第九章习题详解
习题9
选择题
(1)正方形的两对角线处各放置电荷Q,另两对角线各放置电荷q,若Q所受到合力为零,
则Q与q的关系为:()
(A)Q=-23/2q (B) Q=23/2q (C) Q=-2q (D) Q=2q
[答案:A]
(2)下面说法正确的是:()
(A)若高斯面上的电场强度处处为零,则该面内必定没有净电荷;
(B)若高斯面内没有电荷,则该面上的电场强度必定处处为零;
(C)若高斯面上的电场强度处处不为零,则该面内必定有电荷;
(D)若高斯面内有电荷,则该面上的电场强度必定处处不为零。
[答案:A]
(3)一半径为R的导体球表面的面点荷密度为σ,则在距球面R处的电场强度()
(A)σ/ε0 (B)σ/2ε0 (C)σ/4ε0 (D)σ/8ε0
[答案:C]
(4)在电场中的导体内部的()
(A)电场和电势均为零;(B)电场不为零,电势均为零;
(C)电势和表面电势相等;(D)电势低于表面电势。
[答案:C]
填空题
(1)在静电场中,电势梯度不变的区域,电场强度必定为。
[答案:零]
(2)一个点电荷q放在立方体中心,则穿过某一表面的电通量为,若将点电荷由中
心向外移动至无限远,则总通量将。
[答案:q/6ε0, 将为零]
(3)电介质在电容器中作用(a)——(b)——。
[答案:(a)提高电容器的容量;(b) 延长电容器的使用寿命]
(4)电量Q均匀分布在半径为R的球体内,则球内球外的静电能之比。
[答案:1:5]
电量都是q的三个点电荷,分别放在正三角形的三个顶点.试问:(1)在这三角形的中心放一个什么样的电荷,就可以使这四个电荷都达到平衡(即每个电荷受其他三个电荷的库仑力之和都为零)?(2)这种平衡与三角形的边长有无关系?
解: 如题图示
(1) 以A处点电荷为研究对象,由力平衡知:q 为负电荷
2
220)3
3(π4130cos π412
a q q a q '=?εε
解得 q q 3
3-
=' (2)与三角形边长无关.
题图 题图
两小球的质量都是m ,都用长为l 的细绳挂在同一点,它们带有相同电量,静止时两线夹角为2θ,如题图所示.设小球的半径和线的质量都可以忽略不计,求每个小球所带的电量. 解: 如题图示
??
???
===22
0)sin 2(π41sin cos θεθθl q F T mg T e
解得 θπεθtan 4sin 20mg l q = 根据点电荷场强公式2
04r
q E πε=
,当被考察的场点距源点电荷很近(r →0)时,则场强→
∞,这是没有物理意义的,对此应如何理解?
解: 02
0π4r r q E ?
?
ε=
仅对点电荷成立,当0→r 时,带电体不能再视为点电荷,再用上式求
场强是错误的,实际带电体有一定形状大小,考虑电荷在带电体上的分布求出的场强不会是无限大.
在真空中有A ,B 两平行板,相对距离为d ,板面积为S ,其带电量分别为+q 和-q .则
这两板之间有相互作用力f ,有人说f =
2
024d q πε,又有人说,因为f =qE ,S
q
E 0ε=
,所以f =S
q 02
ε.试问这两种说法对吗?为什么? f 到底应等于多少?
解: 题中的两种说法均不对.第一种说法中把两带电板视为点电荷是不对的,第二种说法把
合场强S
q
E 0ε=
看成是一个带电板在另一带电板处的场强也是不对的.正确解答应为一个板的电场为S q
E 02ε=,另一板受它的作用力S
q S q
q f 02
022εε=
=,这是两板间相互作用的电场力.
长l =的直导线AB 上均匀地分布着线密度λ= C/m 的正电荷.试求:(1)在导线的延长线上与导线B 端相距1a =处P 点的场强;(2)在导线的垂直平分线上与导线中点相距2d = 处Q 点的场强.
解: 如题图所示
(1) 在带电直线上取线元x d ,其上电量q d 在P 点产生场强
为2
0)(d π41d x a x
E P -=
λε
2
22
)(d π4d x a x E E l l P P -=
=?
?-ελ
题图
]2
12
1[π40
l a l a +
--=
ελ
)
4(π2
2
0l a l
-=
ελ
用15=l cm ,9
10
0.5-?=λ1m C -?, 5.12=a cm 代入得
21074.6?=P E 1C N -? 方向水平向右
(2)同理
22
20d d π41d +=
x x
E Q λε 方向如题图所示
由于对称性?
=l Qx
E 0d ,即Q E ?
只有y 分量,
∵ 2
2
2
222
20d
d d d π41d ++=
x x x E Qy
λε
2
2π4d d ελ?==l
Qy
Qy E E ?
-+22
2
3
222)
d (d l l x x
=
以9
10
0.5-?=λ1cm C -?, 15=l cm ,5d 2=cm 代入得
21096.14?==Qy Q E E 1C N -?,方向沿y 轴正向
一个半径为R 的均匀带电半圆环,电荷线密度为λ,求环心处O 点的场强. 解: 如图在圆上取?Rd dl =
题图
?λλd d d R l q ==,它在O 点产生场强大小为 2
0π4d d R R E ε?
λ=
方向沿半径向外
则 ??ελ
?d sin π4sin d d 0R
E E x =
=
??ελ
?πd cos π4)cos(d d 0R
E E y -=
-=
积分R
R E x 000
π2d sin π4ελ
??ελπ
==
?
0d cos π400
=-=?
??ελ
π
R
E y
∴ R
E E x 0π2ελ
==,方向沿x 轴正向.
均匀带电的细线弯成正方形,边长为l ,总电量为q .(1)求这正方形轴线上离中心为r 处
的场强E ;(2)证明:在l r >>处,它相当于点电荷q 产生的场强E . 解: 如图示,正方形一条边上电荷
4
q
在P
点产生物强P E ?d 方向如图,大小为 ()
4
π4cos cos d 2
2021l r E P +
-=
εθθλ
∵ 2
2cos 2
21l r l +
=
θ
12cos cos θθ-=
∴ 2
4
π4d 2
22
20l r l l r E P +
+
=
ελ
P E ?
d 在垂直于平面上的分量βcos d d P E E =⊥
∴ 4
2
4
π4d 2
22
22
20l r r
l r l r l
E +
+
+
=
⊥ελ
题图
由于对称性,P 点场强沿OP 方向,大小为
2
)4(π44d 42
22
20l r l r lr
E E P ++
=
?=⊥ελ
∵ l
q 4=λ ∴ 2
)4(π42
22
20l r l r qr
E P ++
=
ε 方向沿
(1)点电荷q 位于一边长为a 的立方体中心,试求在该点电荷电场中穿过立方体的一个面的电通量;(2)如果该场源点电荷移动到该立方体的一个顶点上,这时穿过立方体各面的电通量是多少?
解: (1)由高斯定理0
d εq
S E s
?=???
立方体六个面,当q 在立方体中心时,每个面上电通量相等 ∴ 各面电通量0
6εq
e =
Φ. (2)电荷在顶点时,将立方体延伸为边长a 2的立方体,使q 处于边长a 2的立方体中心,则边长a 2的正方形上电通量0
6εq e =
Φ 对于边长a 的正方形,如果它不包含q 所在的顶点,则0
24εq
e =Φ, 如果它包含q 所在顶点则0=Φe .
如题图所示. 题 图
均匀带电球壳内半径6cm ,外半径10cm ,电荷体密度为2×5
10-C/m 3
求距球心5cm ,8cm ,12cm
各点的场强. 解: 高斯定理0
d ε∑?
=
?q S E s
?
?,0
2
π4ε∑=
q r
E
当5=r cm 时,0=∑q ,0=E ?
8=r cm 时,∑q 3
π4p
=3(r )3
内r - ∴ ()2023π43π4r r r E ερ
内-=
()
202
3π43π4r
r r E ερ内-=41048.3?≈1C N -?, 方向沿半径向外. 12=r cm 时,3
π4∑=ρ
q -3(外r )内3
r ∴ ()
4203
31010.4π43π4?≈-=
r
r r E ερ
内外 1C N -? 沿半径向外.
半径为1R 和2R (2R >1R )的两无限长同轴圆柱面,单位长度上分别带有电量λ和-λ,试求:(1)r <1R ;(2) 1R <r <2R ;(3) r >2R 处各点的场强.
解: 高斯定理0
d
ε∑?=?q
S E s
??
取同轴圆柱形高斯面,侧面积rl S π2=
则 rl E S E S
π2d =???
?
对(1) 1R r <
0,0==∑E q
(2) 21R r R << λl q =∑
∴ r
E 0π2ελ
=
沿径向向外
(3) 2R r >
=∑q
∴ 0=E
题图
两个无限大的平行平面都均匀带电,电荷的面密度分别为1σ和2σ,试求空间各处场强. 解: 如题图示,两带电平面均匀带电,电荷面密度分别为1σ与2σ, 两面间, n E ?
?
)(21210
σσε-=
1σ面外, n E ?
?)(21210
σσε+-= 2σ面外, n E ??
)(21210
σσε+=
n ?
:垂直于两平面由1σ面指为2σ面.
半径为R 的均匀带电球体内的电荷体密度为ρ,若在球内挖去一块半径为r <R 的小球
体,如题图所示.试求:两球心O 与O '点的场强,并证明小球空腔内的电场是均匀的. 解: 将此带电体看作带正电ρ的均匀球与带电ρ-的均匀小球的组合,见题图(a). (1) ρ+球在O 点产生电场010=E ?
,
ρ- 球在O 点产生电场
'd
π4π3430320OO r E ερ=? ∴ O 点电场'd
33
030OO r E ερ
=?; (2) ρ+在O '产生电场'd π4d 343
0301OO E ερπ=
'? ρ-球在O '产生电场002='E ?
∴ O ' 点电场 0
03ερ
=
'E ?'OO
题图(a) 题图(b)
(3)设空腔任一点P 相对O '的位矢为r ?
',相对O 点位矢为r ? (如题8-13(b)图)
则 0
3ερr
E PO ??=,
3ερr E O P '
-='??,
∴ 0
003'3)(3ερερερd
OO r r E E E O P PO P ?
?????=
='-=+=' ∴腔内场强是均匀的.
一电偶极子由q =×10-6
C 的两个异号点电荷组成,两电荷距离d=,把这电偶极子放在×105
N/C 的外电场中,求外电场作用于电偶极子上的最大力矩.
解: ∵ 电偶极子p ?
在外场E ?中受力矩
E p M ?
??
?=
∴ qlE pE M ==max 代入数字
4536max 100.2100.1102100.1---?=?????=M m N ?
两点电荷1q =×10-8
C ,2q =×10-8
C ,相距1r =42cm ,要把它们之间的距离变为2r =25cm ,需
作多少功? 解: ??
==?=
222
1
0212021π4π4d d r r r r q q r r q q r F A εε??)11(21
r r -
61055.6-?-=J
外力需作的功 6
1055.6-?-=-='A A J
题图
如题图所示,在A ,B 两点处放有电量分别为+q ,-q 的点电荷,AB 间距离为2R ,现将另一正试验点电荷0q 从O 点经过半圆弧移到C 点,求移动过程中电场力作的功. 解: 如题图示
0π41ε=
O U 0)(=-R
q
R q 0π41ε=
O U )3(R
q
R q -R q 0π6ε-
= ∴ R
q
q U U q A o C O 00π6)(ε=
-=
如题图所示的绝缘细线上均匀分布着线密度为λ的正电荷,两直导线的长度和半圆环的半径都等于R .试求环中心O 点处的场强和电势.
解: (1)由于电荷均匀分布与对称性,AB 和CD 段电荷在O 点产生的场强互相抵消,取θd d R l =
则θλd d R q =产生O 点E ?
d 如图,由于对称性,O 点场强沿y 轴负方向
题图
θεθ
λπ
π
cos π4d d 22
2
0??-==R R E E y
R 0π4ελ=
[)2sin(π-2
sin π
-]
R
0π2ελ
-=
(2) AB 电荷在O 点产生电势,以0=∞U
?
?===A
B
20
0012ln π4π4d π4d R R x x x x U ελελελ 同理CD 产生 2ln π40
2ελ
=
U 半圆环产生 0
034π4πελ
ελ==
R R U
∴ 0
032142ln π2ελελ+=
++=U U U U O
一电子绕一带均匀电荷的长直导线以2×104
m/s 的匀速率作圆周运动.求带电直线上的线电荷密度.(电子质量0m =×10-31
kg ,电子电量e =×10-19
C)
解: 设均匀带电直线电荷密度为λ,在电子轨道处场强
r
E 0π2ελ
=
电子受力大小 r
e eE F e 0π2ελ
=
= ∴ r
v m r e 2
0π2=ελ
得 132
0105.12π2-?==
e
mv ελ1m C -?
空气可以承受的场强的最大值为E =30 kV/cm ,超过这个数值时空气要发生火花放电.今有一高压平行板电容器,极板间距离为d =,求此电容器可承受的最高电压. 解: 平行板电容器内部近似为均匀电场 4
105.1d ?==E U V
证明:对于两个无限大的平行平面带电导体板(题图)来说,(1)相向的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相反;(2)相背的两面上,电荷的面密度总是大小相等而符号相同. 证: 如题图所示,设两导体A 、B 的四个平面均匀带电的电荷面密度依次为1σ,2σ,3σ,
4σ
题图
(1)则取与平面垂直且底面分别在A 、B 内部的闭合柱面为高斯面时,有
0)(d 32=?+=??S S E s
σσ?
?
∴ +2σ03=σ
说明相向两面上电荷面密度大小相等、符号相反;
(2)在A 内部任取一点P ,则其场强为零,并且它是由四个均匀带电平面产生的场强叠加而成的,即
022220
4
030201=---εσεσεσεσ 又∵ +2σ03=σ ∴ 1σ4σ=
说明相背两面上电荷面密度总是大小相等,符号相同.
三个平行金属板A ,B 和C 的面积都是200cm 2
,A 和B 相距,A 与C 相距 mm .B ,C 都
接地,如题图所示.如果使A 板带正电×10-7
C ,略去边缘效应,问B 板和C 板上的感应电荷各是多少?以地的电势为零,则A 板的电势是多少?
解: 如题图示,令A 板左侧面电荷面密度为1σ,右侧面电荷面密度为2σ
题图
(1)∵ AB AC U U =,即 ∴ AB AB AC AC E E d d = ∴
2d d 21===AC
AB
AB AC E E σσ 且 1σ+2σS
q A
=
得 ,32S q A =
σ S
q A 321=σ 而 711023
2
-?-=-
=-=A C q S q σC C
10172-?-=-=S q B σ
(2) 30
1
103.2d d ?==
=AC AC AC A E U εσV
两个半径分别为1R 和2R (1R <2R )的同心薄金属球壳,现给内球壳带电+q ,试计算:(1)外球壳上的电荷分布及电势大小;
(2)先把外球壳接地,然后断开接地线重新绝缘,此时外球壳的电荷分布及电势; *(3)再使内球壳接地,此时内球壳上的电荷以及外球壳上的电势的改变量. 解: (1)内球带电q +;球壳内表面带电则为q -,外表面带电为q +,且均匀分布,其电势
?
?
∞
∞
==?=2
2
020π4π4d d R R R
q
r r q r E U εε??
题图
(2)外壳接地时,外表面电荷q +入地,外表面不带电,内表面电荷仍为q -.所以球壳电势由内球q +与内表面q -产生:
π4π42
02
0=-
=
R q R q U εε
(3)设此时内球壳带电量为q ';则外壳内表面带电量为q '-,外壳外表面带电量为+-q q ' (电荷守恒),此时内球壳电势为零,且
0π4'
π4'π4'2
02
01
0=+-+
-
=
R q q R q R q U A εεε
得 q R R q 2
1
=' 外球壳上电势
()2
2
021202
02
0π4π4'π4'π4'R q
R R R q q R q R q U B εεεε-=+-+
-
=
半径为R 的金属球离地面很远,并用导线与地相联,在与球心相距为R d 3=处有一点
电荷+q ,试求:金属球上的感应电荷的电量.
解: 如题图所示,设金属球感应电荷为q ',则球接地时电势0=O U
题图
由电势叠加原理有:
=
O U 03π4π4'00=+R
q R q εε
得 -='q 3
q
有三个大小相同的金属小球,小球1,2带有等量同号电荷,相距甚远,其间的库仑力为0F .试求:
(1)用带绝缘柄的不带电小球3先后分别接触1,2后移去,小球1,2之间的库仑力; (2)小球3依次交替接触小球1,2很多次后移去,小球1,2之间的库仑力.
解: 由题意知 2
02
0π4r
q F ε=
(1)小球3接触小球1后,小球3和小球1均带电
2
q q =
', 小球3再与小球2接触后,小球2与小球3均带电
q q 4
3=''
∴ 此时小球1与小球2间相互作用力
0022018
348342
F r πq
r π"q 'q F =-=εε (2)小球3依次交替接触小球1、2很多次后,每个小球带电量均为
3
2q
. ∴ 小球1、2间的作用力0029
4
π432322F r q
q F ==ε
在半径为1R 的金属球之外包有一层外半径为2R 的均匀电介质球壳,介质相对介电常数为
r ε,金属球带电Q .试求:
(1)电介质内、外的场强; (2)电介质层内、外的电势; (3)金属球的电势.
解: 利用有介质时的高斯定理∑?
=
?q S D S
?
?d
(1)介质内)(21R r R <<场强
3
03π4,π4r r
Q E r r Q D r εε????==内;
介质外)(2R r <场强
3
03π4,π4r r Q E r Qr D ε???==外
(2)介质外)(2R r >电势
r
Q
E U 0r
π4r d ε=
?=?
∞
??外 介质内)(21R r R <<电势
2020π4)11(π4R Q R r
q
r εεε+-=
)1
1(π42
0R r Q
r r -+=
εεε
(3)金属球的电势
r d r d 2
21
?
????+?=??∞R R R E E U 外内
?
?∞
+=22
2
20π44πdr R R R
r r Qdr
r Q εεε
)11(
π42
10R R Q
r r
-+=
εεε
如题图所示,在平行板电容器的一半容积内充入相对介电常数为r ε的电介质.试求:在有电介质部分和无电介质部分极板上自由电荷面密度的比值.
解: 如题图所示,充满电介质部分场强为2E ?,真空部分场强为1E ?
,自由电荷面密度分别为
2σ与1σ
由∑?=?0d q S D ?
?得
11σ=D ,22σ=D
而 101E D ε=,202E D r εε=
d
21U E E =
= ∴
r r E E εεεεσσ==1
02
012
题图 题图
r
d r d ?????+?=??
∞∞
r
r
E E U 外内
两个同轴的圆柱面,长度均为l ,半径分别为1R 和2R (2R >1R ),且l >>2R -1R ,两柱面之间充有介电常数ε的均匀电介质.当两圆柱面分别带等量异号电荷Q 和-Q 时,求: (1)在半径r 处(1R <r <2R =,厚度为dr ,长为l 的圆柱薄壳中任一点的电场能量密度和整个薄壳中的电场能量; (2)电介质中的总电场能量; (3)圆柱形电容器的电容. 解: 取半径为r 的同轴圆柱面)(S
则 rlD S D S π2d )
(=?
??
?
当)(21R r R <<时,
Q q =∑
∴ rl
Q
D π2=
(1)电场能量密度 2222
2π82l r Q D w εε==
薄壳中 rl
r
Q rl r l r Q w W εευπ4d d π2π8d d 22222===
(2)电介质中总电场能量
?
?===2
1
1
22
2ln π4π4d d R R V
R R l Q rl r Q W W εε (3)电容:∵ C
Q W 22
=
∴ )
/ln(π22122R R l
W Q C ε=
=
题图
如题 图所示,1C =μ,2C =μ,3C =μ .1C 上电压为50V .求:AB U . 解: 电容1C 上电量
111U C Q =
电容2C 与3C 并联3223C C C += 其上电荷123Q Q = ∴ 35
50
25231123232?===
C U C C Q U 86)35
25
1(5021=+
=+=U U U AB V 1C 和2C 两电容器分别标明“200 pF 、500 V ”和“300 pF 、900 V ”,把它们串联起来后等值电容是多少?如果两端加上1000 V 的电压,是否会击穿? 解: (1) 1C 与2C 串联后电容
120300
200300
2002121=+?=+=
'C C C C C pF
(2)串联后电压比
2
3
1221==C C U U ,而100021=+U U ∴ 6001=U V ,4002=U V 即电容1C 电压超过耐压值会击穿,然后2C 也击穿.
半径为1R = 的导体球,外套有一同心的导体球壳,壳的内、外半径分别为2R =和3R =,当内球带电荷Q =×10-8
C 时,求: (1)整个电场储存的能量;
(2)如果将导体壳接地,计算储存的能量; (3)此电容器的电容值.
解: 如图,内球带电Q ,外球壳内表面带电Q -,外表面带电Q
题图
(1)在1R r <和32R r R <<区域
0=E ?
在21R r R <<时 301π4r r
Q E ε??
=
3R r >时 3
02π4r
r
Q E ε??
=
∴在21R r R <<区域
?
=2
1
d π4)π4(21222001R R r r r
Q W εε ?
-==2
1
)1
1(π8π8d 21022
02R R R R Q r
r Q εε 在3R r >区域
?∞
=
=32
3022
20021π8d π4)π4(21R R Q r r r Q W εεε ∴ 总能量 )1
11(π83
210221R R R Q W W W +-=+=ε
41082.1-?=J
(2)导体壳接地时,只有21R r R <<时3
0π4r
r
Q E ε??
=
,02=W ∴ 42
10211001.1)1
1(π8-?=-==R R Q W W ε J
(3)电容器电容 )1
1/(π422102
R R Q
W C -==
ε 121049.4-?=F