函数极限的定理
函数极限的性质
对固定的n，当x在（a,b）变动时，| f (n1) (x) | M (常数)
Rn ( x)
f (n1) ( )
n 1! ( x
x0 )n1
nM 1!( x x0 )n1
及
lim
x x0
Rn( x) ( x x0 )n
0
即 Rn( x) o[(x x0 )n ]. 皮亚诺余项
例4(P70) 证明 arcsin x arccos x (1 x 1).
2 证 设 f ( x) arcsin x arccos x, x (1,1)
f ( x)
1 ( 1 x2
1
1
x
2
)
0
f (x) C,
x (1,1)
又 f (0) arcsin 0 arccos0 0 , 即 C .
则(a,b)内至少存在一点,使得f ( ) 0”
证 f (x) C[a,b], f (x)在[a,b]取得最值M,m
(1)若M=m，则对x [a,b]有f(x)=M,
从而 (a,b),有f ( ) 0；
(2)若M>m，不妨设M f(a)（从而M f(b)）
则必有一点 (a,b),使f ( ) M，
闭区间[a, b]上连续,在开区间(a, b)内可导,那末在(a, b)
内至少有一点 ，使 f (b) f (a) f ' ()(b a)
即：f (b) f (a) f ( ).
ba
y
C
y f (x)
M
B
在 AB 上至少有一点 C,
在该点切线平行于弦AB. A
N
D
弦AB：y
f (a)
f'
函数极限的性质
第十三讲、函数极限的性质定理13.1.（唯一性）若极限0lim ()x x f x →存在，则极限值唯一.证明：我们使用反证法加以证明。
假设0lim ()x x f x A →=及0lim ()x x f x B →=，A B <。
取()/2B A ε=−，则存在δ>10，使得当010||x x δ<−<时 3()22A B A B A f x A εε−+=−<<+= （13.1） 存在δ>20，使得当020||x x δ<−<时3()22A B B A B f x B εε+−=−<<+= （13.2） 现取正数12min{,}δδδ=，则当00||x x δ<−<时，由（13.1）与（13.2）可得()()2A B f x f x +<< 矛盾！证毕。
定理13.2 .（函数极限的局部有界性）若极限0lim ()x x f x →存在，则存在δ>0，使得()f x 在邻域0(;)o U x δ内有界.定理13.3. 若0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=且A B <，则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x <.在上面的定理13.3中，取()0g x ≡，则有推论13.1 .( 局部保号性). 若0lim ()x x f x A →=且 A > 0 , ( A < 0 ) 则存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()0f x >（()0f x <）.推论13.2 .( 保不等式) 若存在δ>0使当0(;)o x U x δ∈时, 有 ()()f x g x ≤且0lim ()x x f x A →=， 0lim ()x x g x B →=，则A B ≤。
2.3 极限的运算法则
= lim =0 x→0 x( 1 + x + 1) x→0 ( 1+ x2 +1)
2
x2
x
7
2.3.2 无穷小量与无穷大量
一、无穷小量
在实际应用中，经常会遇到极限为 的变量 的变量。 在实际应用中，经常会遇到极限为0的变量。 对于这种变量不仅具有实际意义， 对于这种变量不仅具有实际意义，而且更具有理 论价值， 论价值，值得我们单独给出定义 的某一变化过程中,函数 极限为零,称 定义1: 的某一变化过程中 函数f(x)极限为零 定义 在x的某一变化过程中 函数 极限为零 称 f(x)为该过程的无穷小量（简称无穷小）. 为该过程的无穷小量（简称无穷小） 为该过程的无穷小量 无穷小 例如 : ∵ lim x = 0, ∴ 函 数 x是 当 x → 0时 的 无 穷 小.
§2.3 极限运算法则
本节讨论极限的求法。利用极限的定义， 本节讨论极限的求法。利用极限的定义，从变 量的变化趋势来观察函数的极限， 量的变化趋势来观察函数的极限，对于比较复杂的 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。 函数难于实现。为此需要介绍极限的运算法则。首 先来介绍极限四则运算法则。 先来介绍极限四则运算法则。
10
三、无穷小与无穷大的关系
定理3 在自变量的同一变化过程中, 定理3 在自变量的同一变化过程中, 1 为无穷大, 为无穷大, 则 若 为无穷小 ; f (x) 1 为无穷大. 为无穷大. 为无穷小, 若 为无穷小, 且f (x) ≠ 0, 则 f (x) 据此定理，关于无穷大的讨论,都可归结为 意义 据此定理，关于无穷大的讨论 都可归结为 关于无穷小的讨论. 关于无穷小的讨论 C 2x + 4 型 . 例6 求 lim 0 x→−1 x + 1 x +1 lim = 0 再利用无穷小与无穷大 之间的关系, 解 ∵ x → −1 再利用无穷 与无穷大 之间的关系, 无穷小 2x + 4 2x + 4 =∞ 可得: 可得: lim 11 x → −1 x + 1
24函数极限定理
?
0, ??0
?
0, 使得
? x : 0 ? x ? a ? ?0 ,有 f (x ) ? M
? ? ? 证明：取 0 ? 1，则 ? 0 ? 0，当0 ? x ? a ? 时，有
f ( x ) ? b ? f ( x ) ? b ? 1，得 f ( x ) ? b ? 1. 取M ? b ? 1
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证：不妨设 l i m f ( x ) ? c,由极限定义 x? a ? ? ? b ? c ? b ? f ( x ) ? f ( x ) ? c ? ? ? 2 及 ?的任意性得证 b ? c.
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第二章：极限
2.4函数极限的定理
Th2 （局部有界性 ?
b，则? M
对任意数列 {a n },且
lim
n? ?
an
?
a，an
?
a，都有
lim
n? ?
f（ an）? b.
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第二章：极限
2.4函数极限的定理
? ? ? 证明 :“? ”对 ? ? 0， ? 0 ? 0,当0 ? x ? a ? 0时, 有
f (x)? b
?
?, 又已知，对任意
?a?n
,有
lim
x?a
? ?0
时，有f ( x ) ? c( f ( x ) ? c). （证明：只需 g( x) ? c）
特别， c ? 0时称函数极限的保号性 。
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第二章：极限
Th4.函数极限的运算法则
2.4函数极限的定理
运算法则 : 若 lim f ( x ) ? A, lim g ( x ) ? B , 则
第二章：极限
函数的极限
sin x sin a x a .
所以
lim sin x sin a.
xa
15
三、关于函数极限的定理
定理1
设有f x , g x 及h x 三个函数定义在点a的一个空心 h x f x g x, 假如 lim g x =l 且 lim h x =l 则 lim f x =l
点a的去心 邻域,
体现x接近a程度.
a
a
a
x
8
定义
设y f x 是定义在一点a的空心邻域
U r (a ) U r (a ) \ a a r , a a, a r 上,若存在一个实数l , 对于任意给定的 0,(无论它多么小) 都存在一个 0, 使得 f x l , 只要 0 x a , 则称当 x a 时,f x 以l为极限,记作 lim f x l 或 f x l x a
3 3 3
3 x 1
4 2 证明 0, 令 min , , 3 3 1 则当 0 x 1 时, x , 且 3 3 x 1 3 3 3x 1 2 x 1 , 3x 1 2 2 2 因此
lim 3x 1 2.
lim f (x)l 或 f (x) l (当x a)．
x a
分析：当xa时，f(x) l 当| xa | 0 时，|f (x)l |能任意小
任给 >0， 当| xa |小到某一时刻，有|f (x)l |< 任给 >0， 存在 >0， 使当|xa | < 时 ，有|f (x)l|< ．
导函数极限存在定理
导函数极限定理条件：()f x 在(),a b 连续，在()()00,,a x x b 可导，()0,x a b ∈；0lim ()x x f x →'（00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''）∃∞或为 结论：00()lim ()x x f x f x →''=（0000()lim (),()lim ()x x x x f x f x f x f x +-+-→→''''==）∃∞或为 定理的证明（以0x x +→为例）：洛必达，拉格朗日()000000000000()()()lim lim ()()()()lim lim ()lim ()x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x f x f x f x f f x x x x x ξξ++++++→→+→→→-''==--'''===<<-洛拉格 定理的意义：1.若()f x 在(),a b 可导（其实就是在原有条件基础上加0()f x '存在），则()f x '在(),a b 内不能有第一类间断点和无穷间断点；即()f x '在(),a b 内要么连续，要么有震荡间断点；2. 如果函数()f x 在区间I 上有第一类间断点或者无穷间断点，则在区间I 上()f x 没有原函数.3.若()f x 在0x x =处连续，0lim ()x x f x A →'=，则00()lim ()x x f x f x A →''==，即()f x '在0x x =处连续.显示了导函数()f x '连续性与()f x 连续性的不同.震荡间断点情况举例：2111sin ,0,2sin cos ,0,()()()0,0,0,0.x x x x x x x f x g x f x x x ⎧⎧≠-≠⎪⎪'===⎨⎨⎪⎪==⎩⎩()f x 处处可导，()f x '出现了震荡间断点；有：(1)0lim ()x f x →'不存在，(0)f '却存在；(2)()g x 不连续（有震荡间断点），但原函数()f x 存在.应用：分段函数在分段点处的导数1.必须判定()f x 0x x =处的连续性. 2.求出0x x ≠处的()f x '. 3.求00lim (),lim ()x x x x f x f x +-→→''： （1）若存在，则00(),()f x f x +-''存在. （2）若不存在，分情况： 0lim ()x x f x +→'（或0lim ()x x f x -→'）为无穷，则0()f x +'（或0()f x -'）为无穷，0()f x '不存；0lim ()x x f x +→'为震荡，则0()f x +'不确定存不存在，需要用定义判定（局限）.。
函数的极限.ppt
② 解不等式
③取 ,
C x x0 ,
则当 0 x
得
x
x0
C
,
x0 时，总有
f
x
A
,
即
C
lim f (x) A
xx0
16
例3 证明：当 x0 0 时，lim xx0
x
x0 .
证: 对于 0, 由于
x x0
x x0 x x0
1 x0 x x0
要使
x
x0 , 只要
f x A C ,
x
（其中C为常数）
② 解不等式 C , 得 x C ,
x
③取M C , 则当 x M 时，总有 f x A , 即
lim f (x) A
x
19
例5 讨论函数
x,
f
(
x)
0,
x 0, x 0,
sin
1 x
x 0.
y
当x 0 时，函数 f ( x)的极限的情况。 1
x
x
x
1
0, 要使 2 x 1 2 ,
x
x
O
x
只要 x 2 即可,
取X
2
,
则当 x
X , 恒有
2 x x
1
.
lim 2 x 1.
x x
直线y 1是y 2 x 的图形的水平渐近线. x
18
注：用定义证明函数极限 lim f (x) A 的步骤 x
① 0, 由不等式 f x A , 经一系列地放大可得：
n
a
n存在。
反之，若
lim
n
a
n
lim n
f (n)不存在， lim x
函数极限连续重要概念公式定理
函数极限连续重要概念公式定理函数的极限、连续是微积分中非常重要的概念。
它们是帮助我们研究函数性质、计算导数和积分的基础。
下面我们将详细介绍函数极限和连续的概念、常用公式和定理。
一、函数极限函数的极限是指当自变量趋向一些特定值时，函数的取值是否趋于确定的结果。
极限表示函数在其中一点的趋势和变化情况。
函数极限的概念可以分为以下几个层次：1.无穷极限当自变量趋向无穷大或无穷小时，函数的极限称为无穷极限。
常见的无穷极限有以下几种形式：- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=L$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为$L$。
- 当$x\rightarrow+\infty$时，$\lim_{x\rightarrow+\infty}f(x)=+\infty$，表示当$x$趋向正无穷时，函数$f(x)$的极限为正无穷。
- 当$x\rightarrow-\infty$时，$\lim_{x\rightarrow-\infty}f(x)=-\infty$，表示当$x$趋向负无穷时，函数$f(x)$的极限为负无穷。
2.有限极限当自变量趋向一些有限值时，函数的极限称为有限极限。
常见的有限极限有以下形式：- 当$x\rightarrow a$时，$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=L$，表示当$x$趋向$a$时，函数$f(x)$的极限为$L$。
3.间断点函数在一些点上不具有有限的极限时，称该点为函数的间断点。
常见的间断点有以下几种类型：- 第一类间断点：当$x\rightarrow a$时，函数极限不存在且左右极限存在，即$\lim_{x\rightarrow a^-}f(x)$和$\lim_{x\rightarrowa^+}f(x)$存在，但不相等。
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xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱx0
此定理的证明类似于数列极限中的相应定 理, 这里将证明留给读者. 在下一节学过归结原 则之后,就可以知道这些定理是显然的.
推论1 如果lim f ( x)存在,而c为常数,则
lim[cf ( x)] c lim f ( x).
常数因子可以提到极限记号外面.
推论2 如果lim f ( x)存在,而n是正整数,则
1) lim g( x) b xa
2) x U (a),有u g( x) U (b) 3) lim f (u) A
ub
则 lim f (g( x)) a xa
证 由lim f (u) A知 0, 0 ub
使当0 | u b | 时,有| f (u) A |
2
x : 0 x a 2
f (x) c
(2)
2
令 min1, 2 ,当 0 x a 时,(1)与(2)式
均成立,所以
| b c | | b f (x) | | f (x) c | .
由 的任意性，推得 b = c. 这就证明了极限是惟
| f (x)| | b | 1.
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, ) 上有界.
注：
(1) 试与数列极限的有界性定理（定理 2）作一
比较；
(2) 有界函数不一定存在极限；
(3) lim 1 1, 但 1 在 ( 0, 2 ) 上并不是有界的 . 这
x1 x
x
说明定理中 “局部” 这两个字是关键性
xa
xa
0,x : 0 x a
有 f ( x) g( x) (或 f ( x) g( x) ),则 b c(或 c b).
推论2 若lim f (x) b,且 b 0(或 b 0)则 xa 0,x : 0 x a
的.
定理3.(保序性) 若 lim f ( x) b与 lim g( x) c
xa
xa
且 b c ,则 0,x : 0 x a ,有 f ( x) g( x. )
证明：已知 lim f (x) b与 lim g(x) c,则 c b 0
§2.4 函数极限的定理
•一、函数极限的性质
在前面一节中我们引进的六种类型的函数极 限，它们都有类似于数列极限的一些性质，这里 仅以lim f ( x) b 为代表叙述并证明这些性质，至
xa
于其它类型的性质与证明，只要相应作一些修改 即可.
1、lim f ( x) b 的基本性质 xa
xa
xa
2
使得 0,x : 0 x a ,有
f (x) b c b f (x) b c 与
2
2
g(x) c c b g(x) b c
2
2
即
f (x) b c g(x), f (x) g(x).
2
推论1 若 lim f ( x) b 与 lim g( x) c ,且
ub
u
注2 定理中的限制条件 x U (a),有u g( x) U (b)
又由lim g( x) b得 对上述 0， 0 xa
使当0 | x a | 时,有 | g( x) b |
又g( x) b 0 | g( x) b |
| f [ g( x)] A |
由极限定义得 lim f [g( x)] lim f (u) A
一的.
定理 2（局部有界性）若 lim f ( x) b , 则存在 xa
U (a) ， f ( x) 在 U (a) 上有界.
证明:对 1 ,存在 0，当 0 x a 时
| f (x) b| 1 .
这就证明了 f ( x) 在某个空心邻域 U (a, )上有界. 由此得
lim[ f ( x)]n [lim f ( x)]n .
注1:定理的条件：lim f ( x),lim g( x) 存在 商的情形还须加上分母的极限不为0
注2:定理简言之即是：和、差、积、商的极限 等于极限的和、差、积、商 注3:定理中极限号下面没有指明极限过程，是指对 任何一个过程都成立
定理5(复合函数极限)设有复合函数 f g(x) 若
x x0
x x0
x x0
(2) lim f ( x)g( x) lim f ( x) lim g( x) ;
x x0
x x0
x x0
(3) 又若 lim g( x) 0 ,
x x0
则
f g
在点 x0 的极限也存在,
并有
lim
f (x)
lim f ( x)
x x0
.
xx0 g( x) lim g( x)
xa
ub
此定理表明：若f (u)与g( x)满足定理的条件
则可作代换 u f ( x)把求lim f [g( x)]转化为 xa
lim f (u),这里b lim g( x)
ub
xa
——极限过程的转化
注1 如将 lim g( x) b换成 lim g( x)
lim f (u) A换成 lim f (u) A 可得类似的定理
定理1( 惟一性 )若函数 f ( x)在 a 存在极限,则它
的极限是唯一的.
证 不妨设 lim f (x) b 以及 lim f (x) c .由极限的
xa
xa
定义，对于任意的正数 0,存在正数 1,2 :
x : 0 x a 1
f (x) b
(1)
有 f ( x) 0(或 f ( x) 0 ).
定理 4 （四则运算法则）若 lim f ( x) , lim g( x)
x x0
x x0
都存在, 则 f g, f g 在点 x0 的极限也存在, 且
(1) lim [ f ( x) g( x)] lim f ( x) lim g( x) ;