第5章大数定律及中心极限定理习题及答案

第 5 章 大数定律与中心极限定理

一、

填空题：

1.设随机变量μξ=)(E ，方差2

σξ=)(D ，则由切比雪夫不等式有≤≥-}|{|σμξ3P 9

1 . 2.设n

ξξξ,,, 21是

n 个相互独立同分布的随机变量，

),,,(,)(,)(n i D E i i 218===ξμξ对于∑==

n

i i

n 1

ξξ，写出所满足的切彼雪夫不等式 228εεξεμξn D P =≤

≥-)(}|{| ，并估计≥<-}|{|4μξP n

21

1-

. 3. 设随机变量129,,

,X X X 相互独立且同分布, 而且有1i EX =,

1(1,2,

,9)i DX i ==, 令9

1

i i X X ==∑, 则对任意给定的0ε>, 由切比雪夫不等式

直接可得{}

≥<-ε9X P 2

9

1ε-

. 解：切比雪夫不等式指出：如果随机变量X 满足：()E X μ=与2

()D X σ=都存在, 则对任意给定的0ε>, 有

22{||}P X σμεε-≥≤, 或者2

2{||}1.P X σμεε

-<≥-

由于随机变量129,,

,X X X 相互独立且同分布, 而且有

1,1(1,2,9),i i EX DX i === 所以

99

9111()()19,i i i i i E X E X E X μ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑

99

9

2

111()()19.i i i i i D X D X D X σ===⎛⎫===== ⎪⎝⎭∑∑∑

4. 设随机变量X 满足：2

(),()E X D X μσ==, 则由切比雪夫不等式, 有{||4}P X μσ-≥ 1

16

≤

. 解：切比雪夫不等式为：设随机变量X 满足2

(),()E X D X μσ==, 则对任意

的0ε>, 有2

2{||}.P X σμεε

-≥≤由此得 221{||4}.(4)16P X σμσσ-≥≤

=

5、设随机变量2

σξμξξ==)(,)(,D E ，则≥<-}|{|σμξ2P 4

3

.

6、设n ξξξ,,, 21为相互独立的随机变量序列，且),,( 21=i i ξ服从参数为λ的泊松

分布，则

≤-∑=∞

→}{lim x n n P n

i i

n λ

λ

ξ

1

∞

--

x

t dt e

2

2 .

7、设n η表示n 次独立重复试验中事件A 出现的次数，p 是事件A 在每次试验中出现的

概率，则≈≤<}{b a P n η

⎰

-----

)1()

1(2

221p np np b p np np a t dt e π

.

8. 设随机变量n ξ, 服从二项分布(,)B n p , 其中01,1,2,p n <<=, 那么, 对于任

一实数x , 有lim {|||}n n P np x ξ→+∞

-<= 0 .

9. 设12,,,n X X X 为随机变量序列,a 为常数, 则{}n X 依概率收敛于a 是指

{}

=<->∀+∞

>-εεa X P n n lim ,0 1 ,或{}

=≥->∀+∞

>-εεa X P n n lim ,0 0 。

10. 设供电站电网有100盏电灯, 夜晚每盏灯开灯的概率皆为0.8. 假设每盏灯开关是相 互独立的, 若随机变量X 为100盏灯中开着的灯数, 则由切比雪夫不等式估计, X 落 在75至85之间的概率不小于 25

9 .

解：()80,()16E X D X ==, 于是

169(7585)(|80|5)1.2525

P X P X <<=-<≥-

=

二．计算题：

1、在每次试验中，事件A 发生的概率为0.5，利用切比雪夫不等式估计，在1000次独立试验中，事件A 发生的次数在450至550次之间的概率.

解：设X 表示1000次独立试验中事件A 发生的次数，则250)(,500)(==X D X E

}50|500{|}550450{≤-=≤≤X P X P

9.02500250

150

)(1}50|)({|2

=-=-

≥≤-=X D X E X P

2、一通信系统拥有50台相互独立起作用的交换机. 在系统运行期间, 每台交换机能清晰接受信号的概率为0.90. 系统正常工作时, 要求能清晰接受信号的交换机至少45台. 求该通信系统能正常工作的概率. 解：

设X 表示系统运行期间能清晰接受信号的交换机台数, 则

~(50,0.90).X B

由此 P(通信系统能正常工作)(4550)P X =≤≤

P =≤≤

(2.36)(0)0.99090.50.4909.ΦΦ≈-=-=

3、某微机系统有120个终端, 每个终端有5%的时间在使用, 若各终端使用与否是相互独立 的, 试求有不少于10个终端在使用的概率.

解：某时刻所使用的终端数~(120,0.05),6, 5.b np npq ξ==7 由棣莫弗－拉普拉斯定理知

{10}11(1.67)0.0475.

P ξΦΦ≥=-≈-=

4、某校共有4900个学生, 已知每天晚上每个学生到阅览室去学习的概率为0.1, 问阅览室 要准备多少个座位, 才能以99%的概率保证每个去阅览室的学生都有座位.

解：设去阅览室学习的人数为ξ, 要准备k 个座位

.

~(,),4900,0.1,49000.1b n p n p np ξ===⨯=

21.===

4900490{0}2121k P k ξΦΦΦΦ⎛⎫⎛⎫--⎛⎫⎛⎫

≤≤≈-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

490490(23.23)0.99.

2121k k ΦΦΦ--⎛⎫⎛⎫

=--≈= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

查(0,1)N 分布表可得490

2.3263,21 2.3263490538.8523

21k k -==⨯+=

539.≈

要准备539个座位,才能以99%的概率保证每个去阅览室学习的学生都有座位.