三角恒等变换讲义

三角恒等变换讲义
一、【知识梳理】：
1．两角和与差的三角函数公式
2．二倍角公式： sin 2α＝2sin αcos α； tan 2α＝2tan α1－tan 2α
. cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α；
3．公式的变形与应用
(1)两角和与差的正切公式的变形
tan α＋tan β＝tan(α＋β)/(1－tan αtan β)；tan α－tan β＝tan(α－β)/(1＋tan αtan β)．
(2)升幂公式：1＋cos α＝2cos 2α2；1－cos α＝2sin 2α2.
(3)降幂公式：sin 2α＝1－cos 2α2；cos 2α＝1＋cos 2α2. (4)其他常用变形
sin 2α＝2sin αcos αsin 2α＋cos 2α＝2tan α1＋tan 2α；cos 2α＝cos 2α－sin 2αcos 2α＋sin 2α＝1－tan 2α1＋tan 2α
； 1±sin α＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin α2
±cos α22；tan α2＝sin α1＋cos α＝1－cos αsin α. 4．辅助角公式
a sin α＋
b cos α＝a 2＋b 2sin(α＋φ)，其中cos φ＝a a 2＋b 2，sin φ＝b a 2＋b
2. 5．角的拆分与组合
(1)已知角表示未知角 例如，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2β＝(α＋β)－(α－β)，
α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β， α＝⎝⎛⎭⎫π4＋α－π4＝⎝
⎛⎭⎫α－π3＋π3. (2)互余与互补关系：例如，⎝⎛⎭⎫π4＋α＋⎝⎛⎭⎫3π4－α＝π，⎝⎛⎭⎫π3＋α＋⎝⎛⎭⎫π6－α＝π2. (3)非特殊角转化为特殊角：例如，15°＝45°－30°，75°＝45°＋30°.
三、方法归纳总结：
1.三角函数式的化简遵循的三个原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”．
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”等．
2．三角函数求值的类型及方法
(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面来看较难，但非特殊角与特殊角
总有一定关系．解题时，要利用观察得到的关系，结合三角函数公式转化为特殊角的三角函数．
(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．
(3)“给值求角”：实质上也转化为“给值求值”，关键也是变角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函数值结合该函数的单调区间求得角，有时要压缩角的取值范围． 备注：在求值的题目中，一定要注意角的范围，要做到“先看角的范围，再求值”．
四、典例剖析：
题型一、【公式顺用、逆用、变用】
例1、sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( )
A ．－32 B.32 C ．－12 D.12
2．设sin 2α＝－sin α，α∈⎝⎛
⎭⎫π2，π，则tan 2α的值是________． 3、若3tan 4
α= ，则2cos 2sin 2αα+= （ ） (A)6425 (B) 4825 (C) 1 (D)1625
4、已知α∈R ，sin α＋2cos α＝
102，则tan 2α＝________
5．如图，正方形ABCD 的边长为1，延长BA 至E ，使AE ＝1，连接
EC ，ED ，则sin ∠CED ＝( )
A.31010
B.1010
C.510
D.515
专题二、【三角恒等变换】
例2、1．（1）、2cos10°－sin20°sin70°=________． （2）、：0
000
0080cos 15cos 25sin 10sin 15sin 65sin -+=________
.
变式：（1）、4cos 50°－tan 40°＝( ) A. 2 B.
2＋32 C. 3 D ．22－1
（2)、3tan 12°－3（4cos 212°－2）sin 12°
＝________.
专题三：【凑角应用】
例3、已知0<β<π4<α<34π，13
5)43sin(,53)4cos(=+=-βπαπ，求)sin(βα+的值．
知识小结：解决的关键在于把“所求角”用“已知角”表示．
(1)当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；
(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
(3)常见的配角技巧：α＝2·α2；α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12
[(α＋β)＋(α－β)]； β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α. 变式1、若0＜α＜π2，π2＜β＜3π2
，cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝13，cos ⎝⎛⎭⎫π4－β2＝45，则cos ⎝⎛⎭⎫α＋β2＝________.
变式2、已知tan 2α=-，()1tan 7
αβ+=
，则tan β的值为_______.
变式3、已知0＜α＜π4，0＜β＜π4且3sin β＝sin(2α＋β),4tan α2＝1－tan 2α2
，求α＋β的值． 分析：由α2
的关系可求出α的正切值．再依据已知角β和2α＋β构造α＋β，从而可求出α＋β的一个三角函数值，再据α＋β的范围，从而确定α＋β.
评析：首先由4tan α2＝1－tan 2α2
的形式联想倍角公式求得tan α，再利用角的变换求tan(α＋β)，据α、β的范围确定角α＋β.求角的问题的关键是恰当地选择一个三角函数值，再依据范围求角，两步必不可少．
题型四、【三角恒等变换的综合运用】
1、当2
0π
<<x 时，函数x x x x f 2sin sin 82cos 1)(2++=的最小值为（ ） C A ．2 B ．32 C ．4 D ．34
2．设当x ＝θ时，函数f (x )＝sin x －2cos x 取得最大值，则cos θ＝________．
3、已知函数()22sin sin 6f x x x π⎛
⎫=-- ⎪⎝⎭
，R x ∈ (I)求()f x 最小正周期；(II)求()f x 在区间[,]34
ππ-
上的最大值和最小值.
4、已知函数f (x )＝A sin ⎝⎛⎭⎫x ＋π4，x ∈R ，且f ⎝⎛⎭⎫5π12＝32
. ①求A 的值； ②若f (θ)＋f (－θ)＝32，θ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ. 【点拨】 解题(1)的关键是准确利用平方关系及诱导公式进行转化；解题(2)的关键是利用
诱导公式进行转化或利用“切化弦”；解题(3)的思路是①由f ⎝⎛⎭
⎫5π12的值直接求出A 的值；②化简f (θ)＋f (－θ)＝32
可得cos θ的值，由同角三角函数的基本关系及角的范围可求得sin θ，再化简f ⎝⎛⎭
⎫3π4－θ可得答案．
5、已知tan 2α=．
（1）求tan 4πα⎛⎫+
⎪⎝⎭的值； （2）求2sin 2sin sin cos cos 21
ααααα+--的值．。