叠加原理与线性定理1
叠加定理
I'=2A
I = I'+ I"= 1A
I"= -1A
应用迭加定理要注意的问题
1. 迭加定理只适用于线性电路（电路参数不随电压、 电流的变化而改变）。
2. 迭加时只将电源分别考虑，电路的结构和参数不变。 暂时不予考虑的恒压源应予以短路，即令E=0； 暂时不予考虑的恒流源应予以开路，即令 Is=0。
=
+
3. 解题时要标明各支路电流、电压的正方向。原电 路中各电压、电流的最后结果是各分电压、分电 流的代数和。
4. 迭加原理只能用于电压或电流的计算，不能用来 求功率。如： 设： I 3 I 3' I 3"
I3
R3
则： P
3
I 3 R3 ( I 3' I 3" ) R3
2
2
( I 3' ) R3 ( I 3" ) R3
1.6.4
线性电路特点：
叠加定理
（1）齐次性： 若X
则 KX
Y
KY Y2， X2 Y1+Y2 Y2
（2）叠加性： 若X1 则 X1+X2
2.叠加原理: 在多个独立源同时作用的线性电路(电路参 数不随电压、电流的变化而改变)中，任何支路 的电流或任意两点间的电压，都是各个电源单
独作用时所得结果的代数和。 I1 A R1
当 US =1V、IS=1A 时，
UO K1 1 K2 1 0 ......(1) 当 US =10 v、IS=0A 时， UO K1 10 K2 0 1 ......(2) K1 0.1 K 2 0.1 （1）和（ 2）联立求解得：
叠加原理与线性定理
3 5
A
⊥ 53 2I
若用节点法求：
I
2 1
10
2
4
4-2 齐次定理
R1
引例：
I
Us R1 R2
R1 R1 R2
Is
Us
U
R2 R1 R2
Us
R2 R1 R1 R2
Is
R2
Is
一、定理：线性电路中，当所有激励增大K倍时，其响应
也相应增大K倍。（齐次性）
二、意义： 反映线性电路齐次性质。
解： 移去待求支路,有
I2
6kI 2kI 4k(I 10m) 0
I 5mA Uoc 6kI 30V
除源外加电压,有 由等效电路2kI 4k(i I) u
+
i
u Ro i 6k
+
30V
u
Uoc
-
-
17
例6：求出图示电路的戴维南等效电路。
32
4 等效电源定理:
线性含源单口网络对外电路作用可等效为一个理 想电压源和电阻的串联组合或一个理想电流源和电阻的 并联组合。
5 最大功率传输定理:
一个实际电源模型（Uo、Ro）向负载RL传输能量，当
6
且仅当RL= Ro时，才可获最大功率Pm。 互易定理:
Pm
Uo2 4Ro
在线性无源单激励电路中，激励与响应互换位置， 响应不变。
-
-
8
4-4 等效电源定理
一、引例
将图示有源单口网络化简
为最简形式。
Us
I0
Us R1
Is
R0
R1R2 R1 R2
R1 R2
Is Isc
Ro Io
叠加定理和齐定理的验证
七、实验报告 1、根据实验数据，进行分析、比较、归纳、总结实验结 论，验证线性电路的叠加性和齐次性。 2、各电阻器所消耗的功率能否用叠加原理计算得出？试 用上述实验数据，进行计算并作结论。 3、计算理论值，并与实测值比较，计算误差并分析误差 原因。 4．实验报告要整齐、全面，包含全部实验内容。 5．对实验中出现的一些问题进行讨论。 6．鼓励同学开动脑筋，自行设计合理的实验电路。
（4）令E1和E2共同作用（将开关S1投向E1侧，S2投向E2侧 ），重复上述的测量和记录。
（5）将E2的数值调至+12V，重复上述第三项的测量并记 录。
五、实验注意事项： 1、所有需要测量的电压值，均以电压表测量的读数为准， 不以电源表盘指示值为准。 2、防止电源两端碰线短路。 3、若用指针式电流表进行测量时。要识别电流插头所接电 流表的“＋、－”极性。倘若不换接极性，则电表指针可能 反偏（电流为负值时），此时必须调换电流表极性，重新测 量，此时指针正偏，但读得的电流值必须冠以负号。
2．电位与电压：电路中的参考点选择不同，各节点 的电位也相应改变，但任意两点的电压（电位差）不 变，即任意两点的电压与参考点的选择无关。
三、实验器材：
1.万用电表
2.电阻箱
3.双路稳压电源 4.电阻
四、实验步骤：
1、验证叠加定理
1）、实验线路
F I1
R1:510Ω
＋
6V
E2
－
R4:510Ω
E
A
I2 B
I3
R2:1K
＋
R3
510Ω R5:330Ω
E1
12V －
D
IN400
C
7
（1）、按图，E1为+6V和+12V的切换电源，取E1=+12V，E2 为可调直流稳压电源，调至+6V。
线性叠加原理
线性叠加原理线性叠加原理是指当系统的输入是由多个信号叠加而成时，系统的输出等于各个输入信号分别作用于系统时的输出的叠加。
这一原理在信号处理、控制系统、通信系统等领域都有着重要的应用。
在本文中，我们将详细介绍线性叠加原理的相关概念、数学表达和实际应用。
首先，让我们来了解一下线性叠加原理的基本概念。
线性叠加原理是指系统的输入信号可以表示为多个基本信号的线性组合，而系统的输出信号则可以表示为对应基本信号的输出信号的线性组合。
这意味着系统对每个输入信号的响应是独立的，且系统对不同信号的响应可以相互叠加。
这一原理是许多工程问题的重要基础，例如在通信系统中，可以将不同频率的信号叠加在一起进行传输，而接收端可以分别解析出各个频率的信号。
接下来，我们来看一下线性叠加原理的数学表达。
假设输入信号可以表示为x(t)，系统对该信号的响应可以表示为h(t)，那么系统的输出信号可以表示为y(t) =x(t) h(t)，其中“”表示卷积操作。
如果输入信号可以表示为多个基本信号的线性组合，即x(t) = Σa_i x_i(t)，那么系统的输出信号可以表示为y(t) = Σa_i y_i(t)，其中y_i(t)表示系统对基本信号x_i(t)的响应。
这就是线性叠加原理的数学表达形式。
在实际应用中，线性叠加原理可以帮助工程师分析复杂系统的行为。
例如在控制系统中，可以将系统的输入信号表示为多个基本信号的线性组合，然后分别分析系统对每个基本信号的响应，最终得到系统对复合信号的响应。
这种分解和叠加的思想可以大大简化对复杂系统的分析，使工程师能够更好地设计和优化控制系统。
总之，线性叠加原理是现代工程领域中一个非常重要的概念。
它不仅有着深厚的数学理论基础，而且在实际应用中展现出了巨大的价值。
通过线性叠加原理，工程师可以更好地理解和分析复杂系统的行为，从而设计出更加高效和可靠的工程系统。
希望本文对读者对线性叠加原理有所帮助，谢谢阅读！。
考研微分方程解叠加原理
考研微分方程解叠加原理一、引言微分方程是数学的重要分支，应用广泛，常用于描述自然界中的变化规律。
在考研数学中，微分方程也是一个非常重要的考点之一。
而解微分方程的方法繁多，其中叠加原理是一种常见而有效的解法。
本文将介绍考研微分方程解叠加原理的相关概念、理论和应用。
二、叠加原理的基本概念2.1叠加原理的定义叠加原理是指对于一个齐次线性微分方程的解的任意线性组合也是该微分方程的解。
换句话说，在给定的初始条件下，齐次线性微分方程的解是线性空间。
这一原理在解非齐次线性微分方程时具有重要意义。
2.2齐次线性微分方程的解齐次线性微分方程是指形如$y'+P(x)y=0$的微分方程，其中$P(x)$为已知函数，解的形式为$y=C e^{-\in tP(x)d x}$，其中$C$为常数。
2.3非齐次线性微分方程的解非齐次线性微分方程是指形如$y'+P(x)y=Q(x)$的微分方程，其中$P(x)$、$Q(x)$为已知函数，解的形式为$y=e^{-\i nt P(x)dx}\le ft(\in tQ(x)e^{\i ntP(x)dx}d x+C\ri ght)$，其中$C$为常数。
三、叠加原理的应用3.1利用叠加原理求解齐次线性微分方程对于给定的齐次线性微分方程，我们可以通过叠加原理求解。
具体步骤如下：1.将齐次线性微分方程表示为$y'+P(x)y=0$的形式。
2.求解该齐次线性微分方程，得到基本解组$y_1,y_2,\l d ot s,y_n$。
3.将基本解组线性组合，得到该齐次线性微分方程的通解$y=\su m_{i=1}^nC_i y_i$，其中$C_i$为常数。
3.2利用叠加原理求解非齐次线性微分方程对于给定的非齐次线性微分方程，我们同样可以通过叠加原理求解。
具体步骤如下：1.将非齐次线性微分方程表示为$y'+P(x)y=Q(x)$的形式。
2.求解对应的齐次线性微分方程$y'+P(x)y=0$，得到基本解组$y_1,y_2,\ld ot s,y_n$。
电路叠加定理原理介绍
电路叠加定理原理介绍电路叠加定理原理介绍引言在电路分析中，叠加定理是一种重要的工具，用于简化复杂电路的分析。
叠加定理的原理和应用可以帮助我们更好地理解电路行为和性能。
本文将深入探讨叠加定理的各个方面，包括原理介绍、应用示例和对叠加定理的理解。
一、叠加定理的原理叠加定理基于线性电路的特性，它的核心思想是将复杂电路拆分为若干简单的子电路，然后单独分析每个子电路的作用，最后将它们的结果按照一定规则相加得到整个电路的行为。
具体而言，在叠加定理中，我们假设电路中存在多个独立的输入源，每次只有一个输入源处于激活状态，其他输入源都被置零。
通过分别计算每个独立输入源下电路的响应，最后将它们按照合适的规则相加，得到整个电路的响应。
这种方法的基本原理是电路中的元件和线性器件(如电阻、电容和电感等)的响应是线性的，可以叠加。
这意味着电流、电压和功率等量可以分别计算，并且它们的线性叠加将得到整个电路的响应。
二、叠加定理的应用示例为了更好地理解叠加定理的应用，让我们通过一个具体的电路示例来说明。
假设我们要分析一个包含电压源、电流源、电阻和电感的复杂电路。
首先，我们将每个独立的输入源激活，其他输入源置零。
然后，计算每个输入源下电路的响应。
例如，我们激活电压源，将其它输入源置零，计算得到电路的响应为V1。
接下来，我们激活电流源，将其它输入源置零，计算得到电路的响应为V2。
最后，将V1和V2相加，就可以得到整个电路的响应。
这个简单的示例展示了叠加定理在电路分析中的应用。
通过将复杂电路拆分为简单的子电路并分别计算每个子电路的响应，我们可以更容易地理解整个电路的行为。
三、对叠加定理的理解叠加定理为我们提供了一种有效的方法来简化复杂电路的分析。
通过将电路分解为简单的子电路并计算每个子电路的响应，我们可以更全面、深刻地理解整个电路的行为。
叠加定理的优点在于它的普适性和灵活性。
无论电路的复杂性如何，我们都可以利用叠加定理进行分析。
只需要独立激活每个输入源并计算相应的响应，然后按照合适的规则相加，我们就能够得到电路的整体行为。
说明叠加定理的内容
说明叠加定理的内容叠加定理是数学中的一个重要概念，它是在解决复杂问题时经常使用的一种方法。
叠加定理也被称为线性叠加原理，它描述了当两个或多个影响某个系统的因素同时存在时，系统的总影响等于每个因素单独存在时的影响之和。
一、基本概念1. 叠加定理的定义叠加定理是指对于一个线性系统，如果有多个输入信号同时作用于该系统，则该系统输出信号等于每个输入信号分别作用于该系统所产生的输出信号之和。
2. 线性系统线性系统是指满足以下两个条件的系统：（1）可叠加性：当两个或多个输入同时作用于该系统时，输出信号等于每个输入分别作用于该系统所产生的输出信号之和。
（2）比例性：当输入信号乘以一个常数k时，输出信号也会乘以k。
3. 叠加定理适用范围叠加定理适用于所有线性系统。
例如，在电路中，电流、电压、功率等都遵循线性规律。
因此，在电路中可以使用叠加定理来求解复杂问题。
二、具体应用1. 电路中的应用在电路中，我们可以使用叠加定理来求解复杂电路中的电流、电压等问题。
例如，当一个电路中有多个电源时，我们可以将每个电源单独考虑，然后将它们的输出信号相加得到整个电路的输出信号。
2. 物理学中的应用在物理学中，叠加定理也有广泛的应用。
例如，在光学中，我们可以将多个光源的光线分别考虑，然后将它们的光线相加得到整个系统的光线。
3. 声学中的应用在声学中，叠加定理也被广泛应用。
例如，在音响系统中，我们可以将多个音源产生的声音分别考虑，然后将它们的声音相加得到整个系统的声音。
三、具体案例1. 电路中的案例假设有一个由两个电源组成的电路（如图1所示），其中V1=10V，R1=5Ω；V2=20V，R2=10Ω。
求解该电路中通过R1和R2各自所流过的电流值。
根据叠加定理，我们可以分别计算出在V1和V2作用下通过R1和R2所流过的电流值。
首先考虑当只有V1作用时通过R1的电流值，根据欧姆定律可得：I1=V1/R1=10/5=2A然后考虑当只有V2作用时通过R1的电流值，根据欧姆定律可得：I2=V2/R2=20/10=2A因此，当V1和V2同时作用时通过R1的电流值为：I=I1+I2=2+2=4A同样地，我们可以计算出当V1和V2同时作用时通过R2的电流值为：I'=V1/R1+V2/R2=10/5+20/10=4A因此，该电路中通过R1和R2各自所流过的电流值分别为4A和4A。
电路原理-叠加定理
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对数运算的叠加定理
总结词
对数运算的叠加定理是指当多个同底数的对 数相加或相减时，其结果等于将这些对数分 别代入公式后相加或相减的结果。
详细描述
对数运算的叠加定理是电路原理中非常重要 的概念，它描述了多个电压或电流源作用于 电路时，其效果等于这些源分别作用于电路 所产生的效果的叠加。这个定理在分析复杂 电路时非常有用，因为它可以将多个源的效 应分解为单个源的效应，从而简化分析过程。
对时间的叠加定理
总结词
对时间的叠加定理是指当多个信号同时作用于电路时 ，其输出信号的时间响应等于这些信号分别作用于电 路所产生的输出信号的时间响应的叠加。
详细描述
在电路原理中，对时间的叠加定理描述了多个信号同 时作用于电路时，其输出信号的时间响应如何计算。 这个定理指出，如果多个信号同时作用于电路，那么 其总的时间响应可以通过将每个信号单独作用于电路 所产生的响应叠加起来得到。这个定理在分析时域电 路行为时非常有用，因为它可以帮助我们理解多个信 号如何共同影响电路的输出。
04
叠加定理的证明
数学推导
线性电路元件的电压和电流关系可以用线性方程表示，即 $i_1 = a_1v + b_1i$ 和 $i_2 = a_2v + b_2i$。
根据线性电路的性质，当有两个独立电源同时作用于线性电路时，线性电路元件的 电压和电流等于每个电源单独作用于该元件时的电压和电流之和。
通过数学推导，可以证明叠加定理在电路分析中的正确性。
理解电路的基本原理
通过叠加定理，可以深入理解电路中各个元件的工作原理以及它们之间的相互 作用关系，对于理解电路的基本原理和设计复杂的电路系统具有重要意义。
线性电路叠加定理的证明
线性电路叠加定理的证明胡世昌【摘要】线性电路必定满足叠加定理,满足叠加定理的电路必定是线性电路,但循环定义无助于识别线性电路和应用叠加定理.文章指出线性是线性系统输人信号与输出信号关系的一种描述,是齐次性与叠加性之和.线性电路元件是电流/电压关系特性符合线性系统输入/输出要求的电路元件,进一步可以分为自身电流与自身电压成线性关系的普通线性电路元件,和控制电压或电流与受控电压或电流成线性关系的受控线性电路元件.线性电路是由线性电路元件和独立源构成的电路,其中独立源被看做线性电路的输入(激励),而电路中的任何电压和电流都被看做是线性电路的输出(响应).最后根据线性概念及基尔霍夫定律,给出了叠加定理的证明.%Linear circuit must meet the superposition theorem, while circuit that meets the superposition theorem must be linear circuit, but circular definition does not help in identifying linear circuits or applying superposition theorem. This article points out that linearity is a description for the input and output signal relation of linear system, which is the sum of homogeneity and additivity. Linear circuit element is any circuit element whosecircuit/voltage relation meet the requirement of linear system input/output relation, which can be further divided into ordinary linear circuit element whose circuit and voltage relation of itself satisfy linearity, and controlled linear circuit element whose controlled signal and control signal relation satisfy linearity. Linear circuit is composed by linear element and independent source wherein independent source is seen as input (excitation) of linear circuit while any voltage and circuit are seen as output(response). Finally a proof is given based on the concept of linearity and Kirchhoff's Law.【期刊名称】《沈阳师范大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2012(030)004【总页数】6页(P503-508)【关键词】线性;叠加定理;证明【作者】胡世昌【作者单位】沈阳师范大学科信软件学院,沈阳110034【正文语种】中文【中图分类】TP309.080 引言线性电路和叠加定理是电路分析中十分重要的概念，二者紧密关联，线性电路必定满足叠加定理，满足叠加定理的电路必定是线性电路。
电路叠加原理怎么理解
电路叠加原理怎么理解
叠加原理就是指在线性电路中有多个电源共同作用时，电路上任意一个支路上的电压或电流都是各电源单独作用下，在各支路上产生的电压或电流的叠加（代数和）。
如何理解电路中的叠加原理（图文教程）
1、电路的叠加原理说的就是一个电路的输出是由各个源独立作用时所产生的输出的相加之和。
这里的源可以是独立源也可是受控源。
本例以独立源为例来说明叠加原理。
比如下图所示的电路。
2、电路可以认为由两个独立源，一个电压源V，一个电流源I
3、当电压源V作用时，则电流源I不起作用，若电流源不起作用时，可以认为电流源是开路状态的，即如下图所示
4、所以电压源单独作用时的电路图如下图所示
5、所以电压源单独作用时得到的输出电压为下图所示，其实就是两个电阻的分压。
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3、所有电源作用时：i 2.6A
u 11.66V
3
例2：图示电路，已知： Us=1V, Is=1A时： U2= 0 ； Us=10V, Is=0时：U2= 1V ；
求:Us=0, Is=10A时：U2= ?
解： 根据叠加定理，有 U2 K1Is K2Us
代入已知条件，有
解得
0 K1 •1 K2 •1 1 K1 • 0 K2 •10
11
2、线性含源单口网络对外电路作用可等效为一个
理想电流源和电阻的并联组合。 其中：
I0
Ro
电流源电流I0为该单口网络的短路电流Isc ；
电阻Ro为该单口网络的除源输入电阻Ro. 说明： （1） 该定理称为等效电流源定理，也称为诺顿定理
（Norton’s Theorem）； （2）由定理得到的等效电路称为诺顿等效电路，
因 U=2000I+10
故 RoI=2000I (IsRo Uoc) 10
Ro 2000 Uoc 6V
15
2、求某一条支路的响应。
例3：用等效电源定理求图示电
路中的电流i。
解：移去待求支路得单口网络
求开路电压Uoc ：
Uoc 28 12 2 =52v
除去独立电源求Ro ：Ro =12 画出戴维南等效电路，并 接入待求支路求响应。
-
-
9
4-4 等效电源定理
一、引例
将图示有源单口网络化简
为最简形式。
Us
I0
Us R1
Is
R0
R1R2 R1 R2
R1 R2
Is Isc
Ro Io
Uo
Ro
Us R1
U0
Io Ro
(U s
/ R1 ( R1
I s )R1R2 R2 )
(Ro :除源输入电阻)
+
R1
Uoc
-
(Io : 短路电流Isc )
2、叠加时注意代数和的意义: 若响应分量 与原响应 方向一致取正号，反之取负。
3、叠加定理只能适用线性电路支路电流或支路电压的 计算，不能计算功率。
2
例1用：叠加定理求图示电路 中u和i。
1、28V电压源单独作用时：
i¢= 28 =1.4A 12 +8
u¢= 4.8V
2、2A电流源单独作用时：
iⅱ= 12 ? 2 1.2A u 16.46V
(Uo : 开路电压Uoc )
10
二、定理：
1、线性含源单口网络对外电路作用可等效为一
个理想电压源和电阻的串联组合。
Ro
其中：
电压源电压Uo为该单口网络的开路电压Uoc ；
Uo
电阻Ro为该单口网络的除源输入电阻Ro。
说明：（1） 该定理称为等效电压源定理，也称为戴维南或代 文宁定理（Thevenin’s Theorem）； （2）由定理得到的等效电路称为戴维南等效电路， Uoc 和Ro称为戴维南等效参数。
R1
?
+
R
2
Is
U¢=
R2 R1 +R2
Us
I¢=
Us
Uⅱ=
R 2R1 R1 +R2
Is
R1 +R2 Iⅱ=
R1
R1 +R
2
Is
1
二、定理：
线性电路中任一条支路电流或电压等于各个独立电源单 独作用时在该支路所产生的电流或电压的代数和。 （叠加性） 意义：说明了线性电路中电源的独立性。
注意：1、一个电源作用，其余电源置零： 电压源短路； 电流源开路； 受控源保留。
K1 0.1 K2 0.1
U2 0.1Is 0.1Us
若Us=0, Is=10A时： U2 1V
4
例3：用叠加定理求图示电路中电流I。
例3：
⊥
1、10V电压源单独作用时：
I 10 2I 2 1
I 2A
2、3A电流源单独作用时，有
3 2I /1 I
2 1
3、所有电源作用时：I
2
I
I
I
7 5
A
3 5
A
⊥ 53 2I
若用节点法求：
I
2 1
10
2
5
4-2 齐次定理
R1
引例：
I
Us R1 R2
R1 R1 R2
Is
Us
U
R2 R1 R2
Us
R2 R1 R1 R2
Is
R2
Is
一、定理：线性电路中，当所有激励增大K倍时，其响应
也相应增大K倍。（齐次性）
二、意义： 反映线性电路齐次性质。
+ Uoc -
1 -1V
Uoc=-1V Ro
Ro= 1
14
例2：已知图示网络的伏安关系为：
含
U=2000I+10
源
并且 Is=2mA.求网络N的戴维南等效电路。
Is
网 络
解： 设网络N 的戴维南等效电路参
N
数为Uoc和Ro，则有
U Uoc (I Is )Ro RoI (IsRo Uoc )
1、支路k应为已知支路；
2、替代与等效不相同； 3、替代电源的方向。
(中的US和R。
解： I=2A U=28v
US=43.6v
US
利用替代定理, 有
U1 28 200.6 6
=10v
I1=0.4A
IR=0.6-0.4=0.2A
R=50.
I1
IR
+
+
28V
U1
I2=2.1B=7.632A I4=B=3.634A
I2=2.1A uAD=26. 2V
I1=1.31A
I=3.41A
U=33.02 V
7
4-3 替代定理
一、定理：
在任意集中参数电路中，若第k条支路的电压Uk和 电流Ik已知，则该支路可用下列任一元件组成的支路替 代:
（1） 电压为Uk的理想电压源； （2） 电流为Ik的理想电流源； （3） 电阻为Rk= Uk/Ik的电阻元件。 二、注意：
注意：
1、激励是指独立电源； 2、只有所有激励同时增大时才有意义。
6
三、应用举例：求图示电路各支路电流。
I1
B 120 =3.63416 33.02
I1=1.31B=4.761A I3=1.1B=3.998A
I2
I4 解: 递推法:
I3
设 I4u=B1DA=2
2V
I3=1.1A
I=3.41B=12.392A
Isc和Ro称为诺顿等效参数。
12
三、证明：
I
线性 含源
+
任意
网 络 U 网络
-
A
B
I
+ 任意 Isc Ro U 网 络
-B
I
线性
含源 +
网络
U
A
-
线性 含源
= 网 络 I Isc
A
I
I
I
Isc
U Ro
Isc
Ro
+
I
U
Ro
线性
除源 +
网络 U
A
-
13
四、应用： 1、线性含源单口网络的化简
例1：求图示电路等效电源电路以及相应的等效参数。
第四章 线性电路基本定理
4-1 叠加定理 一、引例图示电路求电压U和电流I。
R1
Us
R2
Is
=
+
U = Us / R1 +Is (1 + 1) R1 R2
= UsR 2 + R1R 2Is R1 +R2
U
=
=
R2
RU1ⅱ++RU2
Us
?
+
R2R1 R1 +R2
Is
I
= Us + R1
=R1I+ⅱ+R 2I