数学物理方法课件：1-复变函数
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第01章_复变函数
a ib
a cos cos(2 ) cos(3 ) cos( n )
sin(n 1/ 2) sin( / 2) 2sin( / 2)
b sin sin(2 ) sin(3 ) sin(n )
WangChengyou © Shandong University, Weihai
(cos isin ) e i
1 i i cos (e e ) 2
(二) 无限远点 N 无限远点 A z S
1 i i sin (e e ) 2i
黎曼(Riemann) 复数球 球面
有限远点
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
17
ei /2 (ei( n 1/2) ei /2 ) W i /2 i /2 i /2 e (e e )
cos(n 1/ 2) i sin(n 1/ 2) cos( / 2) i sin( / 2) 2i sin( / 2)
WangChengyou © Shandong University, Weihai
数学物理方法
第1章 复变函数
14
例：计算 W a ib 解：令 z a ib z (cos i sin )
z a 2 ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ2
1/2
W a ib z (cos i sin )
Argz
x
y
Argz 2kπ
(k 0, 1, 2,)
r
Argz
x
0 arg z 2π
01_复变函数
→周期 2π →模可以大于1 周期 2πi
§1.3 导数
复变函数导数的定义 函数w=f(z)定义于区域D，z0为D内一点，点z0+∆z∈D， f (z0 +∆z) − f (z0 ) lim 如果极限 ∆z→0 存在，则称函数f(z)在点z0可导，此 ∆z 极限值称为f(z)在点z0的导数，记
f ′(z0 ) = f (z0 +∆z) − f (z0 ) dw |z=z = lim ∆z→0 dz ∆z
f ′( z0 ) = lim
∆w ∆w i(ϕ −θ ) |e ) = lim(| ∆z → 0 ∆z → 0 ∆z ∆z
∆w = w - w 0 =| ∆w| ei ϕ
导数的模
| f ′( z0 ) |= lim ∆z → 0
导数的幅角 arg f ′( z0 ) = ϕ − θ
| ∆w| | ∆z |
§1.1 复数与复数运算
实数领域中不能解释的问题：
负数不能开偶数次方，负数没有对数，指数函数无周期 性，正弦、余弦函数的绝对值不能超过1，……
十九世纪的三位代表性人物： 柯西(Cauchy，1789－1857) 维尔斯特拉斯(Weierstrass,1815-1897) 黎曼(Rieman，1826－1866)
数学物理方法
实验⇔唯象理论⇔基本理论⇔数学 17世纪；分裂；有机结合。 数学物理方法: 构建数学物理模型，研究解决方法。 数学和物理的有机结合。 1.复变函数篇 2.数学物理方程篇
第一篇
复变函数论
第一章、复变函数 第二章、复变函数的积分 第三章、幂级数展开 第四章、留数定理 第五章、傅里叶变换 第六章、拉普拉斯变换
a0 + a1 z + a2 z 2 + a0 + a1 z + a2 z 2 + b0 + b1 z + b2 z 2 + z − a; z s = e s ln z ; ez ;
复变函数 全套课件
不存 . 在
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
证 (一) 令zxiy, 则f(z) x , x2y2
u(x,y) x , v(x,y)0, x2y2
当 z沿直 y线 kx 趋于, 零时
lim u(x,y)lim x lim x
x0 ykx
x0 ykx
x2y2
x0 x2 (kx)2
29
lim x
1 ,
x0 x2(1k2)
1 k2
随k值的变化而变, 化
2
s i n 2 z c o s 2 z 1 ,但 s i n z ,c o s z 不 是 有 界 函 数 .
n
n
(k 0 ,1 ,2 , ,n 1 ) 在几何 ,n z的 上 n个值就是以原 ,n r点 为为 半中 径 的圆的内 n边 接形 正 n个 的顶. 点
单连通域与多连通域
从几何上看，单连通域就是无洞、无割痕 的域.
5
复变函数的概念
复变w与 函 自数 变 z之 量 间的 wf(关 z) 系 相当于两 : 个关系式
《复变函数》
第一讲 复数及其代数运算
两复数相等当且仅当它们的实部和虚 部分别相等.
复数 z 等于0当且仅当它的实部和虚部 同时等于0. 说明 两个数如果都是实数,可以比较它们的 大小, 如果不全是实数, 就不能比较大小, 也就 是说, 复数不能比较大小.
2
辐角的主值
在 z ( 0 )的,辐 把 角 π 满 0 π 中 的 足 0 称 A z 为 的 r,g 记 主 0 作 a 值 z .rg
设 zxiy,
x y 2 ii x y 2 i,化简后得 yx.
(2)Im(iz)4
设 zxiy,
i z x ( 1 y )i,Ii m z ) 1 ( y 4 ,
1. 复变函数
4. 外z0为点E：的如外果点z0。及其邻域的所有点都不属于E，那么称 5. 不的境属内界于点点E，：点也如，不果则是在称Ez0z的的0 外为邻点该域。点内境集，界的既点境有的界属全点于体；E的称它点作既，境不也界是有线E 。
6. 区域的定义：平面点集B称为一个区域，如果它满足 下列两个条件：I. B是开集，或者说B完全由内点组 成；II. B是连通的。
sin z = 1 (eiz − e−iz ), 2i
cos z = 1 (eiz + e−iz ); 2
sinh z = 1 (ez − e−z ), 2
cosh z = 1 (ez + e−z ); 2
注意：|sin z|和|cos z|可以大于1.
3. 根式函数：
根式函数是 多值函数！
z = r ⎜⎛ cos θ + 2 kπ + i sin θ + 2 kπ ⎟⎞
2. 解析与可导的关系；函数在某点解析，则必在该点 可导；反之不然。在区域B内的解析函数必在B内 可导。
3. 称函数的不解析点为奇点。 4. 解析函数的充分必要条件：函数 f(z) 在区域B内解
析，当且仅当 A. 实部和虚部在B内可导； B. 实部和虚部在B内每一点满足柯西-黎曼条件。
• （二）解析函数的主要性质
第一篇 复变函数论 第二篇 数学物理方程
第一章 复变函数
§1.1 复数及运算 §1.2 复变函数 §1.3 复变函数的导数 §1.4 解析函数 §1.5 平面标量场
§1.1 复数及运算
• （一）复数的概念：
1. 形如z=x+iy的数被称为复数，其中i为虚数单位，x ,
y∈R。 2. x=Rez，y=Imz分别为z的实部和虚部。
数学物理方法 第一章 复变函数
z1
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
z2
i=e
iπ
iπ / 2
e +1 = 0
This identity is particularly remarkable as it involves e, π, i, 1 and 0, arguably the five Leonhard Eular (1707-1783) Swiss most important constants in 4 mathematician, mathematics.
复数除法图示二
y z2
z1 z= z2
z1
|λ | | z | = | z 2 | | z1 | | λ |= 1 | z1 | | z |= | z2 |
ρ=1
ϕ 2- ϕ 1 ∆ o z2 λ ≈ ∆ o z1 z
o
λ x
z （杨超）13451827646
13
指数运算
z =ρ e
n n inϕ
= ρ (cos nϕ + i sin nϕ ) , 特别当 ρ = 1,
n
e inϕ = (e iϕ ) n = (cos ϕ + i sin ϕ ) n = cos nϕ + i sin nϕ
根式运算
n
z= ρe
n n
[
i(ϕ + 2 kπ )
]
1 n
=n ρ e
i
( ϕ + 2 kπ ) n
ϕ + 2 kπ ϕ + 2 kπ = ρ cos + i sin n n k = 0, 1, 2, ... , n - 1
2 2
(for 0 ≤ ϕ 0 < 2π ) (for 0 ≤ ϕ 0 < π ) (for π ≤ ϕ 0 < 2π )
第一章 复变函数
a ≡ ( a ,0) ≡ a (1,0)
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
(1, 0) 代表实数1，(0, 1) 称作虚单位，记作 i ，即
i = (0,1)
α = (a, b) = a(1,0) + b(0,1) = a + ib
基本运算法则
z1 = x1 + iy1
加减法法则： z1 ± z2 乘法法则：
z2 = x2 + iy2
n→∞
一个序列的极限必然是此序列的聚点，而且是唯一的聚点。
1.3 复变函数
定义 点集的内点
若以某一点为圆心做一个圆，只要半径足够小，使圆 内所有点属于该点集，称此点为点集的内点。
定义
区域
同时满足下列两个条件的点集。 （1）全部都由内点组成 （2）具有连通性——点集中任意两点都可以用一条 折线连接起来，这线上的点全都属于此点集。
称这一对有序实数 (a, b ) 定义了一个复数 α，记作
α = (a , b ) = a (1,0) + b(0,1)
a = Re α 为的实部，b = Im α 为的虚部。
两个复数相等指这两个复数的实部和虚部分别相等。 复数不能比较大小。
？ 实数↔复数
定义 实数集 R 是复数集 C 的一个子集。 实数 a（当然可以称作复数 α ）记为
= ( x1 ± x2 ) + i( y1 ± y2 )
z1 ⋅ z2 = ( x1 + iy1 )( x2 + iy2 ) = x1 x2 + x1iy2 + iy1 x2 + iy1iy2 = ( x1 x2 − y1 y2 ) + i( x1 y2 + y1 x2 )
除法法则：
z1 x1 + iy1 ( x1 + iy1 )( x2 − iy2 ) = = z 2 x2 + iy2 ( x2 + iy 2 )( x2 − iy 2 ) ( x1 x2 − y1 y2 ) + i ( x1 y2 + y1 x2 ) = 2 2 x2 + y 2 x2 y1 − y2 x1 x1 x2 + y1 y2 = +i 2 2 2 2 x2 + y 2 x2 + y 2
数学物理方法课件《第一章 复变函数》
Argz=Argz2-Argz1
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
z z2 z1 r：
1 )
一 般 地 a rg ( z 1 / z 2 ) a rg z 1 a rg z 2
§1.1.3 复数的乘幂与方根
1. 复数的乘幂 2.复数的方根
1.复数的乘幂
定义 n个相同的复数z 的乘积，称为z 的n次幂， 记作z n，即z n=zzz（共n个）。
4
2 k )
2e
2
2 k ) i sin (
2
2
2k ) e
2 k )
1 co s( 0 2 k ) i sin ( 0 2 k ) e
i ( 0 2 k ) i ( 2 k )
2 2[co s( 2 k ) i sin ( 2 k )] 2 e
1 i 1 i
(1 i )(1 i ) (1 i )(1 i )
i
§1.1.2 复数的表示方法
1. 点的表示
2. 向量表示法 3. 三角表示法
4. 指数表示法
1. 点的表示
易见， z x iy 一对有序实数
在平面上取定直角坐标 系，则 ( x, y)
( x , y ),
任意点 P ( x , y ) 一对有序实数 z x iy 平面上的点
P( x, y)
复数 z x iy 可用平面上坐标为 此时，轴 — 实轴 x
y 轴 — 虚轴
( x ， y )的点 P 表示 .
平面 — 复平面或 z 平面
点的表示：z x iy 复平面上的点 ( x，y ) P
数学物理方法课件-1 复数与复变函数
sin z sinx iy
sin x cosiy cosx sin iy
sin x ey e y cos x ey e y
2
2i
sin2 x ey e y 2 cos2 x ey e y 2
4
4
1 sin 2 x e2 y 2 e2 y cos2 x e2y 2 e2y 2
所有的无穷大复数（平面上无限远点）投影到唯一的北极 N。故我们为 方便，将无穷远点看作一个点。其模无穷大，幅角无意义。
§1.2 复变函数
1. 定义
zz0
邻域
以复数 z0 为圆心，以任意小实数 为半径
作一圆，则圆内所有点的集合称为z0的邻域.
内点
z0 和它的邻域都属于 E， 则 z0 为 E 的内点。
(2) 极坐标
x cos y sin
z x iy cos i sin 复数的极坐标表示
模 幅角, Argz x2 y2
arctg( y / x)
由于三角函数的周期性，复数的幅角不唯一，且 彼此相差2π的整数倍.
)
,
lim
zz0
g(z)
g ( z0 ),则
lim [ f (z) g(z)]
zz0
f (z0) g(z0)
lim
zz0
f (z)g(z)
f
(z0 )g(z0 )
lim f (z) f (z0 ) zz0 g(z) g(z0 )
(g(z0 ) 0)
§1.4 可导与可微
第一章 复数与复变函数
§1.1 复数与复数运算 1. 复数的基本概念
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n
z
n
ei / n
n
i argz2k
e n ,
k 0,1,2n 1
例： 4 1 i
1 i
2 cos i sin
i
2e 4
4
4
2k
2k
4 1 i 8 2cos 4
i sin 4
,
4
4
(k 0,1,2,3)
9
w0
8
2 cos
16
i sin
16
w2
8
2 cos17
本章首先引入复数的概念及其运算、 平面点集的概念。然后讨论复变函数的连 续性，重点研究解析函数。
3
§1.1 复数与复数运算
（一）复数的概念 1.复数：形如 z= x+ i y 的数被称为复数，其中x ,
y∈R。x=Rez，y=Imz分别为 z 的实部和虚部，i为
虚数单位，其意义为i2=-1
复数相等：z1=z2当且仅当Rez1= Rez2且Imz1= Imz1
绪论
“数学物理方法”研究物理问题中遇到的数学方 程的求解方法。本课程在高等数学和普通物理 学的基础上论述数学物理中的常用方法，为后 续的理论物理课和专业课做准备。
课程的主要内容有：复变函数论和数学物理方程 两大部分。
1
绪论
教材与参考书： ➢ 梁昆淼，《数学物理方法》（第四版），高等教育出版社，
2010年 ➢ 斯颂乐，徐世良等《数学物理方法习题解答》，天津科学
z x iy
代数式
y
z(x, y) cos i sin (三角式)
ei
（指数式）
O
x
x2 y2 z
Argz,
tg y
x
,模 ，辐角（多值）
Argz arg z 2k. k 0,1,2,
辐角主值：0 arg z 2
注意：在三角表示和指数表示下，两个复数相等当 且仅当模相等且辐角相差2kπ。 零点与无穷远点：复平面上有些个点比较特殊,比如:
两边的实部虚部分别相等，有
cos 3 =cos33cos sin2 sin 3 =3cos2 sinsin3
11
本节作业：第6页 1（ 2，3，8 ）画出图即可； 2（3，7）； 3（2，3）。
12
§1.2 复变函数
（一）复变函数的定义
若在复数平面（或球面）上存在一个点集E（复数 的集合），对于E的每一点（每一个z值），按照 一定的规律，有一个或多个复数值w与之相对应， 则称w为z的函数——复变函数。z 称为w的宗量 （自变量），定义域为E，记作
解：根据 e i=cos+i sin，有 ei n =cos n+isin n 另一方面 ei n=(cos+isinn 故有： (cos+isinn =cos n+isin n 狄莫夫公式
令 n=3，可得
cos 3+isin 3 =(cos+isin3 =cos33icos2 sin3cos sin2isin3
x1x2 x22
y1 y2 y22
i
x2 y1 x1 y2 x22 y22
e 1 ii(12 ) 2
2 0
距离不等式: z1 z2 z1 z2 z1 z2 z1 z2 8
对给定的复数z, 方程wn =z (n为整数) 的解w 称为z
的n 次方根, 记做 n z
或
1
zn
.
共有n个不同的解。
说明：复变函数ω=f(z)可以看作是z平面到ω平
面上的一个映射。
z平面
ω=f(z)
ω平面
14
（二）区域的概念
邻域 以z0为圆心，以任意小正数ε为半径作一圆， 则圆内所有点的集合称为z0的邻域。
内点 z0及其邻域均属于点集E，z0叫作E的内点。
外点 z0及其邻域均不属于点集E， z0叫作E的外点。
境界线 若z0及其邻域内既 有属于E的点，也有不属于 E的点， z0为境界点，境界 点的全体称为境界线。 沿境界线的正方向行走时， 区域始终在左侧。
16
i sin 17
16
w1
8
2 cos 9
16
i sin 9
16
w3
8
2cos 25
16
i sin
25
16
1
一般情况下, n z z n n个根就是以原点为中心、
1
半径为 n的圆的内接正多边 形的n个顶点所表示的复数.
10
例:试将cos3和sin3展开为cos 和sin 的多项式
技术出版社，1982年 ➢ 姚端正、梁家宝，《数学物理方法》，武汉大学出版社，
1997年 ➢ 姚端正，《数学物理方法学习指导》，科学出版社，
2001年 ➢ 胡嗣柱、倪光炯，《数学物理方法》，高等教育出版社，
2002年 ➢ 胡嗣柱、徐建军，《数学物理方法解题指导》，高等教育
出版社，1997年
2
第一章 复变函数
边界
区域
z0
邻域
z1
z2
P
边界点
15
区域：满足下列两个条件的点集
开集性：全部由内点组成； 具有连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接， 且折线上的点属于该点集。
设 z1 x1 iy1 1ei1
z2 x2 iy2 2ei2
z1 z2 (x1 x2 ) i( y1 y2 )
z1
z2
( x1 x2
y1 y2 ) i(x1 y2
x2 y1)
ei(12 ) 12
12cos(1 2 ) i sin(1 2 )
z1 z2
x1 iy1 x2 iy2
w f (z) u(x, y) iv(x, y) z E z x iy
一个复变函数只不过是两个二元实变函数的有序 组合。因此复变函数的许多性质都是实变函数相 应性质的直接推广。
13
说明：如果z的一个值对应着ω的唯一一个值，
那么我们称f(z)是单值的；如果z的一个值对应着 多个ω的值，那么我们称f(z)是多值函数。
复数共轭：复数z= x+ i y与z*= x- i y互为共轭（实 部相等，虚部差一负号）
z*z x2 y2
复数不能比较大小。 4
2.复数的三种表示：
复平面：由实轴(x轴) 、虚轴( y轴)按直角坐标系构 成的平面( z平面) ，复数z= x+ iy与复平面上点z(x,y) 一一对应。复数与(x,y)平面中的矢量可以类比。
零点和无穷远点. (1)复数零的辐角无意义,模为0。 (2)无穷远点的模为∞,辐角没有意义.关于无穷远点 的定义需要借助测地投影法。
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复球面：复数平面上任意一点与复数球上(除N点外)的 一点对应；当球面上的点离北极 N 越近,它所表示的 复数的模越大，北极 N 点代表无穷远点。
无穷远点
3.复数的运算：