量子力学-第四版-卷一-(曾谨言-著)习题答案第4章-2
量子力学 第四版 卷一(曾谨言 著) 答案----第4章-2
ˆ 的本征态下， L x = L y = 0 。（提示：利用 L y L z − Lz L y = iL x ，求平均。） 4.29 证明在 L z
证：设 ψ 是 L z 的本征态，本征值为 m ，即 L z ψ
= m ψ
∴
[L
y
, L z = L y L z − L z L y = iL x ， 1 Ψ Ly Lz Ψ i 1 = m Ψ Ly Ψ i
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 ； 2 4 0
)
1 L x 取 − 的振幅为 1 − 2
总几率为 C1
2
(
1 2 C 2 1 C1 0 = 1 ，相应的几率为 C1 。 2 4 0
)
2） L x 在 l = 2 的空间， L2 , L z 对角化表象中的矩阵 利用
1 − 2 1 6a ， d = − 2a ， e = a ，本征矢为 6 ，在 C 2Y20 态下，测得 L x = − 2 的 4 − 2 1
将它们代入（3）就得到前一法（考虑 l x , l y 对称）得到相同的结果。
l x2 =
1 [(l + m)(l − m + 1) 2 + (l − m)(l + m + 1) 2 ] 4 1 = [l (l + 1) − m 2 ] 2 2
ˆ lˆ , lˆ lˆ 没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。第二种方法运用角动量一般理论，这 又从（4）式看出，由于 l + + − −
2
将上式在 lm 态下求平均，因 Lz 作用于 lm 或 lm 后均变成本征值 m ，使得后两项对平均值的贡献互相抵 消，因此 又
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案曾谨言量子力学练习题答案量子力学是现代物理学的重要分支之一，其研究对象是微观粒子的行为规律。
曾谨言是一位著名的物理学家，他在量子力学领域有着杰出的贡献。
在学习量子力学的过程中，我们常常会遇到一些练习题，以下是曾谨言量子力学练习题的答案。
1. 问题：在双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后，在屏幕上形成干涉条纹。
如果将其中一个狭缝完全堵住，干涉条纹会发生什么变化？答案：当一个狭缝被堵住时，干涉条纹会消失，屏幕上只会出现一个单缝的衍射图样。
这是因为双缝干涉实验中，光子通过两个狭缝后会形成波的叠加，产生干涉现象。
而当一个狭缝被堵住时，只有一个光子通过，无法产生干涉。
2. 问题：在量子力学中，什么是波函数？答案：波函数是量子力学中描述微观粒子状态的数学函数。
它可以用来计算粒子在空间中的位置、动量等物理量的概率分布。
波函数的平方模的积分表示了粒子在某一位置的概率密度。
3. 问题：什么是量子纠缠？答案：量子纠缠是量子力学中一种特殊的现象，当两个或多个粒子发生相互作用后，它们的状态将无法被单独描述，而是成为一个整体系统的状态。
即使这些粒子之间距离很远，它们的状态仍然是相互关联的。
这种关联关系在量子通信和量子计算中有着重要的应用。
4. 问题：什么是量子隧穿？答案：量子隧穿是指微观粒子在经典力学中无法通过的势垒或势阱，在量子力学中却有一定概率穿越的现象。
这是由于量子力学中粒子的波粒二象性，粒子具有波动性质，可以在势垒或势阱的两侧存在一定的概率分布。
5. 问题：什么是量子比特？答案：量子比特，简称量子位或qubit，是量子计算中的基本单位。
与经典计算中的比特不同，量子比特可以同时处于多个状态的叠加态，这种叠加态可以通过量子门操作进行处理和控制，从而实现量子计算的优势。
以上是曾谨言量子力学练习题的答案。
量子力学作为一门复杂而又精密的学科，需要我们通过理论和练习来加深对其原理和应用的理解。
希望这些答案能够帮助大家更好地掌握量子力学的知识，并在学习和研究中取得更进一步的突破。
曾谨言量子力学练习题答案
曾谨言量子力学练习题答案量子力学是物理学中描述微观粒子行为的一门基础理论，它在20世纪初由普朗克、爱因斯坦、波尔、薛定谔、海森堡等科学家共同发展起来。
曾谨言教授的量子力学练习题是帮助学生深入理解量子力学概念和计算方法的重要工具。
以下是一些练习题及其答案的示例：练习题1：波函数的归一化某粒子的波函数为 \( \psi(x) = A \sin(kx) \)，其中 \( A \) 和\( k \) 是常数。
求波函数的归一化常数 \( A \)。
答案：波函数的归一化条件为 \( \int |\psi(x)|^2 dx = 1 \)。
将\( \psi(x) \) 代入归一化条件中，得到：\[ \int |A \sin(kx)|^2 dx = 1 \]\[ A^2 \int \sin^2(kx) dx = 1 \]利用三角恒等式 \( \sin^2(kx) = \frac{1 - \cos(2kx)}{2} \)，积分变为：\[ A^2 \int \frac{1 - \cos(2kx)}{2} dx = 1 \]\[ A^2 \left[ \frac{x}{2} - \frac{\sin(2kx)}{4k} \right] = 1 \]由于波函数在 \( x = 0 \) 到 \( x = \frac{\pi}{k} \) 之间归一化，所以：\[ A^2 \left[ \frac{\pi}{2k} - 0 \right] = 1 \]\[ A = \sqrt{\frac{2k}{\pi}} \]练习题2：薛定谔方程的解考虑一个一维无限深势阱，其势能 \( V(x) = 0 \) 当 \( 0 < x < a \)，\( V(x) = \infty \) 其他情况下。
求粒子的能级。
答案：在无限深势阱中，薛定谔方程为：\[ -\frac{\hbar^2}{2m} \frac{d^2\psi(x)}{dx^2} = E\psi(x) \]设 \( \psi(x) = \sin(kx) \)，其中 \( k = \frac{n\pi}{a} \)，\( n \) 为正整数。
曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
曾谨言量子力学(卷I)第四版(科学出版社)2007年1月...
曾谨言《量子力学》（卷I ）第四版（科学出版社）2007年1月摘录第三版序言我认为一个好的高校教师，不应只满足于传授知识，而应着重培养学生如何思考问题、提出问题和解决问题。
这里涉及到科学上的继承和创新的关系。
“继往”中是一种手段，而目的只能是“开来”。
讲课虽不必要完全按照历史的发展线索讲，但有必要充分展开这种矛盾，让学生自己去思考，自己去设想一个解决矛盾的方案。
要真正贯彻启发式教学，教师有必要进行教学与科学研究。
而教学研究既有教学法的研究，便更实质性的是教学内容的研究。
从教学法来讲，教师讲述一个新概念和新原理时，应力求符合初学者的认识过程。
在教学内容上，至少对于像量子力学这样的现代物理课程来讲，我信为还有很多问题并未搞得很清楚，很值得研究。
量子力学涉及物质运动形式和规律的根本变革.20世纪前的经典物理学(经典力学、电动力学、热力学与统计物理学等)，只适用于描述一般宏观从物质波的驻波条件自然得出角动量量子化的条件及自然理解为什么束缚态的能量是量子化的：P17~18；人类对光的认识的发展历史把原来人们长期把物质粒子看作经典粒子而没有发现错误的启发作用：P18；康普顿实验对玻尔电子轨道概念的否定及得出“无限精确地跟踪一个电子是不可能的”：P21；在矩阵力学的建立过程中，玻尔的对应原理思想起了重要的作用；波动力学严于德布罗意物质波的思想：P21；微观粒子波粒二象性的准确含义：P29；电子的双缝衍射实验对理解电子波为几率波的作用：P31在非相对论条件下（没有粒子的产生与湮灭），概率波正确地把物质粒子的波动性与粒子性联系起来，也是在此条件下，有波函数的归一化及归一化不随时间变化的结果：P32；经典波没有归一化的要领，这也是概率波与经典波的区别之一：P32；波函数归一化不影响概率分布：P32多粒子体系波函数的物理意义表明：物质粒子的波动性并不是在三维空间中某种实在的物理量的波动现象，而一般说来是多维的位形空间中的概率波。
曾谨言--量子力学习题及解答
dv ， 1
（1） （2） （3）
v c ， v dv v d ，
dv d c d v ( ) d ( ) v c
8hc 5
1 e
hc kT
, 1
1
这里的 的物理意义是黑体内波长介于λ与λ+dλ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时， 取得极大值，因此，就得要求 对λ的一阶导数为零， 由此可求得相应的λ的值，记作 m 。但要注意的是，还需要验证 对λ的二阶导数在 m 处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的 m 就是要求的，具体如下：
2
k
2 E
2
k
cos 2d (2 ) cos d ,
2 E
k
这里 =2θ，这样，就有
2
A B E
k
d sin 0
（2）
根据式（1）和（2） ，便有
A E
这样，便有
k n h 2
E
k
E
n h 2 k
nh
其中 h
k
,
h 2
最后，对此解作一点讨论。首先，注意到谐振子的能量被量子化了；其次，这量子化的 能量是等间隔分布的。 （2）当电子在均匀磁场中作圆周运动时，有
R p qBR
2
qB
这时，玻尔——索末菲的量子化条件就为
又因为动能耐 E
p2 ，所以，有 2
2
2 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（ E 动 e c ） ，那么
量子力学第4章(曾谨言)
15
ˆ ˆ 例题：求x、p x 和H在一维谐振子能量表象中的 矩阵表示。 【解】同理可得 p jk ia ( (k 1) / 2 j ,k 1 k / 2 j ,k 1 ) ( p jk ) ia 0 1/ 2 0 0 . 1/ 2 0 2/2 0 . 0 2/2 0 3/ 2 . . 0 . 3 / 2 . 0 . . . 0
已知a和a可以通过幺正变换相联系，即a Sa, S11 幺正矩阵S ( Sk ) S 21 . S12 S 22 . . . , Sk ( , k ) .
可以证明，矩阵L ( Lkj )和L ( L )可以通过 幺正矩阵S相变换：L SLS 1
因此，在离散表象中量子力学的诸方程的 形式如下：
20
1 ，两态正交： 0 (1)态的归一：
(2)力学量的平均值(若 已归一）
F F (3)本征方程： F ,
，
d H(t ), (4)Schrodinger方程： i dt
以上各式中的乘法均理解为矩阵（包括列、 行矢量）乘法。
c( p, t ) ( x )( x, t )dx,
p
( x)
p
1 i exp px 2
( x, t ) 和 c( p, t )
可以互求，它们包含同样多的信息。 称这样做是变换到了动量表象，
3
2 一般情形。力学量 Q ，本征值离散，本征集为 {q1 , q2 , } ，本征函数系为 {u1 ( x ), u2 ( x ), } 则波函数可以本征函数展开
( x, t ) an (t )un ( x),
量子力学——第四章作业参考答案
( p × l − l × p )x ，
2 ( p × l − l × p)y ， ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦ z = i ( p × l − l × p ) z ，因此
同理 ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦y = i
i
2 ( p × l − l × p) = ⎡ ⎣l , p ⎤ ⎦。
3.10 证明： （a） pr =
可见， ( r × l − l × r ) = r × l − l × r ， r × l − l × r 为厄米算符。
+
3.3
证明：一维情况下，由 x 和 p 的对易关系 [ x, p ] = i ， 可得 从而
（6） （7）
xp = i + px ， px = xp − i
，
m −1 n m n +1 [ p, F ] = ∑ Cmn ( px m p n − x m p n+1 ) = ∑ Cmn ⎡ ⎣( xp − i ) x p − x p ⎤ ⎦ m,n =0 ∞ m,n =0
∂ F。 ∂x
（8）
=
m ,n =0
mn
= −i
m,n =0
∑C
mn
mx m −1 p n = −i
同理，可得 [ x, F ] = i 3.4 证明：
∂ F。 ∂p
（9）
[ AB, C ] = ABC − CAB = ( ABC + ACB ) − ( ACB + CAB )
= A [ B, C ]+ − [ A, C ]+ B
（b） pr =
1⎛r r ⎞ 1 ⎡r r ⎛ r ⎞⎤ ⎜ i p + p i ⎟ = ⎢ i p + i p − i ⎜ ∇i ⎟ ⎥ 2⎝ r r ⎠ 2 ⎣r r ⎝ r ⎠⎦
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4.29——6.14.29证明在zL ˆ的本征态下，0==y x L L 。
（提示：利用x y z z y L i L L L L =-，求平均。
） 证：设ψ是z L 的本征态，本征值为 m ，即ψψ m L z=[]x L i =-=y z z y z y L L L L L ,L ，[]y L i =-=z x x z x z L L L L L ,L ，()()()0111 =-=-=-=∴ψψψψψψψψψψψψy y y z z y y z z y x L m L m i L L L L i L L L L i L同理有：0=y L 。
附带指出，虽然x l ˆ，y l ˆ在x l ˆ本征态中平均值是零，但乘积x l ˆyl ˆ的平均值不为零，能够证明：,212y x y x l l i m l l -==说明y x l l ˆˆ不是厄密的。
2ˆx l ，2ˆy l 的平均值见下题。
4.30 设粒子处于()ϕθ,lm Y 状态下，求()2x L ∆和()2yL ∆解：记本征态lm Y 为lm ，满足本征方程()lm l l lm L 221 +=，lm m lm L z =，lm m L lm z =，利用基本对易式 L i L L =⨯，可得算符关系 ()()x y z x z y x y z z y x x x L L L L L L L L L L L L L i L i -=-== 2()x y z z x y y x y z y z x y L L L L L L L i L L L L i L L L -+=-+=2将上式在lm 态下求平均，使得后两项对平均值的贡献互相抵消，因此 22yxLL =又()[]222221 m l l L L L zy x -+=-=+()[]2222121m l l L L yx-+==∴ 上题已证 0==y x L L 。
()()()[]2222222121m l l L L L L L L x x x xx x -+==-=-=∆∴同理 ()()[]222121m l l L y-+=∆。
（补白）若需要严格论证2x l 与2y l 的相等关系，可设yx l i l l ˆˆˆ+≡+ y x l i l l ˆˆˆ-≡- 于是有)ˆˆ(21ˆ-++=l l l x)ˆˆ(2ˆ+--=l l il y 求其符2ˆx l 的平方，用-+l l ˆˆ来表示：)ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41ˆ2--+--++++++=l l l l l l l l l x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41ˆ2--+++--+--+=l l l l l l l l l y再求它们在态im Y 中的平均值，在表示式中用标乘积符号时是))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2imim x Y l l l l l l l l Y l --+--++++++= （1） ))ˆˆˆˆˆˆˆˆ(41,(ˆ2imim y Y l l l l l l l l Y l --+++--+--+= （2） 或都改写成积分形式如下，积分是对空间立体角取范围的： Ω+++=⎰⎰Ω--+--+++*d Y l l l l l l l l Y l im im x )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412（3） Ω--+=⎰⎰Ω--+++--+*d Y l l l l l l l l Y l im im y )ˆˆˆˆˆˆˆˆ((412（4） 按角动量理论：1,)1)((ˆ++++-=m i imY m l m l Y l1,)1)((ˆ--+-+=m i im Y m l m l Y l （5）和正交归一化条件：m m i i im m i d Y Y ,,,'''''*=Ω⎰⎰δ （6）将运算公式（5）使用于（3）式的各项，得结果如下：0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰+*++*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数 0ˆˆ2,=Ω⨯=Ω⎰⎰⎰⎰-*--*d Y Y d Y l l Y m i im im im 常数2)1)((ˆˆ +-+=Ω⎰⎰-+*m l m l d Y l l Y imim 2)1)((ˆˆ ++-=Ω⎰⎰+-*m l m l d Y l l Yimim注意上述每一个积分的被积函数都要使用（5）的两个式子作重复运算，再代进积分式中，如：1,)1)((ˆˆˆ-+-++-+=m l im Y m l m l l Y l l1,ˆ)1)((-+⋅+-+=m l Y l m l m lm l Y m l m l m l m l ,1)1()][(1([)1)((⋅+-+--+-+=将它们代入（3）就得到前一法（考虑y x l l ,对称）得到相同的结果。
])1)(()1)([(41222++-++-+=m l m l m l m l l x 22])1([21m l l -+= 又从（4）式看出，由于--++l l l l ˆˆ,ˆˆ没有贡献，（3）（4）应有相同的结果。
第二种方法运用角动量一般理论，这在第四章中并没有准备知识，所以用本法解题不符合要求，只作为一种参考材料。
4.30——6.24.31——6.5，6.9，6.144.31设体系处于202111Y C Y C +=ψ状态（已归一化，即12221=+C C ），求 （a ）z L 的可能测值及平均值; （b ）2L 的可能测值及相应的几率； （c ）x L 的可能测值及相应的几率。
解：1121122 Y Y L =，2022026 Y Y L =；1111 Y Y L z =，20200 Y Y L z =。
（a ）由于ψ已归一化，故z L 的可能测值为 ，0，相应的几率为21C ，22C 。
平均值 21C L z =。
（b ）2L 的可能测值为22 ，26 ，相应的几率为21C ，22C 。
（c ）若1C ，2C 不为0，则x L （及y L ）的可能测值为： 2， ，0， -， 2-。
1）x L 在1=l 的空间，()z L L ,2对角化的表象中的矩阵是⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛010*******求本征矢并令1= ，则⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛c b a c b a λ010********， 得，a b λ2=，b c a λ2=+，c b λ2=。
1,0±=λ。
ⅰ）取0=λ，得a c b -== ,0，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-a a 0，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-10121。
ⅱ）取1=λ，得c a b 22==，本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛a a a 2，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛12121。
ⅲ）取1-=λ，得c a b 22-=-=，归一化后可得本征矢为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-12121。
在⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0011111C Y C 态下 ：x L 取0的振幅为()2001C 1012111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，x L 取0的几率为221C； x L 取 的振幅为()2001C 1212111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛，相应的几率为421C；x L 取 -的振幅为()2001C 1212111C =⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-，相应的几率为421C 。
总几率为21C2）x L 在2=l 的空间，()z L L ,2对角化表象中的矩阵 利用()()1211++-=+m j m j m j jm j x ()()1211+-+=-m j m j m j j m j x11222 =∴x j ，230212=x j ，231202=-x j ，12212=--x j 。
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=0100102300023023000230100010x L ，本征方程⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛e d c b a e d c b a λ010010230002302300023010001a b λ=，b c a λ=+23，()c d b λ=+23，d e c λ=+23，e d λ=，2,1,0±±=λ。
ⅰ）0=λ，0=b ，c a 23-=，0=d ，c e 23-=本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-10320183。
在⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=001002202C Y C 态下，测得0=x L 的振幅为。
几率为422C ；ⅱ）1=λ，a b =，0=c ，b d -=，e d =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101121。
在202Y C 态下，测得 =x L 的振幅为()01101121001002=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--C ，几率为0。
ⅲ）1-=λ，a b -=，0=c ，b d -=，d e -=，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--1101121，在202Y C 态下，测得 -=x L 几率为0。
ⅳ）2=λ，a b 2=，a c 6=，a e d 22==，a c e ==6，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛1262141，在202Y C 态下，测得2=x L 的振幅为()2246126214100100C C =⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛。
几率为2283C ； ⅴ）2-=λ，a b 2-=，a c 6=，a d 2-=，a e =，本征矢为⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--1262141，在202Y C 态下，测得 2-=x L 的几率为2283C 。
2222418383 C C =⎪⎭⎫⎝⎛++∴。
在202111Y C Y C +=ψ态中，测x L （和y L ）的可能值及几率分别为：222122212122834141214183202C C C C C C +--4.32求证在zˆl 的本征态下，角动量沿着与z 轴成θ的角度的方向上的分量的平均值是：θcos m 。
（解）角动量l ˆ沿着与z 成θ解的方向（此方向用单位矢S 表示，它不是唯一的，因由方位角ϕ给定），有一投影'ˆl，它的解析式是： θϕθϕθcos sin sin cos sin k j i s++=zy x z y x l l l k j i l k l j l i s l l ˆcos ˆsin sin ˆcos sin )cos sin sin cos sin ()ˆˆˆ('ˆθϕθϕθθϕθϕθ++=++⋅++=⋅= （1）计算在z l ˆ的本征态im Y 中角动量投影'ˆl的平均值： ΩθΩϕθΩϕθΩd Y l Y d Y l Y d Y l Y l im z imim y im im x im ⎰⎰⎰⎰⎰⎰⋅+⋅+=***)ˆ(sin )ˆsin (sin )ˆcos (sin ' （2） 式中ϕθθd d d sin =Ω 根据（29）题的结论，zl ˆ本征态下0x =l ，0=y l 故前一式 第一，二两个积分无贡献，由于：imim z Y m Y l =ˆ，因而θcos ' m l = （3）4.33设属于能级E 有三个简并态1ψ，2ψ和3ψ，彼此线形独立，但不正交，试利用它们构成一组彼此正交归一的波函数。