2007试卷及其答案-信号统计分析

3T 期
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两种假设下， y ( t ) 的对数似然比为
ln λ ( y ( t ) ) = ln =
f ( y (t ) / H0 )
f ( y ( t ) / H1 )
3T 2 ⎧ 3T 1 3T 2 ⎫ 2 ⎨ ∫0 y ( t ) s1 ( t ) dt − ∫0 y ( t ) s0 ( t ) dt + ∫0 ( s0 ( t ) − s1 ( t ) ) dt ⎬ N0 ⎩ 2 ⎭
（×） （√） （×）
6. 在高斯信号中检测二元已知信号，当两信号反相时，错误概率达到最小。 （×） 7. 匹配滤波器的输出信噪比仅与信号能量、白噪声的谱密度及分布特性有关，而 与信号的波形无关。 8. 广义匹配滤波器可通过白化滤波器和匹配滤波器级联而成。 9. 最小二乘估计采用的是使均方误差最小的准则。 10. 维纳滤波实质是一种最小均方误差估计。 二．考虑三元假设检验问题： H1 : y (t ) = 1 + n(t ) H 2 : y (t ) = 2 + n(t ) H 3 : y (t ) = 3 + n(t ) 其中 n(t ) 是零均值、 方差为 σ 2 的高斯噪声， 假设各假设的先验概率相等， 请利用 N 个独立观测样本，求最小错误概率准则下的判决规则和平均错误概率。 （10 分） （×） （√） （×） （√）
0 H0
3T
H1
∫
3T
0
y ( t ) s0 ( t ) dt ≷ 0
H1
H0
（1 分）
则最佳接收机框图如下：
×
y (t )
s1 ( t )
∫
3T
0
+
比较
−
0 ≤ t ≤ 3T
判决
≷
H
H
1
×
s0 ( t )
0
∫
3T
0
V T =0
（2 分）
或：
2007--2008 学年第一学期
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⎛ 1 f ( y ( t ) / H 0 ) = F exp ⎜ − ⎝ N0 ⎛ 1 f ( y ( t ) / H1 ) = F exp ⎜ − ⎝ N0
+1
0
T
2T
3T
s1 ( t ) 0
−1
∫ ( y (t ) − s (t ))
3T 0 0
2
⎞ dt ⎟ ⎠ ⎞ dt ⎟ ⎠
∫ ( y (t ) − s (t ))
2007--2008 学年第一学期
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1 解：1）已知 P ( H i ) = , ( i = 1, 2,3) ，有最小错误概率准则， 3 f (Y H j ) f (Y H i ) > 1, ( i, j = 1, 2,3 i ≠ j ) 判为 H i
（2 分）
N 个独立观测样本的概率分布，
1 N
∑y
j =1
N
j
，其概率分布为
1
⎛ ( G − 1)2 ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 f ( G H1 ) = ⎜ − ⎟ ⎟ exp ⎜ 2 ⎜ 2σ 2 N ⎟ ⎝ 2π σ N ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ( G − 2 )2 ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 f (G H 2 ) = ⎜ − ⎟ ⎟ exp ⎜ 2 ⎜ 2σ 2 N ⎟ ⎝ 2π σ N ⎠ ⎝ ⎠ ⎛ ( G − 3) 2 ⎞ ⎛ ⎞ 2 1 f (G H3 ) = ⎜ exp ⎜− ⎟ ⎟ 2 ⎜ 2σ 2 N ⎟ N 2 π σ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
2. 对于广义平稳的高斯噪声，只要确定了它的均值和相关函数，就能完全确定它 的所有统计特性。 （√）
3. 具有相同功率谱密度的平稳噪声，分别通过相同的线性时不变系统，其输出噪
声的功率谱随概率不同而不同。 4. 不论是实平稳还是复平稳的随机过程，其功率谱密度均为实函数。 5. 信号的预包络表示只适用于窄带信号。
N 2 2 ⎧ ⎛ N y 2 − ) ∑ ( y j − 1) ⎞ ⎪ ⎜ ∑( j ⎟ j =1 ⎪exp ⎜ − j =1 ⎟ >1 + ⎪ ⎜ ⎟ 2σ 2 2σ 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ N N 2 2 ⎞ ⎛ ⎪ y j − 2 ) ∑ ( y j − 3) ⎟ ( ∑ ⎜ ⎪ j =1 j =1 ⎟ >1 + ⎪exp ⎜ − 2 2 ⎜ ⎟ σ σ 2 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩ N 2 2 ⎧ ⎛ N y 3 − ) ∑ ( y j − 1) ⎞ ⎪ ⎜ ∑( j ⎟ j =1 ⎪exp ⎜ − j =1 ⎟ >1 + ⎪ ⎜ ⎟ 2σ 2 2σ 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎨ N N 2 2 ⎞ ⎛ ⎪ y j − 3) ∑ ( y j − 2 ) ⎟ ( ∑ ⎜ ⎪ j =1 j =1 ⎟ >1 + ⎪exp ⎜ − 2 2 ⎜ ⎟ σ σ 2 2 ⎪ ⎜ ⎟ ⎪ ⎝ ⎠ ⎩
0
3T
E {G H 0 } = −6T , Var {G H 0 } = 6TN 0 E {G H1} = 6T , Var {G H1} = 6TN 0
则概率密度函数为：
f (G H0 ) = f ( G H1 ) =
则
2 ⎧ 1 ⎪ ( G + 6T ) ⎫ ⎪ exp ⎨− 2 ⎬ 2π 6TN 0 ⎪ ⎩ 2 × 6 N0 ⎪ ⎭ 2 ⎧ 1 ⎪ ( G − 6T ) ⎫ ⎪ exp ⎨− ⎬ 2π 6TN 0 ⎪ ⎩ 2 × 6TN 0 ⎪ ⎭
判为 H 3
（3 分） 2007--2008 学年第一学期 第 2 页（共 14 页）
判决规则总结为
1 N
∑y
j =1
N
j
<
3 2 <
, 判为 H1
3 1 < 2 N 1 N
N
∑y
j =1 j
N
j
5 , 判为 H 2 2
, 判为 H 3
∑y
j =1
>
5 2
（2 分）
2）求平均错误概率 令统计量
G=
由对数似然比最小错误概率准则
∫
3T
0
y ( t ) s1 ( t ) dt − ∫
3T
0
y ( t ) s0 ( t ) dt ≷ VT
H0
H1
⎛ P ( H 0 ) ⎞ 1 3T 2 N − ∫ ( s0 ( t ) − s12 ( t ) ) dt VT = 0 ln ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ 2 ⎝ P ( H1 ) ⎠ 2 0
y (t )
0≤t ≤3T
×
s1 ( t )
∫
3T
比较
判 决≷
H
1
0
H
0
VT = 0
（2 分）
或：
y (t )
0≤t ≤3T
×
s0 ( t )
∫
3T
比较
≷ 判 决
H1
H0
0
VT = 0
或（上述相关接收机各自对应的匹配滤波器形式） ：
y (t )
s1 ( 3T − t ) 0 ≤ t ≤ 3T
t = 3T
（2 分）
1 1 1
三．考虑一个二元通信系统： （10 分）
+1
H 0 : y (t ) = s0 (t ) + n(t ) H1 : y (t ) = s1 (t ) + n(t )
， 0 ≤ t ≤ 3T
s0 ( t )
0
−1
其中信号 s 0 (t ), s1 (t ) 如图所示， n(t ) 是功率谱密 度为 N 0 / 2 的高斯白噪声。假设两种假设的先 验概率相等， 请按最小错误概率准则设计最佳 接收机，并计算 T / N 0 = 1 时的平均错误概率。 解：1）由有限带宽高斯白噪中随机信号的分布知
3 ⎧N ⎪∑ y j < 2 N ⎪ j =1 => ⎨ N ⎪ y < 2N ∑ j ⎪ ⎩ j =1
判为 H1
3 ⎧N ⎪∑ y j > 2 N ⎪ j =1 => ⎨ N ⎪ y <5N ∑ j 2 ⎪ ⎩ j =1
判为 H 2
⎧N ⎪∑ y j > 2N ⎪ j =1 => ⎨ N ⎪ y >5N ∑ j 2 ⎪ ⎩ j =1
H1
（2 分）
0≤t ≤3T
比较
VT = 0
判决
≷0
H0
（2 分）
2） T / N 0 = 1 时的平均错误概率
Pe = P ( D0 H1 ) P ( H1 ) + P ( D1 H 0 ) P ( H 0 ) = 1− Φ
(
(1 − ρ ) E
N0
)
（2 分）
取检验统计量为 G =
∫
3T
0
y ( t ) s1 ( t ) dt − ∫ y ( t ) s0 ( t ) dt ，有
0
H0
3T
H1
（1 分）
或
∵ ∫ y ( t ) s1 ( t ) dt − ∫
0
3T
3T
0
y ( t ) s0 ( t ) dt
= 2 ∫ y ( t ) s1 ( t ) dt
0
3T
=-2 ∫ y ( t ) s0 ( t ) dt
0
3T
∴ ∫ y ( t ) s1 ( t ) dt ≷ 0 或
（5 分）
平均错误概率可以表示为
Pe = ∑ (1 − P ( Di H i ) ) P ( H i )
i =1
3
（3 分）
2007--2008 学年第一学期