概论与数理统计 基本极限定理
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概率论与数理统计第五章 大数定律及中心极限定理
解: 设Xk为第k次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,…,100),
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
在100次炮击中炮弹命中的总颗数
100
X = ∑ Xk k =1
相互独立地服从同一分布，
E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,…,100)
随机变量
∑ 1
100 × 1.5
100 k =1
(
X
k
−
2)
=
1 15
(
X
−
200)
2. 伯努利定理 事件发生的频率依概率收敛于事件的概率
3. 辛钦定理 （随机变量序列独立同分布且数学期望存在）
n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算术 平均值的数学期望。
给出了“频率稳定性”的严格数学解释. 提供了通过试验来确定事件概率的方法. 是数理统计中参数估计的重要理论依据之一.
§5.2 中心极限定理
望 E( Xk ) = µ (k = 1,2,"),则对于任意ε > 0,有
∑ lim
n→∞
P {|
1 n
n k =1
Xk
−
µ
|<
ε
}
=
1
说明
伯努利大数定理是辛钦定理的特殊情
况。n个随机变量的算术平均值以概率收敛于算
术平均值的数学期望。
三 小结
1、切比雪夫(Chebyshev)定理的特殊情况 算术平均值依概率收敛于数学期望
= 1 − P { V − 100 ≤ 0.387 } (10 12 ) 20
∫ 0.387
≈ 1−
1
e − t 2 dt
−∞ 2π
= 1 −Φ (0.387) = 0.348
所以 P{V > 105} ≈ 0.348
概率论与数理统计公式定理全总结
概率论与数理统计公式定理全总结一、概率论公式：1.基本概率公式：对于随机试验E，事件A的概率可以表示为P(A)=事件A的样本点数/所有样本点数。
2.条件概率公式：对于事件A和事件B，若P(B)>，则事件A在事件B发生的条件下的概率可以表示为P(A，B)=P(A∩B)/P(B)。
3.全概率公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B有P(B)=Σ(P(Ai)×P(B，Ai))。
4.贝叶斯公式：对于互不相容事件A1,A2,...,An，它们的和事件为全样本空间S，且概率P(Ai)>，则对于任意事件B，有P(Ai，B)=(P(B，Ai)×P(Ai))/Σ(P(B，Ai)×P(Ai))。
二、数理统计公式：1.期望：随机变量X的期望E(X)=Σ(Xi×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
2. 方差：随机变量X的方差Var(X) = Σ((Xi - E(X))^2 ×P(Xi))，其中Xi为随机变量X的取值，E(X)为随机变量X的期望，P(Xi)为随机变量X取值为Xi的概率。
3. 协方差：随机变量X和Y的协方差Cov(X,Y) = E((X - E(X))(Y - E(Y)))，其中E(X)和E(Y)分别为随机变量X和Y的期望。
4. 相关系数：随机变量X和Y的相关系数ρ(X,Y) = Cov(X,Y) / √(Var(X) × Var(Y))，其中Cov(X,Y)为随机变量X和Y的协方差，Var(X)和Var(Y)分别为随机变量X和Y的方差。
三、概率论与数理统计定理：1.大数定律：对于独立同分布的随机变量X1,X2,...,Xn，它们的均值X̄=(X1+X2+...+Xn)/n，当n趋向于无穷大时，X̄趋向于X的期望E(X)。
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理
概率论与数理统计第五章大数定律及中心极限定理课前导读概率论是研究大量试验后呈现出的统计规律性的一门理论。
数学中研究大量的工具是极限。
因此这一章学习概率论中的极限定理。
第一节大数定律随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到事件的概率。
意味着随着试验次数的增多，在其中一种收敛意义下，频率的极限是概率。
大数定律解释了这一结论。
首先介绍切比雪夫不等式。
一、切比雪夫(Chebyshev)不等式随机变量X的取值总是围绕着其期望变动，若X的分布已知时，可以计算事件\{，X-E(X)，\geq \epsilon \}的概率。
切比雪夫不等式：对切比雪夫不等式的直观理解：方差越小，X在其期望附近取值的密集程度越高，原理期望的区域的概率上加越小。
进一步说明了方差的概率意义，方差时随机变量取值与其中心位置的偏离程度的一种度量指标。
当随机变量X的分布未知时，可由X的观测数据估计得到X的期望和方差，然后使用切比雪夫不等式估计X关于E(X)的偏离程度。
二、依概率收敛随机变量序列即由随机变量构成的一个序列。
不能用类似定义数列极限的方式定义随机变量序列的极限，因为序列中的每一个元素X_n是随机变量，取值不确定，不可能和一个常数c的距离任意小。
只能说一些事件A发生的频率f_n(A)收敛到A的概率P(A)。
依概率收敛的定义：定理2：三、大数定律三个大数定律：切比雪夫大数定律、辛钦大数定律和伯努利大数定律。
注意这三个大数定律的条件有何异同。
定理3 切比雪夫大数定律：若随机变量序列相互不相关，方差存在且一致有上界，当n充分大时，随机序列的前n项的算术平均值和自身的期望充分接近几乎总是发生的。
定理4 相互独立同分布的大数定律（辛钦大数定律）：辛钦大数定律为算术平均值法则提供了理论依据。
伯努利大数定律：伯努利大数定律是相互独立同分布大数定律的特例，限定分布为两点分布。
伯努利大数定律体现了：随着试验次数的增大，事件的频率逐步稳定到时间的概率，这里的稳定即为依概率收敛。
《概率论与数理统计》课件5-2中心极限定理
X X B( 1 0 0 0 0 ,
EX = np = 10000 0.7 = 7000,
DX = npq = 10000 0.7 0.3 = 2100.
a
-
X N(7000,
P{26180000) X 7200} (
)− (
)
7200 − 7000 6800 − 7000
= 2 ( ) −1 = 2 (4.23160)0−1 = 1.
EX = np = 100根0.8 = 80,
DX = npq = 100根0.8根0.2 = 16.
a
X N(80,16)
P{80 试 X 试100} = P〈0(试 X −80试 5 卜)
l
4
J
~ 牵(5) − 牵(0) = 1− 0.5 = 0.5.
3
10000 ,
0.7. .
, 6800 7200
| i=1 n →的
C(x) |
A
|l
J|
|l
J|
B
(n
)
xXi − 入
P〈 i=1
三 x 卜=
→的 | n 入 |l
C(x) |
J|
(n
)
X i− n入
C
D) lim P〈
三 x = C(x) ．
n →的
|
n入
|
D
|l
J|
2
X ~ B(100,0.8) , P恳80 试 X 试
100
X B( 1 0 0 , 0 .
x100
500 −100根
P{ Xi > 500}~ 1− 牵
i=1
10 35
= 1− 牵(8.78) ~ 0
概率论与数理统计 中心极限定理
假定每个部件的称量误差 X ~ U (1,1) （单位：kg ），且
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业： 第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n
x ( x)
例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章 中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一 独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)
每个部件的称量误差相互独立，试求机床重量的总误差的
绝对值不超过 10 kg 的概率。
作业： 第115页，习题5-2，A组：2.
则
n
近似
Xi ~ N (n, n 2 ) 或
i 1
即对任意的 x，有
n
X i n 近似
i 1
~ N (0,1)
n
Hale Waihona Puke nlimP
i 1
n
X i n n
x ( x)
例 5.2.1 为了测定一台机床的质量，把它分解成 75 个部件来称量。
第五章 中心极限定理
中心极限定理解决的问题：
n
大量的随机变量的和 X i 的近似分布是什么？ i 1
结论
n
一定条件下， X i 近似服从正态分布。 i 1
一 独立同分布中心极限定理（列维-林德贝格）
设随机变量序列 X1, X 2, , X n , 独立同分布，且数学
期望和方差存在：E(Xi ) , D(Xi ) 2 (i 1,2, , n)
概率论与数理统计 第五章 极限定理初步
1667-1754
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时,服从二项分布的变量X近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
例1. 某互联网站有10000个相互独立的用户， 已知每个用户在平时任一时刻访问网站的概率 为0.2。求在任一时刻1900~2100个用户访问该 网站的概率。
例2. 甲乙两个戏院在竞争1600名观众，假如每 个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间 选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有 多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去 的概率小于1%？
例1：作加法时，对每个加数四舍五入取整， 各个加数的取整误差可以认为是相互独立 的，都服从( -0.5 , 0.5 )上均匀分布。现在有 1200个数相加，问取整误差总和的绝对值 超过10的概率是多少？
高尔顿钉板试验
图中每一个粉红点表示钉在板上 的一颗钉子.每排钉子等距排 列,下一排的每个钉子恰在上 一排两相邻钉子之间.假设有 n排钉子,从入口中间处放入小 圆珠.由于钉板斜放,珠子在 下落过程中碰到钉子后以1/2的 概率滚向左边,也以1/2的概率 滚向右边.如果n较大,可以看到 许多珠子从入口处滚到钉板底端 的格子的情形如图所示，堆成的曲 线近似于正态分布.
§5.2
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因 素所产生的总影响.
例如：炮弹射击的落 点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的 影响. * 如瞄准时的误差， * 空气阻力所产生的误差， * 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些 随机因素的总影响.
■独立同分布中心极限定理(林德伯格-列维中心极限定理) 设X1,X2, …是独立同分布的随机序列，且 E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…，令
定理表明，当n很大，0<p<1是一个定值 时,服从二项分布的变量X近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).
例1. 某互联网站有10000个相互独立的用户， 已知每个用户在平时任一时刻访问网站的概率 为0.2。求在任一时刻1900~2100个用户访问该 网站的概率。
例2. 甲乙两个戏院在竞争1600名观众，假如每 个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间 选择戏院是彼此独立的，问每个戏院应该设有 多少个座位才能保证因缺少座位而使观众离去 的概率小于1%？
例1：作加法时，对每个加数四舍五入取整， 各个加数的取整误差可以认为是相互独立 的，都服从( -0.5 , 0.5 )上均匀分布。现在有 1200个数相加，问取整误差总和的绝对值 超过10的概率是多少？
高尔顿钉板试验
图中每一个粉红点表示钉在板上 的一颗钉子.每排钉子等距排 列,下一排的每个钉子恰在上 一排两相邻钉子之间.假设有 n排钉子,从入口中间处放入小 圆珠.由于钉板斜放,珠子在 下落过程中碰到钉子后以1/2的 概率滚向左边,也以1/2的概率 滚向右边.如果n较大,可以看到 许多珠子从入口处滚到钉板底端 的格子的情形如图所示，堆成的曲 线近似于正态分布.
§5.2
中心极限定理的客观背景
在实际问题中，常常需要考虑许多随机因 素所产生的总影响.
例如：炮弹射击的落 点与目标的偏差，就 受着许多随机因素的 影响. * 如瞄准时的误差， * 空气阻力所产生的误差， * 炮弹或炮身结构所引起的误差等等. 对我们来说重要的是这些 随机因素的总影响.
■独立同分布中心极限定理(林德伯格-列维中心极限定理) 设X1,X2, …是独立同分布的随机序列，且 E(Xi)= ，D(Xi)= 2 ，i=1,2,…，令
概论与统计课件第五章 极限定理-PPT文档资料
• 大数定律的概念 概率论中用来阐明大量随机现象平均结果的 稳定性的一系列定理，称为大数定律（law of large number) 本章将介绍三个大数定律： （1）切比雪夫大数定律、 （2）辛钦大数定律 （3）伯努利大数定律。 它们之间既有区别也有联系。
一、随机变量序列依概率收敛的定义 定义1. 1：设 X 1 , X 2 , …, X n ,…是一随机变量序列，如果存 在常数 a ，使对任意的 > 0，都有：
例1、掷一颗均匀正六面体的骰子，出现1点的概率是1/6。 但掷的次数少时，出现1点的频率可能与1/6相差较大，但 掷次数很多时，出现1点的频率接近1/6几乎是必然的。 例2、测量一个长度a，一次测量的结果不见得就等于a， 量了若干次，其算术平均值仍不见得等于a,但当测量的 次数很多时，算术平均值接近于a几乎是必然的。
1 n lim P X i p 1 n n i 1
mn p | } 1 又 ： X i mn， 即 lim P {| n n i 1
n
此定理说明了频率的稳定性。
伯努利大数定律
mn lim P {| p | } 1 n n
1 n lim P X i 1 n n i 1
1 n p 即 X i n i 1
这一推论使算术平均值的法则有了理论根据。假使要测量某 一个物理量a ,在不变的条件下重复测量 n 次，得到的观测值x1, x2, …, xn 是不完全相同的，这些结果可以看作是服从同一分布并 且期望值为a 的n 个相互独立的随机变量 X1, X2, …, Xn …的试验 1 数值。由推论可知，当n充分大时, 取( n X ) 作为 a 的近似值， 可以认为所发生的误差是很小的。即对于同一个随机变量X 进行 n 次独立观察，则所有观察结果的算术平均数依概率收敛于随机变量 的期望值 EX 。
概率论与数理统计§中心极限定理
概率论与数理统计之中心 极限定理
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
• 引言 • 中心极限定理的基本概念 • 中心极限定理的证明 • 中心极限定理的应用 • 中心极限定理的扩展与推广 • 案例分析与实践应用 • 总结与展望
01
引言
主题简介
中心极限定理是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了在独立同分布的随机 变量序列下，无论这些随机变量的分布是什么，它们的平均值的分布将趋近于正 态分布。
03
中心极限定理的证明
证明方法概述
方法一：基于特征函数的 证明
方法二：基于概率密度函 数的证明
ABCD
通过对特征函数的性质进 行分析，利用泰勒展开和 收敛性质，证明中心极限 定理。
通过分析概率密度函数的 性质，利用大数定律和收 敛定理，证明中心极限定 理。
重要极限公式
公式一： $lim_{{n to infty}} frac{S_n}{sqrt{n}} = N(0,1)$
中心极限定理的应用范围广泛，不仅限于金融、保险、医学等领域，还涉来研究的展望
01
随着大数据时代的到来，中心极限定理在处理大规模数据和复杂 随机现象方面的应用价值将更加凸显。未来研究可以进一步探索 如何优化中心极限定理的应用，提高其在实际问题中的适用性和 准确性。
02
随着数学和其他学科的交叉融合，中心极限定理与其他理 论或方法的结合应用将成为一个重要的研究方向。例如， 如何将中心极限定理与机器学习、人工智能等新兴技术相 结合，以解决更加复杂和具体的问题。
03
中心极限定理的理论基础和证明方法仍有进一步完善的空 间。未来研究可以深入探讨中心极限定理的数学原理，发 现新的证明方法和技巧，推动概率论与数理统计理论的进 一步发展。
07
总结与展望
概率论与数理统计 6.2 中心极限定理
则X～B(n,0.005), 近似地，X ~ N(0.005n,0.005 0.995n)
PX 5 1 PX 5
1
P
X 0.005n
5 0.005n
0.005 0.995n 0.005 0.995n
1
5 0.005n 0.005 0.995n
0.005n 5
0.005
近似地，X ~ N(10000 0.005,10000 0.0050.995)
即 X ~ N(50,49.75), 设死亡人数超过k人的概率小于0.003,
PX k 1 PX k
1
P
X
50
49.75
k 50 49.75
1
k 50 49.75
0.003
k 50 49.75
( x)
2
n
Xi n
定理表明，n足够大时，r.v. i1
近似服从N (0,1)，
n
注意到E n X i n, D n X i n 2 ,
i1
i1
n
从而 X i近似服从 N (n , n 2 ). i 1
中心极限定理是概率论中最重要的一类极限定理，此定 理告诉我们，在一定条件下，相互独立的随机变量之和在个 数很多时近似服从正态分布，揭示了为什么正态分布是最
P( i1 n/3
3n) 2( 3n ) 1
(2)当n 36, 1时， 所求概率为
6
P(
1 36
36 i 1
Xi
a
1) 2(1.732) 1 0.92 6
(3)要求n， 使得
P(
1 n
n i 1
Xi
a
) 2(
3n ) 1 0.95
自考概率论与数理统计大数定律及中心极限定理
则
是这16只元件的寿命的总和.
E(Y)=100×16=1 600,D(Y)= 160 000，
则所求概率为：
定理5.6(李雅普诺夫定理)
设随机变量 X1, X2 ,, Xn ,相互独立, 它 们具有数学期望和方差：
E(Xk ) k ,
D( Xk
)
2 k
0
(k
1,2,),
n
记
Bn2
0.310000k
k 6801
如果用契比雪夫不等式估计：
E( X ) np 10000 0.7 7000 D( X ) npq 10000 0.7 0.3 2100
P(6800<X<7200)=P(|X
7000|<200)
1
2100 2002
0.95
可见，虽然有10000盏灯，但是只要有供应7200盏 灯的电力就能够以相当大的概率保证够用.事实上， 契比雪夫不等式的估计只说明概率大于0.95，后面 将具体求出这个概率约为0.99999.
k1
的分布函数 Fn( x) 对于任意x 满足
lim
n
Fn
(
x
)
lim
n
P
n k 1
X
k Bn
n k 1
k
x
x
1
t2
e 2 dt
( x).
2π
定理5.6表明:
无论各个随机变量 X1, X2 ,, Xn ,服从什么
自从高斯指出测量误差服从正态 分布之后，人们发现，正态分布在 自然界中极为常见.
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k 布列为 P X k C100 0.2k 0.8100k ,
k 0,1,,100
(2) 已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得
30 100 0.2 14 100 0.2 P 14 X 30 Φ( ) Φ( ) 100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
lim P{[ X i n ]
i 1
n
n x} ( x)
即
[ X i n ]
i 1
n ~ N (0,1) (n )
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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结 束
《概率统计》电子教案 薛震 编
第五章 基本极限定理
例2.设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g, 标
例1. 已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率 均为0.8,且它们开关与否相互独立, 试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率. 解: 设X表示夜晚开灯数,则 X ~ B 10000,0.8 , 又因为E(X)=8000, D(X)=1600, 则由切比雪夫不
等式知 P{7800 X 8200} P{ X 8000 200} 1600 1 0.96 2 200 这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概
第五章
基本极限定理
切比雪夫不等式与大数定律 中心极限定理
《概率统计》电子教案 薛震 编
第五章 基本极限定理
第一节 切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
第五章
NORTH UNIVERSITY OF CHINA
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《概率统计》电子教案 薛震 编
第五章 基本极限定理
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第五章 基本极限定理
3.辛钦大数定律 定理4: 设相互独立的随机变量 X1,, X n ,
服从相同的分布,且 E ( X i ) , i 1,2, , 则有
辛钦
1 n p X ( n ) i n i 1
注: 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.
准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 X i 表示第i袋食品的净重,则 X1, X 2 , X100 独立
同分布,且 E ( X i ) 100 , D( X i ) 16 , 而一箱净重 X X i ,
i 1 100
由独立同分布的中心极限定理可知: X ~ N (10000,402 ) , 所以 P X 10100 1 P X 10100
(独立同分布的中心极限定理的特殊形式)
定理2: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生
拉普拉斯
的次数,且 P( A) p , 则有
un X1 X n , X i ~ B(1, p)
un np ~ N (0,1) (n ) np(1 p)
注: 设 X ~ B (n, p ) , 当n比较大时,对任意的a < b有
Φ(2.5) Φ(1.5) 0.927
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第五章 基本极限定理
内容小结
1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；
2.切比雪夫大数定律；
3.伯努利大数定律； 4.辛钦大数定律； 5.利用中心极限定理进行近似计算；
X 10000 10100 10000 1 P{ } 40 40
1 2.5 0.0062
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第五章 基本极限定理
二、De Moivre-Laplace中心极限定理
6.独立同分布的中心极限定理；
7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.
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P ( A) p , 则有
un X 1 X n , X i ~ B(1, p) n n
un p p (n ) n
注: 该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以 用事件发生的频率来代替其概率.
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第五章 基本极限定理
一、切比雪夫不等式
定理1: 设X的数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) , 则 0 , 有
2
切比雪夫
或
2 P{ X } 1 2
n
X1 X 2 X n n
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第五章 基本极限定理
2.伯努利大数定律 (切比雪夫大数定律推论的特殊形式) 定理3: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且
率保证这1万盏灯的正常使用.
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第五章 基本极限定理
二、大数定律
1.切比雪夫大数定律
定理2: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 具有有
限的期望和方差, 若存在常数C使 D( X i ) C , 则 0 ,
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第五章 基本极限定理
推论: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 , i 1,2, 则有
1 p X i ( n ) n i 1
注: 该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差, 常常用测量的平均值来代替真实值, 即
P{ X } 2
2
注: 切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时, 对事
件 { X E ( X ) } 发生的概率进行估计.
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第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 频率的稳定性,用频率代替概率的科学性. 2.内容: 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的 一系列定理称为大数定律.
un p; 3.刻画:① lim n n
×
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un un p lim P { p } 1 , p (n ) 即 ② n n n
b np a np P a X b Φ( ) Φ( ) np(1 p) np(1 p)
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第五章 基本极限定理
例3.保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占 20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数, 试写出 求被盗理赔 X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理, 用户大于14且不多于30户的概率近似值. 解: (1) 易知 X ~ B 100,0.2 , 则X的分
i 1 i 1 i 1 n n n
3.刻划: lim P{[ X i E ( X i )]
n i 1 i 1
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n
n
D( X i ) x} ( x)
i 1
n
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第五章 基本极限定理
第二节 中心极限定理
第五章
一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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第五章 基本极限定理
引 言
1.背景: 若一个量受到大量独立的随机因素综合影响, 则这个量通常 而每一因素在总影响中所起的作用并不大, 近似服从正态分布. 2.内容: 设独立随机变量序列 X1, X 2 , X n , 的期望 和方差都存在,则当n很大时, X i ~ N ( E ( X i ), D( X i )) .
第五章 基本极限定理
一、独立同分布的中心极限定理
(Levy-Lindeberg中心极限定理)
定理1: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 ,, X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 ( 0) , 则 x R , 有
n n
有
1 n 1 n lim P{ X i E ( X i ) } 1 n i 1 n i 1 n
即
1 n 1 n p X i E ( X i ) ( n ) n i 1 n i 1
k 0,1,,100
(2) 已知n=100,p=0.2,由拉普拉斯中心极限定理得
30 100 0.2 14 100 0.2 P 14 X 30 Φ( ) Φ( ) 100 0.2 0.8 100 0.2 0.8
lim P{[ X i n ]
i 1
n
n x} ( x)
即
[ X i n ]
i 1
n ~ N (0,1) (n )
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第五章 基本极限定理
例2.设某食品用机器装袋,每袋净重的期望为100g, 标
例1. 已知我校有1万盏电灯,夜晚每一盏灯开灯的概率 均为0.8,且它们开关与否相互独立, 试用切比雪夫不等式 估计夜晚同时开灯7800-8200盏之间的概率. 解: 设X表示夜晚开灯数,则 X ~ B 10000,0.8 , 又因为E(X)=8000, D(X)=1600, 则由切比雪夫不
等式知 P{7800 X 8200} P{ X 8000 200} 1600 1 0.96 2 200 这说明只需供应8200盏灯的电力就能以相当大的概
第五章
基本极限定理
切比雪夫不等式与大数定律 中心极限定理
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第五章 基本极限定理
第一节 切比雪夫不等式与大数定律
一、切比雪夫不等式 二、大数定律
第五章
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第五章 基本极限定理
3.辛钦大数定律 定理4: 设相互独立的随机变量 X1,, X n ,
服从相同的分布,且 E ( X i ) , i 1,2, , 则有
辛钦
1 n p X ( n ) i n i 1
注: 辛钦大数定律要求同分布但并不要求方差存在.
准差为4g,一箱装100袋,求一箱净重大于10100g的概率.
解: 设 X i 表示第i袋食品的净重,则 X1, X 2 , X100 独立
同分布,且 E ( X i ) 100 , D( X i ) 16 , 而一箱净重 X X i ,
i 1 100
由独立同分布的中心极限定理可知: X ~ N (10000,402 ) , 所以 P X 10100 1 P X 10100
(独立同分布的中心极限定理的特殊形式)
定理2: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生
拉普拉斯
的次数,且 P( A) p , 则有
un X1 X n , X i ~ B(1, p)
un np ~ N (0,1) (n ) np(1 p)
注: 设 X ~ B (n, p ) , 当n比较大时,对任意的a < b有
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内容小结
1.利用切比雪夫不等式进行近似计算；
2.切比雪夫大数定律；
3.伯努利大数定律； 4.辛钦大数定律； 5.利用中心极限定理进行近似计算；
X 10000 10100 10000 1 P{ } 40 40
1 2.5 0.0062
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6.独立同分布的中心极限定理；
7.德莫夫-拉普拉斯中心极限定理.
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P ( A) p , 则有
un X 1 X n , X i ~ B(1, p) n n
un p p (n ) n
注: 该结论的实际意义在于,当试验次数很大时,便可以 用事件发生的频率来代替其概率.
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一、切比雪夫不等式
定理1: 设X的数学期望 E ( X ) , 方差 D( X ) , 则 0 , 有
2
切比雪夫
或
2 P{ X } 1 2
n
X1 X 2 X n n
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2.伯努利大数定律 (切比雪夫大数定律推论的特殊形式) 定理3: 设 un 是n重伯努利试验中事件A发生的次数, 且
率保证这1万盏灯的正常使用.
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二、大数定律
1.切比雪夫大数定律
定理2: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 具有有
限的期望和方差, 若存在常数C使 D( X i ) C , 则 0 ,
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第五章 基本极限定理
推论: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 , X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 , i 1,2, 则有
1 p X i ( n ) n i 1
注: 该结论的实际意义在于,为了减少测量的随机误差, 常常用测量的平均值来代替真实值, 即
P{ X } 2
2
注: 切比雪夫不等式常用来在E(X)和D(X)已知时, 对事
件 { X E ( X ) } 发生的概率进行估计.
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引 言
1.背景: 频率的稳定性,用频率代替概率的科学性. 2.内容: 用来阐明大量随机现象平均结果的稳定性的 一系列定理称为大数定律.
un p; 3.刻画:① lim n n
×
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un un p lim P { p } 1 , p (n ) 即 ② n n n
b np a np P a X b Φ( ) Φ( ) np(1 p) np(1 p)
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例3.保险公司多年统计资料表明,因被盗理赔的用户占 20%,以X表示100个理赔用户中因被盗理赔的个数, 试写出 求被盗理赔 X的概率分布,并利用拉普拉斯中心极限定理, 用户大于14且不多于30户的概率近似值. 解: (1) 易知 X ~ B 100,0.2 , 则X的分
i 1 i 1 i 1 n n n
3.刻划: lim P{[ X i E ( X i )]
n i 1 i 1
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n
n
D( X i ) x} ( x)
i 1
n
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第二节 中心极限定理
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一、独立同分布中心极限定理 二、棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
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引 言
1.背景: 若一个量受到大量独立的随机因素综合影响, 则这个量通常 而每一因素在总影响中所起的作用并不大, 近似服从正态分布. 2.内容: 设独立随机变量序列 X1, X 2 , X n , 的期望 和方差都存在,则当n很大时, X i ~ N ( E ( X i ), D( X i )) .
第五章 基本极限定理
一、独立同分布的中心极限定理
(Levy-Lindeberg中心极限定理)
定理1: 设相互独立的随机变量 X1, X 2 ,, X n , 服从相 同的分布, 且 E ( X i ) , D( X i ) 2 ( 0) , 则 x R , 有
n n
有
1 n 1 n lim P{ X i E ( X i ) } 1 n i 1 n i 1 n
即
1 n 1 n p X i E ( X i ) ( n ) n i 1 n i 1