数学归纳法的应用习题
数列与数学归纳法练习题
数列与数学归纳法练习题数学归纳法是数学中常用的一种证明方法，尤其在数列问题中被广泛应用。
通过数学归纳法，我们能够证明某个命题对所有自然数都成立，而不需要逐个验证。
本文将为大家提供数列与数学归纳法的练习题，帮助大家更好地掌握这一方法。
1. 练习题一证明下列命题对所有正整数n成立：(1) 1 + 3 + 5 + ... + (2n-1) = n^2(2) 1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2 = n(n+1)(2n+1)/6解答：(1) 首先在n=1的情况下，命题显然成立，因为左右两边都等于1。
假设当n=k时，命题成立，即1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) = k^2。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1 + 3 + 5 + ... + (2k-1) + (2(k+1)-1) = k^2 + (2k+1)。
根据假设，我们知道前面的求和式等于k^2，因此我们只需要证明(2k+1) = (k+1)^2即可。
展开(k+1)^2，得到k^2 + 2k + 1，与2k+1相比较，左右两边相等。
因此，由数学归纳法可知，命题对所有正整数n成立。
(2) 同样，在n=1的情况下，命题显然成立。
假设当n=k时，命题成立，即1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 = k(k+1)(2k+1)/6。
下面证明当n=k+1时，命题也成立。
当n=k+1时，左边的求和式为：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)^2。
将右边的分数相加，得到(k^3 + 3k^2 + 2k)/6 + (k^2 + 2k + 1)。
化简并合并同类项，得到(k^3 + 3k^2 + 2k + k^2 + 2k + 1)/6 = (k^3 +4k^2 + 5k + 1)/6。
因此，我们只需要证明(k^3 + 4k^2 + 5k + 1) = (k+1)(k+2)(2k+3)即可。
数学归纳法及其应用举例1
数学归纳法及其应用举例【本章学习目标】人们在研究数量的变化时，常常会遇到有确定变化趋势的无限变化过程，这种无限变化过程就是极限的概念与思想，极限是人们研究许多问题的工具。
以刘微的“割圆术”为例，圆内接正n 边形的边数无限增加时，正n 边形的周长P n 无限趋近于圆周长2πR 。
这里的是个有限多项的数列，人们可以从这个有限多项的数列来探索无穷数列的变化趋势。
不论n 取多么大的整数，n P 都是相应的圆周长的近似值，但是我们可以从这些近似值的精确度的无限提高中（限n 无限增大）找出圆周长的精确值2πR 。
随着n 的增加，n P 在变化，这可以认为是量变（即只要n 是有限数，n P 都是圆内接正多边形的周长）；但是我们可以从这些量变中来发现圆周长。
一旦得出2πR ，就是质的变化（即不再是正多边形的周长）。
这种从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的思想就是极限的思想。
本章重点内容是： （1）数学归纳法及其应用。
（2）研究性课题：杨辉三角。
（3）数列的极限。
（4）函数的极限。
（5）极限的四则运算。
（6）函数的连续性。
本章难点内容是：（1）数学归纳法的原理及其应用。
（2）极限的概念。
【基础知识导引】1．了解数学推理中的常用方法——数学归纳法。
2．理解数学归纳法的科学性及用数学归纳法来证明与正整数有关命题的步骤。
3．掌握数学归纳法的一些简单应用。
【教材内容全解】 1．归纳法前面我们在学习等差数列时，通过等差数列的前几项满足的关系式归纳出等差数列的通项公式。
再如根据三角形、四边形、五边形、六边形等的内角和归纳出凸n 边形内角和公式。
像这样由一系列有限的特殊事例得出一般结论的推理方法，叫做归纳法。
对于归纳法我们可以从以下两个方面来理解。
（1）归纳法可以帮助我们从具体事列中发现事物的一般规律。
（2）根据考察的对象是全部还是部分，归纳法又分完全归纳法与不完全归纳法。
显然等差数列通项公式，凸n 边形内角和公式都是通过不完全归纳法得出的，这些结论是正确的。
数学归纳法及应用举例
数学归纳法及应用举例重点难点分析：（1）第一步递推基础，第二步是递推依据，密切相关缺一不可。
（2）归纳思想充分体现了特殊与一般的思想，数学归纳法体现了有限与无限的辩证关系与转化思想。
（3）归纳—猜想—证明是经常运用的数学方法，观察是解决问题的前提条件，需要进行合理的试验和归纳，提出合理猜想，从而达到解决问题的目的。
（4）数学归纳法的应用通常与数学的其它方法联系在一起，如比较、放缩、配凑、分析和综合法等。
典型例题：例1．证明：=-n(n+1)(4n+3)。
证明：①当n=1时，左，右=-1(1+1)(4+3)=-14，等式成立。
②假设n=k时等式成立，即=-k(k+1)(4k+3)。
n=k+1时，+[(2k+1)(2k+2)2-(2k+2)(2k+3)2] =-k(k+1)(4k+3)-2(k+1)(4k2+12k+9-4k2-6k-2) =-(k+1)[4k2+3k+2(6k+7)]=-(k+1)(4k2+15k+14)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3]，等式成立。
由①②知，当n∈N′时等式成立例2．试证S n=n3+(n+1)3+(n+2)3能被9整除。
证明：①n=1时，S1=4×9，能9整除。
②假设，n=k时，S k能被9整除，则S k+1=(k+1)3+(k+2)3+(k+3)3=S k+(k+3)3-k3=S k+9(k3+3k+3)由归纳假设知S k+1能被9整除，也就是说n=k+1时命题也成立。
综上所述：命题成立。
点评：用数学归纳法证明整除问题时，关键是把n=k+1时的式子分成两部分，其中一部分应用归纳假设，另一部分经过变形处理，确定其能被某数（某式）整除。
例3．通过一点有n个平面，其中没有任何3个平面交于同一条直线，用数学归纳法证明这些平面把空间分成(n2-n+2)个部分。
证明：设适合条件的n个平面把空间分成p n个部分，∴p n=n2-n+2①当n=1时，p1=1-1+2=2，显然符合条件，故命题成立。
07数学归纳法应用举例
找准起点 奠基要稳
数学归纳法是一种证明与自然数有关的数学命题的重要方法。 其格式主要有两个步骤、一个结论: （1）验证当n取第一个值n0（如 n0=1或2等）时结论正确； 验证初始条件 （2）假设n=k时结论正确，在假设之下，证明n=k+1时结论也 正确； 用上假设 假设推理 递推才真 （3）由（1）、（2）得出结论. 点题
2
k 1
2 2 2 k ≥ k 5 k k 2 k 1 ( k 1)
k 2
2 2
2
这就是说，当n=k+1时，命题也是正确的. 由（1）和（2）可以断定，这个命题对 于所有大于或等于5的正整数n都正确。
例4．求证：凸n边形的对角线的条数为
f (n) n ( n 3) 2 , (n ≥ 4)
f (n) 1
1 2
2
1 3
1 n
, 求证
:
1
f (2 )
n
n 2 2
( n 1).
证:(1)当n=2时, f ( 2 ) f ( 4 ) 1 2 3 4 2 12 不等式成立. (2)假设当n=k(k≥2)时不等式成立,即 则当n=k+1时, 1 有: 1 1
1
2
13
2
2
35
n
2
( 2 n 1)( 2 n 1)
n n
2
4n 2
( n N ).
*
(1)当n=1时,由上面解法知结论正确.
(2)假设当n=k时结论正确,即:
1
2
13
2
2
2
35
用数学归纳法证明
用数学归纳法证明用数学归纳法证明1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-n+2/2^n.1/2+2/2^2+3/2^3+......+n/2^n=2-(n+2)/2^n.1、当n=1时候，左边=1/2;右边=2-3/2=1/2左边=右边，成立。
2、设n=k时候，有：1/2+2/2^2+3/2^3+......+k/2^k=2-(k+2)/2^k成立，则当n=k+1时候：有：1/2+2/2^2+3/2^3+.....+k/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-(k+2)/2^k+(k+1)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)=2-(k+3)/2^(k+1)=2-/2^(k+1)得证。
我觉得不是所有的猜想都非要用数学归纳法.比如a1=2,a(n+1)/an=2,这显然是个等比数列如果我直接猜想an=2^n,代入检验正确,而且对所有的n都成立,这时候干嘛还用数学归纳法啊.可是考试如果直接这样猜想是不得分的,必须要用数学归纳法证明.我觉得如果是数列求和,猜想无法直接验证,需要数学归纳法,这个是可以接受的.但是上面那种情况,谁能告诉我为什么啊.我觉得逻辑已经是严密的了.结果带入递推公式验证是对n属于正整数成立.用数学归纳法,无论n=1,还是n=k的假设,n=k+1都需要带入递推公式验证,不是多此一举吗.我又不是一个一个验证,是对n这个变量进行验证,已经对n属于正整数成立了.怎么说就是错误的.怎么又扯到思维上了,论严密性我比谁都在意,虽然是猜出来的,毕竟猜想需要,我的问题是--------这样的验证方式严不严密,在没有其他直接证明方法的情况下,是不是一定要用数学归纳法-------,并没有说这样就是对待数学的态度,没有猜想数学怎么发展.这说明你一眼能看出答案，是个本领。
然而，考试是要有过程的，这个本领属于你自己，不属于其他人，比如你是股票牛人，直接看出哪支会涨哪支会跌，但是不说出为什么，恐怕也不会令人信服。
高二数学归纳法练习题
高二数学归纳法练习题一、选择题从A、B、C、D四个选项中选出一个正确答案。
1. 使用归纳法证明命题“对任意正整数n，当n为偶数时，2n一定是偶数”，需要进行的推理基础是：A. 列举B. 逆否命题C. 数学归纳法D. 反证法2. 已知正整数序列An满足An = An-1 + n，若A1 = 3，则A3的值为：A. 6B. 8C. 9D. 113. 使用归纳法证明命题“对任意自然数n，2^n + 1能被3整除”，需要证明的基础命题是：A. 2^1 + 1能被3整除B. 2^n能被3整除C. 2^2 + 1能被3整除D. 2^n + 1能被3整除4. 已知定义在非负整数上的函数f(n)满足f(0) = 0，且对任意非负整数n，f(n+1) = f(n) + 2n + 1。
则f(3)的值为：A. 6B. 8C. 9D. 115. 使用数学归纳法证明命题“对任意正整数n，2^n - 1能被7整除”，需要进行的推理基础是：A. 2^1 - 1能被7整除B. 2^n能被7整除C. 2^2 - 1能被7整除D. 2^n - 1能被7整除二、解答题请根据所给条件，使用归纳法完成下列问题的证明。
1. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1 + 2 + 3 + ... + n = n(n+1)/2。
2. 已知正整数序列Bn满足Bn = Bn-1 + 2n - 1，且B1 = 1，证明Bn = n^2。
3. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^3 + 2^3 + 3^3 + ... + n^3= ((n(n+1))/2)^2。
4. 已知定义在非负整数上的函数g(n)满足g(0) = 1，且对任意非负整数n，g(n+1) = g(n) + 3n + 1。
证明g(n) = (n+1)^2。
5. 对任意正整数n，证明下列命题成立：1^2 + 2^2 + 3^2 + ... + n^2= (n(n+1)(2n+1))/6。
三、应用题根据所给条件，使用归纳法解决下列问题。
数学归纳法的应用
数学归纳法的应用数学归纳法的应用：具体常用数学归纳法证明：恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等.上述过程主要体现在数学归纳法的过程及注意事项，主要是证明恒等式的一些例子，下面我们看看数学归纳法应用的其他类型.（1）证明恒等式（略）（2）证明不等式. 例题：记()11111,23n S n n N n =+++⋅⋅⋅+>∈，求证：()212,2n n S n n N >+≥∈. 证明：（1）当2n =时，2211125211234122S =+++=>+，∴当2n =时，命题成立. （2）设n k =时，命题成立，即2111112322k k k S =+++⋅⋅⋅+>+，则当1n k =+时，121111111123221222k k k k k S ++=+++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+++ 11121111112212222222222k k k k k k k k k k k +>++++⋅⋅⋅+>++=++=+++++ 故当1n k =+时，命题也成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，2n ≥，212n n S >+. 注意：利用数学归纳法证不等式，经常要用到“放缩”的技巧.（3）证明数或式的整除性例题：求证：()()2111n n a a n N -+++∈能被21a a ++整除证明：（1）当1n =时，()21111211aa a a ⨯-+++=++，命题显然成立. （2）设n k =时，()2111k k a a ⨯-+++能被21a a ++整除.则当1n k =+时，()()()2122121111k k k k a a a a a a +-++++=⋅+++()()()()212212111111k k k k a a a a a a a ---+⎡⎤=+++++-+⎣⎦ ()()()212112111k k k a a a a a a --+⎡⎤=++++++⎣⎦由归纳假设，以上两项均能被21a a ++整除，故1n k =+时，命题成立.由（1），（2）可知，对n N ∈，命题成立注意：利用数学归纳法证明整除性，经常要用到“凑”的技巧.（4）证明数列的通项公式例题：已知数列{}n a 满足1a a =，112n n a a +=- （1）求：2a ，3a ，4a（2）推测通项n a 的表达式，并用数学归纳法加以证明.【答案】（1）由112n n a a +=-，可得212a a =-，31213222a a a a-==---，4132243232a a a a a-==---- （3）推测()()()121n n n a a n n a---=--，证明如下： ①当1n =时，左边1a a ==，右边()()()1112111a a a ---==--，结论成立 ②设n k =时，有()()()121k k k a a k k a---=-- 则当1n k =+时 ()()()()()()()1112122211221k k k k a a k k a a k k a k k a k k a+--===----------⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦--- ()()11k k a k ka --=+-. 故当1n k =+时，结论成立.由①，②可知，对n N ∈，都有()()()121n n n a a n n a---=-- （5）证明几何命题例：平面内有n 个圆，其中每两个圆都交于两点，且无任何三个圆交于一点，求证：这n 个圆将平面分成22n n -+个部分.略证：设n k =时，k 个圆将平面分成22k k -+个部分，则当1n k =+时，第1k +个圆1k C +交前面k 个圆于2k 个点，这2k 个点将圆1k C +分成2k 段，每段将各自所在区域一分为二，因此增加了2k 个区域，于是这1k +个圆将平面分成222k k k -++个部分，即()()2112k k +-++个部分.。
232数学归纳法应用举例
2
由⑴⑵可知命题对任何大于1的正整数都成立。
练习 3：平面上有n个圆，其中每两个圆都相交于两点，
并且每三个圆都不相交于同一点，
求证：这n个圆把平面分成 f ?n?? n2 ? n ? 2 部分
思 考：用数学归纳法证明：
?n ? 1?n?? 2?? 2n ? 2n ? 1? 3? 5? ? ? ?2n ? 1?
这就是说，当n=k+1时等式也成立
由⑴⑵可知等式对任何 n ? N *都成立
练习1 求证
12 ? 22 ??? n2 ? n?n?1?2?n?1?
6
例3：证明 21 ?7 n ? 6 能被9整除
? ? 证明：⑴当n=1时，21?71 ? 6 ? 9 ? 17 命题成立
⑵假设n=k时，命题成立， 即 21?7k ? 6 能被9整除
数学归纳法证明步骤：
⑴ 证明当n取第一个值 n 0 时结论正确
⑵ 假设当 n ? k (k ? N * , k ? n0 ) 时结论正确， 证明当 n=k+1 时结论正确
在完成了这两个步骤以后，就可以断定
命题对于从 n0 开始的所有正整数都成立
证明过程中的注意事项：
⑴第一步中，这个第一个允许的值可以不是 1 ⑵由 n=k 到n=k+1 ，左边不一定只增添一项，注意观察 ⑶n=k+1 时的等式是有待证明的，推证过程必须 应用归纳假设，除此之外，较多运用了整式变形知识
当n=k+1时
? ? 21 ?7 k ?1 ? 6 ? 21 ?7 n ?7 ? 6 ? 21 ?7 n ? 6 ?7 ? 36
由归纳假设得，上式能被9整除 由⑴⑵可知，命题对任何大于1的正整数都成立。
练习 2：用数学归纳法证明：
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第2课时数学归纳法的应用双基达标(限时20分钟)
1．利用数学归纳法证明1
n＋
1
n＋1
＋
1
n＋2
＋…＋
1
2n<1(n∈N
*，且n≥2)时，第二步
由k到k＋1时不等式左端的变化是
()．
A．增加了
1
2k＋1
这一项
B．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项
C．增加了
1
2k＋1
和
1
2k＋2
两项，同时减少了
1
k这一项
D．以上都不对
解析不等式左端共有n＋1项，且分母是首项为n，公差为1，末项为2n
的等差数列，当n＝k时，左端为1
k＋
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋…＋
1
2k；当n＝k＋1时，
左端为
1
k＋1
＋
1
k＋2
＋
1
k＋3
＋…＋
1
2k＋
1
2k＋1
＋
1
2k＋2
，对比两式，可得结论．
答案 C
2．用数学归纳法证明“当n为正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”的第二步是
()．A．假使n＝2k＋1时正确，再推n＝2k＋3正确
B．假使n＝2k－1时正确，再推n＝2k＋1正确
C．假使n＝k时正确，再推n＝k＋1正确
D．假使n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2时正确(以上k∈N*)
解析因为n为正奇数，据数学归纳法证题步骤，第二步应先假设第k个正奇数也成立，本题即假设n＝2k－1正确，再推第(k＋1)个正奇数即n＝2k＋1正确．
答案 B
3．已知平面内有n条直线(n∈N*)，设这n条直线最多将平面分割成f(n)个部分，则f(n＋1)等于
()．A．f(n)＋n－1 B．f(n)＋n
C．f(n)＋n＋1 D．f(n)＋n＋2
解析要使这n条直线将平面所分割成的部分最多，则这n条直线中任何两条不平行，任何三条不共点．因为第n＋1条直线被原n条直线分成n＋1条线段或射线，这n＋1条线段或射线将它们所经过的平面区域都一分为二，故f(n＋1)比f(n)多了n＋1部分．
答案 C
4．已知S n＝1
1·3＋
1
3·5＋
1
5·7＋…＋
1
(2n－1)(2n＋1)
，则S1＝________，S2＝________，
S3＝________，S4＝________，猜想S n＝________.
解析分别将1,2,3,4代入观察猜想S n＝n
2n＋1
.
答案1
3
2
5
3
7
4
9
n
2n＋1
5．用数学归纳法证明“当n为正偶数时x n－y n能被x＋y整除”第一步应验证n ＝________时，命题成立；第二步归纳假设成立应写成________________．解析因为n为正偶数，故第一个值n＝2，第二步假设n取第k个正偶数成立，即n＝2k，故应假设成x2k－y2k能被x＋y整除．
答案2x2k－y2k能被x＋y整除
6．用数学归纳法证明：
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
n2＜2－
1
n(n≥2)．
证明：(1)当n＝2时，1＋1
22＝
5
4＜2－
1
2＝
3
2，命题成立．
(2)假设当n＝k时命题成立，即1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＜2－
1
k，当n＝k＋1时，
1＋1
22＋
1
32＋…＋
1
k2＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
(k＋1)2
＜2－
1
k＋
1
k(k＋1)
＝2－
1
k＋
1
k－
1 k＋1＝2－
1
k＋1
，命题成立．
由(1)、(2)知原不等式在n≥2时均成立．
综合提高(限时25分钟)
7．用数学归纳法证明不等式
1n ＋1＋1n ＋2
＋…＋12n >1124(n ∈N *)的过程中，由n ＝k 递推到n ＝k ＋1时，下列说法正确的是
( )．
A ．增加了一项1
2(k ＋1)
B ．增加了两项
12k ＋1和12(k ＋1)
C ．增加了B 中的两项，但又减少了一项
1k ＋1 D ．增加了A 中的一项，但又减少了一项1k ＋1
解析 当n ＝k 时，不等式左边为1k ＋1＋1k ＋2
＋…＋12k ， 当n ＝k ＋1时，不等式左边为1k ＋2＋1k ＋3＋…＋12k ＋12k ＋1＋12k ＋2
. 答案 C
8．命题P (n )满足：若n ＝k (k ∈N *)成立，则n ＝k ＋1成立，下面说法正确的是( )． A ．P (6)成立则P (5)成立 B ．P (6)成立则P (4)成立 C ．P (4)成立则P (6)成立 D ．对所有正整数n ，P (n )都成立
解析 由题意知，P (4)成立，则P (5)成立，若P (5)成立，则P (6)成立．所以P (4)成立，则P (6)成立． 答案 C
9．已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n ×3n －1＝3n (na －b )＋c 对一切n ∈N *都成立，则a 、b 、c 的值为________．
解析 ∵等式对一切n ∈N *均成立，∴n ＝1,2,3时等式成立，即：⎩⎨⎧
1＝3(a －b )＋
c ，
1＋2×3＝32(2a －b )＋c ，
1＋2×3＋3×32＝33(3a －b )＋c ，
整理得⎩⎨⎧
3a －3b ＋c ＝1，
18a －9b ＋c ＝7，
81a －27b ＋c ＝34，
解得a ＝12，b ＝c ＝1
4.
答案 a ＝12，b ＝c ＝1
4
10．数列{a n }中，已知a 1＝2，a n ＋1＝a n
3a n ＋1(n ∈N *)，依次计算出a 2，a 3，a 4后，
归纳、猜测得出a n 的表达式为________． 解析 a 1＝2，a 2＝27，a 3＝213，a 4＝2
19，猜测a n ＝2
6n －5
. 答案 a n ＝2
6n －5
11．求证：1＋n 2≤1＋12＋13＋…＋12n ≤1
2＋n .
证明 (1)当n ＝1时，f (1)＝1＋1
2，原不等式成立； (2)设n ＝k (k ∈N *)时，原不等式成立 即1＋k 2≤1＋12＋13＋…＋12k ≤1
2＋k 成立， 当n ＝k ＋1时， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≥1＋k 2＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋1
2k ＋1
>1＋
k 2＋
＝1＋k 2＋1
2＝1＋k ＋12， f (k ＋1)＝f (k )＋
12k
＋1＋12k ＋2＋…＋12k ＋1≤12＋k ＋12k ＋1＋12k ＋2＋…＋12
k ＋1<12＋k ＋
∴f (k ＋1)<1
2＋(k ＋1)即n ＝k ＋1时，命题成立． 综合(1)、(2)可得：原命题对n ∈N *恒成立．
12．(创新拓展)数列{a n }满足S n ＝2n －a n ，n ∈N *，先计算前4项后猜想a n ，并用数学归纳法证明．
证明 当n ＝1时，S 1＝2－a 1，∴a 1＝1， n ＝2时，S 2＝a 1＋a 2＝4－a 2，∴a 2＝3
2， n ＝3时，S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝6－a 3，∴a 3＝7
4， n ＝4时，S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝8－a 4，∴a 4＝15
8. ∴猜想a n ＝2n －1
2
n －1.
用数学归纳法证明：①当n ＝1时，a 1＝1，猜想成立， ②假设n ＝k 时猜想成立，即a k ＝2k －1
2
k －1成立．
那么，当n ＝k ＋1时，S k ＋1＝2(k ＋1)－a k ＋1＝S k ＋a k ＋1＝2k －a k ＋a k ＋1，∴2a k ＋1＝2＋a k ＝2＋2k －12k －1＝2k ＋1－1
2
k －1，
∴a k ＋1＝2k ＋1－1
2k ，即n ＝k ＋1时猜想成立． 由①②可知，对n ∈N *猜想均成立．。