概率论与数理统计第一章复习课
概率论与数理统计：第一章重难点辅导及例题讲解 (1)
概率论与数理统计第一章 随机事件与概率本章重点：随机事件与概率复习要求：（1）了解随机事件、概率等概念；（2）掌握随机事件的运算，了解概率的基本性质；（3）了解古典概型的条件，会求解较简单的古典概型问题；（4）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式，掌握条件概率和全概率公式；（5）理解事件独立性概念；（6）掌握贝努里概型。
考核要求：（1）随机事件的运算和性质（选择或填空）（2）会求解较简单的古典概型问题（选择或填空）（3）熟练掌握概率的加法公式和乘法公式及条件概率（选择或填空）（4）熟练掌握全概率公式（计算题）例题讲解：例1 填空题（1）设A 与B 是两个事件，则)()(B A P A P =+ 。
（2）若P A P AB ().,().==0403，则P A B ()+= 。
（3）设A B ,互不相容，且P A ()>0，则P B A ()= 。
解：（1）因为 B A AB A +=，且AB 与B A 互斥所以 )()(B A P A P =+)(AB P正确答案：)(AB P（2）因为 B A AB A +=，1.03.04.0)()()(=-=-=B A P A P AB P4.03.01.0)()()(=+=+=B A P AB P B P所以 P A B ()+=7.01.04.04.0)()()(=-+=-+AB P B P A P正确答案：0.7（3）因为A B ,互不相容，即0)(=AB P所以 0)()()(==A P AB P A B P 正确答案： 0例2 单项选择题（1）事件B A -又可表示为（ ）。
A. B AB. ABC. AB A -D. B A AB -（2）掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为3”的概率是（ ）。
A.361 B. 181 C. 121 D. 61 （3）若等式（ ）成立，则事件A B ,相互独立。
A. P A B P A P B ()()()+=+ B. P AB P A P B A ()()()= C. P B P B A ()()= D. P A P B ()()=-1（4）设A 与B 是相互独立的两个事件，且31)(,21)(==B P A P ，则=+)(B A P （ ） A. 21 B. 65 C. 32 D. 43 解：（1）依定义，事件B A -表示A 发生但B 不发生，因此B A -也可以表示为AB A -. 正确答案：C（2）基本事件总数为36，点数之和为3的事件有（1，2）和（2，1），即事件数为2，故“点数之和为3”的概率是181362=。
概率论与数理统计第一章概率论的基本概论.
A AB B
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§1.1随机现象与随机事件
n
推广 称A k为 n个事 A 1,A 2件 , ,A n的积 ; 事
k1
称A k为可列 A 1,个 A 2, 事 的件 积. 事
k1
和事件与积事件的运算性质
A A A , A , A A ,
王梓坤著 科学出版社
2
第 一章 概率论的基本概念
3
第1章 概率论的基本概念
§1.1 随机现象与随机事件
一 随机现象与随机试验 自然界所观察到的现象: 确定性现象 随机现象
1.确定性现象 在一定条件下必然发生 的现象称为确定性现象.
实例 “太阳从东方升起”, “水从高处流向低处”, “同性电荷必然互斥”,
正面、反面; (3) 进行一次试验之前不能
确定哪一个结果会出现. 故为随机试验. 9
§1.1随机现象与随机事件
同理可知下列试验都为随机试验.
1. 抛掷一枚骰子,观察出现的点数.
2. 从一批产品中,依次任选三件,记 录出现正品与次品的件数. 3. 记录某公共汽车站每日 上午某时刻的等车人数.
4. 从一批灯泡中任取 一 只,测试其寿命.
1. 事件的包含与相等
若事件 A 发生必然导致 B 发生 , 则称事件 B 包含事件 A, 记作 BA 或 A B .
若事件A 包含事件B， 而且事件B 包含事件A， 则称事件A与事件B相等，记作 A=B.
图示 B 包含 A.
AB
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§1.1随机现象与随机事件
2. 事件的和 “事件A或事件B至少有一个发生”是一个事件 ,
结果: 弹落点会各不相同. 实例3 抛掷一枚骰子,观 察出现的点数.
概率论与数理统计要点复习.docx
概率论与数理统计要点复习.docx概率论与数理统计复习资料第⼀章随机事件与概率1.事件的关系AuB AuB AB A-B A Q AB =(/>(1)包含：若事件A发⽣，⼀定导致事件B发⽣，那么，称事件B包含事件A ,记作AuB(或Bz)A)?(2)相等：若两事件A与〃相互包含，即AnB且Bn A,那么，称事件A与B相等，记作A = B .(3)和事件：“事件A与事件B中⾄少有⼀个发⽣”这⼀事件称为A与B的和事件，记作AuB；“n个事件观出?…，⼈中⾄少有⼀事件发⽜”这⼀事HI J A件称为鱼…，⼈的和，记作Au⼊5??uA”(简记为* ').(4)积事件：“事件A与事件B同时发⽣”这⼀事件称为A与B的积事件，记作AcB(简记为AB)；a n个事件观出，…，⼼同时发⽜”这⼀事件称为nA,⾎.…，⼈的积事件，记作(简记为A4??4或以').(5)互不相容：若事件A和B不能同时发⽣，即⼼?,那么称事件A与B互不相容(或互斥)，若n个事件观出?…，⼈中任意两个事件不能同时发⽣，即A"⼴0(iwi(6)对⽴事件:若事件A和B互不相容、且它们中必有⼀事件发⽣，即AB = Q 且AuB⼆Q,那么，称A与B是对⽴的.事件A的对⽴事件(或逆事件)记作⼊(7)差事件：若事件A发⽣且事件B不发⽣，那么，称这个事件为事件A 与B的差事件，记作A-B(或⼈⽤)?2?运算规则(1)交换律：AuB = BuA AB = BA(2)结合律：(AuB)uC = Au(BuC) (AB)C = A(BC)(3)分配律(A u B)C = (AC) u (BC) (AB) uC = (Au C)(B u C)(4)德［摩根(DeMorgan)法则：AuB = AB AB = AuB3.概率P( A)满⾜的三条公理及性质:(1)0 < P(A) < 1 (2) P(Q) = 1(3)对互不相容的事件￡,凡，…,有P(|J 4) = JP(A k) (n可以取co) k=[Bl(4)P(0) = O (5) P(A) = 1 - P(A)(6)P(A-B) = P(A)-P(AB),若AuB,则P(B-A) = P(B)-P(A), P(A)< P(B)(7)P(A u B) = P(A) + P(B) - P(AB)(8)P(AufiuC) = P(A) + P(B) + P(C) ⼀P( AB) - P(AC)⼀P(BC) + P(ABC)4.古典概型：基本事件有限且等可能5.⼏何概率：如果随机试验的样本空间是⼀个区域(可以是直线上的区间、平⾯或空间⼬的区域)，且样本空间⼬每个试验结果的出现具有等可能性，那么规定事件A的概率为= A的长度(或⾯积、体积)(，⼀样本空间的的长度(或⾯积、体积)?6.条件概率(1)定义：若P(B)> 0,则P(A|B)⼆巴也P(B)(2)乘法公式：P(AB) = P(B)P(A | B)若⽿，场,3”为完备事件组，P(BJ>0,贝ij有(3)全概率公式：P(A) =》P(BJP(A | BJ/=!(4)Bayes 公式：P(B* | A) = ￡(拔)⼙(川伐)￡P(BJP(A\BJ/=!(5)贝努⾥概型与⼆项概率设在每次试验中，随机事件A发⽣的概率P(A) = p(0复独⽴试验中?，事件A恰发⽣￡次的概率为巳伙)⼆7 //(I —"1,20,1,…⼩k7.事件的独⽴性：A, 3独⽴o P(AB) = P(A)P(B)(注意独⽴性的应⽤)下列四个命题是等价的：(i)事件A与B相互独⽴；(ii)事件A与⽤相互独⽴;(iii)事件広与B相互独⽴;(iv)事件A与B相互独⽴.8、思考题1 . ⼀个⼈在⼝袋⾥放2盒⽕柴，每盒⽄⽀，每次抽烟时从⼝袋⼬随机拿出⼀盒(即每次每盒有同等机会被拿到)并⽤掉⼀⽀，到某次他迟早会发现：取出的那⼀盒已空了?问：“这时另⼀盒中恰好有加⽀⽕柴”的概率是多少？2?设⼀个居民区有〃个⼈，设有⼀个邮局，开c个窗⼝，设每个窗⼝都办理所有业务.c太⼩，经常排长队；c?太⼤⼜不经济.现设在每⼀指定时刻，这〃个⼈中每⼀个是否在邮局是独⽴的，每个⼈在邮局的概率是P?设计要求：“在每⼀时刻每窗⼝排队⼈数(包括正在被服务的那个⼈)不超过加”这个事件的概率要不⼩于Q (例如，Q = 0?&0?9或o.95),问⾄少须设多少窗⼝？3.设机器正常时，⽣产合格品的概率为9 5%,当机器有故障时，⽣产合格品的概率为5 0 %,⽽机器⽆故障的概率为9 5%.某天上班时，⼯⼈⽣产的第⼀件产品是合格品，问能以多⼤的把握判断该机器是正常的？第⼆章随机变量与概率分布1.离散随机变量：取有限或可列个值，P(X =xj = Pi满⾜(1) p,. > 0 , (2)⼯戸=1I(3)对任意DuR, P(X E D)= ^Pii: DJ+oof(x)dx = 1:-oo(2)P(aJu3.⼉个常⽤随机变量标准正态分布的分布函数记作①(X),即CX ] ----①⑴=I ——e 2 dt①(兀) '⼗问t ,当出“no时，①(%)可查表得到；当xvo时，①⑴可由下⾯性质得到①(I兀)=1 ⼀①(X)设X~N(“,k),则有F⑴=①(⼆)P(aer c ?4.分布函数F(x) = P(X(1)F(-oo) = 0, F(+oo) = l； (2)单调⾮降；(3)右连续；(4)P(a a) = l-F(a)；特别的P(X = a) = F(a) - F(a -0)(5)对离散随机变量，F(Q =⼯⼙汀/：Xf(6)对连续随机变量，F(x) = f 为连续函数，且在.f(x)连续点上，F (x) = f(x)J—85.正态分布的概率计算以①(x)记标准正态分布2(0,1)的分布函数，则有(1)①(0) = 0.5； (2)①(⼀兀)=1 ⼀①⑴；(3)若X ?N(“Q2)，则F(Q⼆①(^^)；(7(4)以％记标准正态分布2(0,1)的上侧a分位数，则P(X >%) = a = l—①(⾎) 6.随机变量的函数Y = g(X)(1)离散时，求Y的值，将相同的概率相加；(2)X连续，g(x)在X的取值范围内严格单调，且有⼀阶连续导数，则/y(y) = /x (gT (y ))l (gT ()‘))'l ，若不单调，先求分布函数，再求导。
概率论与数理统计数学第一章复习
概率论与数理统计数学第一章复习第一章概率论的基本概念一、随机试验概率论中将满足下列三个特点的实验称为随机试验，通常用E或E1，E2…来表示，这三个特点是：1.试验可在相同的条件下重复进行；2.每次试验的可能结果不止一个，但所有的结果是明确可知的；3.进行一次试验之前不能确定哪一个结果会出现。
二、样本空间随机试验E的所有可能结果组成的集合称为E的样本空间，记做S。
样本空间的元素，即E的每个结果，称为样本点。
三、随机事件1.试验E的样本空间S的子集，即试验满足某些条件的可能结果称为E的随机事件。
在每次试验中，当且仅当事件中的一个样本点出现时，称这个事件发生。
2.由一个样本点组成的单点集称为基本事件，由多于一个样本点组成的集合称复合事件。
3.E和空集?都是E的子集，它们分别称为必然事件和不可能事件。
四、事件间的关系1.若BA?，则称事件B包含事件A，这指的是事件A发生必导致事件B 发生。
若BB?，即A=B，则称事件A与事件B相等。
A?且A2.事件BA ={x | x∈A或x∈B}称为事件A与事件B的和事件。
当且仅当A，B中至少有一个发生时，事件BA 发生。
3.事件BA ={x | x∈A且x∈B}称为事件A与事件B的积事件。
当且仅当A，B同时发生时，事件BA 也记作AB。
A 发生。
B4.事件A—B=={x | x∈A且x?B}称为事件A与事件B的差事件。
当且仅当A发生，B不发生时事件A—B发生。
5.若BA =?，则称事件A与事件B是互不相容的，或互斥的。
这指的是事件A与事件B不能同时发生。
基本事件是两两互不相容的。
6.若BA =?，则称事件A与事件B互为逆事件。
又称事件A与事件B互为A =S且B对立事件。
这指的是对每次试验而言，事件A、B中必有一个发生，且仅有一个发生。
A 的对立事件记作A，A=S-A。
五、事件的运算1.交换律：A∪B=B∪A，A∩B=B∩A2.结合律：(A∪B)∪C =A∪(B∪C)，(A∩B)∩C =A∩(B∩C)=ABC3.分配律：A(B∪C)=AB∪AC, A∪(BC)=(A∪B)(A∪C)4.德摩根律：A B=A B, AB=A∪B5.吸收律：A∩(A∪B)=A, A∪(A∩B)=A6.双重否定律：A=A7.排中律：A∪A=Ω，A∩A=?8.差积转换律：A-B=A B六、频率1．在相同的条件下进行的n次试验中，事件A发生的次数n A称为事件A发生的频数，比值nA /n称为事件A 发生的频率，并记成fn（A）。
概率论与数理统计 第一章辅导
P( A UB) P( A ) P( B) P( A B) 其中 P( A B) P( B AB) 1 / 3 1 / 4 1 / 12 故 P( A UB) 1 1 / 2） 1 / 3 1 / 12 3 / 4 （
例2 将3个球随机地放入4个盒子中，求下列事件的
概率论与数理统计辅导
主讲：师义民
1
第一章 随机事件及其概率
一、主要内容： 1、随机事件的定义、关系及其运算 2、随机事件概率的定义（统计定义、古典概型定义） 3、随机事件概率的计算 注意利用： (1)、概率的加法公式 (2)、概率的性质 (3)、条件概率公式 (4)、乘法概率公式 (5)、全概率公式 (6)、贝叶斯公式 (7)、相互独立事件的概率计算公式
P ( B | A) P ( AB) / P ( A) (1 / 4) /(1 / 2) 1 / 2 P ( A B ) P ( AUB) 1 P ( AUB) 1 P ( A) P ( B ) P ( AB) 1 1 / 2 1 / 3 1 / 4 5 / 12
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9.在一均匀对称的四面体上，分别图上红、兰、黄、白四种 颜色，现将四面体抛掷3次，试求“在3次抛掷中都是红色 面或黄色面不着地”这一事件的概率。 10.甲、乙两人进行乒乓球单打比赛。甲发球成功后，乙回球 失误的概率为0.3。若乙发球成功，甲回球失误的概率为 0.4，若甲回球成功，乙再次回球失误的概率为0.5。求在 这个回合中乙输掉1分的概率。 11.某店有4位售货员，假设每位售货员是否用秤是相互独立 的，且每位售货员平均在1小时只有15分钟用秤。如果要 求售货员用秤时，因秤不够而影响售货的概率不小于10%， 那么该店应配置几台秤。 12.袋里有个白球、个黑球和个红球，今每次从袋里随机地不 放回取出1球。这样取下去。求白球取出在黑球之前的概 率。
概率论与数理统计第一章复习课
解：A: 收到信息为 1；B：发出信息为 1
196 P( AB) P( B ) P( A B ) P( B A ) P( A ) P(B) P( A B) P(B) P( A B) 197
例 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为p；若第一次不及格则 第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格，求他第一次 及格的概率．
解： A, B, C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) P ( A BC ) P ( ABC ))
0.6( P ( ABC ) P ( A BC ) P ( ABC )) P ( ABC )
0.2(0.4 0.5 0.3 0.6 0.5 0.3 0.6 0.5 0.7) 0.6(0.4 0.5 0.3 0.4 0.5 0.7 0.6 0.5 0.7) 0.4 0.5 0.7
P( A1 | A2 ) P( A1 ) P( A2 | A1 ) 2p . P( A2 ) 1 p
练习 袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次 品两面均印有国徽），在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这 只硬币是正品的概率是多少？
第一章复习课
本章基础知识
1. 样本空间、随机事件的概念.
2.事件的运算：和、差、积 ;互斥事件、对立事件 .
非负性 3.概率的概念和性质: 规范性 可列可加性
4.等可能概型.
P ( AB ) 5.条件概率： P ( B A) P ( A)
6.全概率公式和贝叶斯公式
n P ( A) P ( Bi ) P ( A Bi ) i 1 P(B j )P( A B j ) P ( B j A) n P ( Bi ) P ( A Bi ) 0.21) 0.6(0.06 0.14 0.21) 0.14
概率论与数理统计 第一章
《概率论与数理统计》面授辅导讲义第一章随机事件与概率Ⅰ内容概要本章是概率论最基础的部分，所有内容围绕随机事件和概率两个概念展开，主要是对一些概念的理解和记忆以及对基本运算规律的简单应用。
本章的重点内容是随机事件的关系与运算，概率的概念、性质，古典概型的概率的计算，条件概率，事件独立性的概念，乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式；难点是古典概型的概率计算，全概率公式、贝叶斯公式，事件独立性的概念。
考核知识点与考核要求1.1随机事件（识记、简单应用）1.2概率（领会、简单应用）1.3条件概率（领会、简单应用）1.4事件的独立性(领会、简单应用)1.1 随机事件1. 随机事件的概念及表示１）随机试验： 1试验的可重复性——在相同条件下可重复进行；2一次试验结果的随机性——在一次试验中可能出现各种不同的结果，预先无法断定；3全部试验结果的可知性——所有可能的试验结果预先是可知的。
将具有上述三个特点的试验称为随机试验，简称试验。
样本点：随机试验的每一个可能出现的结果称为一个样本点，用字母ω表示。
样本空间：把试验E的所有可能结果的集合称作E的样本空间。
２）随机事件：试验E所对应的样本空间Ω的子集为E的一个随机事件，简称事件。
记作A、B、C 或1A、2A３）基本事件：样本空间Ω的仅包含一个样本点ω的单点子集{}ω也是一种随机事件，这种事件称为基本事件。
４）必然事件（Ω）：样本空间Ω包含所有的样本点，它是Ω自身的子集，在每次试验中它总是发生，称为必然事件，必然事件仍记为Ω。
５）不可能事件（φ）：空集φ不包含任何样本点，它也作为样本空间Ω的子集，在每次试验中都不发生，称为不可能事件。
2. 随机事件的关系１）事件的包含与相等设A ，B 为两个事件，若A 发生必然导致B 发生，则称事件B 包含事件A ，或称事件 A 包含在事件B 中，记作A B ⊃，B A ⊂。
显然有：Ω⊂⊂A φ。
若B A ⊂且A B ⊂，则称A 与B 相等，记作B A =。
概率论与数理统计总复习知识点归纳
D( X ) E( X 2 ) E 2 ( X ), Cov( X ,Y ) E( XY ) EXEY
XY Cov( X ,Y ) / D( X )D(Y )
⑴ E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)
⑵ E(∑iλi Xi)=∑i λi E(Xi)
(3) D(λ1X±λ2Y)=λ12D(X)+λ22D(Y) ±2λ1λ2Cov(X,Y)
0.587
法二 用Bayes公式：
P (C) = 0.1, P(C ) 0.9;
P (D/C) = 0.3*0.8+0.7*0.2,
P(D / C ) 0.3*0.2.
C
C
于是有
D
P(C / D)
P(C ) P(D / C )
P(C) P(D / C) P(C ) P(D / C )
i 1
i 1
i 1
例3 已知X~ f(x)，求Y= -X2的概率密度。 解 用分布函数法。
y<0 时，FY(y) = P(Y≤y) = P(-X2 ≤y) P(X y) P(X y)
FX ( y ) [1 FX ( y )] y≥0 时， FY(y) = P(Y≤y) =1
于是Y的概率密度为
fY ( y) fX (
y)
1 2
( y)1/ 2
fX
(
y ) 1 ( y)1/2 2
1 2
(
y)1/ 2[
fX
(
y) fX (
y )] , y 0
fY (y) 0 , y 0
例4 设二维随机变量(X,Y )的联合密度函数为：
f
( x,
y)
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第一章 小结 本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、 本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、 对立事件、相容性、独立性），四个公式（加法公式、 ），四个公式 对立事件、相容性、独立性），四个公式（加法公式、 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（ 乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古 典概型） 典概型）组成
1 1
设在某次世界女排赛中,中国队已取得决赛权。 设在某次世界女排赛中 中国队已取得决赛权。 中国队已取得决赛权 中国队要与日本队和美国队的胜者争夺冠军。 中国队要与日本队和美国队的胜者争夺冠军。根据 以往的战绩,中国队胜日本队、美国队的概率分别为 以往的战绩 中国队胜日本队、美国队的概率分别为0.9 中国队胜日本队 而日本队胜美国队的概率为0.5。 与0.4而日本队胜美国队的概率为 。求中国队取得 而日本队胜美国队的概率为 冠军的概率。 冠军的概率。
分别表示甲， 解： A, B, C 分别表示甲，乙，丙三人击中目标
0.2( P ( A BC ) + P ( A BC ) + P ( ABC ))
+ 0.6( P ( AB C ) + P ( A BC ) + P ( ABC )) + P ( ABC )
= 0.2( 0.4 0.5 0.3 + 0.6 0.5 0.3 + 0.6 0.5 0.7 )
； ： 解：A: 收到信息为 1；B：发出信息为 1
196 P( AB) P( B ) P( A B ) P( B A ) = = = P( A ) P(B ) P( A B ) + P(B ) P( A B ) 197
一学生接连参加同一课程的两次考试， 例 一学生接连参加同一课程的两次考试，第一次及格的概率为 p，若第一次及格则第二次及格的概率也为 ；若第一次不及格则 ，若第一次及格则第二次及格的概率也为p； 第二次及格的概率为p/2．若已知他第二次已经及格， 第二次及格的概率为 ．若已知他第二次已经及格，求他第一次 及格的概率． 及格的概率．
P ( A1 | A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) 2p = . P ( A2 ) 1+ p
练习 袋中装有m只正品硬币、n只次品硬币（次 品两面均印有国徽），在袋中任取一只， 将它投掷r次，已知每次都得到国徽，问这 只硬币是分别为 1，0 的信息传递出去，接收 ， 的信息传递出去，
站收到时 1 被误收成 0 的概率是 0.02，0 被误 ， 收成 1 的概率是 0.01，信息 1 与 0 发出的概率 ， 为 2：1，若接收站收到的信息是 1，问发出信 ： ， ， 的概率. 息确是 1 的概率
第一章复习课
本章基础知识
样本空间、随机事件的概念. 1. 样本空间、随机事件的概念.
2.事件的运算：和、差、积 ;互斥事件、对立事件 事件的运算： 事件的运算 互斥事件、对立事件.
非负性 3.概率的概念和性质 规范性 概率的概念和性质: 概率的概念和性质 可列可加性
4.等可能概型 等可能概型. 等可能概型
P ( A ) = P ( B1 ) P ( A B1 ) + P ( B 2 ) P ( A B 2 )
= 0 . 5 × 0 . 9 + 0 . 5 × 0 . 4 = 0 . 65
例题： 例题：
甲乙丙三人向同一个目标射击， 甲乙丙三人向同一个目标射击，设各击中目标的 概率分别为 0.4，0.5，0.7.如果只有一个人击中 ， ， 如果只有一个人击中 目标， 0.2； 目标，则目标被击毁的概率是 0.2；如果有两 个人同时击中目标， 个人同时击中目标 ， 则目标被击毁的概率是 0.6；如果三个人同时击中目标，则目标一定被 ；如果三个人同时击中目标， 击毁.求目标被击毁的概率 击毁 求目标被击毁的概率. 求目标被击毁的概率
例题： 例题：
在区间(0,1)中随机地取出两个数，则事件 中随机地取出两个数， 在区间 中随机地取出两个数
6 {两数之和小于 }的概率是多少 两数之和小于 的概率是多少? 多少 5
解： 如下图对事件有利的样本点落在阴影区域 故概率为： 故概率为：
1 4 4 1 2 5 5 = 17 P= 1 25
该学生第i次考试及格 解 记Ai={该学生第 次考试及格 ，i=1,2．显然为样本空间的一 该学生第 次考试及格}， ． 个划分， 个划分，且已知
p P ( A1 ) = p , P ( A2 | A1 ) = p , P ( A2 | A1 ) = . 2
于是， 于是，由全概率公式得
1 P ( A2 ) = P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) + P ( A1 ) P ( A2 | A1 ) = p (1 + P ), 2 由贝叶斯公式得
+ 0.6( 0.4 0.5 0.3 + 0.4 0.5 0.7 + 0.6 0.5 0.7 ) + 0.4 0.5 0.7
= 0.2(0.06 + 0.09 + 0.21) + 0.6(0.06 + 0.14 + 0.21) + 0.14
= 0.2 0.36 + 0.6 0.41 + 0.14 = 0.458
P ( AB ) 条件概率： 5.条件概率： P ( B A) = P ( A)
6.全概率公式和贝叶斯公式
n P( A) = ∑P(Bi )P( ABi ) i=1 P(Bj )P( ABj ) P(Bj A) = n ∑P(Bi )P( ABi ) i=1
7.事件的独立性： P ( AB ) = P ( A) P ( B ) 事件的独立性：
由题意， 解 由题意，未完成的日美半决赛中哪一方获胜是 中国队夺冠的要素。设“中国队夺取冠军”为事件A , 中国队夺冠的要素。 中国队夺取冠军”为事件 “日本队胜美国队”为事件B1 , “美国队胜日本队”为事件 日本队胜美国队”为事件 美国队胜日本队” 日本队胜美国队 美国队胜日本队 B2 ,由全概率公式，如图1-14有： 由全概率公式，如图 有 由全概率公式