第五章 极限定理
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第五章 大数定律和中心极限定理
P 1 n 定理(辛钦大数定律) 设 { X n } 为独立同分布随机变量序列，若 EX 1 存在，则 X i . n i 1
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
第三节 中心极限定理
所谓中心极限定理，就是关于大量微小的随机变量之和的极限分布在什么条件下是正态分布的定理. 定义 1 设 { X n } 为一随机变量序列， DX n ， n 1,2, ，若
2
83
n a n lim P(a X i b) P n i 1 n
X
i 1
n
i
n
n
b n b n a n ) ( ). ( n n n
例 1 一加法器同时收到 50 个噪声电压 Vi (i 1,2, ,50 ) ， 设 V i (单位： 微伏)相互独立且均在 [0,10] 上 服从均匀分布，求该加法器上总电压 V
i 1
n
1 n2
c n 0(n ) ，
i 1
n
c
推论 2 (贝努里大数定律) 设 S n 为 n 重贝努里试验中事件 A 出现的次数， p 为 A 在每次 n
证 明 ：令 Xi
1 在第i 次试验中A出现 ， 则 X i ~ B(1, p ) ， i 1,2,, n 且 相 互 独 立 ， 0 在第 i 次试验中 A 不出现
c 0 ，使得 DX n c ， n 1,2, ，则
P 1 n ( X i EX i ) 0 . n i 1
证明：只须验证马尔可夫条件成立即可.由于 { X n } 两两互不相关，故
0
因此马尔可夫条件成立.
n 1 1 D ( Xi) 2 2 n n i 1
DX i
李贤平-概率论基础-Chap5
布列为
1 1 1/ 2 1/ 2
(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
1 1 1/ 2 1/ 2
(2)
若对一切 n ,令 n ( ) ( ),显然 n ( )的分布列也是 (2) L ( ) 。 ，因此 n ( )
但是, 对任意的 0 2 ，因
P{| n ( ) ( ) | } P() 1
当然，当F(x) 是一个分布函数时,分布函数的左连续 性保证了 F 在不连续点上的值完全由它在连续点集 CF 上的值唯一确定，因此此时分布函数列的弱收敛极限是 唯一的.
以下我们研究一个分布函数序列弱收敛到一个分布 函数的充要条件，为此先建立一些重要的分析结果。
引理. 设{ Fn ( x )}是实变量x 的非降函数序列，D是R上的 稠密集. 若对于D中的所有点, 序列 { Fn ( x )}收敛于F(x),
所以，我们有
F ( x) Fn ( x) P{n x, x}
因为 { n } 依概率收敛于 ，则
P{n x, x} P{| n | x x} 0
因而有
F ( x) lim Fn ( x)
n
同理，对 x x,
i 1 i , 1, ki ( ) k k , i 1, 2, 0, otherwise
取 P 为勒贝格测度，则
, k.
1 0, P (| ki ( ) | ) , i 1, 2, k
, k . (*)
将 ki 依次记为 n , 如图:
n
则称 {n ( )}依概率收敛于 ( ) ，并记为
n ( ) ( )
P
定义3 (r阶矩收敛) 设对随机变量 n 及 有E | n |r , E | |r ， 其中 r 0 为常数，如果
概率论极限定理讲解
其中EXk=k, DXk≤C<+∞,（k=1,2,…,n,…）
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε 为误差。 （随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
则对 0, 都有
lim
n
P
Xn
1 n
n k 1
k
0.
P Xn
1
n
n k 1
k
3
2.辛钦大数定律
{Xn}独立同分布，EXn (n 1, 2,
则lim P n
1.已知n, p,，计算频率与概率之间的误差
P
Xn n
p
( 2
n pq
1)
2.已知p,
,
和P
Xn n
p
，求n
（即抽样方案的设计，确定样本容量）
3.已知n,
p和P
Xn n
p
，求
（事后评估，精度的估计） 15
例3. 已知某厂生产一大批无线电产品中合格品占1/6。某商店
从该厂任意选购6000个元件，试问这6000个元件中，合格品的 比例与1/6之间误差小于1%的概率是多少？
16
三个极限定理之间的关系
林德伯格(Lindeberg)定理（独立） 列维－林德伯格中心极限定理（独立同分布） 棣莫弗--拉普拉斯定理（独立同分布于0-1分布）
即n很大时，Xn以很大的可能性靠近X，其中ε 为误差。 （随机性消失）
1
定义2：设{X n}是一随机变量序列，
n
P
EXn (n 1, 2,
)存在，记X
n
=
1 n
第五章大数律及中心极限定理
定义这个随机变量序列的算术平均序列： Yn = X—1—+ …n——+ —Xn
则对于任意的正数 ＞ 0 都满足关系： lim n→∞ P ( | Yn – | ≤ ) = 1。
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
p = P(X ≥10) = P( —X9.–—181—725.2—1/52 ≥ – 0.74)
≈ 1 – (–0.74) = (0.74) = 0.7703
□
如何理解大数律与中心极限定理
① 大数律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
P{ Sn n x} x
1
u2
e 2 du ( x)
n
2
思考3 如何近似计算概率P ( Sn ≤ y )、P ( | Sn | ≤ y ) ？
定理 5.1.4 (德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
假设随机变量序列 X1，X2，… 服从参数 n、p 的二项分布，即 Xn ~ B(n,p) 。 则对于任意的实数 x ，有
106 +1 项开始，都有 ① 数列 an 全都落在区间 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 中， ② Yn 落在 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 外的概率小于10－6 。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设 X1，…，Xn，…是一个独立随机变量
则对于任意的正数 ＞ 0 都满足关系： lim n→∞ P ( | Yn – | ≤ ) = 1。
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
p = P(X ≥10) = P( —X9.–—181—725.2—1/52 ≥ – 0.74)
≈ 1 – (–0.74) = (0.74) = 0.7703
□
如何理解大数律与中心极限定理
① 大数律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
P{ Sn n x} x
1
u2
e 2 du ( x)
n
2
思考3 如何近似计算概率P ( Sn ≤ y )、P ( | Sn | ≤ y ) ？
定理 5.1.4 (德莫佛—拉普拉斯中心极限定理)
假设随机变量序列 X1，X2，… 服从参数 n、p 的二项分布，即 Xn ~ B(n,p) 。 则对于任意的实数 x ，有
106 +1 项开始，都有 ① 数列 an 全都落在区间 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 中， ② Yn 落在 ( 0 – 10－6 , 0 + 10－6 ) 外的概率小于10－6 。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设 X1，…，Xn，…是一个独立随机变量
第5章极限定理1
第五章 极限定理
极限定理是概率论中最重要的理论成果之 一。正如本书一开始就指出的，随机现象的统计 规律性只有在对大量随机现象的考察中才能显现 出来。为了研究“大量”的随机现象，常常采用 极限方法，这就导致研究极限定理。本章主要介 绍独立随机序列的极限理论。我们只介绍大数定 律和中心极限定理。
内容
• § 5.1 随机序列的收敛性 • § 5.2 大数定律 • § 5.3 中心极限定理
1 n 民），若n充分大，则居民户的平均用水量 ∑ ξ k 也稳定于 n k =1 一个常数。 1 n 总之，大量随机现象都表现出形如 n ∑ ξ k 的平均结果 k =1 的稳定性。问题是：在这里稳定的含义是什么？其次为什 n 1 么形如 ∑ ξ k 的平均结果具有稳定性？或换一种提法
n
k =1
在什么条件下形如
在大量的随机试验中，由于个别因素随机性相 互抵消，相互补偿，其平均结果呈明显的规律性。 大数定律的目的是描述大量随机现象的平均结果所 呈现的规律性。下面探讨第二个问题。
大数定律
其中q = 1 − p,0 < p < 1, 则{ξ n }服从大数定律。 定理5.2.1′(伯努利大数定律) 试验中出现的概率，则对任意ε > 0, µn P 都有 → p, n → ∞ n 定理5.2.2(泊松大数定律) 设{ξ n }为独立同分布的随机序列，且P{ξ n = 1} = p, P{ξ n = 0} = q 定理5.2.1(伯努利大数定律)
因此如果能确定（*）以接近1的概率成立，从实际应 用 ηn 角度来看， p可以作为 的稳定值。于是频率具 有稳定性可 n 以这样用数学语言来表 述：对于任意 ε > 0, 有 ηn ηn − p |< ε} → 1或等价地 P{| − p |≥ ε} → 0. P{| n n 定义：设{ξ n }为一随机变量序列，如 果存在这样一个常数序 列{an } ，对任意的 ε > 0, 恒有 1 n P{ ∑ ξ k − an < ε} → 1, n → ∞ n k =1 则称随机序列{ξ n }服从大数定律。
极限定理是概率论中最重要的理论成果之 一。正如本书一开始就指出的，随机现象的统计 规律性只有在对大量随机现象的考察中才能显现 出来。为了研究“大量”的随机现象，常常采用 极限方法，这就导致研究极限定理。本章主要介 绍独立随机序列的极限理论。我们只介绍大数定 律和中心极限定理。
内容
• § 5.1 随机序列的收敛性 • § 5.2 大数定律 • § 5.3 中心极限定理
1 n 民），若n充分大，则居民户的平均用水量 ∑ ξ k 也稳定于 n k =1 一个常数。 1 n 总之，大量随机现象都表现出形如 n ∑ ξ k 的平均结果 k =1 的稳定性。问题是：在这里稳定的含义是什么？其次为什 n 1 么形如 ∑ ξ k 的平均结果具有稳定性？或换一种提法
n
k =1
在什么条件下形如
在大量的随机试验中，由于个别因素随机性相 互抵消，相互补偿，其平均结果呈明显的规律性。 大数定律的目的是描述大量随机现象的平均结果所 呈现的规律性。下面探讨第二个问题。
大数定律
其中q = 1 − p,0 < p < 1, 则{ξ n }服从大数定律。 定理5.2.1′(伯努利大数定律) 试验中出现的概率，则对任意ε > 0, µn P 都有 → p, n → ∞ n 定理5.2.2(泊松大数定律) 设{ξ n }为独立同分布的随机序列，且P{ξ n = 1} = p, P{ξ n = 0} = q 定理5.2.1(伯努利大数定律)
因此如果能确定（*）以接近1的概率成立，从实际应 用 ηn 角度来看， p可以作为 的稳定值。于是频率具 有稳定性可 n 以这样用数学语言来表 述：对于任意 ε > 0, 有 ηn ηn − p |< ε} → 1或等价地 P{| − p |≥ ε} → 0. P{| n n 定义：设{ξ n }为一随机变量序列，如 果存在这样一个常数序 列{an } ，对任意的 ε > 0, 恒有 1 n P{ ∑ ξ k − an < ε} → 1, n → ∞ n k =1 则称随机序列{ξ n }服从大数定律。
概论与统计课件第五章 极限定理-PPT文档资料
• 大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 本章将介绍三个大数定律： （1）切比雪夫大数定律、 （2）辛钦大数定律 （3）伯努利大数定律。 它们之间既有区别也有联系。
一、随机变量序列依概率收敛的定义 定义1. 1：设 X 1 , X 2 , …, X n ,…是一随机变量序列，如果存 在常数 a ，使对任意的 > 0，都有：
例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。 但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但 掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。 例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a， 量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。
1 n lim P X i p 1 n n i 1
mn p | } 1 又 ： X i mn， 即 lim P {| n n i 1
n
此定理说明了频率的稳定性。
伯努利大数定律
mn lim P {| p | } 1 n n
1 n lim P X i 1 n n i 1
1 n p 即 X i n i 1
这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某 一个物理量a ,在不变的条件下重复测量 n 次，得到的观测值x1, x2, …, xn 是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并 且期望值为a 的n 个相互独立的随机变量 X1, X2, …, Xn …的试验 1 数值。由推论可知，当n充分大时, 取( n X ) 作为 a 的近似值， 可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量X 进行 n 次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量 的期望值 EX 。
第五章-正态分布、常用统计分布和极限定理
解：首先将录取率200/1600 0.125作为正态分布上端
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
的面积， 然后根据1 0.125 0.875查附表4， 对应
Z 1.15,那么录取分数线
x X Z X 74 1.1511 86.65(分)
表5-2
例11：
0Z 图5-11
(1)求Z 1分数以上的概率是多少 ？
解：Z 1时， (Z) 0.34134, Z以上的概率为
（Z） Z
1
t2
e 2 dt
2
(Z 2 ) 图5-8 Z 2
(Z2 Z1)
图5-9Z1 Z 2
例4：已知服从标准正态分布 N(0，1)， 求P( 1.3) ? 解：因为() 1,() P( 1.3) P( 1.3) 所以( 1.3) 1 P( 1.3) 1 (1.3) 1 - 0.9032 0.0968
2
如果把u 0， 1代入(x)
1
e
(
xu)2
2 2
2
(x)
1
x2
e2
2
标准正态分布其实是一般正态分布的一个特 例，记作N(0，1)，一般正态分布记作N(μ，σ2)。
一般正态分布之所以能变成唯一的标准正态 分布，就是把原来坐标中的零点沿着X轴迁到μ点， 并且以σ为单位记分。
σ=1
0
图5-5
13.6%
13.6%
2.16% 0.11%
3 2 1 图05-6 1
2.16% 0.11%
23
三、标准分的实际意义
例1：甲、乙、丙3个同学《社会统计学》分数 都是80分，甲同学所在班平均成绩μ甲=80分， μ 乙=75分， μ丙=70分，标准差都是10，比较甲、乙、 丙3个同学在班上的成绩。
第五章 极限定理 (3)
二项分布B(n, p ) : 设Y ~ B(n, p ), Y X i , 且
i 1Βιβλιοθήκη nX i ~ B(1, p )相互独立, 则 X i (t ) pe q
it
所以Y ~ B(n, p)的其特征函数为
Y (t ) [ pe q]
it
n
29 June 2016
中国石油大学（华东）
(t )
eitx f ( x )dx
这是 f(x) 的傅里叶变换
29 June 2016
中国石油大学（华东）
第五章 特征函数与极限定理
第7页
计算公式(2)： (t ) E (cos(tX )) iE (sin(tX )) cos(txk ) pk i sin(txk ) pk ; k k cos(tx ) f ( x )dx i sin(tx ) f ( x )dx t .
第五章 特征函数与极限定理
第1页
第五章 特征函数与极限定理 (The law of large number and the central limit theorem)
§5.1 特征函数 §5.2 * 多维正态分布及其性质 §5.3 随机变量序列的收敛性 §5.4 大数定律 §5.5 中心极限定理
e
itx
dF ( x )
e
itx
dF ( x ) (t ).
29 June 2016
中国石油大学（华东）
第五章 特征函数与极限定理
第20页
性质5.1.4
若 X 与 Y 独立，则
X Y (t) X (t)Y ( t)
Pr oof : E (e
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例5.2.2：设某车间有400台同类型的机器，每台的电 功率均为Q千瓦.设每台机器开动时间为总工作时间的3/4 且每台机器的开与停是相互独立的.为了保证以0.99的概 率有足够的电力，问车间应供应多大的电功率？
解 ： 设 有X台 机 器 同 时 开 动.由 题 设 ，X ~ B(400, 3 ). 4
解：记
1， 若 第i个 被 保 险 人 发 生 重 大 事故 ， X i 0， 若 第i个 被 保 险 人 未 发 生 重 大事 故 ，
i 1,2, ,5000,
于
是X
均
i
服
从
参
数
为p
0.005的 两 点 分 布 ，P{ X i
1}
0.005,
5000
X i是5000个 被 保 险 人 中 一 年 内 发生 重 大 人 身 事 故 的 人 数，
n
解：显然{ X i }满足定理5.1.2的条件，且每个E( X k
)
6
2
4
5,
故，X p 5,即对任意 0, 有
lim P{| X 5 | } 1.
n
依概率收敛的定义
定义5.1.4：设 X1, X 2 , 是, X一n ,个 随机变量序列，a为 常数，若对任意 ， 有0
n
因此利用切比雪夫不等式，
P ( | Xn – | ≤ ) ≥ 1 – ——n22
1。
□
例5.1.3: 设 列，记
X1, X2 ,是, X独n立,同分布的随机变量序
X
1 n
n
Xk
k 1
若每个 X k ~ U (4,6), k， 问1,2,在当 X时 依概率收敛于何值？写出极限表达式
Xn
E(
Xn
)
|
}
1.
则称 { X服n } 从大数定律。
定理 5.1.1 (切比雪夫大数定理)
假设随机变量X1，…，Xn，…相互独立，并具有 相同的期望和方差：E( X k ) , D( X k ) 2 , k 1,2,
则对于任意的正数 ＞ 0 ，有
1 n
lim
P{
20 25
X i 25
i1
25 0.995 25 0.995
30 25 } 25 0.995
(1) (1) 0.6826
如何理解大数定律与中心极限定理
① 大数定律与中心极限定理讨论的都是随机 变量序列部分和的极限问题
② 大数定律说明，在一定的条件下部分和 Sn 的 算术平均的极限是一个常数 ( 共同的期望 )。 中心极限定理说明，在一定的条件下部分和 Sn 的极限分布是正态分布(标准化部分和的 极限分布是标准正态分布)。
例5.2.1: P143 例5.2
解 ： 设X i是 第i个 数 的 取 整 误 差 ， 则X（i 1，2， ，1500） 是 相 互 独 立 的 且 都 服 从 （- 0.5，0.5]上 的 均 匀 分 布 ， 总 误 差
X
1500
X i ,已 知E( X i )
i 1
0，D( X i )
i 1
保 险 公 司 一 年 内 从 此 项业 务 所 得 到 的 总 收 益 为：
5000
0.016
5000
2
X
万
i
元
，
于
是,
i 1
5000
P{20 0.016 5000 2 X i 40} i 1
5000
P{20 X i 30} i 1
5000
( N 400 0.75 ) 400 0.75 0.23
0.99. 查 表(2.326) 0.99， 故
N 400 0.75 2.326 N 321,即 该 车 间 应 供 应321Q 400 0.75 0.23 千瓦的电功率。
例5.2.3: 某市保险公司开办一年人身保险业务，被保 险人每年需交付保险费160元，若一年内发生重大人身事 故，其本人或家属可获2万元赔金。已知该市人员一年内 发生重大人身事故的概率为0.005，现在5000人参加此项 保险，问保险公司一年内从此业务所得的总收益在20万 到40万之间的概率是多少？
第五章 极限定理
随机变量的大数定律体现了n个随机变量的平均 值的一种稳定性。即如果大量地重复观察一个随机现 象，它将体现出某些规律。
中心极限定理主要研究n个随机变量之和在什么 条件下当 n 时极限会服从正态分布。
第一节 大数定律
定义5.1.1：设 {X n }(n 1是,2,一 个) 随机变量序列，
设随机变量 X1 , X 2 , 相, 互X n独,立 ，同分布， 且具有期望和方差： E( X k ) , D( X k ) 2 0,
k 1,，2,则 当 时n，随机变量
Yn
X1
X2
n
Xn
n
的分布趋于标准正态分布，也就是
lim
n
若对每一个
都是k 相 1,互X1独, X立2,的, X,k则称
是相互独立的. { X n }
1.大数定律的定义
定义5.1.2：设 X1, X2 , 序列，E( X n )(n存在1，) 令
对任意的 ，0有
,为X n一,X随如n机果变n1 量in1
Xi
lim
n
P{|
1 ,则 12
P{| X | 15} P{| X 0 |
15
}
15001 / 12 15001 / 12
P{| X 0 | 1.34} 15001 / 12
(1.34) (1.34) 0.8198
定理5.2.2(棣莫佛-拉普拉斯定理)
设随机变量 X n (n服 从1,2B,(n,)p), 则对任意实数x,成 立
lim
n
P{|
Xn
a
|
}
0
则称 X1 , X 2 ,依 ,概X率n ,收 敛于a,记为 可表为
。其X等n 价P形a式
记为
lim
n
P{|
Xn
a
|
}
1
Xn a P0
第二节 中心极限定理
定理5.2.1(林德伯格-莱维定理或独立同分布的中心
极限定理)
Fn
(
x)
lim
n
P{Yn
x}
( x)
其中 ( x是)标准正态分布N(0,1)的分布函数。
注： 标准化部分和(规范和)
对随机变量序列 X1，X2，… ，定义部分和序列 Sn = X1 + X2 + …+ Xn ，
则它的标准化部分和序列是指
Yn
Sn
ESn DSn
,
n
1
标准化部分和的期望是 0，方差是 1 。
n
P{
n
k 1
Xk
} 1
即，相同期望与方差的独立随机变量序列
算术平均的极限是它们共同的数学期望
为什么频率的极限是概率
定理 5.1.2 (伯努里大数定理) 假设随机事件A 在一次试验中发生概率是 p，
以 nA 记 n 次独立重复试验里 A 发生的次数，
则对于任意的正数 ＞ 0 都有： Fra biblioteklimn
P
X n np npq
x
1
x t2
e 2 dt ( x),
2
其中：q=1-p
注：由于 Xn n的p 分布近似于N(0,1)正态
npq
分布从而 X的n 分布近似于N(np,npq)分布，由 于 X n服从二项分布B(n,p)，所以上述断言也 称为二项分布的正态近似。而式(1)称为二项分布 收敛于正态分布，它有助于计算出二项分布随机 变量 X落n 入某范围内的概率的近似值。
③ 考虑独立同分布的随机变量X1，…，Xn， 定义这些随机变量的平均序列 Yn = X—1—+ …n——+ —Xn 大数定律只能告诉我们平均序列的极限 是多少，而中心极限定理还可以给出平均序 列与这个极限的偏差有多大。
例如，独立地抛掷一枚均匀骰子，以 Xk 记 第 k 次抛掷出来的点数。n 次抛掷的平均点数：
⑤ 从大数定律知道“频率的极限是概率”； 从中心极限定理知道“如果随机现象由大量独立 随机因素总和组成，各个因素所起作用相对均匀 并且几乎可以忽略，则这种随机现象就可以近似 地用正态分布来描述”。
Yn = X—1—+ …n——+ —Xn
因为 Xk 的期望是3.5，方差35/12，
当 n 很大(即抛掷次数足够多)时，从大数定律 我们知道平均点数 Yn很接近 3.5 ，或者是 n 次抛 掷的点数总和 Sn = n Yn 很接近 3.5n 。
而中心极限定理的含义是：
| Sn – 3.5 n | ≤ x (35n/12)0.5 的概率接近 2(x) – 1
lim
n→∞
P
{|
—nA n
–
p
|
<
}
=
1
伯努利定理说明概率可以利用频率来近似， 它是“概率的频率定义”的理论基础。
证明. 定理的证明根据数学期望、方差的性质 以及切比雪夫不等式完成。
由于 X1，X2，… 是具有相同期望和方差的
独立随机变量序列，根据Xn 的定义显然有：
E Xn