论文空调购买问题

六 模型建立及求解
6.1 建立层次结构
4
选择空调
支 付 金 额
售 后 服 务
噪 音
款 式
奥克斯
6.2 模型求解 6.2.1 建立五种空调支付总金额与使用时间的函数关系式 支付总金额=总电费+购买空调的价格； 总电费=使用时间*电费单价*耗电量； X= (018000)； y1=1.1*0.6x+3368=0.66x+3368； y2=1.06*0.6x+3150=0.636x+3150； y3=1.26*0.6x+2898=0.756x+2898: y4=1.25*0.6x+2099=0.75x+2099； y5=1.14*0.6x+2695=0.684x+2695； 利用 MATLAB 软件画出以上函数的函数图像，并标出交点坐标： （为方便看图，将纵坐标 y 缩小 10000 倍，图如下）
6
6.2.2 将各因素按比较法和 1-9 比较尺度进行排序 海尔 格力 美的 支付金额 售后服务 噪音 款式 9 6 （ 7+9）/2 6 5 8 (9+5)/2 2 1 4 (5+7)/2 4
奥克斯 3 2 (1+1)/2 2
海信 7 4 (7+5)/2 6
6.3 构造准则层对目标层的成对比较阵，并做一致性检验求的权向量 每次取两个因素 αi 和 αj ,，用 aij 表示 C i 和 C j 对 O 的影响之比，全部比较结果 可用成对比较矩阵 A = (aij )n × n , aij 〉 0 , aji = 1 aij 表示 .显然有 a11 = 1 ,则用 α1 ⋯ ⋯ α 4 依次表示支付金额、售后服务、噪音、和 款式四个准则，设某消费者用成对比较法得到的成对比较矩阵为 ⎡ ·1 ⎢3 4 ⎢ ⎢1 2 ⎢ ⎣1 4 4 3 1 2 3 1 3 2 3 2 1 1 2 4⎤ 3⎥ ⎥ =A 2⎥ ⎥ 1⎦
2
1.4 计算权向量（也称权重向量） 计算权向量的方法有特征根法、 和法、 根法、 幂法等， 这里简要介绍和法 . 和法的原理是，对于一致性判断矩阵，每一列归一化后就是 相应的权 重 .对于非一致性判断矩阵，每一列归一化后近似其相应的权重，在对这 n 个列 向量求取算术平均值作为最后的权重 .具体的公式是： 1 n aij Wi = ∑ n n j =1 ∑ akj
0 海尔 格力 美的 奥克斯 海信 3150 3368 2898 2099 2695
1 4295 4556 4259 3449 3926
2 5540 5744 5620 4799 5157
3 6584 6932 6980 6149 6389
4 7729 8120 8341 7499 7620
5 8874 9308 9702 8849 8851
1
指导老师：王慧勤 作者：李文文（1988—） ，女，陕西咸阳人，数学与应用数学 2011 级专升本 2 班. 1
bii 的取值
1 3 5 7 9
含 义 表示两个元素 Bi 和 B j 相比，同样重要 表示 Bi 比 B j 稍微重要 表示 Bi 比 B j 明显重要 表示 Bi 比 B j 强烈重要 表示 Bi 比 B j 极端重要 上述两相邻判断中的值，如 2 为同样重要 和稍微重要之间的判断值
引言ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
我们生活中的各个领域都存在多种因素或多级因素在不同程度上影响同一 决策问题 .这就需要我们从各个方面考虑问题做出最佳选择 .然而层次分析法 则运用条件量化使得此类问题由抽象变得具体，由复杂变得简单，便于问题的解 决 .
一 层次分析法简介
层次分析法 (The analytic hierarchy process,简称 AHP）是美国著名的运筹专 家， 匹兹堡大学萨迪（T.L.saaty) 教授于 20 世纪 70 年代中期提出的一种将定性分 析与定量分析研究相结合的决策方法，该方法于 80 年代初传入我国并迅速得到 推广与应用 . 层次分析法的基本操作步骤如下 1.1 建立层次结构 AHP 要求阶梯层次结构一般由以下三个层次组成： � 目标层（最高层） ：指问题的预定目标； � 准则层（中间层） ：指影响目标实现的准则； � 方案层（最低层） ：指可供选择的方案； 1.2 构造成对比较阵 从层次结构模型的第 2 层开始，对于从属于(或影响)上一层每个因素的同一 层诸因素， 用成对比较法和 1—9 比较尺度构造成对比较阵， 直到最下层 .表 1 正 互反矩阵中元素比较尺度及其含义
6 10019 10496 11063 10199 10082
7 11164 11684 12424 11549 11313
8 12308 12872 13784 12899 12545
9 13453 14060 15145 14249 13776
10 14598 15248 16506 15599 15007
五 问题分析
空调的购买属于人们在日常生活中的决策问题，在考虑问题时人们都要慎重 考虑、反复比较，尽可能做出满意的决策 .题中有 5 种品牌的空调供选择，购买 者会根据价格、耗电、能效等级等一些准则去反复比较 5 种品牌空调 .由于耗电 量直接影响购买空调后每年需支付的费用，因此，本模型将价格与耗电量统一为 支付总金额，后利用 MATLAB 软件做出函数图像，根据图像和使用时间对支付金 额进行排名，其次确定支付金额、售后服务，噪音，款式等四种因素在购买者心 中占的比重，运用网路资源结合自身生活经验可知，在购买空调时依次考虑的是 支付金额，售后服务，噪音,款式 .再次，将各个因素影响购买者选购空调的影 响作用做出适当评估并进行合理量化 .最后，就每个因素将五个品牌进行比较， 通过相互比较确定各因素对目标（最终要购买的空调）的权重及方案（所提供的 各品牌空调）对于准则（影响的各个因素）的权重，最后将方案层对于准则层的 权重及准则层对目标层的权重进行综合，最终确定方案层对目标层的权重，数值 最大者为最佳选项 .
3
四 符号说明
α1 ： 支付金额 α 2 ： 售后服务 α3 ： 噪音 α 4 ： 款式 A ： 准则层对目标层的成对比较阵 λ ： 成对比较矩阵的最大特征根 ω ： 准则层对目标层的成对比较阵的权向量 CI ： 一致性指标 RI ： 平均随即一致性指标 CR ： 一致性比率 Bi ： 方案层对准则层各因素的成对比较阵 . i = (1,2,3,4,5) βi ： 各相应的权向量
经计算可得 A 的最大特征值为 4.26 〉 4，所以 A 不是一致阵，需进行一致性 检验 .查表可知 RI=0.90，所以 λ max− n C .I . =0.08 =0.096 〉 0.1 C.I . = C .R. = n −1 R.I . 这说明成对比较 A 的不一致是可以接受的 . 利用和法可求得权向量 T ω = (0.4 0.3 0.2 0.1) ，进行一致性检验并求出各相应 6.4 构造方案层对准则层各因素的成对比较阵 构造方案层对准则层各因素的成对比较阵， 的权向量 构造第三层(方案层)对第二层的每一个准则的成对比较矩阵，设它们为 B1 B 2 、 B3 、 B4 ，这里 B k (k = 1,2,3,4) 中的元素 b ij 是方案（选购空调） Pi 与 P j 对 于准则 αk （支付金额、售后等）的优越性比较尺度 . ⎡ 1 9 5 9 3 9 7⎤ ⎡ 1 ⎢5 9 1 5 5 3 5 7 ⎥ ⎢4 3 ⎢ ⎥ ⎢ B1 = ⎢1 9 1 5 1 1 3 1 7 ⎥ B2 = ⎢2 3 ⎢ ⎥ ⎢ ⎢1 3 3 5 3 1 3 7⎥ ⎢1 3 ⎢ ⎢ ⎣7 9 7 5 7 7 3 1 ⎥ ⎦ ⎣2 3 3 4 3 2 3 3 2⎤ 1 2 4 2 ⎥ ⎥ 12 1 2 1 ⎥ ⎥ 1 4 1 2 1 1 2⎥ 12 1 2 1 ⎥ ⎦
l × n
其中 ( β1 , β 2 , ⋯ , β n ) 是一个 l × n 阶矩阵， αk (k =1⋯l ) 表示第 K 个方案在目标 z 中所 占的比重，也就是第 k 个方案的最终得分，得分最高的方案即为最优方案 .
l × n
二 问题重述
面对各商场对空调的大力宣传，如何为自己挑选一台适合自己的空调？某顾 2 客欲购买一台适合 16 m 使用的直流变频壁挂式空调，考虑的因素有价格、耗电 量、能效等级、售后服务、噪音和款式等六个方面．经过初步考查，确定格力、 2 海尔、美的、奥克斯、海信等五种空调为待选目标 .适合 16 m 使用的直流变 频壁挂式五种空调的各项指标如附表所示． 建立数学模型帮该顾客分析一下选择 购买哪一种空调最合适． 品牌 海尔 格力 美的 奥克斯 海信 价格（元） 耗电（瓦/时） 能效等级 3150 1060 3 3368 1100 3 2898 1260 4 2099 1250 4 2695 1140 3 售后服务 很好 好 较好 一般 较好 噪音 23～39dB 25～37dB 27～38dB 30～41dB 25～39dB 款式 一般 好 较好 一般 好
格力
海尔
美的
5
海信
蓝色：为 y1 格力空调的函数图像； 黄色：为 y2 海尔空调的函数图像； 红色：为 y3 美的空调的函数图像； 绿色：为 y4 奥克斯空调的函数图像； 黑色：为 y5 海信空调的函数图像 交点坐标依次从左往右为： （ 2100.0,0.4486 ） ， (4895.8,0.6599) ， （ 9090.9,0.8917 ） （9219.3,0.9014） ， （9479.2,0.9179） ， （ 14155.6,1.2711） ； 第二、做出各种空调每年支付的总金额与使用时间的表格，如下：
三 模型假设
由于问题中没有对空调的选购提出其它要求，我们可作如下假设： ⒈假设以上 5 种品牌的空调除既定的价格、耗电等 6 种因素外，空调的构造 材料，选购地点等其它因素均不影响决策因素 . 2 购买空调之前并没有偏爱某种品牌，对 5 种空调的喜爱程度一致，且所给 出的数据都是精确的，没有误差 . 3.假设空调为家庭用户使用，春、秋季节不使用空调，夏、冬季平均每天使 用空调 10 小时， 每年使用 180 天， 即 1 年=1800 小时， 使用 x 年； 电费单价为 0.6 千瓦/时，电费和耗电量不随时间的改变而改变 . 4.各品牌空调价格和使用年限内所交电费一并考虑为所用总费用，不考虑维 修费和其他费用 .能效等级直接反映出的是所交电费的多少， 所以以后不再考虑 能效等级的影响 .
k =1
1.5 求各个方案的综合得分（即层次总排序） 用 ( α 1 , α 2 , ⋯ , α n ) T 表示方案层中有 n 个备选方案在目标 z 中所占的比重（权 向量）它可以通过下面式子计算出来： ( α1 , α 2 , ⋯ , α n ) T = ( β 1 , β 2 , ⋯ , β n ) × ( ω 1 , ω 2 , ⋯ , ω n ) T
2、 4、 6、 8
1、2、…、9 的倒数
元素 Bi 和 B j 比较时为 bij ，则 Bj 和 Bi 比较时为 1 bij
3 计算权向量并做一致性检验 1. 1.3 对于每一个成对比较阵计算最大特征根及对应特征向量，利用一致性指 标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验 .若检验通过，特征向量 (归一化后)即为权向量：若不通过，需重新构追成对比较阵 操作步骤如下： 第一步，计算一致性指标 C.I.（consistency index） λ max − n C .I . = n −1 第二步，查表确定相应的平均随机一致性指标 R.I.（random index） 据判断矩阵不同阶数查下表，得到平均随机一致性指标 R.I. .例如，对于 5 阶的判断矩阵，查表得到 R.I.=1.12 表（ 1000 次正互反矩阵计算结果） 表 3 平均随机一致性指标 R.I. R.I.表（ 表（1000 矩阵阶数 1 2 3 4 5 6 7 8 R.I. 0 0 0.52 0.89 1.12 1.26 1.36 1.41 矩阵阶数 9 10 11 12 13 14 15 R.I. 1.46 1.49 1.52 1.54 1.56 1.58 1.59 第三步，计算一致性比例 C.R.（consistency ratio）并进行判断 C.I . C.R. = R.I . 当 C.R. 〈 0.1 时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的，C.R. 〉 0.1 时，认为 判断矩阵不符合一致性要求，需要对该判断距阵进行重新修正 .
运用层次分析法解决空调的选购问题
李文文
（宝鸡文理学院 数学系 陕西 宝鸡 721013）
摘 要:本文首先介绍了层次分析法的基本思想,然后建立了格力，海尔等五 种空调系统综合性能评价层次结构模型,并计算出该模型中各准则层和各子准则 层的权重系数,最后,根据本文建立的评价模型对格力， 海尔等空调进行了综合评 价 .评价结果标海尔空调为最佳购买对象 . :层次分析法；最大特征值；特征向量；选购空调；MATLAB 关键词 关键词:
将上述表格的价格按列进行排序如下 0 海尔 格力 美的 奥克斯 海信 2 1 3 5 4 1 3 1 2 5 4 2 3 2 1 5 4 3 3 2 1 5 4 4 4 2 1 5 4 5 3 2 1 5 4 6 5 2 1 3 4 7 5 2 1 3 4 8 5 3 1 2 4 9 5 3 1 2 4 10 5 3 1 2 4