六年级奥数讲义
六年级奥数讲义-巧求周长及面积(附答案)
数学学科教师辅导教案知识精讲知识点一（长方形、正方形的周长）【知识梳理】同学们都知道，长方形的周长=（长＋宽）×2，正方形的周长=边长×4。
长方形、正方形的周长公式只能用来计算标准的长方形和正方形的周长。
如何应用所学知识巧求表面上看起来不是长方形或正方形的图形的周长，还需同学们灵活应用已学知识，掌握转化的思考方法，把复杂的问题转化为标准的图形，以便计算它们的周长。
【典型例题】例1 有5张同样大小的纸如下图（a）重叠着，每张纸都是边长6厘米的正方形，重叠的部分为边长的一半，求重叠后图形的周长。
答案：72课堂练习一:1.下图由8个边长都是2厘米的正方形组成，求这个图形的周长。
答案：18*2=36厘米2.下图由1个正方形和2个长方形组成，求这个图形的周长。
答案：178厘米45cm3.有6块边长是1厘米的正方形，如例题中所说的这样重叠着，求重叠后图形的周长。
答案：14厘米例2 一块长方形木板，沿着它的长度不同的两条边各截去4厘米，截掉的面积为192平方厘米。
现在这块木板的周长是多少厘米？答案：192-4*4=176平方厘米176/4=44厘米44*2=88厘米课堂练习二：1.有一个长方形，如果长减少4米，宽减少2米，面积就比原来减少44平方米，且剩下部分正好是一个正方形。
求这个正方形的周长。
答案：6*4=24米2.有两个相同的长方形，长是8厘米，宽是3厘米，如果按下图叠放在一起，这个图形的周长是多少？答案：4*8=32厘米3.有一块长方形广场，沿着它不同的两条边各划出2米做绿化带，剩下的部分仍是长方形，且周长为280米。
求划去的绿化带的面积是多少平方米？答案：280/2*2+2*2=284平方米例3 已知下图中，甲是正方形，乙是长方形，整个图形的周长是多少？答案：2a+4b课堂练习三:1.有一张长40厘米，宽30厘米的硬纸板，在四个角上各剪去一个同样大小的正方形后准备做一个长方体纸盒，求被剪后硬纸板的周长。
(完整word版)六年级奥数《工程问题》讲义
工程问题工程问题是将一般的工作问题分数化,换句话说从分率的角度研究工作总量、工作时间（完成丁作总量所需的时间）、工作效率（，单位时间内完成的工作於）三者之间关系的问题•它的特点是将工作总量看成单位“1”,用分率表示工作效率，对做工的问题进行分析解答.T•程问题的三个基本数址关系式是：工作效率X工作时间=工作总量. 工作总就十工作时间=工作效率. 工作总量一工作效率=丁作时间.V —件工程，甲、乙合做需6天完成，乙.丙合做需9天完成•甲、丙合做需15天完成•现在甲.乙、丙三人合做需要多少天完成？分析先求出三人合做一天完成这件工程的几分之几•再求三人合做需要多少天完成.解1+ [（¥ + + +需）十2]= 5 天）.答甲、乙.丙三人合做需要5器天完成.冷＜2卩一项工作，甲、乙合做要12天完成•若甲先做3天后，再由乙工作8天，共完成这件工作的卷如果这件工作由甲、乙单独做•甲需要多少天？乙需要多少天？分析把甲先做3天后再由乙工作8天共完成这件工作的立•看作甲、乙合作3天再由乙单砂做5天“完成这件T作的寻•又这件工作甲、乙台做要12夭完成"则甲、乙合做1天完成这件工作的越3天完成这件工作的备x 3 =与前述进行比较知•乙5 天完成这件工作的5 1 1———■12 4 6-解乙单独完成这件工作的天数「壬（辛*5）=30（天儿甲单独完成这件匸作的天数士 1 -=-（吉一点）=20（天）.答这件工作由甲、乙单独做•甲需要20夭，乙需宴30天.亠（】）做一件工程•甲独做需要12小时完成，乙独做需要］8小时兀成■甲、乙合做1小时肩，然后由甲工作1小时，再由乙工作］小时两人如此交替工作'完成任务还需多少时间？<2）加工一批零件'甲、乙两人合做］小时势完成了这批零件的器乙、丙两人接着生产1小时•又完成了為甲、丙又合做2小时，完成了剩下的任务.甲•乙、丙三人合做■还妄多少小时完成？'?晅»有—水池，装有甲、乙两个注水管.下面装有丙管放水■池空时•单开卬管5分钟可注满.单开乙管10分钟可注满；水池装潢水肩.单开丙管15分钟可将水放完.如果在池空时•将甲、乙、丙三管齐开分钟启关闭乙管*还要多少分钟可注满水池？分析三管齐开2分钟肩的T作量是1 —（辛+吉一吉）x2.*［1_（言+壽_養餐2］斗（吉一吉）="分九答2分钟后关闭乙管.还妄4分钟可注满水池.密一份穡件.甲单独打字需6小时完成•乙单独打字需K）小时完成.现在甲单独打若干小时后•因有事由乙接着打完，共用了7小时.那么甲打字用了多少小时？分析乙7小时共打字盖幻=岳送样就差—磊=磊的稿件.因此甲每小时比乙多打全部稿件的吉一霁=磊*磊*点=4号（小时人*答甲打字用了4寺小时2再单独做4夭•还剩下这项工程的着没有完成，求甲、乙两队工作效卒之比.（2）甲、乙两项工程分别由一*二队来完成.在晴天•一队完成甲工程需要12天，二队完成乙工程需姜15天卡在雨天”一队的工作效率要下降40%•二队的工作效率耍下降10%.结果两队同时完成这两项工程•那么•在施工的日子卑•雨天有多少天？g；有卬、乙两项工程•张师傅单独完成甲丁程需寰9天，单独完成乙1 [程需要12天；王师傅单独完成甲工程需要3天. E独完成乙H 程需要15天.如果两人合作完成这两项丁程.最少需要多少天？分折由题目条件知，王师傅擅长做甲工程，所以让王师傅先做甲丁程，张师傅先做乙工程.等王师傅做完甲工程再和张师傅做乙工程.解3+（】_誇）+（吉+養）=3十5 = 8（天》.答两人合作完成这两项工程，堆少需要8天.0 <34某地要修筑-条公路，甲丁•程队单独干需要io天完成，乙工程队单独干需要15天完成*如果两队合作*他们的工作效率就要降低■甲队只能完成原来的壬，乙队只能完成原来的壽.现在if划8天完成这项工程，且要求两队合作天数尽可能少*那么两队要合作多少天？分析根据题意•甲、乙及甲.乙合做的工作效率分别为霁、1 tJL 1 4 1 9 7运及10X J +l5X l0 =50*此3种情况中乙的效率最低，甲、乙合做的效率最高，要使甲、乙合作天数尽可能的少.则必须甲尽可能地多做.如果全是甲做怡天可完成磊X8 =磊=£的工作虽尚有*的匚作没有完成■这部分工作要由甲、乙合做比甲多做的部分来完成.* （1~]^x8h（io x f+n x w~^）1 2=1■十韵=5（天〉.答两队要合作5天.(1) 一项工程•甲、乙合做全工程的晋^剩下的由甲单独完成. 甲一共做了10.5天”这项工程由甲单独做需要15天，如果由乙单独做•需要多少天？(2) 师徒三人合作承包一项工程显天能够全部完成.已知师傅单•独做所需的夭数与两个徒弟合作做所需的天数相等宇而师傅与乙徒第合作做所需的天数的2倍与甲徒弟单独做完所需的天数相等•那么甲徒弟单独做，完成这项丁程需要多少天？乙徒弟单独做,完成这项工程需要多少天？练习题1 完成一项工作"噩耍甲队干5天，乙队干6天•或者甲队干7 天•乙臥干2天.如果甲.乙两队独立完成该工程各需多少天？O 一个水池•甲.乙两个水管同时打开击小时可以灌满水池：若甲管打开8小时后关闭+然后打幵乙管，再工作3小时也可以灌满水池.问：甲管先工作2小时后关闭,乙管再工作儿小时可以港满全水池？3 一件工作甲5小时完成了吉”乙£小时完成了剩下的一半，余T的部分由甲、乙合作，还需要多少小时？O 甲、乙合作完战一项工作，由于配合得好舟甲的工作效率比单独做时提高壽■乙的工作效率比单独做时提高+•甲.乙合作6小时完成了这项任务.如果甲单独做需羹H小时，那么乙单独做需要多少小时？5某工程如果由第一、二、三小队合干，需12天才能完成；由第一.三、五小队合干，需7天才能完成*由第二、四.五小队合干•需圧天才能完成*曲第一、三、四小队合干•需42天才能完成■那么这五个小队一起合干，需要多少天才能完成这项工程？0 一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作•甲T：地的「作绘是乙工地工作址的L5倍.上午去甲工地的人数是去乙匚地人数的3倍■下午这批工人中有召的人去甲工地•其他工人到乙工地.到傍晚时•甲工地的工作已做完农乙工地的工作还需4名工人再做1天・那么，这批工人有多少人？。
六年级上册数学培优奥数讲义-第1讲对应法解题
第1讲对应法解题2知识装备1、对应法：在解决问题时，通过观察、比较题中的已知条件，研究对应数量的变化，寻找解决问题的途径，这种解决问题的思维方法称为对应法。
2、运用对应法解决问题，应把题中的条件按对应关系一一排列，然后把有对应关系的同类量作比较，寻找解决问题的途径。
这种方法经常与消元法、代入法同时使用。
初级挑战1奶奶去买水果，如果她买4千克梨和5千克荔枝，需花58元；如果她买同样的6千克梨和5千克荔枝，那么需花62元。
问1千克梨和1千克荔枝各多少元？思路引领：我们可以把两次买的情况列式进行比较：4千克梨＋5千克荔枝＝58元①6千克梨＋5千克荔枝＝62元②比较①和②式，发现两式中（）的重量相等，②式比①式多了（）千克（），多花了（）元，由此可先算出（）的单价，再根据①式或②式算出（）的单价。
答案：1千克梨：（62－58）÷（6－4）＝2（元）1千克荔枝：（58－2×4）÷5＝10（元）能力探索1向1个空瓶里倒水，如果倒进3杯水，连瓶共重440克；如果倒进7杯水，连瓶共重600克。
问空瓶重多少克？答案：1杯水：（600－440）÷(7－3)＝40（克）空瓶：440－3×40＝320（克）初级挑战2学校买鼠标和键盘，如果买3个鼠标和4个键盘共需要190元，如果买同样的6个鼠标和2个键盘需要230元。
一个鼠标和一个键盘各多少元？思路引领：我们可以把两次买的情况列式进行比较：3个鼠标＋4个键盘＝190元①6个鼠标＋2个键盘＝230元②我们把①、②两式进行比较，发现两组条件中鼠标和键盘的数量都不一样，无法直接对比。
再进行观察可以发现：如果把①式左右两边同时扩大2倍，再与②式进行比较得出：6个鼠标＋8个键盘＝380元③6个鼠标＋2个键盘＝230元②鼠标个数相同，所以③式－②式可先求出键盘的单价，从而再算出鼠标的单价。
答案：键盘单价：（190×2－230）÷（4×2－2）＝25（元）鼠标单价：（230－25×2）÷6＝30（元）能力探索24本练习本和5支圆珠笔共14元，同样的2本练习本和4支圆珠笔共10元。
六年级寒假奥数培优讲义——6-09-走走停停3-讲义-学生
第9讲走走停停【学习目标】1、进一步学习行程问题；2、掌握走走停停的类型题型。
【知识梳理】在有些行程问题中，既有路程上的前后调头，又有时间上的走走停停，同时又有速度上的前后变化。
遇到此类问题，我们应分析其中的运动规律，把整个运动过程分成几段，再仔细分析每一段中的情况，然后再类推到其它各段中去。
这样既可使运动关系明确、简化，又可减少复杂重复的推理及计算。
【典例精析】【例1】龟和兔进行1500米的赛跑，龟每分钟爬25米，兔每分钟跑325米，兔自以为能得第一，途中睡了一觉．结果龟到终点时，兔还有200米，兔睡了多少分钟？【趁热打铁-1】龟兔赛跑，同时同地出发，全程是20000米，乌龟每分钟爬行80米，兔子每分钟跑800米，兔子跑了一会就在途中睡觉，醒来后立刻以原速向前跑。
(1)若兔子不想输给乌龟，则它在途中最多只能睡多少分钟？(2)如果兔子在途中要睡1.5小时（乌龟和兔子的速度保持不变）,且兔子不输给乌龟，则路程至少为多少米？【例2】龟兔赛跑，全程10.8千米，兔子每小时跑50千米，乌龟每小时跑8千米，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟，然后玩10分钟，又跑2分钟，玩10分钟，再跑3分钟，玩10分钟……那么先到达终点的比后到达终点的快分钟。
【趁热打铁-2】龟兔赛跑，全程6千米，兔子每小时跑15千米，乌龟每小时跑3千米，乌龟不停的跑，但兔子边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟后玩20分钟，再跑3分钟后玩20分钟……问它们谁胜利了？胜利者到终点时，另一个距离终点还有多远？【例3】小明和爸爸一起锻炼时发现：小明每跑8步而爸爸只能跑5步，但是爸爸跑2步的距离相当于小明跑5步的距离。
如果从同一起点小明跑了27步后，爸爸才开始追小明，则爸爸追上小明至少需要跑步。
【趁热打铁-3】森林中，猎狗发现前方20米处有一只奔跑的野兔，立即追赶上去。
猎狗步子大，它跑5步的路程，野兔要跑9步；但野兔动作快，猎狗跑2步的时间，野兔能跑3步。
六年级寒假奥数培优讲义——6-01-分段计费3-讲义-学生
第1讲分段计费【学习目标】1、进一步学习经济问题；2、熟悉分段计费常见题型及解法。
【知识梳理】分段计费就是按阶梯收费，每一段的收费单价不一样，这一类题首先找出拐点，找出每一段的费用标准，从而分段计算。
【典例精析】【例1】某出租车的收费标准是：5千米之内起步费10.8元，往后每增加1千米增收1.2元（不足1千米按1千米算）．现从A地到B地共支出车费24元，如果从A先往前走800米再乘车到B地，结果还是24元，那么如果先走AB的一半路程，再打车需要多少元？【趁热打铁-1】自从9月1日某市首批50辆纯电动出租车正式运营以来，电动出租车以绿色环保受到市民的广泛欢迎，给市民的生活带来了很大方便，下表是行驶15公里以内普通燃油出租车和纯电动出租车的运营价格：车型起步公里数起步价格超出起步公里数后的单价普通燃油型 3 13元 2.3元/公里纯电动型 3 8元2元/公里老张每天从家去单位打出租车上班（路程在15公里以内）,结果发现正常情况下乘坐纯电动出租车比燃油出租车平均每公里节省0.8元，求老张家到单位多少公里？【例2】成都市公布的居民用电电价听证方案如下:（1）培培家5月份的电费为139.5元，请你求出培培家5月份的用电量；（2）若新新家某月的电费为248元，则新新家该月用电量是多少？属于第几档？【趁热打铁-2】安民小区对用电的收费标准如下：每月用户用电不超过10度的部分，按每度0.45元收费；超过10度部分按每度0.80元收费。
某月培培家比新新家多交5.80元，那么培【例3】某城市按以下规定收取每月的水费，如果用水不超过50吨，按每吨1．8元收费；如果超过50吨不足100吨，超过部分按每吨2元收费；如果超过100吨，超过部分按照每吨3元收费。
某公司下属甲乙两单位4月共用水113吨，如果甲、乙分别付费共需要207元。
（已知甲用水超过50吨，乙用水超过40吨，但不足50吨。
）（1）设甲用了x吨水，乙用了y吨水，则甲单位需付元；乙单位需付元。
六年级奥数讲义-数论综合(含答案)
学科培优数学“数论综合”学生姓名授课日期教师姓名授课时长数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，而且有着强大的生命力。
数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”。
因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了。
任何学生，如能把当今任何一本数论教材中的习题做出，就应当受到鼓励，并劝他将来从事数学方面的工作。
”所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
涉及知识点多、解题过程比较复杂的整数综合题，以及基本依靠数论手段求解的其他类型问题．【题目】己知五个数依次是13，12， 15， 25，20它们每相邻的两个数相乘得四个数，这四个数每相邻的两个数相乘得三个数，这三个数每相邻的两个数相乘得两个数，这两个数相乘得一个数。
请问最后这个数从个位起向左数、可以连续地数到几个0？【题目】有4个不同的自然数，它们当中任意2个数的和是2的倍数，任意3个数的和是3的倍数．为了使得这4个数的和尽可能地小，这4个数分别是多少?【题目】将数字4,5,6,7,8,9各使用一次，组成一个被667整除的6位数，那么，这个6位数除以667的结果是．【题目】在小于5000的自然数中，能被11整除，并且数字和为13的数，共有多少个?【题目】从1,2,3,……n中，任取57个数，使这57个数必有两个数的差为13，则n的最大值为_______。
【题目】一个自然数与自身相乘的结果称为完全平方数。
已知一个完全平方数是四位数，且各位数字均小于7。
如果把组成它的数字都加上3，便得到另外一个完全平方数，求原来的四位数。
【题目】4个不同的真分数的分子都是1，它们的分母有2个是奇数、2个是偶数，而且2个分母是奇数的分数之和与2个分母是偶数的分数之和相等．这样的奇数和偶数很多，小明希望这样的2个偶数之和尽量地小，那么这个和的最小可能值是多少?【题目】有一电话号码是 ABC-DEF-GHIJ ，其中每个字母代表一个不同的数字。
六年级寒假奥数培优讲义——6-11-图形规律3-讲义-学生
第11讲图形规律【学习目标】1、学会寻找图形间的规律；2、提升学习数学的兴趣。
【知识梳理】1、图形中的规律：（1）以组为单位按规律排列。
（2）同一组图形,通过不同的顺序排列。
（3）同一个图形通过平移或旋转按一定规律排列。
2、数形结合的规律：解答数图形的题目,要按一定的顺序去数,做到不遗漏、不重复。
数线段的一般公式是(n-1)+…+2+1(m为线段的总端点数);在数角、三角形、长方形等图形的个数时,有时可以与数线段的条数联系起来思考。
【典例精析】【例1】如图，一只青蛙在圆周上标有数字的五个点上跳，若它停在奇数点上，则下次沿顺时针方向跳两个点，若停在偶数点上，则下次沿逆时针方向跳一个点。
若青蛙从1这个点开始跳，则经过2016次后它停在数字对应的点上。
【趁热打铁-1】有一列数1,1,2,3,5,8,13,21,……，从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，则第2020个数被3除，得到的余数是。
【例2】节日的大街上挂起了一串串彩灯，从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏绿灯，2盏蓝灯重复地排下去，请问：第2013盏灯是 颜色。
【趁热打铁-2】把111140化成小数时，连同整数部分第2001位上的数字是_______。
【例3】小明在做一道数学题时发现：在一个平面上，2个点之间可连1条线段，3个点可以连3条线段，4个点可以连6条线段，请你帮小明算一算，若一个平面上有11个点，则可以连 条线段。
【趁热打铁-3】若直线上有5个点，我们进行第一次操作：在每相邻两点间插入个点，则直线上有9个点；第二次操作：在9个点中的每相邻两点间继续插入1个点，则直线上有17个点，现在直线上有2017个点，经过3次这样的操作后，直线上共有 个点。
【例4】496名学生从左到右排成一排，按如下规律从左到右报出整数：若某学生报出的整数是一位数，他右边的同学就报这个一位数与9的和，若某同学报出的整数是两位数，他右边的同学就报这个两位数的个位数与5的和，如果第一名同学报出的整数是1,那么最后一名同学报出的整数是 。
六年级奥数_浓度问题讲义2331
六年级奥数 浓度问题讲义一、专题引导：什么是浓度呢？（以糖水为例，将糖溶于水中得到糖水，这里糖叫溶质，水叫溶剂，糖水叫溶液。
）三者之间关系：浓度＝ ×100％＝×100％ 二、典型例题例1、有浓度为30％的酒精溶液若干，添加了一定数量的水后稀释成浓度为24％的酒精溶液，如果再加入同样的水，那么酒精溶液的浓度变为多少？ 思路导航：稀释问题是溶质的重量是不变量。
例2、有浓度为7％的盐水600克，要使盐水的浓度加大到10％，需要加盐多少克？思路导航：溶剂重理不变。
[练习]海水中盐的含量为5％，在40千克海水中，需加多少千克淡水才使海水中盐的含量为2％？例3、在浓度为50％的硫酸溶液100千克中，再加入多少千克浓度为5％的硫酸溶液，就可以配制成浓度为25％的硫酸溶液？思路导航：混合前两种溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量分别等于混合后溶液中所含溶质的重量、溶剂的重量、溶液的重量。
[练习]配制硫酸含量为20％的硫酸溶液1000克，需要用硫酸含量为18％和23％的硫酸溶液各多少克？溶质溶液溶质溶质＋溶剂例4、从装满100克浓度为80％的盐水杯中倒出40克盐水，再用清水将杯加满；再倒出40克盐水，然后再用清水将杯加满，如此反复三次后，杯中盐水的浓度是多少？思路导航：反复三次后，杯中又已装满，即最后杯中盐水的重量仍为100克，由此；问题的关键是求出如此反复三次后还剩盐多少克？[练习]①有盐水若干升，加入一定量水后，盐水浓度降到3％，又加入同样多的水后,盐水浓度又降到2％,再加入同样多的水,此时浓度是多少呢?又问未加入水时盐水浓度是多少?②有含糖6％的糖水900克,要使其含糖量加大到10％,需加糖多少克?比和比例应用题例4、乘坐某路汽车成年人票价3元，儿童票价2元，残疾人票价1元，某天乘车的成年人、儿童和残疾人的人数比是5 0:20:1，共收得票款26740元，这天乘车中成年人、儿童和残疾人各有多少人？思路导航:单价比:成年人:儿童:残疾人=3:2:1人数比:50:20:1[练习]甲乙两人走同一段路，甲要20分钟，乙要15分钟，现在甲、乙两人分别同时从相距840米的两地相向而行，相遇时，甲、乙各走了多少米？例5、“希望小学”搞了一次募捐活动，她们用募捐所得的钱购买了甲、乙、丙三种商品，这三种商品的单价分别为30元、15元和10元。
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第一讲立体图形及展开同学们在五年级所学习的立体图形主要是长方体和正方体，从这一讲开始我们将一起研究数学竞赛中经常出现的有关长方体和正方体的问题，帮助大家提高观察能力和空间想像能力，以及掌握解答问题的技巧和方法。
这一讲我们进一步研究长方体和正方体的特征及展开图例题选讲例1:图1所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点F、点G分别与哪个点重合?【分析与解答】为了研究方便，我们将正方体六个面分别标上序号1、2、3、4、5、6，如果将l作为底面，那么4就是后面，5为右面，6为前面，2则是左面，3就是上面，(如图2)。
从图中不难看出点F与点N，重合，点G与点S重合。
还有一种方法就是动手制作一张展开图，折一折，结果就一目了然了，同学们不妨试试吧!例2:一只小虫从图l所示的长方体上的A点出发，沿长方体的表面爬行，依次经过前面、上面、后面、底面，最后到达P点。
请你为它设计一条最短的爬行路线。
【分析与解答】因为小虫在长方体的表面爬行，所以我们可以将长方体的前、后、上、下西个面展开成平面图形(如图2)。
又因为在平面上“两点之间的线段长度最短”，所以连接AP，则线段AP为小虫爬行的最短路线。
练习与思考1.如图所示的是一个正方体纸盒拆开后平摊在桌面上的形状。
如果将这个展开图恢复成原来的正方体，图中的点B、点D分别与哪个点重合?2.如图所示的是一个棱长3厘米的正方体木块，一只蚂蚁从A点沿表面爬向B点。
请画出蚂蚁爬行的最短路线。
问：这样的路线共有几条?3.将一张长方形硬纸片，剪去多余部分后，折叠成一个棱长为l厘米的正方体。
这张长方形硬纸片的面积最小是多少平方厘米?4.一块长方形的铁皮，长28厘米，在这块铁皮的四角各剪下一个边长为4厘米的小正方形，然后通过折叠、焊接做成一个无盖的长方体盒子。
已知这个盒子的容积是960立方厘米，求原来长方形铁皮的面积。
5.如图所示的是一个正方体木块的表面展开图，若在正方体的各面填上数，使其对面两数之和为7，则A、B、c处填的数各是多少?6.如图所示的10个展开图中，哪些可以做成完整的正方体?7.图(1)是一个正方体，图(2)是这个正方体的一个平面展开图，图(3)、图(4)、图(5)也是这个正方体的平面展开图，但每一个展开图上都有四个面上的图案没画出来，请你给补上。
8.如图所示的是一个长方体，四边形APQC、是长方体的一个截面(即过长方体上4点A、P、Q、C的平面与长方体相交所得到的图形)，P、Q分别为棱A1B1、B1C1，的中点，请在此长方体的平面展开图上，标出线段AC、cQ、QP、PA。
第二讲长方体和正方体的表面积在数学竞赛中，有许多问题涉及到长方体和正方体表面积的计算。
这些知识不仅有趣而且具有一定的实用性和思考价值。
解答长方体和正方体表面积的问题时，需要同学们具备较强的观察能力、作图能力以及空间想像能力，另外还要掌握一些解题的思路和技巧。
例题选讲例1:一个长方体，前面和上面的面积之和是88平方厘米，这个长方体的长、宽、高是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】要求长方体的表面积，就要求长方体的长、宽、高。
根据题意，前面与上面的面积之和是88平方厘米，也就是长×高+长x宽=88，即长×(高+宽)=88因为长、宽、高都是质数，我们把88分解质因数得88=1l×2×2×2，依题意，11不能分成两个质数和，经试验，有两种情况符合条件，(1)ll×(3+5)：88 (2)2×(41+3)一88，因此长方体的表面积可以有两种情况。
解：88—11×2X2×2，2×2×2：3+5，11×2×2—41+3。
长方体的表面积：(1)(11×3+1l ×5+5×3)×2=206(平方厘米)(2)(2×3+2x4l+41×3)×2—422(平方厘米)例2:如图，将3个表面积都是24平方米的正方体木块粘成一个长方体，求这个长方体的表面积。
【分析与解答】仔细观察图形，不难看出3个正方体块粘成1个长方体，共有2个粘接处，每一处都有2个面粘在一起，两处共粘去4个面，因此粘成的长方体的表面积等于(6×3—4)个面的面积，即24÷6×(6 x3—4)=56(平方厘米)。
例3:如图所示的是用19个棱长为1厘米的正方体堆起来的立体图形，其中有一些正方体看不见，那么这个立体图形的表面积是多少?【分析与解答】仔细观察图形，虽然这个立体图形是不规则的，但是从前面看到的面与从后面看到的面个数是相等，同理从左、右看到的面个数是相等的，从上、下看到的面是一致的，所以这个立体图形的表面积等于(前面十上面+左面)×2，即(10+9+8)×2=54(平方厘米)。
练习与思考1.有一个长方体，前面和上面两个面面积和为209平方厘米，并且长、宽、高都是以厘米为单位的数，且都是质数，求这个长方体的表面积。
2.将两个长都是8厘米，6厘米，高都是5厘米的长方体拼成一个大长方体，那么这个大长方体表面积最大是多少平方厘米?3.如图所示的是由17个边长是1厘米的小正方体拼成的立体图形，求它的表面积。
4.有一个长方体,长是8厘米,宽是4 厘米，高是6厘米，把它截成棱长是2厘米的若干个小正方体，这些小正方体表面积之和比原来长方体的表面积增加了多少平方厘米?5.如图，正方体木块的表面积是36平方分米，把它沿虚线截成体积相等的8个小正方体木块，这时表面积增加多少平方分米?6.如图，有一个边长是5厘米的立方体，如果它的左上方截去一个边长分别是5厘米，3厘米2厘米的长方体。
那么，它的表面积减少多少平方厘米?7.如图，有一个长4厘米：宽和高都是3厘米的长方体，以A为底打一个上下直穿的长方体洞，以B为底打一个前后直穿的长方体洞，以C为底打一个左右穿通的长方体洞，所得立体图形的表面积是多少?8.如图，有一个棱长是1米的正方体木块。
沿水平方向锯2次，竖直锯3次，再横着锯4次，共得到大大小小的长方体小木块60块，求这60块长方体表面积的和。
9.用10个长7厘米，宽5厘米，高3厘米的长方体木块拼成一个大长方体，拼成的大长方体表面积最小是多少?第三讲长方体和正方体的体积前一讲，我们研究了长方体和正方体表面积的计算，其实在数学竞赛中，有关长方体和正方体体积的知识也很重要。
学习这一讲的知识更需要我们具备较强的观察能力和空间想像能力。
例题选讲例1:如图，一个长方体木块，从上部和卞靠分别截去高2厘米和3厘米的长方体后，便成为一个正方体，表面积减少了100平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米?【分析与解答】仔细观察右图，截去上下两个长方体后减少的表面积就是两个长方体的侧面积，也就相当于减少的是高为(2+3)厘米的长方体的侧面积，因此高为5厘米的长方体每个侧面积是100÷4—25(平方厘米)，那么长方体底面正方形的边长就是25÷5=5(厘米)，所以原长方体的体积是：5×5×(2+5+3)=250(立方厘米)。
例2:将两块棱长相等的正方体木块拼成一个长方体，已知长方体棱长总和是96厘米，每块正方体木块的体积是多少立方厘米? 新课标第一网【分析与解答】根据题意，两个正方体棱长共有12×2=24(条)。
当它们拼在一起成为一个长方体时，由于两个面重合，也就减少了4×2=8(条)棱长，实际上就是拼成的长方体棱长总和相当于24—8=16(条)正方体棱长总和，因此每条正方体棱长为96÷16=6(厘米)，则每块正方体木块的体积是：6×6×6=216(立方厘米)。
例3:如图，正方体的棱长为4厘米，分别在前后、左右、上下各面中心凿开一个边长1厘米的正方形小孔直至对面，求它的体积。
【分析与解答】仔细观察图形，每个凿去的小长方体体积均为：1×1×4=4(立方厘米)，共凿小长方体3个，即4×3=12(立方厘米)，而实际上由于正中间相交，重复凿去了2个1立方厘米的正方体小块，因此，这个物体的体积是4×4×4—12+1×2=54(立方厘米)。
练习与思考1．把一个长方体的长平均分成4段，每段长6厘米，表面积增加24平方厘米，求原长方体的体积。
2．用大小相等的两个正方体积木拼成一个长方体，这个长方体的棱长总和是80厘米，每个正方体的体积是多少立方厘米?3．如图，在一个棱长为20厘米的正方体木块的前面、上面、右面中心位置，分别凿一个边长为4厘米的正方形小孔直至对面，做成玩具，求这个玩具的4．一个长方体，它的前面和上面的面积之和是156平方厘米，并且长、宽、高都是质数，这个长方体的体积是多少?5．一个表面积是36。
平方厘米的长方体，它恰好可以切成两个相同的正方体，每个小正方体的体积是多少立方厘米?6．一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体的表面积之和是240平方厘米，求原来长方体的体积。
7．一个长方体的前面、上面、右面的面积分别为40、60、24平方厘米，求这个长方体的体积。
8．现有一张长4厘米、宽2。
厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒(焊接处及铁皮厚度忽略不计，容积越大越好)。
请问：你做的铁皮盒的容积是多少立方厘米?9．一个长、宽、高分别是2l厘米、15厘米、12厘米的长方体，现从它上面尽可能大地切下一个正方体，然后再从剩余部分尽可能大地切下一个正方体，最后再从第二次剩余的部分尽可能大地切下一个正方体，这时剩下的体积是多少立方厘米?第四讲水面高度变化和等积变换水面高度变化问题是涉及长方体和正方体体积计算的变题，是指把一个物体放入盛水的长方体或正方体容器中，水面将上升；或者把一个物体从盛水的长方体和正方体容器中取出，水面会下降一类的问题。
解答时，同学们要仔细观察水面高度变化的现象，发挥空间想像力，发现体积变化的规律，从而解决实际问题。
等积变换问题指的是物体经过熔铸、变换，改造成另一种形状的物体，虽然形状变了，但是体积没有发生变化。
解答时，应该抓住体积不变这一突口，再根据实际问题进行认真分析，从而寻求解决问题的方法。
例题选讲例1:在一个长25分米，宽20分米的长方体容器中，有15分米深的水。
如果在水中沉入一个棱长是50厘米的正方体铁块，那么容器中水深多少分米? 、【分析与解答】根据题意，正方体铁块沉入长方体容器中后，水面会上升，而上升部分的水的体积与正方体铁块的体积相等，因此就可以求出上升部分水的高度，那么现在的水深就迎刃而解了。