类比探究专题

类比探究专题例1 如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD=MB ．（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．MEDCBA图2ABC DE M图1图3ABCDEM例2 如图1，在ABC △中，AC BC =，120C ∠=︒，D 在BC 边上。

BDE △为等边三角形，连接AE ，F 为AE 中点，连CF DF ，。

⑴请直接写出CF DF 、的关系，不必说明理由；⑵若将图1中的DBE △绕点B 顺时针旋转90︒，其它条件不变，请作出相应图形，并直接给出结论，不必说明理由。

⑶将图中的DBE △绕点B 顺时针旋转α（0°＜α＜60°），其它条件不变，如图2，试回答⑴中的结论是否成立？并说明理由。

图1AB C DEFFDCBAE图2例3 （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD 中，E 是BC 的中点，将△ABE 沿AE 折叠后得到△AFE ，点F 在矩形ABCD 内部，延长AF 交CD 于点G ．猜想线段GF 与GC 有何数量关系？并证明你的结论． （2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD 改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．GCDFEBAGFEDC BA图1 图2例4 已知：如图所示，直线MA NB MAB ∠∥，与NBA ∠的平分线交于点C ，过点C 作一条直线l 与两条直线MA NB 、分别相交于点D E 、．（1）如图1所示，当直线l 与直线MA 垂直时，猜想线段AD BE AB 、、之间的数量关系，请直接写出结论，不用证明；（2）如图2所示，当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、都在AB 的同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由；（3）当直线l 与直线MA 不垂直且交点D E 、在AB 的异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请说明理由；如果不成立，那么线段AD BE AB 、、之间还存在某种数量关系吗？如果存在，请直接写出它们之间的数量关系．ABMNCC NMBAABCDEMNl lNMEDCB A图1 图2 备用图 备用图例5 在△ABC 中，∠A ＝90°，点D 在线段BC 上，∠EDB ＝12∠C ，BE ⊥DE ，垂足为E ，DE 与AB 相交于点F ．（1）当AB ＝AC 时（如图1）， ①∠EBF ＝_______°；②探究线段BE 与FD 的数量关系，并加以证明；（2）当AB ＝kAC 时（如图2），求BEFD 的值（用含k 的式子表示）．图1 图2例6 如图1，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，CD ⊥AB ，垂足为D ，点E 在AC 上，BE 交CD 于点G ，EF ⊥BE 交AB 于点F ，AC=mBC ，CE=nEA （m ，n 为实数）.试探究线段EF 与EG 的数量关系． （1）如图2，当m=1，n=1时，求EF 与EG 的数量关系． （2）如图3，当m=1，n 为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系． （3）如图1，当m ，n 均为任意实数时，求EF 与EG 的数量关系．C EFD A B G图1CEFD A BG 图2EFD ABGC 图3例7 在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC=90°，AB=AC ，直线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE=90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD=DP ．（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD=DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图1ADNPECBM图2M BCEPNDA图3A D NPECBM例8 如图1，在Rt △ABC 中，∠BAC=90°，AD ⊥BC 于点D ，点O 是AC 边上一点，连接BO ，交AD 于点F ，OE ⊥OB 交BC 于点E ．（1）求证：ABF COE △∽△；（2）如图2，当O 为AC 边中点，2AC AB =时，求OFOE 的值；（3）如图3，当O 为AC 边中点，AC nAB =时，请直接写出OFOE 的值．DEO CFBA图2AC EO D FB图3ACEOD FB图1例9 如图1，已知∠MAN=120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC=∠ADC=90°，可以证明：①DC=BC ；②AC = AB+AD ．（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC+∠ADC=180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．（2）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件“∠ABC=∠ADC=90°”改为∠ABC=∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．图1A BCDMN图2NMDCB A图3NMDCB A例10 如图，在等边三角形ABC 中，点D 在直线BC 上，连接AD ，作∠ADN=60°，直线DN 交射线AB 于点E ，过点C 作CF ∥AB 交直线DN 于点F ．（1）当点D 在线段BC 上，∠NDB 为锐角时，如图1，求证：CF+BE=CD ．（提示：过点F 作FM ∥BC 交射线AB 于点M ）（2）当点D 在线段BC 的延长线上，∠NDB 为锐角时，如图2；当点D 在线段CB 的延长线上，∠NDB 为钝角时，如图3，请分别写出线段CF ，BE ，CD 之间的数量关系，不需要证明． （3）在（2）的条件下，若∠ADC=30°，43ABC S △，则BE=_________，CD=________．图1N MFEDCB ADCABFEN图2例11已知，△ABC 为等边三角形，点D 为直线BC 上一动点（点D 不与B 、C 重合）．以AD 为边作菱形ADEF ，使∠DAF=60°，连接CF ． （1）如图1，当点D 在边BC 上时， ①求证：∠ADB=∠AFC ；②请直接判断结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立；（2）如图2，当点D 在边BC 的延长线上时，其他条件不变，结论∠AFC=∠ACB ＋∠DAC 是否成立？请写出∠AFC 、∠ACB 、∠DAC 之间存在的数量关系，并写出证明过程；（3）如图3，当点D 在边CB 的延长线上时，且点A 、F 分别在直线BC 的异侧，其他条件不变，请补全图形，并直接写出∠AFC 、∠A CB 、∠DAC 之间存在的等量关系．D CABFEN图3DCBAA BCDEFFEDC BA图1 图2 图3例12（1）阅读理解：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC 中，若AB=5，AC=3，求BC 边上的中线AD 的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD 到E ，使得DE=AD ，再连接BE （或将△ACD 绕点D 逆时针旋转180°得到△EBD ），把AB 、AC 、2AD 集中在△ABE 中，利用三角形的三边关系可得2＜AE ＜8，则1＜AD ＜4．感悟：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑构造以中点为对称中心的中心对称图形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． （2）问题解决：受到（1）的启发，请你证明下面命题：如图2，在△ABC 中，D 是BC 边上的中点，DE ⊥DF ，DE 交AB 于点E ，DF 交AC 于点F ，连接EF ． ①求证：BE+CF ＞EF ；②若∠A=90°，探索线段BE 、CF 、EF 之间的等量关系，并加以证明． （3）问题拓展：如图3，在四边形ABDC 中，∠B+∠C=180°，DB=DC ，∠BDC=120°，以D 为顶点作一个60°角，角的两边分别交AB 、AC 于E 、F 两点，连接EF ，探索线段BE 、CF 、EF 之间的数量关系，并加以证明．ABCDEFEDCBAAEBDF C图1 图2 图3例13 如果一条直线把一个平面图形的面积分成相等的两部分，我们把这条直线称为这个平面图形的一条面积等分线．例如，平行四边形的一条对角线所在的直线就是平行四边形的一条面积等分线． （1）三角形的中线、高线、角平分线分别所在的直线一定是三角形的面积等分线的有________；（2）如图1，梯形ABCD中，AB∥DC，如果延长DC到E，使CE＝AB，连接AE，那么有S梯形ABCD＝S△ADE．请你给出这个结论成立的理由，并过点A作出梯形ABCD的面积等分线（不写作法，保留作图痕迹）；（3）如图2，四边形ABCD中，AB与CD不平行，S△ADC＞S△ABC，过点A能否作出四边形ABCD的面积等分线？若能，请画出面积等分线，并给出证明；若不能，说明理由．BADCB ADCE图1 图2阅读下列材料：问题：如图1，在四边形ABCD中，M是BC边的中点，且90AMD∠=︒，试判断AB＋CD与AD之间的大小关系。

小雪同学的思路是：作B点关于AM的对称点E，连接AE、ME、DE，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决。

请你参考小雪同学的思路，探究并解决下列问题：⑴写出上面问题中AB＋CD与AD之间的大小关系；⑵如图2，若将AM D∠的度数改为120°，原问题中的其他条件不变，证明：12AB BC CD AD++≥；⑶如图3，若135AMD∠=︒，122AB BC==，，求AD的最大值。

解决类比探究问题的处理思路1.若属于类比探究常见的结构类型，调用结构类比解决．类比探究常见结构：①中点结构常考虑平行夹中点② 旋转结构 特征：等线段共点 ③ 平行结构 作平行，造相似 ④ 直角结构 “斜直角放正”2. 若不属于常见结构类型：① 根据题干条件，结合分支条件先解决第一问． ② 类比解决下一问．如果不能，分析条件变化，寻找不变特征．③ 结合所求目标，依据不变特征，大胆猜测、尝试、验证．借助上面填写的内容，做下面的小题【试题1】如图1，在等腰直角△ABC 和等腰直角△CDE 中，CD>BC ，点C ，B ，D 在同一直线上，M 是AE 的中点，易证MD ⊥MB ，MD =MB ．（1）如图2，将图1中的△CDE 绕点C 顺时针旋转45°，使△CDE 的斜边CE 恰好与△ABC 的边BC 垂直，题干中的其他条件不变，则上述结论是否仍然成立？（2）将图2中的△ABC 绕点C 逆时针旋转大于0°且小于45°的角，如图3所示，请直接写出你的结论．MEDCBA图2ABC D E M图1图3ABCDEM首先需要证明图1中的结论．由M 是AE 的中点，AB ∥DE ，发现有 平行夹中点 结构，延长BM ，交DE 于点N ，可以得到△ABM ≌△ENM ， 进而得到BM=MN ，AB=BC=EN ， ∴DN=DB ，∴△DBN 是等腰直角三角形， ∴MD ⊥MB ，MD=MB ．（1）图1和图2中没有发生变化的是 M 是AE 的中点，AB ∥DE ， ．分析AB ∥CE ，补全“平行夹中点”的结构，照搬图1中的证明思路．延长BM ，交CE 于点N ，连接BD ，DN ，能够得到 △ABM ≌△ENM ，进而得到BM=MN ；进一步证明△BCD ≌△NED ，可以得到△DBN 是等腰直角三角形，得到结论MD ⊥MB ，MD=MB ．（2）图2和图3两个等腰直角三角形没有变化，M 是AE 的中点也没有发生变化，所以可以照搬（1）中的证明思路．N MED C B A A BC D EM N第一步构造“平行夹中点”的辅助线，过点E 作AB 的平行线，交BM 的延长线于点N ，连接BD ，DN ；第二步证明 △ABM ≌△ENM ；第三步证明 △DBN 是等腰直角三角形 ，过程中需要证明∠BCD=∠NED ，请在图中给出简要证明；第四步根据△DBN 是等腰直角三角形，得到结论MD ⊥MB ，MD=MB ．【试题2】如图1，已知∠MAN =120°，AC 平分∠MAN ，∠ABC =∠ADC =90°，可以证明①DC =BC ；②AC =AB +AD ．（1）如图2，把题干中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为∠ABC +∠ADC =180°，其他条件不变，证明结论①和结论②仍然成立．（2）如图3，如果D 在AM 的反向延长线上，把题干中的条件“∠ABC =∠ADC =90°”改为∠ABC =∠ADC ，其他条件不变，结论①和②是否仍然成立？成立，请证明；不成立，请说明理由．图1A BCDMN图2NMDCB A 图3NMD CB A1. 弄清题干中结论是如何证明的，主要利用的特征为角平分线，以及含有30°角的直角三角形．角平分线的性质得到DC =BC 结论①成立，利用含30°角的直角三角形中12AB AC =，12AD AC =证明结论②成立．2. 第二问与第一问相比，垂直、直角三角形特征已经变化，但_∠MAN =120°，AC 平分∠MAN 没有发生变化，属于不变特征，考虑角平分线的性质，构造与图1一致的三角形，添加辅助线___________________________________．证明的路线图为第一步：辅助线．第二步：由题干可知AC 和AE ，AF 的关系是_____________． 第三步：△CED ≌____________（条件是______），得到ED=FB ，CD=CB ．第四步：AC=AE+AF=FB+AD+AF=AD+AB ，结论①②均成立．3. 不变特征_________________________，没有发生变化，照搬上一问的证明思路．第一步：辅助线，____________________________________． 第二步：由题干可知AC=AE+AF ．第三步：___________________________________________． 第四步：结论①成立，结论②变为_______________．【试题11】在等腰直角三角形ABC 中，∠BAC =90°，AB =AC ，直NMEDCBAFE NMD CBAENMDCBA F线MN 过点A 且MN ∥BC ．以点B 为一锐角顶点作Rt △BDE ，∠BDE =90°，且点D 在直线MN 上（不与点A 重合）．如图1，DE 与AC 交于点P ，易证：BD =DP ．（1）在图2中，DE 与CA 的延长线交于点P ，则BD =DP 是否成立？如果成立，请给予证明；如果不成立，请说明理由．（2）在图3中，DE 与AC 的延长线交于点P ，BD 与DP 是否相等？请直接写出你的结论，无需证明．图1AD NPECBM 图2M BCEPNDA图3ADNPECBM方法一：首先梳理易证的思路，“斜直角放正”，过点D 作DF ⊥MN 交线段AB 于点F ；发现等线段共点，考虑“旋转结构”，可得△DFB ≌△DAP ，所以BD =DP ； 梳理路线图：过D 作DF ⊥MN 交线段AB 于点F△DFB ≌△DAP (ASA) BD =DP（1）类比易证的思路解决第一问．分析不变特征，直角、AB=AC 和平行特征均不变，变化的是点D 和P 的位置，照搬易证的思路，点F 交到AB 的延长线上，结论仍然成立．（2）照搬思路解决第二问．分析不变特征，直角、AB=AC 和平行特征均不变，变化的是点D 和P 的位置，照搬易证的思路，点F 交到BA 的延长线上，结论仍然成立．方法二：利用“等角对等边”来证，只需∠DPB =45°；第一问和第二问类比易证的思路即可．梳理路线图：△DGB ∽△AGP AG:DG=PG:BG△ADG ∽△PBG ∠DPB=∠DAB=45° ∴BD=DPFAB CE NMPDF ABCENM P DGD ABCEN M P。