第四章极限定理

的方法．
➢辛钦大数定律是数理统计部分中点估计理论的重要依据
§4.1 大 数 定 律
【例5-3】设随机变量X1，X2，…，Xn独立同分布，且
E (X ik)k(i1 ,2, ,n )存在，
令
Ak(n)n 1i n1Xik, (k1,2,)
则 A k P k,(n )
➢证：因为X1，X2，…，Xn独立同分布，所以X1k,X2k,...X, nk 独立同分布。
➢且ln有 i m EP(P X{ in 1)X =ii n1p X ，1 i} D (Xp , i)P ={ X pi (1 1–0 } p )，1 i =p , 1i ， 21 , ，2 ,…. n ，. n ., ➢由定理5.2得到 ln i m Pn 1i n1Xi p1
§4.1 大 数 定 律
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
➢推论1：当n充分大时,
n
Xi n近似
Yn i1 n ~ N(0,1) 或
解:设需做n次试验,其中成功的次数为X,则X～B(n，p)， E(X) = np，D(X) = np(1 – p)。
➢P因{X |为E(PX {0).| 74} X n1 0D .7(X 26})P{|X n0.75|0.01}
➢根据契比谢夫不等式应有
X P{0.74X n0.76}1D 0.(0n12)
是一常数，若对任意正数，有
ln i m P{X | na|}1
则称序列X1，X2，…，Xn，…依概率收敛于a，记为
P
Xna(n)
➢注：若 Xn P a(n),当n充分大时， Xn 以很大的可能
性接近于a，这种接近是“概率意义下的接近”，与微积
分中数列收敛中的“接近”不同
§4.1 大 数 定 律
【定理5.2】（契比谢夫大数定律）设X1, X2, …, Xn… 是相互独立，服从同一分布的随机变量序列，且具有数
Yn = X1 + X2 +…+ Xn 这里n是很大的，那么我们关心的是，当时n时，Yn的 分布是什么？
§4.2 中心极限定理
➢由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很 微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、 随机的、时有时无、时正时负的．
Yn = X1 + X2 +…+ Xn 这里n是很大的，那么我们关心的是，当时n时，Yn的 分布是什么？
§4.1 大 数 定 律
【定理5.1】 设随机变量X的数学期望E(X)及方差D(X)
都存在，则对于任意正数，有不等式
P{X | E(X)|}D (X 2 )
即
(5.1)
P{X | E(X)|}1D (X 2)
(5.2)
. 成立．称上述不等式为契比谢夫(Chebyshev)不等式．
➢此定理进一步说明方差是一个反映随机变量在其分布中 心E(X)附近集中程度的数量指标
➢根据契比谢夫不等式应有 X
P{0.74X n0.76}1D 0.(0n12)
1
1 n2
np(1 0.012
p)
➢令
1 np(1 p)
1 n2 0.012
0.90
➢解得
p(1 p) 0.750.25
n 0.10.012
18750
0.10.012
§4.1 大 数 定 律
【定义5.1】 设X1，X2，…，Xn…是一随机变量序列，a
§4.2 中心极限定理
➢由于这些因素很多，每个因素对加工精度的影响都是很 微小的，而且每个因素的出现又都是人们无法控制的、 随机的、时有时无、时正时负的．
➢这些因素的综合影响最终使每个机械轴的直径产生误差， 若将这个误差记为Yn，那么Yn是随机变量，且可以将Yn看 作很多微小的随机波动X1，X2，…，Xn之和，即
1
1 n2
np(1 0.012
p)
§4.1 大 数 定 律
【例5-2】已知n重伯努利试验中参数p = 0.75，问至少应 做多少次试验，才能使试验成功的频率在0.74和0.76之 间的概率不低于0.90？
解:设需做n次试验,其中成功的次数为X,则X～B(n，p)， E(X) = np，D(X) = np(1 – p)。
§4.1 大 数 定 律
【定理5.4】（辛钦大数定律）设X1，X2，…，Xn，…是 相互独立，服从同一的分布的随机变量序列，且具有数
学期望E(Xi) = ，即
(i = 1，2，…)，则 1 n
n i1
X
依概率收敛于
i
1 n
ni1
p
Xi (n)
(5.5)
➢辛钦大数定律提供了求随机变量数学期望E(X)的近似值
第四章大数定律和中心极限定理
主要内容
§4.1 大 数 定 律 §4.2 中心极限定理
第四章：总结
§4.1 大 数 定 律
➢对某个随机变量X进行大量的重复观测，所得到的大批 观测数据的算术平均值也具有稳定性. ➢由于这类稳定性都是在对随机变量进行大量重复试验的 条件下呈现出来的，历史上把这种试验次数很大时出现 的规律统称为大数定律． ➢首先来引进证明大数定律所需要的预备知识——契比谢 夫（Chebyshev）不等式．
序列，且E(Xi) = ，D(Xi) = 2 0（i = 1，2，…），则
对于任意x，有
n
lim Pi1
n
Xni nx
x
1
t2
e 2dtΦ(x)
2
(5.6)
n
Xi n
记 Yn i1 n , 记FYn ( x)为Yn的分布函数，则
ln im FYn(x)Φ(x)
§4.2 中心极限定理
大数定律和中心极限定理无论在应用上还是理论上都 具有极其重要的作用．
第四章大数定律和中心极限定理
【吸烟率调查问题】
➢某卫生组织为确定某城市成年男子的吸烟率p，将被调 查的成年男子中吸烟的频率作为p的估计，现在要保证有 90%以上的把握，使得调查对象吸烟者的频率与该城市成 年男子的吸烟率p之间的差异不大于5%，问至少要调查多 少对象？
➢ 利用契比谢夫不等式，我们可以在随机变量X的分布未 知的情况下估算概率值的界限
§4.1 大 数 定 律
P{X | E(X)|}1D (X 2)
【例5-1】若某班某次考试的平均分为80分，标准差为10，
试估计及格率至少为多少？
解：用随机变量X表示学生成绩，则数学期望E(X) = 80， 方差D(X) = 100，所以
§4.1 大 数 定 律
【定理5.3】（伯努利大数定律）设nA是n重伯努利试验 中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概
率，则对于任意正数，有
ln im PnnA
p
1
即
nA Pp(n)
(5.4)
n
证：引入随机变量Xi（i = 1，2，…）：
1, 第i次试验 A发中生 Xi 0, 第i次试验 A不中发生
ln i m Pn 1i n1Xi 1
即 n 1i n1Xi P(n) P{X | E(X)|}1D (X 2()5.3)
➢证：对
1 n
n i1
X
i
运用Chebyshev不等式
1
1n P{|
ni1
Xi
|}
1
2
/
2
n
.
1
E( n
n i1
X i)
,
D ( 1
n
n i1
X i)
2 n
【定理5.3】（伯努利大数定律）设nA是n重伯努利试验 中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概
率，则对于任意正数，有
ln im PnnA
p
1
即
nA Pp(n)
n
证： n A X 1 X 2 X n ~ B ( n ,p )
➢由定理5.2得 ln i m Pn 1i n1Xi p1
➢当然，我们可以考虑用卷积公式去计算Yn的分布，但这 样的计算是相当复杂的、不现实的，而且也是不易实现 的．有时即使能写出Yn的分布，但由于其形式复杂而无 法使用．
§4.2 中心极限定理
5.2.1 独立同分布的中心极限定理
【 定 理 5.5】 （ 独 立 同 分 布 的 中 心 极 限 定 理 ） 设 X1 ， X2，…，Xn，…为相互独立、服从同一分布的随机变量
第四章大数定律和中心极限定理
人们在长期的实践中发现，事件发生的频率具有稳定 性，也就是说随着试验次数的增多，事件发生的频率将稳 定在一个确定的常数，即概率值附近．
频率的稳定性是概率定义的客观基础，在第一章中我 们从直观上描述了这一事实。本章将用大数定律对频率的 稳定性作出理论上的说明．
在前面，我们还看到相互独立的正态随机变量的和仍 是正态随机变量。本章将要介绍的中心极限定理将给出概 率论中的另一个重要结果:在相当一般的条件下，充分多 个相互独立的非正态随机变量（不管它们的分布如何）的 和近似服从正态分布．这一事实更说明了正态分布的重要 性．
➢即
ln im PnnA
p1
(5.4)
§ln5 i.m 1P大数nnA定律p
1
➢伯努利大数定律表明事件A发生的频率nA/n依概率收敛
于事件A发生的概率p．
➢这也正是在大量重复独立试验中，频率nA/n接近于概率 p的真正含义，也就是我们所说的频率稳定性的真正含
义．
➢所以当试验次数很大时，就可以利用事件发生的频率来 近似地代替事件发生的概率．
➢则 n A X 1 X 2 X n ~ B ( n ,p )
§4.1 大 数 定 律
【定理5.3】（伯努利大数定律）设nA是n重伯努利试验 中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概