数值积分_数值积分原理__matlab实现
Matlab中常用的数值计算方法
Matlab中常用的数值计算方法数值计算是现代科学和工程领域中的一个重要问题。
Matlab是一种用于数值计算和科学计算的高级编程语言和环境，具有强大的数值计算功能。
本文将介绍Matlab中常用的数值计算方法，包括数值积分、数值解微分方程、非线性方程求解和线性方程组求解等。
一、数值积分数值积分是通过数值方法来近似计算函数的定积分。
在Matlab中，常用的数值积分函数是'quad'和'quadl'。
'quad'函数可以用于计算定积分，而'quadl'函数可以用于计算无穷积分。
下面是一个使用'quad'函数计算定积分的例子。
假设我们想计算函数f(x) = x^2在区间[0, 1]上的定积分。
我们可以使用如下的Matlab代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```运行这段代码后，我们可以得到定积分的近似值，即1/3。
二、数值解微分方程微分方程是描述自然界各种变化规律的数学方程。
在科学研究和工程应用中，常常需要求解微分方程的数值解。
在Matlab中，可以使用'ode45'函数来求解常微分方程的数值解。
'ode45'函数是采用基于Runge-Kutta方法的一种数值解法。
下面是一个使用'ode45'函数求解常微分方程的例子。
假设我们想求解一阶常微分方程dy/dx = 2*x，初始条件为y(0) = 1。
我们可以使用如下的Matlab代码：```fun = @(x, y) 2*x;[x, y] = ode45(fun, [0, 1], 1);plot(x, y);```运行这段代码后，我们可以得到微分方程的数值解，并绘制其图像。
三、非线性方程求解非线性方程是指方程中包含非线性项的方程。
在很多实际问题中，我们需要求解非线性方程的根。
(完整版)MATLAB数值积分解读
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
a x0 x1 L xn b, xi xi xi1,
i (xi1 , xi ), i 1, 2,L , n
6.1 数值积分基本原理
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。
例5 计算二重定积分
x2
2 1 e 2 sin( x2 y)dydx 2 1
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变 量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名 上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用 逗号分隔。立符号表达式 含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。
使用Matlab进行数值积分的方法与注意事项
使用Matlab进行数值积分的方法与注意事项1. 引言数值积分是数学中的一个重要概念，它能够将曲线下的面积或者函数的总值进行估计和计算。
在实际应用中，由于很多函数无法直接进行解析求积，因此数值积分成为了一种常用的计算方法。
Matlab作为一款强大的数值计算软件，提供了很多用于数值积分的函数和方法。
2. 数值积分的基本原理数值积分的基本思想是将被积函数分割成一系列小区间，然后对每个小区间进行近似计算得到面积的总和。
这个过程可以看作是对大曲线的逼近，通过增加小区间的数目，可以得到更加精确的结果。
常见的数值积分方法有矩形法、梯形法、辛普森法等。
3. Matlab中的数值积分函数在Matlab中，有两个常用的数值积分函数分别是`quad`和`quadl`。
`quad`函数适用于一般的一元数值积分计算，而`quadl`函数则适用于具有奇点的积分计算。
这两个函数使用起来相对简单，只需要输入被积函数和积分区间即可。
例如，计算函数f(x)=x^2在区间[0, 1]上的积分可以使用以下代码：```f = @(x) x^2;integral = quad(f, 0, 1);disp(integral);```这段代码会输出函数f在区间[0, 1]上的积分值。
4. 数值积分的精度与误差控制在使用数值积分方法进行计算时，我们关心的一个重要问题是精度和误差控制。
数值积分的精度可以通过调整分割的区间数目来控制，一般来说，增加小区间的数目可以得到更加精确的结果。
此外，也可以通过提高数值积分方法的阶来提高精度。
Matlab中的`quad`和`quadl`函数具有较高的精度，并且可以通过设置选项来控制误差的允许范围。
5. 数值积分的注意事项在使用Matlab进行数值积分时，需要注意一些问题。
首先是积分区间的选择，需要确保被积函数在整个区间上是光滑的，没有奇点和间断。
如果存在奇点或者间断，需要通过分段积分或者奇点积分方法来处理。
其次是数值积分方法的选择，不同的函数可能适用于不同的数值积分方法，需要结合实际情况来选择最合适的方法。
数值积分的MATLAB实现
数值积分的MATLAB实现数值积分是通过数值方法计算定积分的近似值。
MATLAB是一种功能强大的数值计算软件，提供了多种函数和工具箱用于数值积分的实现。
在MATLAB中，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法。
梯形法则是最简单的数值积分方法之一、它的基本思想是将要积分的区间划分成多个小的梯形并计算每个梯形的面积，然后将这些面积相加得到最终的近似积分值。
在MATLAB中，可以使用trapz函数进行梯形法则的计算。
例如，要计算函数sin(x)在区间[0, pi]的积分，可以使用以下代码：```MATLABx = linspace(0, pi, 1000); % 在[0, pi]区间生成1000个等间隔的点y = sin(x); % 计算函数sin(x)在每个点的值integral_value = trapz(x, y) % 使用梯形法则进行数值积分```辛普森法则是一种更精确的数值积分方法，它使用二次多项式来逼近被积函数。
在MATLAB中，可以使用simpson函数进行辛普森法则的计算。
例如，上面例子中的积分可以改用辛普森法则进行计算：```MATLABintegral_value = simpson(x, y) % 使用辛普森法则进行数值积分```龙贝格法是一种高效的自适应数值积分方法，它通过逐步加密网格和逼近函数来提高积分的精度。
在MATLAB中，可以使用quad和quadl函数进行龙贝格法的计算。
例如，计算函数sin(x)在区间[0, pi]的积分：```MATLAB```除了上述方法外，MATLAB还提供了许多其他的数值积分函数和工具箱，用于处理不同类型的积分问题。
例如，int和integral函数可以用于处理多重积分和奇异积分。
Symbolic Math Toolbox中的函数可以用于计算符号积分。
需要注意的是，数值积分是一种近似方法，计算结果的误差与划分区间的精细程度有关。
详解Matlab求积分的各种方法
详解Matlab求积分的各种方法一、符号积分由函数int来实现。
该函数的一般调用格式为：int(s)：没有指定积分变量和积分阶数时，系统按findsym函数指示的默认变量对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v)：以v为自变量，对被积函数或符号表达式s求不定积分；int(s,v,a,b)：求定积分运算。
a,b分别表示定积分的下限和上限。
该函数求被积函数在区间[a,b]上的定积分。
a和b可以是两个具体的数，也可以是一个符号表达式，还可以是无穷(inf)。
当函数f关于变量x在闭区间[a,b]上可积时，函数返回一个定积分结果。
当a,b中有一个是inf时，函数返回一个广义积分。
当a,b中有一个符号表达式时，函数返回一个符号函数。
例：求函数x^2+y^2+z^2的三重积分。
内积分上下限都是函数，对z积分下限是sqrt(x*y)，积分上限是x^2*y；对y积分下限是sqrt(x)，积分上限是x^2；对x的积分下限1，上限是2，求解如下：>>syms x y z %定义符号变量>>F2=int(int(int(x^2+y^2+z^2,z,sqrt(x*y),x^2*y),y,sqrt(x),x^2),x,1,2) %注意定积分的书写格式F2 =57/-/348075*2^(1/2)+14912/4641*2^(1/4)+64/225*2^(3/4) %给出有理数解>>VF2=vpa(F2) %给出默认精度的数值解VF2 =224.9232805二、数值积分1.数值积分基本原理求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形法、辛普生(Simpson)•法、牛顿－柯特斯(Newton-Cotes)法等都是经常采用的方法。
它们的基本思想都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]，i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。
这样求定积分问题就分解为求和问题。
(完整版)数值积分及matlab实现
建立数值积分公式的途径比较多, 其中最常用的
有两种：
（1）由积分中值定理可知，对于连续函数f(x)，在
积分区间[a,b]内存在一点ξ，使得
分,因此将 选(x取) 为插值多项式, 这样f(x)的积分就
可以用其插值多项式的积分来近似代替
2.2 插值求积公式
设已知f(x)在节点 xk (k 0,1, , n) 有函数值 f (xk ) ,作n次拉格朗日插值多项式
式中
n
P(x) f (xk )lk (x)
k 0
lk (x)
n j0
b
n
f (x)dx
a
Ak f (xk )
k 0
为插值型求积公式的充要条件是公式
(
x)dx
时，则称求积公式为插值
设插值求积公式的余项为 R( f ) ,由插值余项定理得
R( f ) b f (x) P(x)dx b f (n1) ( ) (x)dx
a
a (n 1)!
其中 a, b
当f(x)是次数不高于n的多项式时，有 f (n1) (x) 0 R( f ) =0,求积公式(4)能成为准确的等式。由于闭区 间[a,b]上的连续函数可用多项式逼近，所以一个 求积公式能对多大次数的多项式f(x)成为准确等式， 是衡量该公式的精确程度的重要指标，为此给出以 下定义。
数值积分与微分
2009.4.22
数值积分和数值微分
1 引言 我们知道,若函数f(x)在区间[a,b]上连续且其原
函数为F(x),则可用Newton-Leibnitz公式
matlab 一列点的数值求积函数
标题：Matlab中一列点的数值求积函数的实现及应用正文：1. 概述在数学和工程领域，我们经常需要对一系列点的数值进行积分。
Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的函数库和工具，可以方便地实现对一列点的数值进行求积。
本文将介绍如何在Matlab 中实现一列点的数值求积函数，并给出相关的应用实例。
2. 一列点的数值求积函数的基本原理在Matlab中，可以利用数值积分的方法对一列离散点进行求积。
其中，最常用的方法包括梯形法则、辛普森法则等。
这些方法基于离散点的坐标和函数值，通过数值计算得出积分值。
以梯形法则为例，其基本原理如下：假设有一列离散点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中xi表示横坐标，yi表示纵坐标，将这些点连接起来形成一系列梯形。
通过计算每个梯形的面积并将其累加起来，最终得到积分值。
3. Matlab中一列点的数值求积函数的实现在Matlab中，可以通过编写自定义函数来实现对一列点的数值求积。
下面是一个简单的示例代码：function result = integrate_points(x, y)n = length(x);result = 0;for i = 1:n-1result = result + (x(i+1) - x(i)) * (y(i) + y(i+1)) / 2;end```在这段代码中，我们定义了一个名为integrate_points的函数，该函数接受两个参数x和y，分别表示离散点的横纵坐标。
然后利用梯形法则对这些离散点进行数值求积，最终得到积分值。
4. 一列点的数值求积函数的应用实例下面通过一个实际的例子来展示如何利用上述的integrate_points函数对一列离散点进行求积。
假设我们有一组离散点如下：x = [0, 1, 2, 3];y = [1, 2, 3, 4];我们可以调用integrate_points函数来计算这组离散点的积分值：result = integrate_points(x, y);disp(result);```运行上述代码后，可以得到这组离散点的积分值为7.5。
matlab数值积分的实现：时域积分和频域积分
matlab数值积分的实现:时域积分和频域积分积分操作主要有两种方法:时域积分和频域积分,积分中常见的问题就是会产生二次趋势。
关于积分的方法,在国外一个论坛上有人提出了如下说法,供参考。
Double integration of raw acceleration data is a pretty poorestimate for displacement. The reason is that at each integration, youare compounding the noise in the data.If you are dead set on working in the time-domain, the best results come from the following steps.Remove the mean from your sample (now have zero-meansample)Integrate once to get velocity using some rule (trapezoidal, etc.)Remove the mean from the velocityIntegrate again to get displacement.Remove the mean. Note, if you plot this, you will see drift over time.To eliminate (some to most) of the drift (trend), use a least squares fit (high degree depending on data) to determine polynomial coefficients.Remove the least squares polynomial function from your data.A much better way to get displacement from acceleration data is to work in the frequency domain. To do this, follow these steps...Remove the mean from the accel. dataTake the Fouriertransform (FFT) of the accel. data.Convert the transformed accel. data to displacement data by dividing each element by -omega^2, where omega is the frequency band.Now take the inverse FFT to get back to the time-domain and scale your result.This will give you a much better estimate of displacement.说到底就是频域积分要比时域积分效果更好,实际测试也发现如此。
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课程设计报告课程设计题目：求解 的近似值课程名称：数值分析课程设计指导教师： X X X小组成员： X X XX X XX X X2013年12月31日目录目录 (1)题目 (2)一、摘要 (2)二、设计目的 (2)三、理论基础 (3)1、复合矩形法求定积分的原理 (3)2、复合梯形法求定积分的原理 (3)3、复合辛普森法求定积分的原理 (4)4、龙贝格求积公式原理 (5)四、程序代码及运算结果 (5)1、复合矩形法求定积分：用sum函数 (5)2、复合梯形法求定积分 (6)方法一 (6)方法二：用trapz函数 (7)3、复合辛普森法求定积分 (7)方法一 (7)方法二：用quad函数 (7)4、龙贝格求定积分 (8)5、Lobatto数值积分法 (9)6、波尔文(Borwein)高阶公式 (9)五、结果分析 (10)六、设计心得 (10)七、参考文献 (11)题 目：（1）已知：41102π=+⎰x dx ，所以 ⎰+=10214dx x π 。
于是，我们可以通过计算上述定积分的近似值来得到π的近似值。
（2）波尔文(Borwein )高阶公式在π值的高阶算法研究中，最好的结果来自两个都叫波尔文的数学家。
他们在1984年发表了一个2阶收敛公式：20=a ，00=b ，220+=p ，⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧++=++=+=++++++1111111)1()1(2)1(k k k k k kk k k k k k k b a b p p b a b a b a a a式中π→k p 。
试运用上述迭代算法，计算圆周率的近似值，并和前面传统方法进行比较。
一、摘要借助matlab 环境下的计算机编程语言，先用基本的积分函数对给出的题目进行求积分，然后基于给出的波尔文高阶收敛公式，在进行了连续迭代后，对运行结果做出分析，同时与之前的传统做法进行比较。
二、设计目的用熟悉的计算机语言编程，上机完成用复合矩形法、复合梯形法、复合辛普森法、龙贝格法以及Lobatto 数值积分方法，掌握各种方法的理论依据及求解思路，了解数值积分各种方法的异同与优缺点。
三、理论基础1、复合矩形法求定积分的原理定积分的几何意义是计算曲边梯形的面积，若将积分区间[a,b]分为n 段，每段都是一个小曲边梯形，用一个个小矩形代替这些小曲边梯形，然后把所有小矩形的面积加起来就近似得等于整个曲边梯形的面积，于是便求出了定积分的近似值，这就是复合矩形法求定积分的基本原理。
设第i 个小矩形的宽度),,2,1(1n i x x h i i i =-=-，高度)(i i x f y =，根据)()()()()()(00)0(00x f a b x f c a b dx x P dx x f baba-=-==⎰⎰可知其面积为i i i i i y h x f x x =--)()(1，可得出复合矩形求积公式：i ni i n n bah y h y h y h y f I dx x f ∑⎰==+++≈=12211)()(如果积分区间被等分为段：h n a b x x b x x x a i i n =-=-=<<<=-/)()(,110 ，则i ni i ni i bah y y n a b f I dx x f ∑∑⎰===-≈=11)()(。
2、复合梯形法求定积分的原理把积分区间[a,b]分成若干小区间，在每个小区间上以梯形面积近似曲边梯形面积，即用梯形公式求小区间上积分的近似值定积分存在定理表明，只要被积函数连续，当小区间长度趋于零时，小区间面积之和趋于曲边梯形面积的准确值，即定积分的准确值。
设第i 个小梯形的宽度),,2,1(1n i x x h i i i =-=-，两底高度分别为)(11--=i i x f y 和),,2,1)((n i x f y i i ==，则定积分的近似值为=+≈=∑∑⎰⎰=-=-i ni i i ni x x bah y y x f dx x f i i)(21)()(1111])()()()[(211112221110n n n n n n h y y h y y h y y h y y ++++++++---- 设被积函数)(x f 在],[b a 上连续可导，把],[b a 区间n 等分，令n a b h /)(-=，于是有⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛++=+++++≈∑⎰-=-110121022)222(2)(n j j n n n bay y y h h y y y y y h dx x f 由于式中)(0a f y =，)(b f y n =，)()(jh a f x f y j j +==，代入上式得出复合梯形求积公式：n n j baT jh a f b f a f h dx x f =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=∑⎰-=11)(2)()(2)( n T 表示区间分为n 等分时，用复合梯形求积法求出的定积分值。
3、复合辛普森法求定积分的原理 辛普森公式：)]()2(4)([6)(b f ba f a f ab f I +++-=因为辛普森公式用到了区间的中点，所以在构造复合辛普森公式时，把积分区间],[b a 等分为偶数份。
令m n 2=，其中m 为正整数，节点为)12,,2,1,0(-=+=m k kh a x k ，mab h 2-=在每两个小区间],[122+k k x x 上用辛普森公式，则有==∑⎰⎰-=+n m k xx bak kx f dx x f 102122)()(=+++∑∑-=+-=+12210122][)]()(4([3m k k k m k k k f R x f x f x f h∑∑∑-=-=-=++⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++11010122][)(4)(2)()(3m k k m k m k k k f R x f x f b f a f h记⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++=∑∑-=-=+10101222)(4)(2)()(3m k m k k k mx f x f b f a f h S 上式叫做复合辛普森公式，m S 2的下标m 2表示将积分区间],[b a m 2等分。
4、龙贝格求积公式原理采用龙贝格求积公式，即逐次对分积分区间的方法，可以把前面计算的结果作为一个整体带入对分后的计算公式中，只需增加新的分点的函数值。
龙贝格秋季攻势是一个很实用的公式。
若已知n T 2与n T 的关系：)(21n n n H T T +=，其中∑-=-⋅=1112)(n i i n x f h H ，若记∑∑-=-=1112)(n i i xf 为新增分点函数值的和，则⋅=h H n ξ。
对n T 而言，∑为下标为奇数位置的函数值的和。
龙贝格求积公式：)()(0h T h T =，),2,1(12)(22)(2112 =--⎪⎭⎫⎝⎛=--k h T h T h T k k k k k 用⎪⎭⎫⎝⎛=i k i k h T T 2)(作为][f I 近似值，截断误差为)()1(2+k h O 。
四、程序代码及运算结果1、复合矩形法求定积分：用sum 函数编辑如下命令做出函数214x+，并保存： function y= qiupai(x); y=4./(1+x.^2);该函数的图像如右图所示，生成方法如下：x=0:0.01:1;plot(x,qiupai1(x),'linewidth',2), gridlegend('qiupai1(x)')在命令窗口输入并运行：h=1/100; x=0+h:h:1;s=h*sum(qiupai1(x));pi1=vpa(s,6); format longpi1运行结果：pi1 = 3.13158当将分割的小矩形的宽度变小时, π值的精度相应提高,下表即为改变h的值得到的相应的pil的值：2、复合梯形法求定积分方法一先编辑梯形函数并保存：function s=tixing(f,a,b,n)% f是被积函数；% a,b分别为积分的上下限；% n是子区间的个数；% s是梯形总面积；h=(b-a)/n;s=0;for k=1:(n-1)x=a+h*k;s=s+feval('f',x);endformat longs=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2+h*s;然后在编辑窗口输入如下命令并运行：pi1=tixing('4/(1+x^2)',0,1,100)运行结果：pi1 = 3.141575986923129当将分割的小矩形的宽度变小时, π值的精度相应提高,下表即为改变h的值得到的相应的pil的值：方法二：用trapz函数在命令窗口输入：x=0:0.01:1;format longpi2=trapz(x,qiupai1(x))% 函数qiupai1(x)已在前面给出并保存运行结果：pi2 = 3.1415759869231283、复合辛普森法求定积分方法一先编辑辛普森函数并保存：function s=simpson(f,a,b,n)% f是被积函数；% a,b分别为积分的上下限；% n是子区间的个数；% s是梯形总面积,即所求积分数值；h=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;for k=1:nx=a+h*(2*k-1);s1=s1+feval('f',x);endfor k=1:(n-1)x=a+h*2*k;s2=s2+feval('f',x);ends=h*(feval('f',a)+feval('f',b)+4*s1+2*s2)/3;然后在编辑窗口输入如下命令并运行：pi3 = simpson('4/(1+x^2)',0,1,100)运行结果：pil3 = 3.141592653589793方法二：用quad函数求qiupai1(x)从0~1积分，可编辑如下的命令：format long;pi3=quad('qiupai1',0,1)运行结果：pi3 = 3.1415926829245674、龙贝格求定积分先编辑如下命令并保存：function [R,pil4,err,h]=romber(f,a,b,n,delta)% f是被积函数% a,b分别是积分的上下限% n+1是T数表的列数% delta是允许误差% R是T数表% pil4是所求积分值M=1;h=b-a;err=1J=0;R=zeros(4,4);R(1,1)=h*(feval('f',a)+feval('f',b))/2while ((err>delta)&(J<n))|(J<4)J=J+1;h=h/2;s=0;for p=1:Mx=a+h*(2*p-1);s=s+feval('f',x);endR(J+1,1)=R(J,1)/2+h*s;M=2*M;for K=1:JR(J+1,K+1)=R(J+1,K)+(R(J+1,K)-R(J,K))/(4^K-1);enderr=abs(R(J,J)-R(J+1,K+1));endpil4=R(J+1,J+1)然后在编辑窗口输入如下命令并运行：romber('4/(1+x^2)',0,1,100,0.5*(10^(-8)))运行结果：pil4 = 3.141592653589723ans的值是如下的矩阵：3 0 0 0 0 0 03.1 3.133333 0 0 0 0 0 3.131176 3.141569 3.142118 0 0 0 0 3.138988 3.141593 3.141594 3.141586 0 0 0 3.140942 3.141593 3.141593 3.141593 3.141593 0 0 3.14143 3.141593 3.141593 3.141593 3.141593 3.141593 0 3.141552 3.141593 3.141593 3.141593 3.141593 3.141593 3.1415935、Lobatto数值积分法在要求的绝对误差范围内，用自适应递推步长复合Lobatto数值积分法，与它相应的是高阶数值积分函数。