三角恒等变换讲义
三角恒等变换讲义
一、【知识梳理】：
1．两角和与差的三角函数公式
2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α
. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/(1＋tan αtan β)．
(2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.
(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形
sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2
±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b
2. 5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝
⎛⎭⎫α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π，⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
三、方法归纳总结：
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
2．三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角
总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 备注：在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．
四、典例剖析：
题型一、【公式顺用、逆用、变用】
例1、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D.12
2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛
⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 3、若3tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
4、已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
102，则tan 2α＝________
5．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接
EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.31010
B.1010
C.510
D.515
专题二、【三角恒等变换】
例2、1．（1）、2cos10°－sin20°sin70°=________． （2）、：0
000
0080cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin -+=________
.
变式：（1）、4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.
2＋32 C. 3 D ．22－1
（2)、3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°
＝________.
专题三：【凑角应用】
例3、已知0<β<π4<α<34π，13
5)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．
知识小结：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12
[(α＋β)＋(α－β)]； β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. 变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2
，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________.
变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7
αβ+=
，则tan β的值为_______.
变式3、已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2
，求α＋β的值． 分析：由α2
的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.
评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2
的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．
题型四、【三角恒等变换的综合运用】
1、当2
0π
<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ） C A ．2 B ．32 C ．4 D ．34
2．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．
3、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34
ππ-
上的最大值和最小值.
4、已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32
. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ. 【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用
诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f ⎝⎛⎭
⎫5π12的值直接求出A 的值；②化简f (θ)＋f (－θ)＝32
可得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ可得答案．
5、已知tan 2α=．
（1）求tan 4πα⎛⎫+
⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21
ααααα+--的值．。
三角恒等变形讲义
三角恒等变换专题讲义李 霞知识点1：两角和与差的正弦、余弦和正切公式1.两角和与差的余弦公式βαβαβαsin sin cos cos )-cos(+=βαβαβαsin sin cos cos )cos(-=+注： 1.公式中两边的符号正好相反（一正一负）2.式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后3.会逆用及其变形2.两角和与差的正弦βαβαβαsin cos -cos sin )-sin(=βαβαβαsin cos cos sin )sin(+=+注： 1.公式中两边的符号相同2.式子右边异名三角函数相乘再加减3.会逆用及其变形3.两角和与差的正切公式 tan(α+β)=,tan tan 1tan tan βαβα-+ tan(α-β)=.tan tan 1tan tan βαβα+- 注：1.两角和时，上加下减2.两角差时，上减下加3.会逆用及其变形考点1：求值问题【例】求下列各式的值（1）cos75°（2）cos75°cos15°－sin255°sin15°(3） sin47°－sin47°cos30cos17°（4） 1+tan75°1－tan75°（5）tan20°+tan40°+3tan20°tan40°考点2：化简问题【例】化简下列各式(1)－23sinx+21cosx(2)23sinx －21cosx知识点2：两倍角的正弦、余弦和正切公式1.两倍角的正弦公式Sin2α=2sin αcos α2.两倍角的余弦公式Cos2α=.cos ²α-sin ²α=2cos ²α－1=1－2sin ²α3.两倍角的正切公式t an2α=αα2tan 1tan 2-注：对以上三个公式会逆用及其变形考点：求值问题【例1】已知：sinα－cos α=2，α），（π0∈，则sin2α=【例2】计算求值10sin 1－ 10cos 3知识点3：简单的三角恒变形1.半角公式（1）2cos 12sinαα-±= （2）2cos 12cos αα+±=（3）αααααsin cos 1cos 1sin 2tan -=+= 2. 和差化积 （1）2cos 2sin 2sin sin βαβαβα-+=+（2）2sin 2cos 2sin sin βαβαβα-+=- （3）2cos 2cos 2cos cos βαβαβα-+=+ （4）2sin 2sin 2cos cos βαβαβα-+-=- 3. 积化和差（1）)]sin()[sin(21cos sin βαβαβα-++=（2）)]sin()[sin(21sin cos βαβαβα--+=（3）)]cos()[cos(21cos cos βαβαβα-++= （4）)]cos()[cos(21sin sin βαβαβα--+-=4. 辅助角公式 辅助角公式：()22sin cos a x b x a b x θ+=++(其中θ角所在的象限由a , b 的符号确定，θ角的值由tan b aθ=确定)在求最值、化简时起着重要作用 考点1：化简求值问题 （1）升幂化简【例1】若32(,)αππ∈111122222cos α++【例2】化简： 440sin 12-【例3】α是第三象限角，化简 ααααsin 1sin 1sin 1sin 1+---+【例4】化简 ),2(cos 1cos 1cos 1cos 1ππθθθθθ∈-+++-（2）降幂化简【例1】求函数22cos sin 2y x x =+的最小值【例2】函数22cos 14y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭最小正周期为【例3】函数2553f (x )sin x cos x x =-532(x R )∈的单调递增区间为___________（3）切化弦【例1】求sin50°（1+3tan10°）的值【例2】（tan10°－3）50sin 10cos（4）巧变角（已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如()()ααββαββ=+-=-+，2()()ααβαβ=++-，2()()αβαβα=+--，22αβαβ++=⋅，()()222αββααβ+=---等）【例1】已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，求tan()4πα+的值【例2】已知02πβαπ<<<<，且129cos()βα-=-，223sin()αβ-=，求的值 cos()αβ+【例3】已知：锐角α和β，满足sin （α－β）=53，sin α=54，求sin β的值【例4】已知：tan （α+6π）=21，tan （β－6π）=21，求tan （α＋β）的值（5）辅助角【例1】已知函数3()2cos sin()32f x x x π=+- （1）求函数()f x 的最小正周期及取得最大值时x 的取值集合（2）求函数()f x 图像的对称轴方程【例2】已知函数23()2cos sin cos 2f x a x b x x =+-，且3(0)2f =，1()42f π=。
简单的三角恒等变换(讲义)
简单的三角恒等变换【学习目标】1．能用二倍角公式推导出半角的正弦、余弦、正切公式； 2．掌握公式应用的常规思路和基本技巧； 3．了解积化和差、和差化积公式的推导过程，能初步运用公式进行互化； 4．通过运用公式进行简单的恒等变换，进一步提高运用联系的观点、化归的思想方法处理问题的自觉性，体会 换元思想的作用，发展推理能力和运算能力；5．通过公式的推导，了解它们的内在联系和知识发展过程，体会特殊与一般的关系，培养利用联系的观点处理 问题的能力．要点梳理】要点一：升（降）幂缩（扩）角公式升幂公式：22 1 cos2 2cos ， 1 cos2 2sin 降幂公式：21 cos2 2 1 cos2 cos ， sin 22要点诠释：利用二倍角公式的等价变形： 1 cos 2sin 2 ， 1 cos 2cos 2 进行“升、降幂”变换，即由左边的22 “一次式”化成右边的“二次式”为“升幂”变换，逆用上述公式即为“降幂”变换． 要点二：辅助角公式1．形如 asinx b cosx 的三角函数式的变形：asin x bcosxasin x b cosx = a 2 b 2 sin x cosa 2b 2 sin(x )（其 中 角所在 象限由 a,b 的 符号确 定， 角的值 由 tan b 确定， 或由 sin b 和 a确定， 或由a 2b 2acos 共同确定．）a2 b22．辅助角公式在解题中的应用通过应用公式 asinx bcosx = a 2 b 2 sin （x ）（或 asinx bcosx = a 2 b 2 cos （ ） ），将形如 asinx bcosx （ a, b 不同时为零）收缩为一个三角函数a 2b 2 sin （x ）（或 a 2 b 2 cos （ ））．这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和变形为一个三角函数， 这样做有利于函数式的化 简、求值等．aa 2b 2sinxcosx令cosaa 2b 2,sincosxsinba 2b 2b要点三：半角公式 （ 以下公式只要求会推导，不要求记忆 ）以上三个公式分别称作半角正弦、余弦、正切公式，它们是用无理式表示的．sin 1 costan ,tan2 1 cos 2 sin以上两个公式称作半角正切的有理式表示．要点四：积化和差公式2、只有系数绝对值相同的同名三角函数的和与差，才能直接应用公式化成积的形式．如能直接化积，应先化成同名三角函数后，再用公式化成积的形式．3、三角函数的和差化积，常因采用的途径不同，而导致结果在形式上有所差异，但只要没有运算错误，其 结果实质上是一样的．4、为了能把三角函数的和差化成积的形式，有时需要把某些特殊数值当作三角函数值，如sin cos cos cos要点诠释：2[sin( [cos(2 ) sin( )] ) cos( )]cos sin sin sin2[sin([cos( 2) sin( )] ) cos( )]规律 1： 公式右边中括号前的系数都有 1 ．2规律 2： 中括号中前后两项的角分别为和规律 3： 每个式子的右边分别是这两个角的同名函数．要点五：和差化积公式x y x y sin x sin y2sin cos 22 x y x y cosx cosy 2cos cos 22 要点诠释：规律 1： 在所有的公式中，右边积的系数中都有2．sin x sin y x yxy2cos sin222sin x y x y cosx cosysin22规律 2： A B 与 A2 在第三个公式中，左边是两个余弦相加，右边是两个余弦相乘，于是得出“扣（ 在所有的公式中，左边都是角 A 与 B 的弦函数相加减，右边都是规律 扣”；而第四个公式中，左边是两个余弦相减，右边没有余弦相乘，于是得出“扣减扣等于没扣” 规律4： 两角正弦相加减时，得到的都是正弦、余弦相乘．注意1、公式中的“和差”与“积” ，都是指三角函数间的关系，并不是指角的关系．3：B 的弦函数相乘．2cos ）加扣等于俩sin cos 就不cos221π cos cos cos23ππ2sin sin6 2 6 25、三角函数式和差化积的结果应是几个三角函数式的最简形式．典型例题】类型一：利用公式对三角函数式进行证明变式 1】求证： sinsin 2sincos22类型二：利用公式对三角函数式进行化简 例 3 ． 已知 32 ，试化简 1 sin 1 sin例 1．求证： tan2 sin1 cos1 cos sin2tan1tan 22, cos2, tan1 tan 21tan 2222tan 2例 2．求证：（1） cos cos[cos( 2) cos( )](2) cosx cosy2cosx y cosx y22变式 2】求证：3x x tan tan222sin x cosx cos2x变式 1】求证： sin1 tan2 2类型三：利用公式进行三角函数式的求值1例 4．已知 sin(3 ) ，4( 1)求 cos 2 的值；2)求cos( )cos [cos( ) 1] cos( cos( 2 ) 的值2 )cos( ) cos( )【变式 1】2 已知 sin x － sin y ＝－ ， 2cos x － cos y ＝ ，且 x ，y 为锐角，则 sin( x ＋y ) 的值是 ()3 3A ．1B ．－ 111C.D.321)求 sin(2 ) 的值，2)求 tan(23)的值．变式 1】化简32 ,2变式 2】已知角α终边逆时针旋转与单位圆交于点 63 10 10(10 , 10 ) ，且 tan(类型四：三角恒等变换的综合应用3例5．求函数y sinx cosx sin xcosx ；x [ , ] 的值域442变式1】已知函数f （x） acos2x sin x cos x（ x R）的图象经过点M （1）求a 的值及函数f（x）的最小正周期T；3（2）当x [ , ]时，求函数f（x）的最值及相应的x 值．841,12），其中常数a∈R．。
三角恒等变换内容
三角恒等变换内容一、什么是三角恒等变换呀三角恒等变换就是对三角函数进行各种变形，让它们在形式上发生变化，但本质上还是相等的。
就像是给三角函数换了一身衣服，但还是同一个“人”哦。
这在数学里可太有用啦，就像搭积木一样，可以把复杂的三角函数表达式通过恒等变换变成我们容易处理的形式。
比如说，sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB，这就是一个很经典的三角恒等变换公式呢。
它可以帮助我们计算很多和三角函数有关的问题，像在物理里计算波的叠加之类的。
二、常见的三角恒等变换公式1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式对于正弦，sin(A ± B)=sinAcosB±cosAsinB。
咱可以想象成把两个角的正弦和余弦按照一定的规则组合起来。
就好比是两个人合作完成一件事，每个人都出一部分力，最后组合成一个结果。
余弦呢，cos(A ± B)=cosAcosB∓sinAsinB。
这个公式和正弦的有点像，但是符号有些不同，就像是双胞胎，长得很像但是有一些小区别。
正切的公式是tan(A ± B)=(tanA±tanB)/(1∓tanAtanB)。
这个公式相对来说就有点复杂啦，不过只要记住分子分母分别是什么就好啦。
2. 二倍角公式sin2A = 2sinAcosA。
这个可以理解为角加倍了，正弦的表达式就变成了这样。
就好像是一个任务原来是一个人用一种方式做，现在变成两个人合作的方式来做了。
cos2A = cos²A - sin²A = 2cos²A - 1 = 1 - 2sin²A。
这个公式有三种不同的形式呢，可以根据具体的题目情况来选择使用哪种形式更方便。
tan2A=(2tanA)/(1 - tan²A)。
这个和两角和的正切公式有点联系，也是要小心分子分母的内容哦。
三、怎么运用这些公式进行三角恒等变换呢1. 化简三角函数表达式当我们看到一个复杂的三角函数表达式时，首先要观察它里面有哪些角，是和差的形式还是倍角的形式。
第三章 三角恒等变换整体说明
sin α + sin β = sin(
α +β
第三章 三角恒等变换
一、知识网络
三角恒பைடு நூலகம்变换
两角和差的正弦、 两角和差的正弦、 余弦和正切公式
简单的三角恒 等变换
二、高考考点 1、两角和差的正弦、余弦和正切公式的运用； 、 2、二倍角公式、万能公式、积化和差、和差化积公式的综合运用； 3.综合运用公式，进行化简求值域、定义域、最值等，以便于更好地探究三角函数的性质。 三、知识要点 1、两角和差的正弦、余弦和正切公式； 2、二倍角公式、万能公式、积化和差、和差化积公式； （1）六组基本公式：
sin(α + β ) = sin α cos β + cos α sin β sin(α − β ) = sin α cos β − cos α sin β cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β ) = cos α cos β + sin α sin β tan α + tan β 1 − tan α tan β tan α − tan β tan(α − β ) = 1 + tan α tan β tan(α + β ) =
高中数学 三角函数 板块三 三角恒等变换完整讲义(学生版)
学而思高中完整讲义：三角函数.板块三.三角恒等变换.学生版题型一：两角和与差的正弦、余弦、正切公式【例1】 cos79cos34sin79sin34+=（ ）。
A 12B 1 2 3【例2】 已知4cos 5α=-，(,)2παπ∈，则cos()4πα-=（ ）。
2 B 2C 7272 【例3】 在平面直角坐标系中，已知两点(cos80,sin80)A =，(cos20,sin 20)B =，则||AB 的值是（ ）A 12 2 3D 1【例4】 若3sin sin 1αβ-=，1cos cos 2αβ-=-，则cos()αβ-=（ ） A 12B 12- C 33 【例5】 已知3sin(30)5α+=，60150α<<，则cos α=（ ）343- 343+ 433- 433+【例6】 sin15cos15+=（ ）。
A 12B223 6【例7】 若α，β为锐角，且满足4cos 5α=，3cos()5αβ+=，则sin β的值是（ ）。
A 1725B 35C725D 15【例8】 已知1sin 4α=-，3(,)2παπ∈，3(,2)2πβπ∈，则αβ+是（ ） A 第一象限角 B 第二象限角典例分析C 第三象限角D 第四象限角【例9】 已知向量(cos75,sin 75)a =，(cos15,sin15)b =，那么||a b -的值为（ ）A 12B2D 1【例10】 已知34παβ+=，则(1tan )(1tan )αβ--=（ ）A 2B 2-C 1D 1-【例11】 sin163sin 223sin 253sin313+=（ ）。
A 12- B 12C【例12】 已知1tan 41tan αα-=+tan()4πα-=（ ）。
A4 B 4 C 4-- D 4-【例13】 已知2tan()5αβ+=，1tan()44πβ-=，那么tan()4πα+=（ ） A 1318B 1322C322D 16【例14】 已知sin cos θθ-，(0)2πθ≤≤，则sin cos θθ+=（ ）B 23C 13D 1【例15】 在ABC 中，sin cos A A +的取值范围是（ ）A(1,- B (, C (,2] D (1,1]- 【例16】 sin70sin30cos70cos30a =+，cos71cos30sin71sin30b =+，则,a b 的大小关系是 。
三角恒等变换(讲义及答案)
5. 若 sin cos 1 ，cos sin 1 ，则 sin( ) ______．
2
3
6. 若 cos( ) 1 ，cos( ) 3 ，则 tan tan =________．
5
5
7. 在△ABC 中，若 2cos B sin A sin C ，则△ABC 一定是（ ）
A．等腰直角三角形
B．直角三角形
C．等腰三角形
D．等边三角形
8. 求证：
（1） sin(2A B) 2cos(A B) sin B ；
sin A
sin A
（2）
1
sin 2 cos 2
.1cocsos
tan
2
．
4
9. 若 3sin x 3 cos x 2 3 sin(x ) ， ( ，) ，则 ____．
以 代 ，可得到 C( ) ， S( ) ， T( )
C( ) ：________________________
S( ) ：________________________
T( ) ：________________________ C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做和角公式； C( ) ， S( ) ， T( ) 这三个公式叫做差角公式．
三角恒等变换（讲义）
知识点睛
一、两角差的余弦公式推导 如图，在平面直角坐标系 xOy 内作单位圆 O，以 Ox 为始边 作角 ， ，它们的终边与单位圆 O 的交点分别为 A，B．则
OA (cos ，sin ) ， OB (cos ，sin ) ，
∴ OA OB (cos ，sin ) (cos ，sin ) _____________．
1
三、倍角公式 利用 C( ) ， S( ) ， T( ) ，令 ， 得到 cos 2 =_____________=____________=____________ sin 2 =_____________________
简单的三角恒等变换讲义
简单的三角恒等变换讲义一、知识梳理1．两角和与差的余弦、正弦、正切公式cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β(C (α－β))，cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β(C (α＋β))sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β(S (α－β))，sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β(S (α＋β))tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β(T (α－β))，tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β(T (α＋β)) 2．二倍角公式sin 2α＝2sin αcos α；cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；tan 2α＝2tan α1－tan 2α. 注意：1．降幂公式：cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 2．升幂公式：1＋cos 2α＝2cos 2α，1－cos 2α＝2sin 2α.3．辅助角公式：a sin x ＋b cos x ＝a 2＋b 2sin(x ＋φ)，其中sin φ＝b a 2＋b 2，cos φ＝a a 2＋b 2. 二、基础检测题组一：思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．( ) (2)对任意角α都有1＋sin α＝)2cos 2(sin αα+2.( ) (3)y ＝3sin x ＋4cos x 的最大值是7.( )(4)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．( ) 题组二：教材改编 2．若cos α＝－45，α是第三象限的角，则sin )4(πα+等于( ) A ．－210 B.210 C ．－7210 D.72103．sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝ .4．tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ .题组三：易错自纠5．化简：cos 40°cos 25°·1－sin 40°＝ . 6．若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β＝ . 三、典型例题题型一：和差公式的直接应用1．已知sin α＝35，α∈),2(ππ，tan(π－β)＝12，则tan(α－β)的值为( ) A ．－211 B.211 C.112 D ．－1122．已知角α为锐角，若sin )6(πα-＝13，则cos )3(πα-等于( ) A.26＋16B.3－28C.3＋28D.23－16 3．计算sin 110°sin 20°cos 2155°－sin 2155°的值为 ． 思维升华：(1)使用两角和与差的三角函数公式，首先要记住公式的结构特征．(2)使用公式求值，应先求出相关角的函数值，再代入公式求值．题型二：和差公式的灵活应用命题点1：角的变换典例 (1)设α，β都是锐角，且cos α＝55，sin(α＋β)＝35，则cos β＝ . (2)已知cos(75°＋α)＝13，则cos(30°－2α)的值为 ． 命题点2：三角函数式的变换 典例 (1)求值：1＋cos 20°2sin 20°－sin 10°)5tan 5tan 1( -. 思维升华：(1)解决三角函数的求值问题的关键是把“所求角”用“已知角”表示．①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系．跟踪训练 (1)计算：cos 10°－3cos (－100°)1－sin 10°＝ .(用数字作答) (2)已知α∈)20(π，，β∈)20(π，，且cos α＝17，cos(α＋β)＝－1114，则sin β＝ . 四、反馈练习1．若cos θ＝23，θ为第四象限角，则cos )4(πθ+的值为( )A.2＋106 B.22＋106 C.2－106 D.22－1062．若sin α＝45，则sin )4(πα+－22cos α等于( ) A.225 B ．－225 C.425 D ．－425 3．已知α是第二象限角，且tan α＝－13，则sin 2α等于( ) A ．－31010B.31010 C ．－35 D.354．设a ＝cos 50°cos 127°＋cos 40°sin 127°，b ＝22(sin 56°－cos 56°)，c ＝1－tan 239°1＋tan 239°，则a ，b ，c 的大小关系是( )A ．a >b >cB ．b >a >cC ．c >a >bD ．a >c >b5．已知sin α＝35且α为第二象限角，则tan )42(πα+等于( ) A ．－195 B ．－519 C ．－3117 D ．－17316．已知sin 2α＝23，则cos 2)4(πα+等于( ) A.16B.13C.12D.23 7．2cos 10°－sin 20°sin 70°的值是( ) A.12B.32C. 3D.28．已知锐角α，β满足sin α－cos α＝16，tan α＋tan β＋3tan αtan β＝3，则α，β的大小关系是( ) A ．α<π4<β B ．β<π4<α C.π4<α<β D.π4<β<α9．若tan )4(πα-＝16，则tan α＝ . 10．化简：2tan (45°－α)1－tan 2(45°－α)·sin αcos αcos 2α－sin 2α＝ . 11．已知sin α＋cos α＝13，则sin 2)4(απ-＝ . 12．已知sin(α－β)cos α－cos(β－α)sin α＝35，β是第三象限角，则sin )45(βπ+＝ . 13．若α∈)2(ππ，，且3cos 2α＝sin )4(απ-，则sin 2α的值为( )A ．－118 B.118 C ．－1718 D.171814．已知cos )4(θπ+cos )4(θπ-＝14，则sin 4θ＋cos 4θ的值为 ． 15．设α，β∈[0，π]，且满足sin αcos β－cos αsin β＝1，则sin(2α－β)＋sin(α－2β)的取值范围为 ．16．已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x . (1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f )84(πα-＝22，求tan )3(πα+的值．。
三角函数与三角恒等变换讲义
三角函数、解三角形第一节 任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类⎩⎪⎨⎪⎧按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝{β|β＝α＋2k π，k ∈Z }．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同． 2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad. (2)公式：有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度． 3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝yx (x ≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x 轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦． (2)三角函数定义的推广设点P (x ，y )是角α终边上任意一点且不与原点重合，r ＝|OP |，则sin α＝y r ，cos α＝xr ，tan α＝yx(x ≠0)．(3)象限角(4)轴线角考点一 象限角及终边相同的角[典例] (1)若α是第二象限角，试分别确定2α，2α，3α的终边所在的位置。
(2)终边在直线y ＝3x 上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[题组训练]1．集合⎩⎨⎧⎭⎬⎫α⎪⎪k π≤α≤k π＋π4，k ∈Z 中的角所表示的范围(阴影部分)是( )2.在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．3.（1）用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示（不包括边界）。
2019年高一数学必修四《三角恒等变换》讲义
2019年高一数学必修四《三角恒等变换》讲义一、复习题1.圆的半径是6 cm ，则圆心角为15°的扇形面积是________．解析 因为15°＝π12，所以面积S ＝12αR 2＝12×π12×36＝32π(cm 2)．答案 32π(cm 2)2．已知半径为1的扇形面积为38π，则扇形的圆心角为( )A ．3π16B ．3π8C ．3π4D ．3π2解析 由S ＝12|α|r 2得3π8＝12×α×12，所以α＝3π4．答案 C3．若θ＝－5，则角θ的终边在( )A ．第四象限B ．第三象限C ．第二象限D ．第一象限解析 2π－5与－5的终边相同， ∵2π－5∈(0，π2)，∴2π－5是第一象限角，则－5也是第一象限角． 答案 D4.已知角α的终边过点P (－3a,4a )(a ≠0)，求2sin α＋cos α的值．解 r ＝(－3a )2＋(4a )2＝5|a |， ①若a >0，则r ＝5a ，角α在第二象限． sin α＝y r ＝4a 5a ＝45，cos α＝x r ＝－3a 5a ＝－35，所以2sin α＋cos α＝85－35＝1．②若a <0，则r ＝－5a ，角α在第四象限， sin α＝4a －5a ＝－45，cos α＝－3a －5a ＝35．所以2sin α＋cos α＝－85＋35＝－1．5.已知角α的终边经过点P (5m,12)，且cos α＝－513，则m ＝________．解析 cos α＝－513<0，则α的终边在第二或三象限，又点P 的纵坐标是正数，所以α是第二象限角，所以m <0，由5m 25m 2＋144＝－513，解得m ＝－1．答案 －1 6.求下列各式的值：(1)sin(－1 395°)cos 1 110°＋cos(－1 020°)sin 750°； (2)sin ⎝⎛⎭⎫－11π6＋cos 12π5·tan 4π． 解 (1)原式＝sin(－4×360°＋45°)cos(3×360°＋30°)＋cos(－3×360°＋60°)sin(2×360°＋30°)＝sin 45°cos 30°＋cos 60°sin 30°＝22×32＋12×12＝64＋14＝1＋64． (2)原式＝sin ⎝⎛⎭⎫－2π＋π6＋cos ⎝⎛⎭⎫2π＋2π5·tan(4π＋0)＝sin π6＋cos 2π5×0＝12． 7.若sin α·cos α<0，则α的终边在( )A ．第一或第二象限B ．第一或第三象限C ．第一或第四象限D ．第二或第四象限解析 若sin α>0，cos α<0，则α的终边在第二象限； 若sin α<0，cos α>0，则α的终边在第四象限，故选D ． 答案 D8.设a ＝sin 46°，b ＝cos 46°，c ＝tan 46°，则( ) A ．c ＞a ＞b B ．a ＞b ＞c C ．b ＞c ＞a D ．c ＞b ＞a答案 A解析 如图所示，由于46°＞45°，结合三角函数线知，AT ＞MP ＞OM . 故有tan 46°＞sin 46°＞cos 46°，即c ＞a ＞b .二、三角恒等变换1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β.cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β. sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β. sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β. tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β.tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β.2．二倍角公式 sin 2α＝2sin αcos α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan 2α.3．升幂公式 1＋cos 2α＝2cos 2α. 1－cos 2α＝2sin 2α. 4．降幂公式sin x cos x ＝sin 2x2，cos 2x ＝1＋cos 2x 2.sin 2x ＝1－cos 2x 2. 5．和差角正切公式变形tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)． tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)． 6．辅助角公式y ＝a sin ωx ＋b cos ωx ＝a 2＋b 2sin(ωx ＋θ)．1．两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．( √ ) 2．对任意角α，sin 2α＝2sin α均不成立．( × ) 提示 如α＝k π，k ∈Z ，则sin 2α＝2sin α＝0. 3．y ＝sin x ＋cos x 的最大值为2.( × )提示 ∵y ＝sin x ＋cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，∴函数最大值为 2. 4．存在角α，β，使等式cos(α＋β)＝cos α＋cos β成立．( √ )提示 如α＝－π4，β＝π2，则cos(α＋β)＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋π2＝22，cos α＋cos β＝cos ⎝⎛⎭⎫－π4＋cos π2＝cos π4＝22，两式相等.类型一 灵活变角的思想在三角恒等变换中的应用例1 已知α，β为锐角，cos α＝45，tan(α－β)＝－13，求cos β的值．解 ∵α是锐角，cos α＝45，∴sin α＝35，tan α＝34.∴tan β＝tan[α－(α－β)]＝tan α－tan (α－β)1＋tan αtan (α－β)＝139.∵β是锐角，∴cos β＝91050.反思与感悟 给值求值的重要思想是探求已知式与待求式之间的联系，常常在进行角的变换时，要注意各角之间的和、差、倍、半的关系，如α＝2·⎝⎛⎭⎫α2，α＝(α＋β)－β，α＝β－(β－α)，α＝12[(α＋β)＋(α－β)]，β＝12[(α＋β)－(α－β)]等．跟踪训练1 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为31010，255.(1)求tan(α－β)的值； (2)求α＋β的值．解 (1)由题可知，cos α＝31010，cos β＝255.由于α，β为锐角，则sin α＝1010，sin β＝55. 故tan α＝13，tan β＝12.则tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝13－121＋16＝－17.(2)因为tan(α＋β)＝13＋121－16＝1，sin α＝1010<22，sin β＝55<22， 即0<α＋β<π2，故α＋β＝π4.类型二 整体换元思想在三角恒等变换中的应用例2 求函数f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，x ∈R 的最值及取到最值时x 的值． 解 设sin x ＋cos x ＝t ， 则t ＝sin x ＋cos x ＝2⎝⎛⎭⎫22sin x ＋22cos x＝2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4， ∴t ∈[－2，2]．∴sin x ·cos x ＝(sin x ＋cos x )2－12＝t 2－12.∵f (x )＝sin x ＋cos x ＋sin x ·cos x ，∴g (t )＝t ＋t 2－12＝12(t ＋1)2－1，t ∈[－2，2]．当t ＝－1，即sin x ＋cos x ＝－1时，f (x )min ＝－1， 此时，由sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝－22， 解得x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z .当t ＝2，即sin x ＋cos x ＝2时，f (x )max ＝2＋12，此时，由2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝2，即sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4＝1， 解得x ＝2k π＋π4，k ∈Z .综上，当x ＝2k π－π或x ＝2k π－π2，k ∈Z 时，f (x )取得最小值－1；当x ＝2k π＋π4，k ∈Z 时，f (x )取得最大值2＋12.反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把一个代数式整体视为一个“元”来参与计算和推理，这个“元”可以明确地设出来．跟踪训练2 求函数y ＝sin x ＋sin 2x －cos x (x ∈R )的值域． 解 令sin x －cos x ＝t ，则由t ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π4知，t ∈[－2，2]． 又sin 2x ＝1－(sin x －cos x )2＝1－t 2， ∴y ＝(sin x －cos x )＋sin 2x ＝t ＋1－t 2 ＝－⎝⎛⎭⎫t －122＋54，t ∈[－2，2]． 当t ＝12时，y max ＝54；当t ＝－2时，y min ＝－2－1.∴函数的值域为⎣⎡⎦⎤－2－1，54. 类型三 转化与化归思想在三角恒等变换中的应用例3 已知函数f (x )＝23sin(x －3π)sin ⎝⎛⎭⎫x －π2＋2sin 2⎝⎛⎭⎫x ＋5π2－1，x ∈R . (1)求函数f (x )的最小正周期及在区间⎣⎡⎦⎤0，π2上的最大值和最小值； (2)若f (x 0)＝65，x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，求cos 2x 0的值． 解 (1)因为f (x )＝3(2sin x cos x )＋(2cos 2x －1) ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π6， 所以f (x )的最小正周期为π. 又因为x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， 所以2x ＋π6∈⎣⎡⎦⎤π6，7π6. 所以f (x )的最大值为2，最小值为－1. (2)由(1)可知，f (x 0)＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6. 又因为f (x 0)＝65，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝35.由x 0∈⎣⎡⎦⎤π4，π2，得2x 0＋π6∈⎣⎡⎦⎤2π3，7π6， 所以cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－1－sin 2⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6＝－45， cos 2x 0＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6－π6 ＝cos ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6cos π6＋sin ⎝⎛⎭⎫2x 0＋π6sin π6 ＝3－4310.反思与感悟 (1)为了研究函数的性质，往往要充分利用三角变换公式转化为正弦型(余弦型)函数，这是解决问题的前提．(2)解答此类题目要充分运用两角和(差)、二倍角公式、辅助角公式消除差异，减少角的种类和函数式的项数，将三角函数表达式变形化简，然后根据化简后的三角函数，讨论其图象和性质．跟踪训练3 已知cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值． 解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x (cos x ＋sin x )cos x －sin x＝sin 2x (1＋tan x )1－tan x＝sin 2x ·tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x .∵17π12<x <7π4，∴5π3<x ＋π4<2π. 又∵cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝35， ∴sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－45. ∴tan ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－43. ∴cos x ＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4＋sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x sin π4 ＝22×⎝⎛⎭⎫35－45＝－210.∴sin x ＝sin ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫π4＋x －π4＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋x cos π4－sin π4cos ⎝⎛⎭⎫π4＋x ＝－7210. ∴sin 2x ＝725，∴sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875.类型四 构建方程(组)的思想在三角恒等变换中的应用 例4 已知sin x ＋2cos y ＝2，求2sin x ＋cos y 的取值范围． 解 设2sin x ＋cos y ＝a .由⎩⎪⎨⎪⎧sin x ＋2cos y ＝2，2sin x ＋cos y ＝a ，解得⎩⎨⎧sin x ＝2a －23，cos y ＝4－a 3，从而⎩⎨⎧－1≤2a －23≤1，－1≤4－a3≤1，解得1≤a ≤52.故2sin x ＋cos y 的取值范围是⎣⎡⎦⎤1，52. 反思与感悟 在三角恒等变换中，有时可以把某个三角函数式看作未知数，联系已知条件或三角公式，设法建立关于未知数的方程组，从而使问题得以解决．1．若cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝－22，则sin α＋cos α的值为( )A ．－72 B ．－12 C.12 D.72答案 C解析 由题意得cos 2α－sin 2α22(sin α－cos α)＝－2(sin α＋cos α)＝－22，所以sin α＋cos α＝12.故选C. 2．若α是第三象限角，且sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β)＝－513，则tan α2等于( )A ．－5B ．－513 C.1213 D ．5答案 A解析 ∵sin(α＋β)cos β－sin βcos(α＋β) ＝sin[(α＋β)－β]＝sin α＝－513， 又∵α是第三象限角，∴cos α＝－1213.∴tan α2＝1－cos αsin α＝1－⎝⎛⎭⎫－1213－513＝－5.3．已知sin α＋cos β＝13，sin β－cos α＝12，则sin(α－β)＝________.答案 －5972解析 由(sin α＋cos β)2＋(sin β－cos α)2＝1336，得2sin(α－β)＝－5936，即sin(α－β)＝－5972.4．设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12的值为________． 答案17250解析 ∵α为锐角且cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35. sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝2425， cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6－1＝725， ∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π12＝sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－π4 ＝22⎣⎡⎦⎤sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝17250. 5．已知函数f (x )＝cos x ·sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3cos 2x ＋34，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；(2)求f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值和最小值． 解 (1)由已知，有f (x )＝cos x ·⎝⎛⎭⎫12sin x ＋32cos x －3cos 2x ＋34＝12sin x ·cos x －32cos 2x ＋34 ＝14sin 2x －34(1＋cos 2x )＋34 ＝14sin 2x －34cos 2x ＝12sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3. 所以f (x )的最小正周期为T ＝2π2＝π. (2)因为f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，－π12上是减函数， 在区间⎣⎡⎦⎤－π12，π4上是增函数， f ⎝⎛⎭⎫－π4＝－14，f ⎝⎛⎭⎫－π12＝－12，f ⎝⎛⎭⎫π4＝14， 所以函数f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的最大值为14，最小值为－12.本章所学的内容是三角恒等变换重要的工具，在三角函数式求值、化简、证明，进而研究三角函数的性质等方面都是必要的基础，是解答整个三角函数类试题的必要基本功，要求准确、快速化到最简，再进一步研究函数的性质.一、选择题1．cos 2 017°cos 1 583°－sin 2 017°sin 1 583°等于( ) A ．0 B.12 C.22D ．1答案 D解析 原式＝cos(2 017°＋1 583°)＝cos 3 600°＝1. 2．函数y ＝12sin 2x ＋sin 2x (x ∈R )的值域是( )A.⎣⎡⎦⎤－12，32B.⎣⎡⎦⎤－32，12C.⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12D.⎣⎡⎦⎤－22－12，22－12 答案 C解析 y ＝12sin 2x ＋1－cos 2x 2＝22⎝⎛⎭⎫22sin 2x －22cos 2x ＋12 ＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4＋12. ∵x ∈R ，∴2x －π4∈R .∴sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4∈[－1,1]． ∴函数的值域是⎣⎡⎦⎤－22＋12，22＋12. 3．函数f (x )＝sin x cos x ＋32cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( ) A ．π，1 B ．π，2 C ．2π，1 D ．2π，2答案 A解析 ∵f (x )＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3， ∴最小正周期T ＝π，振幅A ＝1.4．已知tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝－12，且π2＜α＜π，则sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4等于( ) A.255B ．－255C ．－355D ．－31010答案 B解析 sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝2cos α(sin α－cos α)22(sin α－cos α)＝22cos α.∵tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝1＋tan α1－tan α＝－12，∴tan α＝－3. ∵α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－1010， 则sin 2α－2cos 2αsin ⎝⎛⎭⎫α－π4＝22cos α＝22×⎝⎛⎭⎫－1010＝－255.5．若1tan θ＝3，则cos 2θ＋12sin 2θ的值是( )A ．－65B ．－45C.45D.65答案 D解析 由题意知，tan θ＝13，则cos 2θ＋12sin 2θ＝cos 2θ＋sin θcos θ＝cos 2θ＋sin θcos θsin 2θ＋cos 2θ＝1＋tan θtan 2θ＋1＝65.6．函数y ＝sin x cos x ＋3cos 2x －3的图象的一个对称中心为( ) A.⎝⎛⎭⎫2π3，－32B.⎝⎛⎭⎫5π6，－32 C.⎝⎛⎭⎫－2π3，32 D.⎝⎛⎭⎫π3，－3答案 B解析 y ＝12sin 2x ＋32(1＋cos 2x )－ 3＝sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3－32.令2x ＋π3＝k π(k ∈Z )， 得x ＝k π2－π6(k ∈Z )．当k ＝2时，x ＝5π6.∴函数图象的一个对称中心为⎝⎛⎫5π6，－32. 二、填空题7．若点P (cos α，sin α)在直线y ＝－2x 上，则sin 2α＋2cos 2α＝________. 答案 －2解析 由题意知，tan α＝－2，sin 2α＋2cos 2α＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2α ＝2sin αcos α＋2cos 2α－2sin 2αsin 2α＋cos 2α＝2tan α＋2－2tan 2αtan 2α＋1＝－4＋2－2×45＝－2.8．函数y ＝(a cos x ＋b sin x )cos x 有最大值2，最小值－1，则实数a ＝________，b ＝________. 答案 1 ±2 2解析 y ＝a cos 2x ＋b sin x cos x＝b 2sin 2x ＋a 2cos 2x ＋a 2 ＝a 2＋b 22sin(2x ＋φ)＋a 2.由已知得，a 2＋b 22＋a 2＝2，－a 2＋b 22＋a 2＝－1，∴a ＝1，b ＝±2 2.9．若(4tan α＋1)(1－4tan β)＝17，则tan(α－β)＝________. 答案 4解析 由已知，得4(tan α－tan β)＝16(1＋tan αtan β)， 即tan α－tan β1＋tan αtan β＝4.∴tan(α－β)＝4. 三、解答题10．已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫1＋1tan x sin 2x －2sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4·sin ⎝⎛⎭⎫x －π4. (1)若tan α＝2，求f (α)；(2)若x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，求f (x )的取值范围． 解 (1)f (x )＝sin 2x ＋sin x cos x ＋cos 2x ＝1－cos 2x 2＋12sin 2x ＋cos 2x＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12. 由tan α＝2，得sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan αtan 2α＋1＝45， cos 2α＝cos 2α－sin 2αsin 2α＋cos 2α＝1－tan 2αtan 2α＋1＝－35，所以f (α)＝12×⎝⎛⎭⎫45－35＋12＝35. (2)由(1)得f (x )＝12(sin 2x ＋cos 2x )＋12＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12， 由x ∈⎣⎡⎦⎤π12，π2，得2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤5π12，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1. 从而f (x )＝22sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π4＋12∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22. 所以f (x )的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，1＋22.11．已知函数f (x )＝2cos x ·(sin x －cos x )，x ∈R . (1)求函数f (x )的图象的对称中心；(2)求函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最小值和最大值．解 (1)f (x )＝2cos x (sin x －cos x )＝sin 2x －cos 2x －1＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1. 令2x －π4＝k π，k ∈Z ，得x ＝k π2＋π8，k ∈Z ，因此，函数f (x )的图象的对称中心为⎝⎛⎭⎫k π2＋π8，－1，k ∈Z .(2)因为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π4－1在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π8上是增函数，在区间⎣⎡⎦⎤3π8，3π4上是减函数， 又f ⎝⎛⎭⎫π8＝－1，f ⎝⎛⎭⎫3π8＝2－1， f ⎝⎛⎭⎫3π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫3π2－π4－1， ＝－2cos π4－1＝－2，故函数f (x )在区间⎣⎡⎦⎤π8，3π4上的最大值为2－1，最小值为－2. 四、探究与拓展12．已知函数f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＋1(其中ω>0，x ∈R )的最小正周期为6π. (1)求ω的值；(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α－π2＝117，f (3β＋π)＝115，求cos(α＋β)的值． 解 (1)易得f (x )＝sin ωx －3cos ωx ＋1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3＋1， ∵T ＝2πω＝6π，∴ω＝13.(2)由(1)得f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫13x －π3＋1， ∵f ⎝⎛⎫3α－π2＝2sin ⎣⎡⎦⎤13⎝⎛⎭⎫3α－π2－π3＋1＝2sin ⎝⎛⎭⎫α－π2＋1＝－2cos α＋1＝117， ∴cos α＝817.又f (3β＋π)＝2sin ⎣⎡⎦⎤13(3β＋π)－π3＋1 ＝2sin β＋1＝115，∴sin β＝35.∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴sin α＝1－cos 2α＝1517，cos β＝1－sin 2β＝45.∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β＝－1385.五、课后练习 1.求值：(1)cos2π7·cos 4π7·cos 6π7； (2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2). 解 (1)cos2π7·cos 4π7·cos 6π7＝sin 4π72sin 2π7·sin 8π72sin 4π7·sin12π72sin6π7＝18·sin π7·sin2π7sin 2π7·sin π7＝18. (2)3tan 12°－3sin 12°(4cos 212°－2) ＝3(sin 12°－3cos 12°)sin 12°cos 12°·2(2cos 212°－1)＝23sin (12°－60°)sin 24°cos 24°＝43sin (－48°)sin 48°＝－4 3.2.设f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2. (1)求f (x )的单调递增区间；(2)把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到函数y ＝g (x )的图象，求g ⎝⎛⎭⎫π6的值． 解 (1)f (x )＝23sin(π－x )sin x －(sin x －cos x )2 ＝23sin 2x －(1－2sin x cos x ) ＝3(1－cos 2x )＋sin 2x －1 ＝sin 2x －3cos 2x ＋3－1 ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2(k ∈Z )，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12(k ∈Z )，所以f (x )的单调递增区间是⎣⎡⎦⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) ⎝⎛⎭⎫或⎝⎛⎭⎫k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ).(2)由(1)知，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋3－1， 把y ＝f (x )的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y ＝2sin ⎝⎛⎭⎫x －π3＋3－1的图象，再把得到的图象向左平移π3个单位长度，得到y ＝2sin x ＋3－1的图象，即g (x )＝2sin x ＋3－1，所以g ⎝⎛⎭⎫π6＝2sin π6＋3－1＝ 3. 3.已知函数f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x . (1)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的值域； (2)用五点法在下图中作出y ＝f (x )在闭区间⎣⎡⎦⎤－π6，5π6上的简图．解 f (x )＝2cos x sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π3－3sin 2x ＋sin x cos x ＝2cos x ⎝⎛⎭⎫sin x cos π3＋cos x sin π3－3sin 2x ＋ sin x cos x ＝sin 2x ＋3cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3. (1)∵x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2， ∴π3≤2x ＋π3≤4π3. ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π3≤1. ∴当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，f (x )的值域为[－3，2]． (2)由T ＝2π2，得T ＝π，列表：图象如图所示．。
3三角恒等变换-简单难度-讲义
三角恒等变换知识讲解一、三角恒等变换1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式1）sin()sin cos cos sin αβαβαβ±=±; 2）cos()cos cos sin sin αβαβαβ±=m ;3）tan tan tan()1tan tan αβαβαβ±±=m (2k k Zπαβαβπ+??，，，);变形式tan tan tan()(1tan tan )αβαβαβ??m ()2k k Z παβαβπ+??，，，．2.二倍角公式1）sin22sin cos ααα=;变形式1sin cos sin 22ααα=．2）2222cos2cos sin 12sin 2cos 1ααααα=-=-=-;变形式2cos21cos 2αα+=；21cos2sin 2x α-=． 3）22tan tan 21tan ααα=-．3.辅助角公式()22222222sin cos (sin cos )sin y a b a b a b a b a b αααααϕ=+=++=++++，其中ϕ所在的象限由a 、b 的符号确定，ϕ角的值由tan baϕ=确定． 4.化简中常用1的技巧“1”的代换221sin cos αα=+；212cos cos2αα=-，21cos2sin αα=+，1tan4π=．经典例题一．选择题（共15小题）1．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[0，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π2．（2018•新课标Ⅱ）若f （x ）=cosx ﹣sinx 在[﹣a ，a ]是减函数，则a 的最大值是（ ） A ．π4B ．π2C ．3π4D ．π3．（2018•新课标Ⅱ）若sinα=13，则cos2α=（ ）A ．89B ．79C ．﹣79D ．﹣894．（2018•东莞市模拟）cos 2(x −π4)+sin 2(x +π4)=（ ）A ．1B ．1﹣cos2xC ．1+cos2xD ．1+sin2x5．（2018•绵阳模拟）若tan(α−π4)=2，则tan2α=（ ）A．﹣3B．3C．−34D．346．（2018•延边州模拟）已知sinα−cosα=43，则cos2(π4−α)=（）A．19B．29C．49D．597．（2018•佛山一模）已知tanθ+1tanθ=4，则cos2(θ+π4)=（）A．12B．13C．14D．158．（2018•开封三模）已知sin（π4+α）=35，则sin（3π4−α）=（）A．45B．−45C．35D．−359．（2018•全国一模）已知s in(π3−a)=13，则cos(5π6−a)=（）A．13B．−13C．2√23D．−√2310．（2018•三模拟）已知cos（π﹣α）=13，sin(π2+β)=23（其中，α，β∈（0，π）），则sin （α+β）的值为（ ） A ．4√2−√59B ．4√2+√59C ．−4√2+√59D ．−4√2−√5911．（2018•河南一模）log 2(cos 7π4)的值为（ ）A ．﹣1B ．−12C ．12D ．√2212．（2018•淮南一模）设α∈(0，π2)，β∈(0，π4)，且tanα=1+sin2βcos2β，则下列结论中正确的是（ ） A ．2α﹣β=π4B ．2α+β=π4C ．α﹣β=π4D ．α+β=π413．（2018•唐山二模）若x ∈[0，π]，则函数f （x ）=cosx ﹣sinx 的增区间为（ ） A ．[0，π4] B ．[π4，π] C ．[0，3π4]D ．[3π4，π]14．（2018•榆林二模）已知cosθsinθ=3cos(2π+θ)，|θ|＜π2，则sin2θ=（ ）A ．8√29B ．2√23C ．4√29D ．2√2915．（2018•四平模拟）已知△ABC 满足AB →2=AB →⋅AC →+BA →⋅BC →+CA →⋅CB →，则△ABC 是（ ） A ．等边三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形D ．钝角三角形二．填空题（共7小题）16．（2018•兰州模拟）若s in(π4−α)=−25，则cos(π4+α)= ．17．（2018春•扬州期末）求值：sin75°•cos75°= ．18．（2017秋•南阳期末）已知：sinα+cosβ=32，则cos2α+cos2β的取值范围是 ．19．（2017•江苏）若tan （α﹣π4）=16．则tanα= ．20．（2017•上海模拟）已知角α的终边过点（﹣2，3），则sin2α= ．21．（2017•江苏一模）已知sinα=3sin （α+π6），则tan （α+π12）= ．22．（2017•上海模拟）函数f(x)=sinx +√3⋅cosx ，若存在锐角θ满足f （θ）=2，则θ= ．三．解答题（共5小题）23．（2018•玉溪模拟）已知tan （α+π4）=﹣3，α∈（0，π2）．（1）求tanα的值；（2）求sin （2α﹣π3）的值．24．（2018•北京模拟）已知函数f （x ）=2√3sin （ax ﹣π4）cos （ax ﹣π4）+2cos 2（ax﹣π4）（a ＞0），且函数的最小正周期为π2． （Ⅱ）求a 的值；（Ⅱ）求f （x ）在[0，π4]上的最大值和最小值．25．（2018•江苏模拟）已知三点A （3，0），B （0，3），C （cosα，sinα），α∈（0，π）．若AC →⋅BC →=25，求（1）cosα+sinα的值；（2）sin(α+π6)的值．26．（2018•河南一模）△ABC 的内角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ．已知：（1﹣tanA）（1﹣tanB）=2．（1）求角C；（2）若b=2√2，c=4，求△ABC的面积S△AB C．27．（2018•昌平区二模）已知函数f(x)=2sin(π4−x)cos(π4−x)+√3sin2x．（I）求函数f（x）的最小正周期；（II）求函数f（x）在区间[0，π2]上的最值及相应的x值．。