3.3 正弦交流电的相量表示法

i i 1
i2
t

O
② 不同频率的正弦量比较无意义。
3.3 正弦量的相量表示法
１.正弦量的表示方法 波形图
O
u
ωt
瞬时值表达式 相量
u U msin( t )
必须 小写
Uψ U
重点
前两种不便于运算，重点介绍相量表示法。
2.正弦量用旋转有向线段表示
设正弦量: u Umsin( t ψ ) y u u0ω
+j
A
设相量
， 将逆时针旋转 90 ，得到 B A 乘以 e -j90 ， 相量 A 将顺时针旋转 90 ，得到C A
jψ A re 乘以 e j 90 相量 A
ψ
o
+1
C
正误判断
u 220 sin(ω t 45)V
220 U 45 V？ 2
u i i u
u i
ψ1 ψ2 90 电流超前电压90
i u

O
ωt
O 90°
ωt
电压与电流同相 u i u i O
ψ1 ψ2 0
ψ1 ψ2 180
电压与电流反相 u i u i O
ωt
ωt
注意: ① 两同频率的正弦量之间的相位差为常数， 与计时的选择起点无关。
0
2
+j
A

2
r
a
+1
式中: a r cos ψ
b r sin ψ
(2) 三角式
r a b 复数的模 b ψ arctan 复数的辐角 a
A r cos ψ j r sin ψ r (cos ψ j sin ψ )
欧拉公式
e
jψ
cos ψ j sin ψ
A re (4) 极坐标式 A r ψ
如：已知 u 220sin(ω t 45)V 220 j45 j45 U 220 e V e V 则 m 或U 2
⑥“j”的数学意义和物理意义 j 90 旋转 90 因子：
e
e
j90
cos 90 j sin 90 j
B
求：i i1 i2 。
i2 11 2 sin(314t 60 )A
12.7( cos 30 j sin 30 )A 11( cos 60 j sin 60 )A (16.5 - j3.18)A 16.8 10.9 A
有效值 I =16.8 A
U e U ψ U m m m
jψ
相量的模=正弦量的最大值
相量辐角=正弦量的初相角
注意:
电压的幅值相量
①Hale Waihona Puke 量只是表示正弦量，而不等于正弦量。
i I msin(ω t ψ ) = Ime
？
I
jψ
Im ψ
②只有正弦量才能用相量表示， 非正弦量不能用相量表示。 ③只有同频率的正弦量才能画在同一相量图上。
• j45
1.已知：
3.已知：
复数 j30 I 4e A
4 2 sin (ω t 30 )A ？
瞬时值
有效值
45 Um 220 e V？
4.已知：
10 60A 2.已知： I
i 10 sin ( ω t 60 )A ？
最大值
100 15V U
O
u1
x
O
Um
ω t1
ψ
ωt
若:有向线段长度 = U m 有向线段与横轴夹角 = 初相位 有向线段以速度ω 按逆时针方向旋转 则:该旋转有向线段每一瞬时在纵轴上的投影即表示 相应时刻正弦量的瞬时值。
3. 正弦量的相量表示
实质：用复数表示正弦量 复数表示形式 设A为复数: (1) 代数式 A =a + jb b
i 16.8 2 sin( 314 t 10.9 ) A
负号 U 100 V ？
100 e U
j15
V？
例1: 将 u1、u2 用相量表示
u1 220 2 sin(ω t 20 ) V
u2 110 2 sin(ω t 45) V
解: (1) 相量式
+j
U 2
U 1
+1
220 20V U 1 110 45 V U 2
(2) 相量图
落后于U U 2 1
U 2
45 20
超前 落后 U 1 ？
例2: 已知 i1 12 .7 2 sin (314 t 30 )A
12.7 30A I 1 11 60A I 2 I I 12.7 30A 11 60A I 1 2
(3) 指数式
jψ
A a jb r cos j r sin re r ψ
jψ
相量: 表示正弦量的复数称相量 设正弦量: u U msin( ω t ψ ) 相量表示:
Ue U
jψ
U ψ
相量的模=正弦量的有效值 相量辐角=正弦量的初相角
电压的有效值相量
或：

U
④相量的两种表示形式
Ue jψ U ψ U ( cos ψ jsinψ) 相量式: U
相量图: 把相量表示在复平面的图形
可不画坐标轴

I
U
⑤相量的书写方式 、 I 模用最大值表示 ，则用符号： U m m
、 实际应用中，模多采用有效值，符号： U I
相位差
两同频率的正弦量之间的初相位之差。 如： u Umsin(ω t
ψ1 )
i Imsin( ω t ψ2 )
( t 1 ) ( t 2 ) u ψ1 ψ2
若
i
u
ψ1 ψ2 0
i ωt
电压超前电流
O

ψ1 ψ2 0 电流超前电压