应用概率统计综合作业三

应用概率统计综合作业三《应用概率统计》综合作业三一、填空题（每小题2分，共20分） 1．在天平上重复称量一重为a 的物品，测量结果为1X ，2X ，…，nX ，各次结果相互独立且服从正态分布)2.0,(2a N ，各次称量结果的算术平均值记为nX ，为使95.0)1.0(≥<-a X P n，则n 的值最小应取自然数16 .2．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体)4,(2μN 的容量为10的简单随机样本，2S 为样本方差，已知1.0)(2=>a s P ，则a = 1 .3．设随机变量Y 服从自由度为n 的t 分布，则随机变量2Y 服从自由度为 （1，n ） 的F 分布.4．设总体X 服从正态分布),12(2σN ，抽取容量为25的简单随机样本，测得样本方差为57.52=S，则样本均值X 小于12.5的概率为 4/25 . 5．从正态分布),(2σμN 中随机抽取容量为16的随机样本，且σμ,未知，则概率=⎪⎪⎭⎫⎝⎛≤041.222σS P1 .6．设总体X 的密度函数为⎩⎨⎧<<+=，其他，0，10 ， )1()，(x x x f a αα其中1->α，1X ，2X ，…，n X 是取自总体X 的随机样本，则参数α的极大似然估计值为.7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知而2σ已知，为使总体均值μ的置信度为α-1的置信区间的长度等于L ，则需抽取的样本容量n 最少为u=(x-u0)×sqrt(n)/σ.8．设某种零件的直径（mm ）服从正态分布)，(2σμN ，从这批零件中随机地抽取16个零件，测得样本均值为075.12=X ，样本方差00244.02=S，则均值μ的置信度为0.95的置信区间为 ：（1025.75-21.315，1025.75+21.315）=（1004.435，1047.065）．.9．在假设检验中，若2σ未知，原假设0： μμ=H ，备择假设1： μμ>H 时，检验的拒绝域为.10．一大企业雇用的员工人数非常多，为了探讨员工的工龄X （年）对员工的月薪Y （百元）的影响，随机抽访了25名员工，并由记录结果得：∑==251100i iX，∑==2512000i i Y ，∑==2512510i iX，∑==2519650i ii Y X ，则Y 对X 的线性回归方程为 y = 11.47＋2.62x .二、选择题（每小题2分，共20分）1．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体),0(~2σN X 的一个简单随机样本，X为其样本均值，令212)(σ∑=-=ni iX XY ，则Y ～（ D ）（A ）)1(2-n χ （B ）)(2n χ（C ）),(σμN （D ）),(2nN σμ2．设1X ，2X ，…，nX 是来自正态总体),(~2σμN X 的简单随机样本，X 为样本均值，记（ ）∑=--=ni i X X n S 1221)(11，∑=-=ni i X X n S 1222)(1，∑=--=ni i X n S 1223)(11μ，∑=-=ni i X n S 1224)(1μ，则服从自由度为1-n 的t 分布的随机变量是（ B ）（A ）1/1--=n S X T μ （B ）1/2--=n S X T μ （C ）nS X T /3μ-=（D ）nS X T /4μ-=3．设1X ，2X ，3X ，4X 是来自正态总体)2,(~2μN X 的简单随机样本，若令2432212)43()2(X X X X a Y-+-=，则当2Y 服从2χ分布时，必有（ D ）（A ）91=a ；1441=b （B ）1441=a ；91=b（C ）1001=a ；201=b （D ）201=a ；1001=b4．设简单随机样本1X ，2X ，…，nX 来自于正态总体),(~2σμN X ，则样本的二阶原点矩∑==n i iX n A 1221的数学期望为（ D ）（A ）241σ （B ）221σ （C ）2σ （D ）22σ5．设随机变量X 服从自由度为（n ，n ）的F 分布，已知α满足条件05.0)(=>αX P ，则)1(α>X P 的值为（C ）（A ）0.025 （B ）0.05 （C ）0.95 （D ）0.9756．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，nX是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，则μ的)%1(100α-的置信区间（A ） （A ）（nSzX 2α-，nS zX 2α+） （B ）（nSn tX )1(2--α，nS n t X )1(2-+α）（C ）（nzX σα2-，nz X σα2+） （D ）（nS n tX )(2α-，nSn t X )(2α+）7．设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，其中μ未知，2σ未知，1X ，2X ，…，nX 是简单随机样本，记∑==ni iX n X 11，则当μ的置信区间为（nz X σ05.0-，nzX σ05.0+）时，其置信水平为（ C ）（A ）0.90 （B ）0.95 （C ）0.975 （D ）0.058．从总体中抽取简单随机样本1X ，2X ，3X ，易证估计量3211613121ˆX X X ++=μ，3212414121ˆX X X ++=μ 3213613131ˆX X X ++=μ，3214525251ˆX X X ++=μ均是总体均值μ的无偏估计量，则其中最有效的估计量是（ B ）（A ）1ˆμ（B ）2ˆμ （C ）3ˆμ （D ）4ˆμ9．从一批零件中随机地抽取100件测量其直径，测得平均直径为5.2cm ，标准差为1.6cm ，现想知道这批零件的直径是否符合标准5cm ，采用t 检验法，并取统计量为10/6.12.5-=X t ，则在显著性水平α下，其接受域为（ D ） （A ）)99(2αtt < （B ）)100(2αtt < （C ） )99(2αtt ≥ （D ）)100(2αt t ≥10．在假设检验中，方差2σ已知，0： μμ=H （ B ）（A ）若备择假设1： μμ≠H ，则其拒绝域为)2(/10αμ-≥-=n t nS X T（B ）若备择假设1： μμ≠H ，则其拒绝域为2/ασμu n X U ≥-=（C ）若备择假设1： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U ≥-=/0（D ）若备择假设1： μμ>H ，则其拒绝域为ασμu nX U -≤-=/0三、（10分）现有一批种子，其中良种数占61，从中任选6000粒，问能从0.99的概率保证其中良种所占的比例与61相差多少？这时相应的良种数在哪一个范围？解答：这个问题属于“二项分布”，且n=6000, p=1/6。

故μ=E(X)=np=6000x1/6=1000, D(X)=σ²＝np(1-p)=6000x(1/6)x(1-1/6)=833.33。

切比雪夫不等式为P{|X-μ|<ε}≥1-σ²/ε²。

我们取 ε=6000 x (1/100)=60粒。

所以，P{|X-μ|<ε}≥1－833.33/60² = 1-833.33/3600 = 0.7685。

换句话说，“任意选出6000粒种子的良种比例与1/6相比上下不超过1/100的概率”大于等于0.7685。

这个概率（0.7685）不算很低，也就是说，良种比例与1/6相比很可能不超过1／100。

四、（10分）设总体X服从正态分布),(2σμN ，假如要以99%的概率保证偏差1.0<-μX ，试问：在2.02=σ时，样本容量n 应取多大？五、（10分）设总体X服从0-1分布：xx q p x X P -==1)(，1.0=x ；其中10<<p ，p q -=1，从总体X 中抽取样本1X ，2X ，…，nX ，求样本均值X 的期望和方差、样本方差2S 的期望.解答：E （ΣXi)=ΣE(Xi)=nE(X)=np E[（ΣXi)/n]=[ΣE(Xi)]/n=E(X)=pD[（ΣXi)/n]=[ΣD(Xi)]/n 2=D(X)/n=p(1-p)/n六、（10分）某商店为了解居民对某种商品的需求，调查了100家住户，得出每户每月平均需要量为10kg ，方差为9.设居民对某种商品的需求量服从正态分布，如果此种商品供应该地区10 000户居民，在01.0=α下，试求居民对该种商品的平均需求量进行区间估计；并依此考虑最少要准备多少商品才能以0.99的概率满足需要？七、（10分）某种零件的长度服从正态分布，它过去的均值为20.0现换了新材料，为此从产品中随机抽取8个样品，测量长度为：20.0 20. 0 20.1 20.0 20.2 20.3 19.8 20.2问用新材料做的零件的平均长度是否起了变化（05.0=α）？解答：(1)因为样本数据在20.0上下波动，所以x 甲˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02，x 乙˙¯¯¯¯¯¯=0.210+20.0=20.02，S 2甲=110[0.34−10×(0.210)2]=0.0336(mm 2)S 2乙=110[0.52−10×(0.210)2]=0.0516(mm 2)八、（10分）设总体X 服从正态分布)，(2σμN ，1X ，2X ，…，nX 是从X 中抽取的简单随机样本，其中μ，2σ未知，选择常数c ，使统计量∑-=+-=1121)(n i i i X Xc T 是2σ的无偏估计量.。