非正弦交流电路

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20200403非正弦交流电有效值计算与应用法

习题课一：非正弦式交流电有效值的计算与应用一、交流电有效值的定义：指对做功或发热有效。

让某个交流电和一个直流电对同样大小的电阻加热，如果在相等的时间内它们产生的热量相等，那么交流电的有效值就等于直流电的数量大小。

（注意4个相等：被加热电阻相等、时间相等、发热量相等，则交流电的有效值与直流的数量大小相等）交流电的有效值是根据电流的热效应来规定的，与电流的方向无关，但一般与所取的时间的长短有关，在无特别说明时，是以一个周期的时间来计算有效值的。

二、3个结论提示：⑴、按此定义某一直流电的有效值就是直流电本身。

应用见例1。

⑵、线性变化电流的有效值=平均值=（最大值+最小值）÷2。

⑶、“完整”的标准正弦交流电的有效值和最大值的关系为：E E m 2=，I I m 2=，U U m 2=。

注意：如果通电时间较短（短至1/4周期），但在起止时刻恰好等于正余弦的0值或峰值，也是满足前述关系的，见例2。

如果起止时刻不等于正余弦的0值或峰值，就不成立，见例0。

例0：有一正弦交流电的最大值为10伏,加在一直流电阻为10欧的纯电阻上。

已知它的周期为0.2秒，则它在0.05秒内的发热量可能为：（A 、B 、C ）A 大于0.25焦，B 小于0.25焦，C 等于0.25焦，D 一定为0.25焦。

三、非正弦式交流电有效值的计算方法与例题方法说明：⑴、按有效值的定义通过加热来计算。

⑵、通常计算工作一个周期内的发热量。

⑶、为计算为一个周期内的发热量，焦耳热公式中所用的U 和I 仍然需要是有效值，如例3中前2秒内的有效值是20/2，后1秒内的有效值是10/2。

具体步骤：1、分析一个周期内不同时间段的电流特点，确认每一时段的有效值。

2、计算它在一个周期内的发热量。

3、根据有效值定义（交流、直流发热量相等）列方程计算出有效值。

【例1】计算下图所示交流电的有效值，如果该交流电加在一个5Ω的电阻元件上，它在4个周期内产生的焦耳热是多少。

电路原理课件10非正弦周期电流电路

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非正弦周期电流电路工程上傅里叶级数常用另一种形式：
f ( t ) = A0 + A1mcos(1t + 1 ) + = A0 + Akm cos( k1t + k )
k =1
= a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]
交流稳态分析
暂态分析
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路用晶体管特性图示器测量晶体二极管的电压电流关系。
实验表明：在低频工作条件下，晶
体二极管的电压电流关系是
u-i 平面上通过坐标原点的一条曲线。
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非正弦周期电流电路
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非正弦周期电流电路
f ( t ) = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] k =1 因 bk = 0 f ( t ) = a + [a cos( k t ) b sin( k t )] 0 k 1 k 1 k =1 a k = 0 2. 奇函数： f (t) = f (t)，有 a0 = 0
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非正弦周期电流电路
10.1 非正弦周期信号的谐波分析
一、非正弦周期函数分解为傅里叶(Fourier)级数满足狄里赫利条件的周期函数 f(t) = f(t + kT)[式中T 为周期函数 f(t)
的周期，k = 0，1，…]，可展开为收敛的傅里叶级数：
f ( t ) = a0 + [a1cos(1t ) + b1sin(1t )] + [a2cos(21t ) + b2sin(21t )] + + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )] + = a0 + [ak cos( k1t ) + bk sin( k1t )]

电工技术-第十二章非正弦交流电

❖ 2. 负载方面
❖ 电路中含有非线性元件，则元件在外加电压的作用下，电路中的电流不与电压成正比变化。
例如半波整流电路，虽然电源电动势是正弦波，但电路中的电流及负载上所输出的电压却是非正弦的。
（a）半波整流电路
（b）电路的电流波形
图12-1-2 半波整流的电路与波形
二、非正弦周期量的傅里叶级数表达式
❖ 二次以上谐波统称为高次谐波，频率均为基波频率的整数倍。
❖ 实验和理论分析都证明：
❖非正弦交流电可以被分解成一系列频率成整数倍的正弦成分。
❖也就是说，我们在实际工作中所遇到的各种波形的周期信号，都可以由许多不同频率的正弦波组成。
❖ 两个不同频率的正弦电压相加的情况。
设 u1 Um sint
X Ln nL
X Cn
1
nC
电阻是一个恒定值。
❖ （3）分别计算各谐波分量单独作用时电路中的电流或电压。
❖ （4）利用叠加原理，把所求得的同一支路的各电流分量（或电压分量）进行叠加，即可得各支路电流（或电压）。
本章小结
❖ 一、非正弦量的（傅里叶级数）分解 ❖ 1. 周期性的非正弦电压或电流均能被分解为一系列
❖ 凡是奇次对称的信号都只有基波、三次、五次等奇次谐波，而不存在直流成分以及二次、四次等偶次谐波。
（a）
（b）
（c）
图12-1-4 奇次对称性波形
2. 偶次对称性
❖ 偶次对称谐波的特点是： ❖ 波形的后半周期重复前半周期的变化，且符号相同（即前半
周与后半周都是正的），波形所具有的这种性质被称为偶次对称性。
《电工技术》
第十二章非正弦交流电
12-1 非正弦量的（傅里叶级数）分解与计算

非正弦周期电流电路的有效值、平均值和平均功率的计算

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直流分量：
I0
Im 2
157 μA 78.5μA 2
基波最大值：
I1m
2Im
2 1.57 μA 3.14
100 μA
三次谐波最大值：
1 I3m 3 I1m 33.3μA
五次谐波最大值：
I5m
1 5
I1m
20μA
角频率：
2π T
2 3.14 rad/s 6.28 106
10
51C 5 106 1000 1012
iS
+ R
Cu
51L 5 106 103Ω 5kΩ
L
-
Z (51)
(R jXL5)( jXC5) R j(5XL5 XC5)
208.3
89.53
Ω
U5 Is5 Z (51) 20 106
4.166 89.53mV 2
208.3 89.53 V 2
I(1)
440 A 60 j20
6.96
18.4 A
a
+
U1–
U
+ 2–
* W* 60
j20 I
三次谐波作用： Uab(3) 100 30 V
I(3)
100 30 A 60 j60
1.18
15
A
b 测的是u1 的功率
i [6.96 2 cos(t 18.4 ) 1.18 2 cos(3t 15 )]A
各相的初相分别为
A相
k
B相
k
4nπ
2 3
π
C相
k
4nπ
2 3
π
正序对称三相电源
②令 k =6n+3，即：k =3,9,15, …

第十二章非正弦周期电流电路

IS 0
is1
is3
华东理工大学上页下
页
§12-3 有效值、平均值和平均功率
一. 有效值
根据周期量有效值的定义, 为其方均根值:
I
1 T
0
T
[it ] dt U
2
1 T
0
T
[u t ]2 dt
it I 0 I km cos(k1t k )
k 1
P U 0 I 0 U k I k cos k
k 1

（三角函数的正交性）
U 0 I 0 U 1 I1 cos1 U 2 I 2 cos 2 U k I k cos k
Um Im 式中 : U k , Ik , k uk ik , k 1,2, 华东理工大学 2 2
0
ui
t
+ uo
③非正弦激励下的线性电路
0
－
+
0
t
ui
t
uo
0
t
页
－华东理工大学上页下
§12-2 周期函数分解为傅里叶级数 (谐波分析) 一. 数学分析
设非正弦周期电流i(t)=i(t+T) ,当满足狄里赫利条件 ( ① i(t)在一周期内连续or有有限多个第一类间断点; ② i(t)在一周期内有有限多个极大值与极小值 )时, 可展成收敛的傅里叶级数：
I av
1 T i dt 0 T
例：正弦电流的平均值为 1 T 2 I av 0 I m cost dt I M 0.898 I M 0.637 I T 恒定分量（直流分量）磁电系仪表：
电磁系仪表：全波整流仪表：

电气学院《电路-非正弦周期电流电路和信号的频谱》课件

k =1
例周期性方波的分解
直流分量 t
三次谐波
t
基波 t
五次谐波七次谐波 t
直流分量+基波直流分量基波
直流分量+基波+三次谐波
三次谐波
频谱图
时域
U
Um
T
t
4U m
=U0
U0
3
w 3w
频域
U0
5w
5w
U = 4Um (coswt + 1 cos 3wt + 1 cos 5wt + )
π
13-4 非正弦周期电流电路的计算
一、一般步骤：
1）将激励为非正弦周期函数展开为傅立叶级数： f (w t) = A0 + Ak m cos(kw t + k ) k =1 2）将激励分解为直流分量和无穷多个不同频率的正弦激励分量； 3）求各激励分量单独作用时的响应分量：
(1) 直流分量作用：直流分析（C开路，L短路）求Y0;
（2）基波分量作用：角频率为w （正弦稳态分析）求y1; （3）二次谐波分量作用：角频率为2w （正弦稳态分析）求y2;
………………
4) 时域叠加：y(t)= Y0 + y1 + y2 + y3 + y4 + ……
例：图示电路中 us (t) = 40 + 180 coswt + 60 cos(3wt + 45)
二、非正弦周期函数的有效值
若 u(wt) = U0 + Ukm cos(kwt + k ) k =1
则： U =
U
2 0
+ U12
+

非正弦周期电流电路分析

非正弦周期电流电路分析简介非正弦周期电流电路是一种电路，其中电流的波形不是正弦曲线。

这种电路通常由非线性元件或者非理想元件构成，导致电流波形发生变化。

本文将对非正弦周期电流电路进行分析，探讨其中的特点和应用。

非正弦周期电流的产生非正弦周期电流可以由多种方式产生，包括以下几种常见情况：1.非线性元件的非线性特性导致电流波形变化。

例如，二极管在反向偏置时会产生非线性特性，导致电流波形不是正弦曲线。

2.非理想元件的特性导致电流波形变化。

例如，电感元件的饱和和饱和恢复会导致电流波形非正弦。

3.控制信号或输入信号的特性导致电流波形变化。

例如，方波、脉冲或其他非正弦的控制信号输入到电路中时，会引起电流波形的变化。

非正弦周期电流的特点非正弦周期电流具有以下几个特点：1.波形失真：由于非线性元件或非理想元件的特性，非正弦周期电流的波形会失真。

这种失真包括高次谐波的增加或者波形畸变。

2.频谱分布：非正弦周期电流的频谱分布比正弦电流更加复杂。

由于波形的非线性和不规则，频谱中会包含多个谐波成分。

3.能量损耗：非正弦周期电流的能量损耗比正弦电流更大。

由于电流波形的非正弦特性，导致电路中存在额外的损耗。

4.信号干扰：非正弦周期电流会产生更多的信号干扰。

由于频谱中存在多个谐波成分，这些谐波会干扰其他电路或设备的正常运行。

非正弦周期电流电路分析方法对于非正弦周期电流电路的分析，可以采用以下方法：1.线性电路分析：首先将非正弦周期电流分解为多个谐波成分，然后对每个谐波成分进行线性电路分析。

通过将各个谐波成分的响应叠加，可以得到整个非正弦周期电流电路的响应。

2.时域分析：使用时域分析方法，通过观察电流波形的变化来理解非正弦周期电流电路的工作情况。

这种方法适用于简单的电路，可以直接观察电流波形的特点。

3.频域分析：使用频域分析方法，对非正弦周期电流的频谱进行分析。

通过观察频谱中的谐波成分，可以了解电流波形的非正弦特性。

4.仿真分析：使用电路仿真软件，对非正弦周期电流电路进行仿真分析。

非正弦周期交流电路

解由公式可知，等效正弦电流的有效值为
I ( 0.8)2 (0.25)2 0.593 A
2
2
平均功率为
P
U1I1
cos
1
311 2
0.8 2
cos 85
10.8
W
正弦电压与等效正弦电流之间的相位差为
arc
cos
P UI
arc
cos
10.8 311 0.593
85.2
2
例方波信号激励的电路。
U0 RI S0
20 78 .5106
1.57 mV
IS0
R u0
2. 基波作用 is1 100 sin106 t μ A
20Ω R
为了便于分析与计算，通常可将非正弦周期电压和电
流用等效正弦电压和电流来代替。等效的条件是：等
效正弦量的有效值应等于已知非正弦周期量的有效值，
等效正弦量的频率应等于非正弦周期量的基波的频率，
用等效正弦量代替非正弦周期电压和电流后，其功率
必须等于电路的实际功率。这样等效代替之后，就可
以用相量表示。等效正弦电压与电流之间的相位差应
cos
k
d
1 2
[sin(k
0
1)
sin(k
1)]d
1 2
[
cos(k 1) k 1
cos(k 1) k 1
]0
11 k 1 k 1
2 k2 1
即
Ckm
4Um (k2 1)
0
( k为偶数) ( k为奇数)
A0
2Um
Bkm 0
Ckm
4Um (k2 1)
( k为偶数)
可得
k

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5.1 非正弦周期量的分解
5.1.2周期函数与傅里叶级数
凡是满足狄利克雷条件的周期函数都可以分解为傅里叶
级数，电工中遇到的周期函数都是满足狄利克雷条件的。
f(t)
a0 2
Hale Waihona Puke (akk 1cos k t
bk
sin k t )
其中
f(t ) A0 Ak sin(k t ψk ) k 1
5.1 非正弦周期量的分解
2.周期函数为偶函数
满足f(t)＝f(-t)的周期函数称为偶函数，如图5.1.5所
示的半波整流波，其波形对两于纵轴。半波整流、全波整流
波都是偶函数。它们的傅里叶级数展开式中bk＝0，即无正弦谐波分量，可表示为
f
(t)
a0 2
ak k 1
cos kt
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式中，无直流分量，无偶次谐波，只含奇次谐波，因而称此种函数为奇谐波函数。
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5.1 非正弦周期量的分解
综上所述，根据周期函数的对称性，不仅可预先判断它包含的谐波分量的类型，定性地判定哪些谐波不存在(这在工程上常常是要用到的)，并且使傅里叶系数的计算得到简化。傅里叶级数展开式中存在的谐波分量的系数仍可用式(5.1.2) 计算确定。
5.1 非正弦周期量的分解
3.周期函数为奇谐波函数
满足
f
(t)
f
(t
T 2
)
的周期函数称为奇谐波函数，其波形特
点是：将函数f ( t )波形移动半个周期后(图中虚线)，与原
函数波形对称于横轴，即镜像对称。矩形波、梯形波、三角
波都是奇谐波函数，它们的傅里叶级数展开式表示为
f (t) (ak cos kt bk sin kt) k 1
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5.1 非正弦周期量的分解
非正弦周期电流产生的原因很多，通常有以下三种情况： 1.采用非正弦交流电源。如方波发生器，锯齿波发生器等脉冲信号源，输出的电压就是非正弦周期电压。 2.同电路中有不同频率的电源共同作用。 3.电路中存在非线性元件。如图5.1.2所示的二极管整流电路就是这样。
I rect
1 T
T
0
i dt
对上下半周期对称的周期电流，则有
I rect
2 T
T
2
0
i dt
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5.3 非正弦周期电流电路中的平均功率
平均功率
非正弦周期性电流电路中，不同次（包括零次）谐波电压、电流虽然构成瞬时功率，但不构成平均功率；只有同次谐波电压、电流才构成平均功率；电路的功率等于各次谐波功率（包括直流分量，其功率为U0I0）的和。
A0
a0 2
Ak ak2 bk2
ψk arc
tan
ak
bk
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5.1 非正弦周期量的分解
一个周期函数可分解为直流分量、基波及各次谐波之和。若要确定各分量，则需计算确定各分量的振幅Ak和初相位。由式(5.1.2)、式(5.1.4)可知，确定周期函数f ( t )的各分量，实质上是计算傅里叶系数a0，ak，bk的值。
续表
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表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
续表
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图5.1.3谐波合成示意图
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图5.1.4矩形波的振幅频谱
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图5.1.5奇谐波函数
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在这里所指的平均功率只适用于同频率的非正弦电压和电流，电路消耗的平均功率为
P
U0I0
U1I1
cos
1
U2I2
cos
2
U3I3
cos
3
返回
图5.1.1 几种常见的非正弦交流电
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图5.1.2 二极管整流电路
返回
表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
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表5.1几种典型周期函数的傅立叶级数
如果周期函数f（t）同时具有两种对称性，则在它的傅里叶级数展开式中也应兼有两种对称的特点。
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.2.1电压、电流的有效值
非正弦周期信号的有效值定义与正弦波一样。如果一个非正弦周期电流流经电阻R时，电阻上产生的热量和一个直流电流I流经同一电阻R时，在同样时间内所产生的热量相同，这个直流电流的数值I，叫做该非正弦电流的有效值。周期电流、周期电压的有效恒等于它们的方均根值。
第5章非正弦交流电路
5.1 非正弦周期量的分解 5.2 非正弦周期量的有效值 5.3 非正弦周期电流电路中的平均功率
5.1 非正弦周期量的分解
5.1.1非正弦周期量的产生
在电工技术中，除了正弦激励和响应外，还会遇到非正弦激励和响应；且当电路中有几个不同频率的正弦激励时，响应一般也是非正弦的；电力工程中应用的正弦激励只是近似的，因为发电机产生的电压虽力求按正弦规律变动，但由于制造等方面的原因，其电压波形是周期变化的，但与正弦波形或多或少会有差别。由于发电机和变压器等主要设备中都存在非正弦周期电流或电压，分析电力系统的工作状态时，有时也需考虑这些周期电流、电压因其波形与正弦波的差异而带来的影响。
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5.1 非正弦周期量的分解
1.周期函数为奇函数满足f(t)＝-f(t)的周期函数称为奇函数，其波形对称于原点。矩形波、梯形波、三角波都是奇函数。它们的傅里叶级数展开式中，a0=0，ak=0，即无直流分量，无余弦谐波分量，表示为：
f (t) bk sin kt k 1
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5.1 非正弦周期量的分解
为了直观地表示一个周期函数分解为各次谐波后，其中包含哪些频率分量及各分量占有多大比重，可画出如图5.1.4 所示频谱图，用横坐标表示各谐波的频率，用纵坐标方向的线段长度表示各次谐波振幅的大小。这种频谱只表示各谐波振幅，所以称为振幅频谱。
工程中常见的非正弦波具有某种对称性，波的对称性与傅里叶系数有密切关系。对某非正弦波进行傅里叶分解时，可先根据波的对称性，直观地判断出某些谐波分量存在与否，从而可简化傅里叶级数分解计算。
将周期函数f ( t )分解为直流分量、基波和一系列不同频率的各次谐波分量之和，称为谐波分析。它可以利用公式 (5.1.1)～(5.1.4)进行分析，但工程上更多的是利用查表法进行分析。表5.1.1列出了电工技术中常遇到的几种周期函数的博里叶级数展开式。
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5.1 非正弦周期量的分解
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5.1 非正弦周期量的分解
在电子设备、自动控制等技术领域大量应用的脉冲电路中，电压和电流的波形也都是非正弦的，图5.1.1(a)、(b)、（c）就是几种常见的非正弦交流电波形。
上述各种激励与响应的波形虽然各不相同，但如果它们都是按一定规律周而复始地变化着，故则称为非正弦周期量。不按正弦规律做周期性变化的电流或电压，称为非正弦周期电流或电压。
傅里叶级数是一个收敛级数，理论上应取无限多项方能准确表示出原非正弦周期函数，但在实际工程计算时只取有限的几项，项取多少可根据工程所需精度而定。如表5.1.1中矩形波傅里叶展开式中，若取式中前三项，即取到5次谐波，并分别画出各谐波的曲线然后相加，得到如图5.1.3a)所示曲线，可以看出，合成曲线与方波相差较大。若取展开式中前4 项．即取到7次谐波，其合成曲线如图5.1.3b)所示，就更接近方波了。
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5.2 非正弦周期量的有效值
周期量的有效值等于它的各次谐波(包括直流分量，其有效值即为I0)有效值的平方和的平方根。周期量的有效值与各次谐波的初相无关，它不是等于而是小于各次谐波有效值的和。
I
I2 0
I2 1
I
2 2
I
2 k
U
U2 0
U2 1
U
2 2
U2 k
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5.2 非正弦周期量的有效值
5.2.2电压、电流的平均值
除有效值外，对非正弦周期量还引用平均值。非正弦周期量的平均值是它的直流分量，以电流为例，其平均值
I av
1 T
T
0
idt
I0
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5.2 非正弦周期量的有效值
对于一个在一周期内有正、负的周期量，其平均值可能很小，甚至为零。为了对周期量进行测量和分析(如整流效果)，常把交流量的绝对值在一个周期内的平均值定义为整流平均值，以电流为例，其整流平均值