值或简称期望。 离散随机变量的期望定义： E(X)=x1P(X=x1)+x2P(X=x2)+…+xnP(X=xn) =xjP(X=xj) = xjf(xj) 如果随机变量取值概率都是相等的，那么我们就可 以得到一个特殊的期望，算术平均： E(X)=(x1+x2+…+xn)/n
对联合分布的方差和协方差
若X和Y是有联合密度函数f(x,y)的两个连续随机变 量，则X和Y的均值或期望是
X E( X ) Y E (Y )
xf ( x, y)dxdy
yf ( x, y)dxdy
方差是
2 X E[( X X ) 2 ]
标准化随机变量
令X是带均值和标准差的随机变量，则我 们用下式定义标准化的随机变量 X*=(X-)/ X*的一个重要性质是均值为0且方差为1，标 准化的变量对比较不同分布是有好处的。
矩
随机变量X关于均值的r阶中心矩，定义为： r=E((X-)r) 这里r=0,1,2,…。由此得到0=1 1=0 2=2
相关系数
若X和Y是独立的，则Cov(X,Y)=0。另一方面，若X 和Y是完全相关的。例如，当X=Y，则 Cov(X,Y)=XY=XY。由此我们引入变量X和Y相互 依赖的测度： ＝ XY/XY 根据定理四，我们知道－1<=<=1。在＝0时，我 们称X和Y是不相关的。然而在这些情况下，变量可 以是独立的，也可以是不独立的。我们将在后面的 章节中会进一步讨论相关性。
数学期望的计算及应用
数学期望的计算及应用数学与应用数学111 第四小组引言：我们知道，随机变量的概率分布是随机变量的一种最完整的数学描述，而数学期望又是显现概率分布特性的最重要的特征数字之一。
因此，掌握数学期望的计算并应用他来分析和解决实际问题显得尤为重要。
在学习了概率论以后，我们计算数学期望一般有三种方法：1.从定义入手，即E(X)x k p k；2.应用随机变量函数的期望公式k 1E(q(x))q( x k ) p k 3. 利用期望的有关性质。
但是还是会碰到许多麻烦，这里我们将k 1介绍一些解决这些难题的简单方法。
在现实生活中，许多地方都需要用到数学期望。
如果我们可以在学会怎么解决数学期望的计算之后，将数学期望应用到现实生活中。
就可以解决许多问题，例如农业上，经济上等多个方面难以解决的难题。
下面就让我们来看看，除了最常用的三种计算方法之外还有哪些可以计算较为棘手的数学期望的方法。
1.变量分解法[1]如果可以把不易求得的随机变量 X 分解成若干个随机变量之和,应用E( X 1E2... E n ) E( X 1 ) E ( X 2 )...E ( X n ) 再进行求解得值，这种方法就叫做变量分解法。
这种方法化解了直接用定义求数学期望时的难点问题，因为每一种结果比较好计算，分开来计算便可以比较简单的获得结果。
例题 1 ：从甲地到乙地的旅游车上载有达一个车站没有旅客下车，就不停车，以20 位旅客，自甲地开出，沿途有10 个车站，如到X 表示停车次数，求E(X).( 设每位旅客在各个车站下车是等可能的)分析：汽车沿途10 站的停车次数X 所以可能取值为0，1，.，10，如果先求出X 的分布列，再由定义计算E(X) ，则需要分别计算{X=0} ，{X=1}，，{X=10} 等事件的概率，计算相当麻烦。
注意到经过每一站时是否停车，只有两种可能，把这两种结果分别与0，1 对应起来，映入随机变量X i每一种结果的概率较易求得。
数学期望的性质与条件期望
η
的条件期望, 的条件期望 记作
E{η ξ = xi },
有
同样可以定义给定的 η = y j 时关于 ξ 的条件期望为
E ξ η = y j = ∑ xi P{ξ = x i η = yi }
i
E { ξ = xi } = ∑ y j P{η = y j ξ = xi } η
{
}
对于二元连续型随机变量 (ξ ,η ), 定义
ξ 表示 名射手所需子弹数目， 则 ξ = ∑ ξ i , 表示9名射手所需子弹数目 名射手所需子弹数目， i =1 的分布如下： 并且 ξi 的分布如下：
9
2 3 1 P 0.8 0.16 0.04 Eξ i = 0.8 + 2 × 0.16 + 3 × 0.04 = 1.24
Eξ = E ( ∑ ξ i ) = ∑ Eξ i = 9 × 1.24 = 11.16
ξ 与 η 是否独立？ 是否独立？
ξ /η
−1 1
0 .3 0.6 解 ξ⋅η − 1 0 1 0 .1 0 .2 0 .1 0.4 P 0.4 0.2 0.4 η 0.4 0.2 0.4 1 1.因为 p−1,0 = 0 ≠ P{ξ = −1} ⋅ P {η = 0} = 0.6 × 0.2 0
2. Eξ = −1 × 0.6 + 1 × 0.4 = −0.2, Eη = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0 E (ξ ⋅ η ) = −1 × 0.4 + 0 × 0.2 + 1 × 0.4 = 0
( 2) j
= ∑ x i p (i 1) ⋅ ∑ y j p (j2 ) = Eξ ⋅ Eη
i
3.3期望的性质与随机变量函数的期望
P X 1
因此出售一台设备净赢利Y 的分布律为
Y
100
1 e 4
4
100 300
1 1 e 4
- 1 4
p
E (Y ) = 100e
- 1
- 200 (1 - e
)
33.64 (元).
发行彩票的创收利润 某一彩票中心发行彩票10万张, 每张2元. 设头等奖1个, 奖金 1万元, 二等奖2个, 奖金各 5千元; 三等奖10个, 奖金各1千元; 四等奖100 个, 奖金各1百元; 五等奖1000个, 奖金各10元. 每张彩票的成本费为0.3元, 请计算彩票发行单 位的创收利润. 解: 设每张彩票中奖的金额为随机变量X, 则
二、 随机变量函数的数学期望
1. 问题的提出
数学期望 X g(X) 数学期望 E(X)
E( X ) =
E ( X ) xk pk
k
ò
+
-
xf (x )dx
E轾 g (X ) = 臌
g(x)是连续函数, g(X) 是 随机变量, 如: aX+b, X2等 等.
2. 随机变量函数数学期望的计算 如何计算随机变量函数的数学期望?
例 设随机变量 X 的概率分布为 1 2 3 X
1 求 E ( ) , E ( X 2 2). X 1 1 1 解: E ( ) 1 0.1 0.7 0.2 0.52 X 2 3
P
0.1
0.7
0.2
E ( X 2)
2
(1 2) 0.1 (2 2) 0.7 (3 2) 0.2 6.7
X 10000 p 1 105
第29讲 数学期望的性质
第29讲数学期望的性质2数学期望的性质:可推广到任意有限个随机变量线性组合的情况：0011()().n ni i i i i i E c c X c c E X ==+=+∑∑1. 设c 是常数, 则有();E c c =2. 设X 是一个随机变量, c 是常数, 则有()();E cX cE X =3. 设X, Y 是两个随机变量, 则有()()();E X Y E X E Y +=+()()();E aX bY c aE X bE Y c ++=++将上面三点合起来，则有3可推广到任意有限个相互独立的随机变量之积的情况：11()(),,1,2,,, n ni i i i i E X E X X i n ==∏=∏= 其中 相互独立.4. 设X , Y 是相互独立的两个随机变量, 则有()()();E XY E X E Y =4()().E X E Y =+1.()1,()()1.c P X c E c E X c c ====⨯=是常数，2. ()()()().X X E cX cx f x dx c xf x dx cE X +∞+∞-∞-∞===⎰⎰ 3. ()()(,) (,)(,)E X Y x y f x y dxdy xf x y dxdy yf x y dxdy+∞+∞-∞-∞+∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞+=+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰证明：((),(,)(,))X X f x X Y f x y ~~下面仅对连续型随机变量给予证明 设（利用随机变量函数的数学期望的两个定理来证）54. ()(,) ()() ()() ()().X Y X Y E XY xyf x y dxdyxyf x f y dxdyxf x dx yf y dyE X E Y +∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞+∞+∞-∞-∞====⎰⎰⎰⎰⎰⎰数学期望的性质:1. 设c是常数, 则有();E c c=2. 设X是一个随机变量, c是常数, 则有()();E cX cE X=3. 设X, Y是两个随机变量, 则有()()();+=+E X Y E X E Y 将上面三点合起来，则有()()();++=++E aX bY c aE X bE Y c4. 设X, Y是相互独立的两个随机变量, 则有=E XY E X E Y()()().672~(,)().X N E X μσμ= 设 ，证明: 例1:, , (0.)X Z Z E Z μσ-==令 则服从标准正态分布且证明:()()()()()0.E X E Z E E Z E Z μσμσμσμσμ=+=+=+=+= 故 2(,) .N μσμ服从 的随机变量的期望为即,X Z μσ=+此时8~(,),01,1,().X B n p p n E X <<≥ 设 求 例2:,, (). X n A P A p =由题意知随机变量可看成是重贝努里试验中事件发生的次 解: 数此时 引入随机变量1,;1,2,,.0,,k A k X k n A k ⎧==⎨⎩ 在第次试验发生在第次试验不发生()()12 ,,,,01,(),, n k X X X p E X p k -=∀ 于是相互独立服从同一分布参数为 121.nn k k X X X X X ==+++=∑ 且 11()()(),n n k k k k E X E X E X np =====∑∑故 ,.() B n p np 服从 的随机变量的期望为即注: 以n , p 为参数的二项分布的随机变量,可分解为n 个相互独立且都服从以p 为参数的(0-1)分布的随机变量之和.9(),1,2,,,,1,2,,.,,,,().n n n X n E X 配对问题一个小班有个同学 编号为号 中秋节前每人准备一件礼物 相应编号为将所有礼物集中放在一起 然后每个同学随机取一件 若取到自己的礼物 就认为配对成功.以表示个同学配对成功的个数求 例3: 1, ;1,2,,.0,,i i X i n i ⎧==⎨⎩ 第号同学配对成功引入随机变量 第号同学未配对成功解:121,01,. n i X X X X X n=+++- 易知： 且服从分布参数为1111()()() 1.n n n i i i i i E X E X E X n=======∑∑∑故 X 注: 不服从二项分布！10,,.X 本题是将分解成数个随机变量之和 然后利用随机变量和的数学期望等于随机变量数学期望之和来求数学期望 这种处理方法具有一定的普遍意义1110010010011()()() 4.5.i i i i E Y E X E X ===∏=∏=从而 0~9,100,,1,2,,100.100,,,().i X i i Y E Y = 计算机程序随机产生中的数字 独立进行次记为第次产生的数字将这个数进行乘积运算得到一数记为求 例4:12100,,,,,,{}1/10,0,1,,9.i X X X P X k k === 由题意知独立同分布其分布律均为 解：901() 4.5,10i k E X k ==⋅=∑故 100121001,i i Y X X X X ===∏ 又。
第三节 数学期望的L-S积分表示
g fdP
2017/11/2
g fdP g fdP
5
北京邮电大学电子工程学院
二、数学期望的L-S积分表示
定义3.3.2 若f是（R 1, B 1 , PF）上的实可测函数， f在R 1上 关于PF的积分存在，则称积分
Pf B P f 1B ，B B
为P在（R, B）上由f导出的测度。 （若f为随机变量，则Pf B 为的分布函数）
2017/11/2 北京邮电大学电子工程学院 1
定理3.3.1（积分变换定理）f是测度空间
（,,P）到可测空间（R,）上的可测映射， g是（R,）上的可测函数，Pf是（R,）上由f 导出的测度，则：
2017/11/2
北京邮电大学电子工程学院
10
1、关于事件的 条件 数学期望
定义3.5.1 设是概率空间 ,F , P 上的随机变量，
Ω, F, PB 为 且E 存在，B F，P B 0，
Ω, F, P 在事件B下的条件概率空间，称 dPB为
在给定事件B下的条件数学期望，记 为E / B 。 定理3.5.1 若在上关于P的数学期望E 存在， PB 0，则E / B 存在，且： 1 E B E / B dP
R 1
fdPF 为f在R 1上关于PF的L S
积分，也可记为
f x dF x ，称为f在R 1上关于PF的L S积分。
定理3.3.2 设是（Ω,F, P）上的随机变量，其分 布函数为F x ， 则对任意的 B B 1 ，有： P B
数学期望
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
例7 国际市场上每年对我国某种出口商品的需求量 是随机变量 X（吨），X ~ U[2000,4000]，每售出这 种商品一吨，可为国家挣得外汇3万元，但销售不出 而囤积在仓库，则每吨需浪费保养费1万元。问需要 组织多少货源，才能使国家收益最大。 解： y 为预备出口的该商品的数量，则 设 用 Z 表示国家的收益（万元）
§1 数学期望
一、数学期望定义
1） 离散型
设离散型随机变量X的, k 1,2,
若级数
x
i 1
k
p k 绝对收敛，则称随机变量 X 的数
学期望存在，记作 EX，
且
EX x k pk
i 1
数学期望也称为均值。
第四章
随机变量的数字特征
§1 数学期望
说 明
(1)X 的数学期望刻划了 X 变化的平均值．
(2)由于随机变量 X 的数学期望表示的是随机变 量 X 变化的平均值。
因此，只有当级数 保证级数
x
n 1
n
pn 绝对收敛时，才能
x
n 1
n
pn 的和与其级数
x
n 1
n
pn的求
和顺序无关．
3).几种常见的随机变量的期望 几种离散型随机变量的期望
（1） 两点分布
若 X B(1,p),则 E[X]=p
(2) 二项分布
若 X B(n,p),则 E[X]=np
(3) 超几何分布
nM 若 X H(n,M,N) 则 E[X]= N
第四章
随机变量的数字特征
§3 几种期望与方差
(4) poisson分布
06-第二十三讲 数学期望的性质及应用
所以
E(
X
Y
)
xy
f
( x,
y)dxdy
xy
fX
( x)
fY
(
y)dxdy
xf
X
(
x)dx
yfY
(
y)
dy
E( X )E(Y ).
第23讲 数学期望的性质及应用
定理 (数学期望的性质)
( 1 ) 若 a X b (a.e) 则 a E ( X ) b.(a,b为常数).
(2)若 c 为常数,则 E(cX )cE( X ).
(3) E( X Y ) E( X ) E(Y ).
( 4 ) 若X ,Y相互独立,则E( X Y ) E( X )E(Y ).
推论
(5)若X c (a.e)则 E( X ) c. (c 为常数).
(6) 若c1,c2 ,,cn 均为常数,则 E(n ck X k ) n ck E( X k ).
500h
300
(
x
)
1 200
dx
1 200
{3a0
[
0
x
1 2
(
a
x)
]
d
x
5
a
0
0adx}
1 800
(3
a2
2600a
90000)
第23讲 数学期望的性质及应用
解 设公司应组织货源 a 吨（300a500）. 又设公司获利Y 千元,则
1a ,
a X 500,
Y
h(
X
)
1 X
12 ( a
X
E( Xi ) k (1 pi )k 1 pi
k 1
1 pi
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
解： 设随机变量
1 , 第i个部件需要调整; Xi 0 , 第i个部件不需要调整.
i 1 ,2 ,3.
则
X X1 X 2 X 3.
X1 0 pi 0.9
而
1
0.1
E ( X 1 ) 0 0.9 1 0.1 0.1,
同理 E ( X 2 ) 0.2, E ( X 3 ) 0.3, 由数学期望的性质得
第三章 随机变量的数字特征
§3.3 关于数学期望的定理
[定理1] 常量的数学期望等于这个常量：
E (C ) C ,
其中C 是常量.
证： 常量 C 可以看作这样一个随机变量，它只可能
取得一个值 C , 显然， 它取得这个值的概率等于 1 . 所以
E (C ) C 1 C.
[定理2] 常量与随机变量的乘积的数学期望等于这个 常量与随机变量的数学期望的乘积：
于是
2k 2 E ( X ) k e 2, k! i 0
E ( Z ) E (3 X 2) 3E ( X ) 2 3 2 2 4.
E (CX ) CE ( X ).
证：对于离散随机变量X ， 我们有
i i
E (CX ) Cxi p( xi ) C xi p( xi ) CE (X ). E (CX )
对于连续随机变量 X , 我们有
C
Cxf ( x)dx xf ( x)dx CE (X ).
E (CX ) CE ( X ).
3 设 X ,Y 是两个随机变量，则有
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ).
推广： E ( X i ) E ( X i )
i 1 i 1
n
n
则有 4 设 X ,Y 是相互独立的随机变量，
E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
i j i j
E ( X ) E (Y ).
对于连续随机变量，
E( X Y )
( x y) f ( x , y)dxdy
xf ( x , y)dxdy yf ( x , y)dxdy
E ( X ) E (Y ).
注意： （1）由定理2,定理3可得 E ( X Y ) E ( X ) E (Y ), 其中 , 为实数. （2）利用数学归纳法可将定理3推广到有限多个
随机变量的情形: [定理4] 有限个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和:
E ( X i ) E ( X i ).
i j i j i j
利用数学归纳法可以把这个定理推广到有限多个
独立随机变量的情形：
[定理6] 有限个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们的数学期望的乘积：
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
小结
1 设C是常数， 则有E (C ) C . 2 设 X 是一个随机变量，C是常数， 则有
[定理3] 两个随机变量的和的数学期望等于它们的 数学期望的和：
E ( X Y ) E ( X ) E (Y ) .
证：对于离散随机变量xi , y j )
i j
xi p ( xi , y j ) y j p ( xi , y j )
推广： 若 X 1 , X 2 , , X n 相互独立， 则
E ( X i ) E ( X i ).
i 1 i 1
n
n
思考题
已知离散随机变量 X 服从参数为 2 的泊松分布， 即 2k e 2 P( X k ) , k 0 ,1 ,2 ,, k! 求随机变量 Z 3 X 2 的数学期望 E (Z ). 解： 已知 X ~ P(2) , 则
E ( X ) E ( X1 X 2 X 3 ) E ( X1 ) E ( X 3 ) E ( X 3 )
0.1 0.2 0.3 0.6.
[定理5] 两个独立随机变量的乘积的数学期望等于 它们数学期望的乘积： E ( XY ) E ( X ) E (Y ).
i 1 i 1
n
n
[例1] 一台设备由三大部件构成， 在运行中各个部件
需要调整的概率分别为 0.10 ,0.20 ,0.30 . 设 X 表示
同时需要调整的部件数. 求 X 的数学期望 E (X ) .
其可能取的值为 0,1, 2, 3. 分析: 易知 X 为离散随机变量， 无法求 X 但由于不知各部件的运行状态是否相互独立， 的概率分布. 但可将 X 分解成一些随机变量的和，利用 定理3来计算数学期望 .
证：因为 X 与 Y 独立， 所以对于离散随机变量，
E ( XY ) xi y j p ( xi , y j ) xi y j p X ( xi ) pY ( y j ) xi p X ( xi ) y j pY ( y j )
E ( X ) E (Y ). 对于连续随机变量类似可证.