2019届人教B版(文科数学) 圆的方程 单元测试

第48讲圆的方程
基础热身
1.方程x2+y2-2x+m=0表示一个圆,则m的取值范围是()
A.m<1
B.m<2
C.m≤
D.m≤1
2.已知点P是圆(x-3)2+y2=1上的动点,则点P到直线y=x+1的距离的最小值是()
A.3
B.2
C.2-1
D.2+1
3.[2017·天津南开区模拟]圆心在y轴上,且过点(3,1)的圆与x轴相切,则该圆的方程是()
A.x2+y2+10y=0
B.x2+y2-10y=0
C.x2+y2+10x=0
D.x2+y2-10x=0
4.[2017·武汉三模]若直线2x+y+m=0过圆x2+y2-2x+4y=0的圆心,则m的值为.
5.[2017·郑州、平顶山、濮阳二模]以点M(2,0),N(0,4)为直径的圆的标准方程
为.
能力提升
6.[2017·湖南长郡中学、衡阳八中等十三校联考]圆(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的方程是()
A.-+-=4
B.-+-=4
C.x2+-=4
D.-+-=4
7.已知两点A(a,0), B(-a,0)(a>0),若曲线x2+y2-2x-2y+3=0上存在点P,使得∠APB=90°,则正实数a的取值范围为()
A.(0,3]
B.[1,3]
C.[2,3]
D.[1,2]
8.[2017·九江三模]已知直线l经过圆C:x2+y2-2x-4y=0的圆心,且坐标原点O到直线l的距离为,则直线l的方程为()
A.x+2y+5=0
B.2x+y-5=0
C.x+2y-5=0
D.x-2y+3=0
9.[2017·海南中学、文昌中学联考]抛物线y=x2-2x-3与坐标轴的交点在同一个圆上,则该圆的方程为()
A.x2+-=4
B.-+-=4
C.-+y2=4
D.-+=5
10.[2017·广州一模]已知圆C:x2+y2+2x-4y+1=0的圆心在直线ax-by+1=0上,则ab的取值范围是()
A.-
B.-
C.
D.
11.已知直线l1:x+2y-5=0与直线l2:mx-ny+5=0(n∈Z)相互垂直,点(2,5)到圆C:(x-m)2+(y-n)2=1的最短距离为3,则mn= .
12.已知圆C:(x-3)2+(y-4)2=25,圆C上的点到直线l:3x+4y+m=0(m<0)的最短距离为1,若点N(a,b)在直线l位于第一象限的部分,则+的最小值为.
13.(15分)已知方程x2+y2-2(m+3)x+2(1-4m2)y+16m4+9=0表示一个圆.
(1)求实数m的取值范围;
(2)求该圆半径r的取值范围;
(3)求该圆圆心的纵坐标的最小值.
14.(15分)已知曲线C1:x2+y2=1,点N是曲线C1上的动点,O为坐标原点.
(1)已知定点M(-3,4),动点P满足=+,求动点P的轨迹方程;
(2)设点A为曲线C1与x轴正半轴的交点,将A沿逆时针旋转得到点B,若=m+n,求m+n的最大值.
难点突破
15.(5分)[2018·赣州红色七校联考]已知圆C:x2+y2-2ax-2by+a2+b2-1=0(a<0)的圆心在直线x-y+=0上,且圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+,则a2+b2的值为()
A.1
B.2
C.3
D.4
16.(5分)[2017·北京朝阳区二模]已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y=A,B两点,O为坐标原点,当△AOB的面积最大时,直线l的倾斜角为()
A.150°
B.135°
C.120°
D.30°
课时作业(四十八)
1.A[解析] 由D2+E2-4F=(-2)2-4m>0,解得m<1,故选A.
2.C[解析] 易知圆心的坐标为(3,0),半径为1,∴点P到直线y=x+1的距离的最小值是
-1=2-1,故选C.
3.B[解析] 由题意,设圆心的坐标为(0,r),半径为r,则-=r,解得r=5.所以所求圆的方程为x2+(y-5)2=25,即x2+y2-10y=0.故选B.
4.0[解析] 由圆的方程可知,圆心坐标为(1,-2),所以2×1+(-2)+m=0,则m=0.
5.(x-1)2+(y-2)2=5[解析] 由题设可知,圆心坐标为(1,2),半径r==,则圆的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5.
6.D[解析] 由题意,得已知圆的圆心为A(2,0),设点A关于直线y=x的对称点为点B,则∠BOA=60°,所以(x-2)2+y2=4关于直线y=x对称的圆的圆心为B(1,),故选D.
7.B[解析] 把圆的方程x2+y2-2x-2y+3=0化为(x-)2+(y-1)2=1,易知以AB为直径的圆的方程为x2+y2=a2,若圆(x-2+(y-1)2=1上存在点P,使得∠APB=90°,则两圆有交点,所以|a-1|≤2≤a+1,解得1≤a≤3.故选B.
8.C[解析] 圆C的标准方程为(x-1)2+(y-2)2=5,∴圆心为C(1,2),半径为.易知圆C经过原点,OC⊥直线l.由k OC=2,得k l=-,∴直线l的方程为y-2=-(x-1),即x+2y-5=0,故选C.
9.D[解析] 抛物线y=x2-2x-3关于直线x=1对称,与坐标轴的交点为A(-1,0),B(3,0),C(0,-3),设圆心为M(1,b),可得|MA|2=,即4+b2=1+(b+3)2,解得b=-1,则半径为=,∴圆的方程为(x-1)2+(y+1)2=5,故选D.
10.B[解析] 把圆的方程化为标准方程,得(x+1)2+(y-2)2=4,∴圆心坐标为(-1,2),半径r=2.根据题意可得-a-2b+1=0,即a=1-2b,则ab=b(1-2b)=-2b2+b,∴当b=时,ab有最大值,最大值为,则ab的取值范围是-∞,.故选B.
11.2[解析] 依题意,得m-2n=0,-=3+1,得m=2,n=1,故mn=2.
12.[解析] ∵m<0,且圆C上的点到直线l的最短距离为
-5=1,∴m=-55,∴3a+4b=55,又a>0,b>0,则+=+×=7++≥
当且仅当=时等号成立,即+的最小值为.
13.解:(1)∵方程表示圆,∴D2+E2-4F=4(m+3)2+4(1-4m2)2-4(16m4+9)>0,
解得-<m<1.
(2)半径r=--≤,得0<r≤.
(3)设圆心的纵坐标为y,则y=4m2-1,
由于-<m<1,所以-1≤y<3.
所以所求纵坐标的最小值是-1.
14.解:(1)由=+,得||=||=1,所以点P在以M为圆心,1为半径的圆上,故点P的轨迹方程为(x+3)2+(y-4)2=1.
(2)易知A(1,0),B-,,设N(cos θ,sin θ),θ∈[0,2π),
由=m+n,得(cos θ,sin θ)=m(1,0)+n-,,
得-
整理得
所以m+n=cos θ+sin θ=2sinθ+,故m+n的最大值为2.
15.C[解析] 圆的方程为(x-a)2+(y-b)2=1,圆心为(a,b),所以a-b+=0,则b=(a+1).又圆C上的点到直线x+y=0的距离的最大值为1+=+1,所以|a+b|=2,得|2a+1|=2,又a<0,所以a=-,故a2+b2=a2+3(a+1)2=3.
16.A[解析] 曲线y=为圆x2+y2=2的上半圆,由题意可得,△AOB的面积
S=·|OA|·|OB|sin∠AOB=××∠AOB=sin∠AOB,所以当sin∠AOB=1,即∠AOB=90°时,△AOB的面积取到最大值.此时在Rt△AOB中,易得O到直线l的距离|OD|=1,所以sin∠OPA==,可得∠OPA=30°,所以直线l的倾斜角为150°,故选A.。