初一几何典型例题

初一几何典型例题

1、如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角尺的顶点P在射线OM上移动，两直角分别与OA，OB相较于C，D两点，则PC与PD相等吗？试说明理由。

PC=PD

证明：作PE⊥OA于点E，PF⊥OB于点F

∵OM是角平分线

∴PE=PF

∠EPF=90°

∵∠CPD=90°

∴∠CPE=∠DPF

∵∠PEC=∠PFD=90°

∴△PCE≌△PDF

∴PC=PD

2、如图，把两个含有45°角的三角尺按图所示的方式放置，D在BC上，连接AD、BE，AD的延长线交BE于点F。试判断AF与BE的位置关系。并说明理由。

AF⊥BE

证明：

∵CD=CE，CA=CB，∠ACD=∠BCE=90°

∴△ACD≌△BCE

∵∠CBE+∠BEC=90°

∴∠EAF+∠AEF=90°

∴∠AFE=90°

∴AF⊥BE

3、如图，已知直线l1‖l2，且l3和l1、l2分别交于A、B两点，点P在直线AB上。

（1）如果点P在A、B两点之间运动，试求出∠1、∠2、∠3之间的关系，并说明理由；

（2）如果点P在A、B两点外侧运动时(点P与A、B不重合)，试探究∠1、∠2、∠3之间的关系，请画出图形，并说明理由。解：（1）∠1+∠2=∠3；

理由：过点P作l1的平行线PQ，

∵l1∥l2，∴l1∥l2∥PQ，

∴∠1=∠4，∠2=∠5.

∵∠4+∠5=∠3，∴∠1+∠2=∠3；

（2）同理：∠1-∠2=∠3或∠2-∠1=∠3．

理由：当点P在下侧时，过点P作l1的平行线PQ，

∵l1∥l2 ∴l1∥l2∥PQ，

∴∠2=∠4，∠1=∠3+∠4，

当点P在上侧时，同理可得∠2-∠1=∠3．

4、D、E是三角形△ABC内的两点，连接BD、DE、EC，求证AB+AC＞BD+DE+EC

解答：延长DE分别交AB、AC于F、G。

由于FB+FD>BD

AF+AG>FG

EG+GC>EC

所以

FB+FD+FA+AG+EG+GC>BD+FG+EC

即AB+AC+FD+EG>BD+FD+EG+DE+EC

所以AB+AC>BD+DE+EC

5、D为等边△ABC的边BC上任意一点，延长BC至G。作∠ADE＝60°(E.C在AD同侧)与∠ACG的角平分线相交于E，连AE。求证：ADE为等边三角形。

解：如图，作DF‖AC交AB于F.

∵DF‖AC.等边△ABC.

∴等边△BFD.

∴BF=BD,AB=BC.

∴AF=CD.

又∵∠BFD=∠ECG=60°.

∴∠AFD=∠DCE.

∵∠ADE=60°.

且∠B+∠2=∠ADE+∠1

∴∠1=∠2

又∵∠1=∠2,AF=CD,∠AFD=∠DCE.

∴△AFD≌△DCE(ASA).

∴AD=DE.

又∵AD=DE.∠ADE=60°.

∴△ADE为等边三角形。

6、在正方形ABCD中，E为AB中点，F为AE中点，FC=BC+AF，求证：∠FCD=2∠ECB

解：设边长为4，取AD中点G,连接FG、GC，作GH垂直FC于点H。

第一步：∠GCD＝∠ECB 第二步：证明GC是∠FCD的角平分线

△FGC的面积=正方形面积-△BFC面积-△AFG面积-△CDG面积

正方形面积=4x4=16 △BFC面积=3x4/2=6

△AFG面积=1x2/2=1 △CDG面积

=2x4/2=4

所以△FGC的面积=5 三角形FGC的面积=FCxGH/2 FC=BC+AF=5 所以GH=2

GH=GD 所以GC是∠FCD的角平分线所以∠FCD=2∠GCD 即∠FCD=2∠ECB