Boltzmann线性叠加原理和时间温度换算法则

簧也相应的发生变形。当应变增加到最大时，弹簧变形
达到极限，应变不在增加。这种应力输入恒定、应变响


应随时间逐渐增加的力学行为称为蠕变。卸去应力后，由于 弹簧变形恢复到粘壶的限制，应变随时间增加而逐渐减少。

图2：kelvin元件
当时间经历无限长时，应变可以全 部恢复。与虎克弹性体不同，尽管
0 0
二、时间温度换算法则
时间温度换算的原理
由于粘弹性材料的力学行为受到粘性分量的影响，粘性流动变形 是时间的函数，因此这类材料的力学响应也为时间的函数。同样 的，由于粘性材料的流动特性也是依赖于温度的函数，粘弹性材 料的力学行为也和温度有关。现在我们来研究特征函数与温度之 间的关系。 在沥青混合物这类材料的实验研究中，常常需要改变温度条件来 测定材料的特征函数。在研究工作中不难发现，不同温度、不同 T0、T1、T2 时间条件下实验测定得到的特征函数曲线具有大致相同的形状。 以图11中所示的松弛弹性模量实测曲线为例，在温度
的研究由此变的相当简单。 3.尽管上面四式是从负无穷开始积分的，所有的应力或应变履
历都对现时刻的应力或应变行为产生影响，但是由于经历了相当长的
时间，这些影响可能已经变得相当微弱。可以选择适当的时刻作为研 究的零时刻，以上各式的积分下限也可以取为零。 4.由上述四个线性叠加原理表达式，我们可以进一步推演两大 函数之间换算关系得数学描述：
向左移动，同
样可以得到两条曲线大致重叠。采用更一般的记法：
t2 T t
上述的叠合关系可以记作：
t r (T1，t ) r (T2，
上式表明，粘弹性材料的特征函数既是时间的函数，也是温度的函数， 在时间因子和温度因子之间存在一定的换算关系，这样的换算关系称 为时间—温度换算法则。
T
)
lg T T0
Boltzmann线性叠加原理和时 间温度换算法则
指导老师：樊教授 组员：汪胜、王丹、王金辉
主要内容
Boltzmann线性叠加原理和时间温度换算法
则概念
Boltzmann线性叠加原理和时间温度换算
法则的用途及如何应用
工程实例

粘弹性分析的基本元件
如图1所示的粘弹性元件。
一Boltzmann线性叠加原理
J ( ) (t )d t
r 0
t
J (t ) ( )d t
r 0
t
通过这样的换算关系，我们可以由某一类函数的测定结果计算
得到另一类函数的力学特性。在工程研究中，有时也近似地假定
J (t )r (t ) 1
尽管存在误差，这样的近似为工程研究提供了相当的方便。
粘弹函数的线性叠加原理
有前面的知识知，粘弹函数事实上可以分成蠕变函数和松弛函数
两大类。在这两类函数间可以推导出许多有用的换算关系，从而揭示 材料展现弹性力学行为的本质。但是，在这两类函数之间关系方面最
重要的是以Boltzmann经验方法为基础发展起来的线性叠加原理。
Boltzmann线性叠加原理由许多表现形式，这里介绍以蠕变积分方程和 应力松弛积分方程为基础的推演方法。
J 为瞬时弹性模量的倒
数，称平衡蠕变柔量。
积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量如图9
积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量如图9

0 t
蠕 变 柔 量 lg J (t )
1
0 J

t0 时间
0
时间
lg t
图9：积分型蠕变方程的蠕变、蠕变恢复和蠕变柔量
波尔兹曼叠加原理
• Bolztmann叠加原理是解决线性弹性行为 的一种数学处理方式，它是描述不同时间加上 不同荷载时材料的形变特性。 • 线性粘弹性行为：较小形变、较小应力 的情况下，也就是在相当温和的条件下。 • 在较大形变或较大应力下，材料内部已 经发生了质变，Bolztmann叠加原理可能就不 能适用了。
得到图示的实测松弛弹性模量曲线 r (T0、t )、r (T1、t ) 和
r (T2、t )
。如果将温度 为 T 时的测定曲线向左移
动，不同温度下测得的松弛弹性模量曲线 则将与
lg t1 lg t2 lg T T0
1
1
r (T0、t )
曲线重合。类似地，也可以将曲线
r (T2、t )
1
lg r
r (T0、t )
r (T2、t )
r (T1、t )
T0
T1
T2
lg t
t0
t1
lg T2 T0
t2
图11：不同温度下测得的松弛弹性模量曲线
有了这样的换算方法，我们就可以将粘弹性力学中应 力—应变—时间—温度的四维空间问题简化为应力—应
变—时间或应力—应变——温度的三维空间问题。
换句话说，在粘弹性材料力学行为的数学空间中，时
间和温度是可以互相代换的非独立变量。
由于时间—温度可以互相换算，着为实验研究提供了 极大的方便。特别是在沥青路面技术研究领域中，这一换 算关系有着很重要的工程应用。
WLF公式
时间—温度换算法则最早是依赖于实验观测结果和经验方法建立起来的。 那么是否能够找到它的一般数学关系，是否能在它的数学表现与所依 据的理论之间建立必要的联系呢？ 1995年，由化学家M.L.Williams、nbel和J.D.Ferry共同提出了 WLF公式：
2.过去各时刻应力或应变履历对现时刻的应力或应变行为的影
ห้องสมุดไป่ตู้
响可以简单可以简单地进行线性叠加，因此，尽管以上四个式子是由
蠕变履历和应力松弛履历的积分方程式推演得到的，但是利用 Boltzmann线性叠加原理，它们也可以分别用来计算任意应力输入方
式或任意应变输入方式下的应变响应或应力响应，线粘弹性力学行为
上式是由广义的Maxwell模型积分得到的应力松弛条件下的本构方程。 根据这一本构方程，类似于弹性模量的定义，上式中 r (t ) 被称
为松弛弹性模量；
0 为恒定的常数，代表残余的松弛应力水平，
则称为松弛函数。
通常称为静弹性模量； (t )
t）= 0 ( )e d 0 （ 0
Kelvin元件和Maxwell元件
1.将弹簧与粘壶类似于电路进行并联，得到如图2所示的kelvin元件， Kelvin元件是粘弹性理论的最基本的模型，我们常用它表示蠕变和 延迟弹性。当元件受到应力

作用时，弹簧和粘壶的变形相同，
元件总体承受的应力为弹簧和粘壶应力之和。在刚加载应力时，由于 粘壶的限制，kelvin元件不能立即产生应变，应力完全由 粘壶承担。随着时间的增加，粘壶发生粘性流动，弹

其变形可以完全恢复，kelvin元件
的变形是时间历程的函数，我们把 这样的变形特性称为延迟弹性。类
(t ) 0

1 e
t
(t ) 0e
t

似地，称变形恢复为蠕变恢复或延
迟弹性恢复。
0
t0
时间
t
图3：kelvin元件的延迟弹性

2.将弹簧和粘壶串联，可得到如图4的 Maxwell元件。在Maxwell元件承受应 力时，弹簧和粘壶承受的应力相同，元 件总变形等于弹簧和粘壶的变形之和。 在零时刻，给元件施加一个恒定不变的 应变 0 ，由于粘壶不能产生瞬时应变， 应变发生于弹簧，此时的应力 0 0 在零时刻应变完全由弹簧承担，随着时 间历程的增加，粘壶逐渐变形，弹簧承 担的应变减小导致元件承受的应力逐渐 减小。当时间历程无限长时，应力趋向 于零，变形完全由粘壶承担。我们把这 种输入应变恒定不变、响应应力逐渐减 小的力学行为称为应力松弛。
t
或
d ( ) 0 (t ) d (t ) d
t
以上四个公式即是以蠕变积分方程和应力松弛积分方程推演得到的 Boltzmann线性叠加原理表达式。以这种方式描述的Boltzmann线 性叠加原理也称为应力或应变的履历积分。满足Boltzmann线性叠 加原理的力学行为称为线粘弹性力学行为，呈现这种力学行为的材 料称为线粘弹性材料。 Boltzmann线性叠加原理应注意以下一些问题： 1. Boltzmann线性叠加原理表明，材料在现时刻以前的应力、应变 履历对现时刻的力学行为具有影响，现时刻后的力学响应式以往全 部时间历程内力学行为影响的总和。
如图10所示，对于
(t ) 1 J (t ) J (t ) 0
所示的蠕变积分方程，在时刻t=0施加应力
0
，则：
（t）= 0 J (t ) J (t ) J t (t ) 1

0
0
1

在时刻 t1 施加第二个应力增加量 1 ，相应的 应变响应为：
10-2 s
量级进行测定，并以
10 5 s
或更短时间条件下的松弛弹性模量来代
表极限弹性模量。图7所示的时间
t 0 被认为是材料力学行为由弹性
向粘性转换的过度时间，并认为在相同的条件下，这一过渡时间越短， 材料的应力松弛性能越好。
2.蠕变函数
0
类似于广义的Maxwell模型，我们可以把若干个Kelvin元 1 件串联组合，得到被称为广义Kelvin模型的蠕变模型图8。 在此蠕变模型中，各元件承受的应力相等，模型响应的 总应变为各元件应变之和。有此模型可以得到蠕变应变 2 的表达式如下


图4：Maxwell元件

0 0
（t）= 0e
t

t 图5：Maxwell元件的应力松弛
0
时间
应力松弛函数和蠕变数
1.松弛函数
我们将足够多的单个松弛元件—— Maxwell元件以图6的形式并联起来，得到一0 组广义Maxwell模型。广义的Maxwell模型各 元件的变形相等，模型承受的应力为各元件 承受的应力之和。可以得到此模型下的松弛 应力