四元数微分方程的毕卡求解法
形象解说四元数
形象解说四元数By daode1212 2016-03-16前言:四元数（Quaternions）是由爱尔兰数学家哈密顿(William Rowan Hamilton,1805-1865）在1843年发明的数学概念。
复数、向量、矩阵都是数学中的基本要素，就如同编程中的数组、对象、集合那样。
四元数是一种超复数，是复数与三维向量的复合体。
四元数也有加法、减法、乘法、但是四元数的乘法不符合交换律（commutative law），即a*b <> b*a，而且，还有转置、规范化、共轭三种运算。
由于它在描述三维旋转、姿态方面的一些特有优点，所以在飞行器（飞机，火箭，导弹等），机器人姿态的控制中常用到。
数学手册中在代数结构的“群-环-域”中稍有点介绍，它属于不可交换的除环，称哈密顿四元数体。
以下是一些四元数运算的效果图：四元数理论创立人：William Rowan Hamilton,1805-1865一，四元数的几种表示形式:OpenTK中，为建立四元数提供了多种方式：public Quaternion(float x, float y, float z, float w)；public Quaternion(OpenTK.Vector3v, float w)；例如用Quaternion(float x, float y, float z, float w)：OpenTK.Quaternion q = new OpenTK.Quaternion(0.51f, -0.71f, 0.31f, 0.7071f);1, 四元数建构方式一：i^2=j^2=k^2=-1ij=-ji=k，jk=-kj=i，ki=-ik=jq=w+ix+jy+kz，i,j,k分别对应轴向量X(1,0,0),Y(0,1,0),Z(0,0,1)2, 四元数建构方式二：转动角之半+轴向量的方向余弦：3, 四元数建构方式三：转动角之半+单位球面上的点：二，四元数的模如q是四元数，OpenTK中有:1, q.Length;返回值是:2, q.LengthSquared;返回值是:，与点积（内积）q·q是一致的。
组合导航算法设计
INS/GPS组合导航算法设计1 引言目前单一导航系统难以满足实际要求，把两种或多种导航系统组合起来，应用最优估计理论，形成最优组合导航系统，使组合后的导航系统在精度和可靠性都有所提高。
本课题研究飞行器GPS/INS组合导航算法，通过对飞行器INS/GPS 组合导航算法设计，以VC++6.0为平台组建INS/GPS组合导航仿真系统，对组合导航算法进行实现。
并对飞行器的飞行状态进行仿真，仿真前预先设定飞行器的飞行参数（包括平飞、加速、减速、上升、下降、转弯等飞行动作以及每个动作开始结束的时间），通过设计的组合导航仿真系统得到飞行器的位置、速度、姿态角信息。
并通过MATLAB对INS/GPS组合导航解算出来的数据与预先设定的实际飞行数据进行比较分析。
惯性导航系统的优点是：（1）自主性强，它可以不依赖任何外界系统得支持，单独进行导航。
（2）不受环境、载体运动和无线电干扰的影响，可连续输出包括基准在内的全部导航参数，实时导航数据更新率高。
（3）具备很好的短期精度和稳定性。
其主要缺点是导航定位误差随时间增长，难以长时间的独立工作。
全球定位系统是一种高精度的全球三维实时导航的卫星导航系统，其导航定位的全球性、高精度、误差不随实践积累的优点，但是GPS系统也存在一些不足之处，主要是：GPS接收机的工作受飞行机动影响，当载体的机动超过GPS接收机的动态范围时，GPS接收机会失锁，从而不能工作，或者动态误差过大，超过允许值，不能使用。
且GPS接收机的更新频率较低（1HZ），难以满足实时控制的要求。
抗干扰能力差。
此外GPS导航受制于人。
因此GPS系统一般作为理想的辅助导航设备使用。
GPS/惯性组合导航，克服了各自的缺点，取长补短，可以构成一个比较理想的导航系统，GPS/惯性组合导航可以大大降低导航系统的成本。
随着MEMS技术的发展，惯导成本的降低都是组合导航系统发展的优势所在。
我们用组合导航算法将惯性导航单元的信息和GPS的信息进行综合，来补偿惯性元件的误差，修正速度、姿态信号，从而构成一个精度适中、结构紧凑、成本低廉的导航系统。
怎么解微分方程
怎么解微分方程
微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了某个物理量（例如速度、加速度、浓度等等）如何随着时间或空间的变化而变化。
解微分方程就是求出该物理量的具体函数形式，从而能够预测其未来或过去的变化情况。
要解微分方程，需要先确定该方程的阶数（即微分项的最高次数），然后找到一些基本的解或特解。
基本解是该微分方程的通解的一部分，特解则是该方程的特定解，它是一组符合某些特殊条件的解。
接下来，可以通过线性组合或积分变换等方式，将基本解与特解组合起来得到该微分方程的通解。
通解包括两个部分：齐次解和非齐次解。
齐次解是代数式，而非齐次解是一个特定函数，它包含了方程右边的所有项。
最后，还需要根据具体的初值或边界条件，求出该微分方程的特定解。
初值条件是指在某个起始点上，该物理量的值已知；边界条件是指在该物理量所处的某个区域边界上，该物理量的某种性质已知。
通过将这些条件带入通解中，就可以得到该微分方程的特定解，从而解决实际问题。
总的来说，解微分方程是应用数学中重要的一部分，它可以帮助我们深入理解各种物理现象，进行科学研究和工程设计。
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惯性导航原理
第一转，绕 Z 轴转ψ
角，瞬时转轴 n 和 k
轴重合，则转动四元
数为
q1
cossin k 22
求方向余弦 非映象方式2
第二转，绕 OX1 轴转θ角， 瞬时转轴 n 的方向表示式为
(c o i ssin j)
其转动四元数为
q2
cossinn 22
co ssin (co i ssin j)
22
求方向余弦 非映象方式合成
qq1q2
上式中 q1 和 q2 的转轴方向必须以映象的形式给出。 如果 q1 和 q2 的转轴方向都以原始坐标系的分量表示，则有
qq2 q1
求方向余弦 非映象方式1
用四元数旋转变换的方法求取两个坐标系之间的方向余弦表。
坐标系 OX’Y’Z’ 相对 OXYZ 三次旋转，以 欧拉角ψ 、θ、φ的 形式给出。
则 q2 的映象表示式为
q2
cossini 22
求方向余弦 映象方式3
第三转，绕 OZ’ 轴转动 φ角
瞬时转轴 n 是由 OZ 经过 第一转和第二转转换来的
OZ’ 轴对应单位矢量 k， 所以定义 n 的映象为 k
则 q3 的映象表示式为
q3
cossink 22
求方向余弦 映象合成
由于 q1 、q2 和 q3 都是映象形式 ，所以三次转动的合成转动 四元数 q 为
zn轴 一与个自z t 轴由重方合位，角而或游x 与n动x方t及位y角t 与。y n之间相差
5. 平台坐标系—— Oxp ypzp
平台坐标系是用惯导系统来复现导航坐标
系时所获得的坐标系，平台坐标系的坐标 原点位于飞行器的重心处。对于平台惯导 系统，平台坐标系是通过平台台体来实现 的；对于捷联惯导系统，平台坐标系是通 过存储在计算机中的方向余弦矩阵来实现 的。
四元数算法
四元数与旋转在讨论「四元数」之前，我们来想想对三维直角座标而言，在物体旋转会有何影响，可以扩充三维直角座标系统的旋转为三角度系统（Three-angle system），在Game Programming G ems中有提供这麼一段：Quaternions do not suffer from gimbal lock.With a three-angle(roll,pitch,yaw)system,there are always certain orientations in which there is no simple change to the trhee values to represent a s imple local roation.You often see this rotation having"pitched up"90degree when you are tryin g to specify a local yaw for right.简单的说，三角度系统无法表现任意轴的旋转，只要一开始旋转，物体本身即失去对任意轴的自主性。
四元数（Quaternions）为数学家Hamilton於1843年所创造的，您可能学过的是复数，例如：a+b i这样的数，其中i*i=-1，Hamilton创造了三维的复数，其形式为w+x i+y j+z k，其中i、j、k的关系如下：i2=j2=k2=-1i*j=k=-j*ij*k=i=-k*jk*i=j=-i*k假设有两个四元数：q1=w1+x1i+y1j+z1kq2=w2+x2i+y2j+z2k四元数的加法定义如下：q1+q2=(w1+w2)+(x1+x2)i+(y1+y2)j+(z1+z2)k四元数的乘法定义如下，利用简单的分配律就是了：q1*q2=(w1*w2-x1*x2-y1*y2-z1*z2)+(w1*x2+x1*w2+y1*z2-z1*y2)i+(w1*y2-x1*z2+y1*w2+z1*x2)j+(w1*z2+x1*y2-y1*x2+z1*w2)k由於q=w+x i+y j+z k中可以分为纯量w与向量x i+y j+z k，所以为了方便表示，将q 表示为(S,V)，其中S表示纯量w，V表示向量x i+y j+z k，所以四元数乘法又可以表示为：q1*q2=(S1+V1)*(S2+V2)=S1*S2-V1.V2+V1XV2+S1*V2+S2*V1其中V1.V2表示向量内积，V1XV2表示向量外积。
捷联惯导结算原理
0 cos sin ， Rz sin 0 cos
sin cos 0
0 0 1
cos cos sin sin sin cos cos sin sin cos sin cos T11 T12 T13 Ry Rx Rz cos sin cos cos sin T21 T22 T23 sin cos cos sin sin sin sin cos sin cos cos cos T T T 31 32 33 b 由姿态矩阵 C n 反解飞行器姿态欧拉角：
（5） 速度的计算
t t t t t 0 2iez etz ety 2iey Vxt Vx 0 t t b t t t t 0 2iex etx Vyt 0 Vy Cb f 2iez etz t Vz g Vzt 2 t t 2 t t 0 iey ety iex etx
o o sin 1 T23 , 90 , 90
tg 1
T13 180o , 180o , T33
tg 1
T21 o o , 180 , 180 T 22
图 6 东向北向速度变化曲线
阶段总结：1.学习了平台式和捷联式惯导的惯导解算方法并进行了仿真计算。 2.平台式惯导物理平台时刻跟踪当地水平东北天地理系， 加速计的比 力信息直接投影在导航系中，可直接进行导航速度和位置解算。载体的姿态可直 接从平台框架直接得出；而捷联式惯导用数学平台取代实体的物理平台，通过求
微分方程的解法与齐次方程求解
微分方程的解法与齐次方程求解微分方程是数学中的一个重要概念，它描述了变量之间的关系以及这些关系的变化率。
解微分方程是数学领域的重要课题之一，有多种方法可以用来求解微分方程，其中包括齐次方程求解方法。
微分方程的解法涉及到多个重要的概念和方法，包括常微分方程、偏微分方程、初值问题、边值问题等等。
常微分方程是指只含有一个自变量的微分方程，而偏微分方程则包含多个自变量的微分方程。
初值问题是指给定一个微分方程以及一个特定的初始条件，求解在这个初始条件下的解；边值问题是指给定一个微分方程以及在一定边界条件下的解，求解满足这些边界条件的解。
齐次方程是微分方程中的一种特殊形式，它的特点是系数函数只依赖于自变量而不依赖于未知函数本身。
齐次方程的求解方法基于线性代数的理论，通过引入合适的变量替换，将齐次方程转化为一个线性方程组，进而求解出未知函数。
下面我将详细介绍微分方程的解法以及齐次方程的求解方法。
微分方程的解法：微分方程可以分为两个大类，即常微分方程和偏微分方程。
常微分方程是指只有一个自变量的微分方程，而偏微分方程则含有多个自变量的微分方程。
常微分方程的解法相对简单一些，下面将以常微分方程为例进行介绍。
常微分方程的求解首先要确定它的阶数，即方程中最高阶导数的次数。
然后，根据方程的形式和特点，选择合适的解法来求解。
常见的求解常微分方程的方法包括分离变量法、齐次线性方程法、一阶线性方程法、恰当方程法、常系数线性齐次方程法、常系数线性非齐次方程法等等。
不同的方法适用于不同类型的常微分方程，在具体求解时需要根据方程的形式和特点来选择合适的方法。
齐次方程的求解方法：齐次方程是微分方程中的一种特殊形式，其表达式中仅涉及未知函数及其导数，且系数函数只依赖于自变量而不依赖于未知函数本身。
对于齐次方程，可以通过引入合适的变量替换来将其转化为一个线性方程组，进而求解出未知函数。
齐次方程的求解方法基于线性代数的理论，主要有两个步骤：变量替换和求解线性方程组。
四阶微分方程奇异边值问题的正解
四阶微分方程奇异边值问题的正解【引言】四阶微分方程奇异边值问题的正解是数学领域中的一个有趣而重要的课题。
我们知道，微分方程是描述自然界中各种变化规律的数学工具，而四阶微分方程则更加复杂，涉及到更高阶的导数。
奇异边值问题是在给定一组边界条件的情况下，寻找四阶微分方程的满足条件的解。
在本文中，我们将全面评估和讨论四阶微分方程奇异边值问题的正解，并分享个人观点和理解。
【正文】1. 什么是四阶微分方程奇异边值问题？四阶微分方程奇异边值问题是指在给定的区间上，满足四阶微分方程和一组边界条件的情况下，求解方程的满足条件的解。
这些边界条件可能包括函数值、导数值以及二阶导数值等信息。
奇异边值问题的难点在于，边界条件的组合可能导致问题的奇异性，使得传统方法难以直接求解。
研究四阶微分方程奇异边值问题的正解对于深入理解微分方程在实际问题中的应用至关重要。
2. 解四阶微分方程奇异边值问题的方法解决四阶微分方程奇异边值问题需要结合数值方法和分析方法，以下是一些常用的方法：1) 分离变量法：将四阶微分方程拆解为一系列一阶或二阶微分方程，通过求解这些低阶方程来获得原问题的解。
2) 特征方法：对于特殊的四阶微分方程，可以使用特征方法，将其转化为一些已知的标准方程，然后进行求解。
3) 变分法：通过引入变分原理，将四阶微分方程奇异边值问题转化为极值问题，利用变分法的性质求解。
3. 四阶微分方程奇异边值问题的应用四阶微分方程奇异边值问题在各个科学领域具有广泛的应用。
以下是几个应用实例：1) 结构力学：四阶微分方程可以描述梁、板等结构的挠度分布，奇异边值问题的正解可以得到结构的稳定性和强度等信息。
2) 电磁场分析：研究电磁场分布时，涉及到Maxwell方程，其中存在四阶微分算符，解奇异边值问题可以得到电磁场的具体分布情况。
3) 物理学：四阶微分方程可以描述波动方程、量子力学中的薛定谔方程等，解奇异边值问题可以获得物理问题的精确解析解。