材料力学教材第十章(孙国钧)上交版

第十章 压杆稳定
杆件设计除了强度条件和刚度条件以外，另一种失效的形式是失稳。工程结构为了减 轻重量，需要采用薄壁的板、壳或细长杆桁架、网架等结构形式。这些结构受面内或轴向 压力时，失稳破坏起主导作用。工程师和力学工作者一直在致力于使结构减轻重量并且具 有良好的稳定性。这一章将推导各种边界支承条件下确定细长压杆失稳时临界力的欧拉公 式，建立压杆设计的稳定条件，介绍压杆稳定性分析的经验公式和折减系数法。
v( x) = a ⋅ sin
πx l
（10－4）
当 n=2,3, ...时， 同样能满足 sin(kl) = sin(nπ) = 0 的条件。 此时的失稳模态如图 10－5b 和 10－5c，对应的屈曲 压力为
(nπ ) 2 EI l2 理论上这些失稳形式可以存在，但是实际上当载荷达 到最低临界力时杆件已经失稳，所以两端铰支的压杆 临界力由式（10－3）确定。 式（10－4）表示的压杆屈曲模态为在（0,l）区间 的半个正弦波，其中 a 为杆中点（x=l/2）处的挠度， 它是一个不确定的系数。因为压杆微分方程（10－1） 式中的曲率使用的是小变形的近似公式，即 Fcr = 1
失稳模态曲线由式 （c） 确定。 根据式(d2)和 （d3） 可知系数
Hale Waihona Puke a=−αδk EI
3
,
b = −(1 −
αl
k 2 EI
)δ
（g） 252
下面考虑两种特殊情况： 。此时稳定方程（e） （1）弹簧刚度 α = 0 时，相当于上端自由下端固定的压杆（图 10－8a） 成为 tan kl = −∞ 其最小正根为
kl=π
(a)
kl=2π
(b)
kl=3π
(c)
图 10－5
ρ
≈
d 2v dx 2
这样得到的是二阶齐次常微分方程（10－2） 。作为特征值问题，方程的解是特征函数，其 幅值是不确定的。如图 10－6 中水平的虚线AC所示， F 失稳后挠度a 增加，但临界力 Fcr不变。小变形理论无 法作后屈曲分析。如果曲率采用精确公式表示，将得 B 到挠度的非线性方程
x F αδ F
x δ
v = a ⋅ sin kx + b ⋅ cos kx + δ [1 −
边界条件：
α
k EI
2
(l − x)] （c）
α
v l
x = 0 时， v(0) = 0 ,
dv dx
= 0；
x =0
F x
x = l 时， v(l ) = δ 。 利用式（c）及边界条件可以得到关于 a、b、δ 的 三个方程 αl 0 ⋅ a + 1 ⋅ b + (1 − 2 ) ⋅ δ = 0 （d1） k EI
EI
d 2v = M ( x) dx 2
（10－1）
对于图中建立的坐标系，弯矩是正的，挠度是负的，所以 249
M ( x) = − Fv
将上式代入式（10－1）得到
x F
d 2v Fv =− 2 EI dx
上式可以改写为
d 2v （10－2） + k 2v = 0 dx 2 F 式中 k 2 = 。这是一个二阶线性常微分方 EI 程，其通解为 （a） v = a ⋅ sin kx + b ⋅ cos kx 式中的待定常数 a 和 b 需要用杆端的边界条 件来确定。利用两端的挠度为零的边界条 件：当 x = 0 时，v = 0，代入式（a）得到 （b） 0 ⋅ a + 1⋅ b = 0 所以 b＝0，并且 v( x) = a ⋅ sin kx
*
所以方程（10－1）式成为
EI
或者写成
2
d 2v = M * − Fv dx 2
y
y 图 10－9
dv M* + k 2v = 2 dx EI
253
其中 k 2 =
F M* 。容易验证 v = 2 是上述微分方程的特解，所以解的一般形式为 k EI EI M* v = a ⋅ sin kx + b ⋅ cos kx + 2 k EI dv 从边界条件 x = 0 时， = 0 可知 a = 0 。从边界条件 v(0) = 0 和 v(l ) = 0 得到 dx x = 0 1 1⋅ b + 2 M * = 0 （a） k EI 1 cos kl ⋅ b + 2 M * = 0 （b） k EI
y (a)
o
y (b)
（d3） 为了求得非零解，要求上述线性方程组的系数行列式为零：
⋅δ = 0 k 2 EI sin kl ⋅ a + cos kl ⋅ b + 0 ⋅ δ = 0 k ⋅a + 0⋅b +
0 k 1 0 1−
α
（d2）
图 10－7
αl α
2
F
k EI =0
2
F Q*
sin kl cos kl
(kl )min =
所以 k 2 =
π 2
F π2 ，根据式（f） ，临界力 = 2 4l EI π2 EI Fcr = 4l 2 由式（g）可知 a = 0, b = −δ ，所以模态曲线为 v = δ (1 − cos kx)
（10－5）
。稳定方程（e） （2）弹簧刚度 α = ∞ 时，相当于上端铰支，下端固定的压杆（图 10－8b） 成为 tan kl = kl 最小根为 (kl ) min = 4.493 。所以临界力
于 A 点形成的力矩为 2kδ ⋅ l ，这个力矩使刚性杆回复到原位置，称为恢复力矩。当 F<2kl 时， F δ < 2klδ ，即恢复力矩大于倾覆力矩。弹簧可以使杆恢复原平衡位置，系统处于稳 定平衡状态。当 F＝2kl 时，Fδ＝2klδ，恢复力矩与倾覆力矩相等，系统处于随遇平衡状态。 理论上此时杆顶可以偏离原位处于任何微小的δ位置。当 F>2kl 时， F δ > 2 klδ 。此时倾覆 力矩大于恢复力矩，系统处于不稳定平衡，任何微小的扰动都会使杆子失稳。 Fcr = 2kl 称 为系统的临界载荷（critical load） 。 上面是一个很简单的弹性稳定的例子。这个例子中的恢复力矩是由外部的弹簧提供 的。而许多实际情况中，弹性恢复作用是由构件本身提供的。工程中有很多可能引起结构 失稳的实例。例如，图 10－3a 所示悬臂薄腹深梁，在端部垂直力作用下可能发生侧向失 稳；图 10－3b 所示下端固支的细长杆，受垂直载荷作用下也可能失稳。还有桁架中的受 压杆，受面内压力的薄板、薄壳都可能失稳。使这类构件失稳的临界载荷也称为屈曲载荷 （buckling load） 。 F
§10－2 细长压杆的临界力
对于细长压杆，临界力是压杆保持原有直线状态稳定平衡的极限载荷。为了确定临界 力，可以从研究偏离直线状态，产生微弯曲变形的梁的平衡入手。应用梁弯曲理论可以导 出压杆的临界力的计算公式。临界力的大小与杆端支承条件有密切关系。 一、两端铰支压杆的临界力 如图 10－4 所示， 一根两端铰支的细长杆， 假定杆内的应力没有超过材料的比例极限。 在沿轴向长度 x 处，截取分离体，截面上的内力矩与轴力 F 对截面中心形成的力矩平衡。 根据梁的曲率与弯矩的关系可知
l v
F M
x y 图 10－4 y F
当 x = l 时，v = 0，代入式（a）得到 sin kl ⋅ a + cos kl ⋅ b = 0 （c） 式（b）和（c）是关于系数 a 和 b 的齐次方程。为了求出 v 的非零解，要求方程（b）和 （c）的系数行列式为零：
0 sin kl
1 cos kl
dθ d 2 v / dx 2 M = = = 2 3/ 2 EI ρ ds [1 + (dv / dx) ] 1
Fcr
A
C D
通过大挠度几何关系分析，可以求出屈曲后的压力与 中点挠度 a 的关系如图 10－6 中的曲线 OAB 所示。另 a O 一方面，实际的压杆，一般会有各种“缺陷”存在。 图 10－6 例如，载荷作用的位置总会有微小的偏心，不可能象 理论上要求的，正好作用在杆的形心上；杆由于制造 精度，其轴线不可能是理论上的直线，等等。所以实验曲线将如图中曲线 OD 所示，一开 始就有微小挠度，到接近临界值时，挠度迅速增加。 二、一端固支压杆的临界力 现在来考虑图 10－7（a）所示的压杆，它的一端固定，另一端侧向支承在一个线性弹 簧上，弹簧刚度为α。坐标原点设在固定端。假定在微弯状态下自由端的挠度为δ。坐标 x 处的弯矩为（图 10―7b） M ( x) = F (δ − v) − αδ (l − x) 微分方程（10－1）成为 251
k EI 0
展开后得到稳定方程为
( kl )3 （e） EI αl3 这是关于 kl 的非线性方程，一般情况下可 以用求解非线性方程的计算机程序求根。 假设求 得 kl 的最小根为 ( kl ) min ，那么杆的临界力为 tan kl = kl −
l
Fcr = (kl )min 2
EI l2
（f） (a) 图 10－8 (b)
=0
sin kl = 0 即 为满足上式，应该使
kl = nπ
因为 k 2 =
(n = 0,1,2,3,L )
或
F ，所以要求 EI F n 2 π2 = k2 = 2 EI l 2 2 n π EI F= l2
n = 0,1,2,3,…
上式 n=1 时对应的 F 值是最小非零解，即压杆屈曲的临界压力 π2 EI （10－3） Fcr = 2 l 这就是压杆稳定的欧拉公式， Fcr表示两端铰支的压杆的临界承载力。 相应的失稳模态为 （图 10－5a） 250
EI π2 EI （10－6） ≈ l 2 (0.7l ) 2 由于上端是固定铰支，即 δ = 0 。假设上端由支座产生的的侧向约束力为 Q*。在式（g） 和（c）中令 δ = 0, αδ = Q * ，可以导出模态曲线为 Fcr = (4.493) 2