线性代数第四章自测题
(完整版)线性代数第四章线性方程组试题及答案
第四章 线性方程组1．线性方程组的基本概念(1)线性方程组的一般形式为：其中未知数的个数n 和方程式的个数m 不必相等. 线性方程组的解是一个n 维向量(k 1,k 2, …,k n )(称为解向量),它满足当每个方程中的未知数x 用k i 替代时都成为等式. 线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.对线性方程组讨论的主要问题两个:(1)判断解的情况.(2)求解,特别是在有无穷多接时求通解. b 1=b 2=…=b m =0的线性方程组称为齐次线性方程组. n 维零向量总是齐次线性方程组的解,称为零解.因此齐次线性方程组解的情况只有两种:唯一解(即只有零解)和无穷多解(即有非零解). 把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组. (2) 线性方程组的其他形式 线性方程组除了通常的写法外,还常用两种简化形式： 向量式 x 1α1+x 2α2+…+n x n α= β， (齐次方程组x 1α1+x 2α2+…+n x n α=0).即[]n a a ,,a 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡n x x x 21=β 全部按列分块，其中β,,21n a a a 如下⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=121111m a a a α ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=222122m a a a α，………，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn n n n a a a 21α, ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β 显然方程组有解的充要条件是向量β可由向量组n ααα,,21 线性表示。
矩阵式 AX =β，(齐次方程组AX =0).⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=mn m m n n a a a a a a a a a A 212222111211 ，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=n x x x X 21 ⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=m b b b 21β其中A 为m n ⨯矩阵，则：① m 与方程的个数相同，即方程组AX =β有m 个方程； ② n 与方程组的未知数个数相同，方程组AX =β为n 元方程。
(完整版)线性代数练习册第四章习题及答案
第四章 线性方程组§4-1 克拉默法则一、选择题1．下列说法正确的是（ C ）A.n 元齐次线性方程组必有n 组解；B.n 元齐次线性方程组必有1n -组解；C.n 元齐次线性方程组至少有一组解，即零解；D.n 元齐次线性方程组除了零解外，再也没有其他解. 2．下列说法错误的是（ B ）A 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组只有唯一解;B 。
当0D ≠时，非齐次线性方程组有无穷多解;C 。
若非齐次线性方程组至少有两个不同的解，则0D =; D.若非齐次线性方程组有无解，则0D =. 二、填空题1．已知齐次线性方程组1231231230020x x x x x x x x x λμμ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩有非零解,则λ= 1 ，μ= 0 。
2．由克拉默法则可知，如果非齐次线性方程组的系数行列式0D ≠，则方程组有唯一解i x =iD D. 三、用克拉默法则求解下列方程组 1．832623x y x y +=⎧⎨+=⎩解：832062D ==-≠123532D ==-,2821263D ==-所以，125,62D Dx y D D====- 2．123123123222310x x x x x x x x x -+=-⎧⎪+-=⎨⎪-+-=⎩解：213112112122130355011101r r D r r ---=--=-≠+---11222100511321135011011D r r ---=-+-=---,212121505213221310101101D r r --=-+-=-----， 3121225002112211511110D r r --=+=---所以, 3121231,2,1D D Dx x x D D D ======3．21241832x z x y z x y z -=⎧⎪+-=⎨⎪-++=⎩解：132010012412041200183583D c c --=-+-=≠-13110110014114020283285D c c -=-+=，2322112102112100123125D c c -=-+=--, 31320101241204120182582D c c =-=--所以, 3121,0,1D D Dx y z D D D ====== 4．12341234123412345242235232110x x x x x x x x x x x x x x x x +++=⎧⎪+-+=-⎪⎨---=-⎪⎪+++=⎩解：2131412131111111111214012322315053733121102181231235537013814222180514r r D r r r r r r r r ---=------------+=----=-+---3214212325111511102221422518231523528110121101005110010525182733214210252823522c c D c c c c c c --------=----------+=-----=----212314113231511151112140723222150123733021101518723230132123733031284315181518r r D r r r r r r r r -----=--------------=----=------12342213111512151031224522182325111132283101101002510200251521852974265211228115127c c D c c c c c c -------=---------+=-----=----12432322111152115312125252223121135231200100215215552502714251152604c c D c c r r r r --------=----------+=----=---所以， 312412341,2,3,1D D D Dx x x x D D D D========-§4-2 齐次线性方程组一、选择题1．已知m n ⨯矩阵A 的秩为1n -，12,αα是齐次线性方程组0AX =的两个不同的解，k 为任意常数，则方程组0AX =的通解为（ D ）。
【最新试题库含答案】线性代数练习册第四章习题及答案
线性代数练习册第四章习题及答案：篇一：线代第四章习题解答第四章空间与向量运算习题4.14-1-1、已知空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C??2,2,1? （1）求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们的图形；（2）求点A与B之间的距离．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出下列各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B（0，4，3）点在yoz面上C（3，0，0）在x轴上 D（0，－1，0）在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v??3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3（a－b＋2c）－2（－3b－c）＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：如果平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由已知AO＝OC，DO＝OB 因为AB ＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 已知向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 已知一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为（x,y,z）prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)??4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x??2y?3z0?04-1-12. 求下列向量的模与方向余弦，并求与这些向量同方向的单位。
线性代数第四章练习题答案
线性代数第四章练习题答案第一篇：线性代数第四章练习题答案第四章二次型练习4、11、写出下列二次型的矩阵2（1）f(x1,x2,x3)=2x12-x2+4x1x3-2x2x3；（2）f(x1,x2,x3,x4)=2x1x2+2x1x3+2x1x4+2x3x4。
解：（1）因为⎛2f(x1,x2,x3)=(x1,x2,x3) 0 2⎝⎛2 所以二次型f(x1,x2,x3)的矩阵为： 0 2⎝0-1-10-1-12⎫⎪-1⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪, ⎪⎭2⎫⎪-1⎪。
0⎪⎭（2）因为⎛0 f(x1,x2,x3,x4)=(x1,x2,x3,x4) 1 1⎝⎛0 1所以二次型f(x1,x2,x3,x4)的矩阵为： 1 1⎝***11⎫⎪0⎪1⎪⎪0⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪，⎪⎪⎭1⎫⎪0⎪。
⎪1⎪0⎪⎭2、写出下列对称矩阵所对应的二次型：⎛1 1（1） -2 1 ⎝212⎛01⎫⎪2⎪1 -2⎪；（2）2 ⎪-1⎪2⎪⎭0⎝12-11212-112012⎫0⎪⎪1⎪2⎪。
1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭-0-2T解：（1）设X=(x1,x2,x3)，则⎛1 f(x1,x2,x3)=XTAX=(x1,x2,x3) -2 1 ⎝2-120-21⎫⎪2⎪-2⎪⎪⎪2⎪⎭⎛x1 x2 x⎝3⎫⎪⎪⎪⎭=x12+2x32-x1x2+x1x3-4x2x3。
（2）设X=(x1,x2,x3,x4)T，则⎛0 1f(x1,x2,x3,x4)=XTAX=(x1,x2,x3,x4)2 -1 0⎝12-11212-11201 2⎫0⎪⎪1⎪2⎪1⎪⎪2⎪1⎪⎪⎭⎛x1 x2 x 3 x⎝4⎫⎪⎪⎪⎪⎪⎭2=-x2+x4+x1x2-2x1x3+x2x3+x2x4+x3x4。
练习4、21、用正交替换法将下列二次型化为标准形，并写出所作的线性替换。
22（1）f(x1,x2,x3)=2x1+x2-4x1x2-4x2x3；（2）f(x1,x2,x3)=2x1x2-2x2x3；222（3）f(x1,x2,x3)=x1+2x2+3x3-4x1x2-4x2x3。
线代第4章习题答案
第4章1.（1）是；（2）是；（3）是；（4）否.2. 证：（1）假设零向量不唯一，即存在两个零向量120,0，但1200≠，则由10αα+=和20αα+=推出1200=，这与假设矛盾. （2）类似（1）中证明. （3）0()0k k k k αααα=-=-=， (1)(01)01ααααα-=-=-=-， 0()0k k k k αααα=-=-=. 3.（1）是；（2）是；（3）否；（4）否. 4. 证：设11223344k A k A k A k A O +++=，则有12341234123412340,0,0,0,k k k k k k k k k k k k k k k k ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩系数矩阵11111111111101011111001111110001A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦，则()4r A =， 故12340k k k k ====，即1234,,,A A A A 线性无关.又对任意一个11122122a a A a a ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若11223344k A k A k A k A A +++=， 则可得123411123412123421123422,,,,k k k k a k k k k a k k k k a k k k k a ++-=⎧⎪-++=⎪⎨+-+=⎪⎪---=⎩解得唯一一组解为：()()()()1111221222111221223111221224111221221,41,41,41,4k a a a a k a a a a k a a a a k a a a a ⎧=+++⎪⎪⎪=-+-⎪⎨⎪=+--⎪⎪⎪=-++-⎩即任意一个A 都可以由这组矩阵线性表出，且表达式唯一，则22dim()4R ⨯=，且1234,,,A A A A 构成22R ⨯的一组基.5. 解：令123110100,,000011A A A ⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，则由112233k A k A k A O ++=可解得1230k k k ===，即123,,A A A 线性无关. 又对任意一个A V ∈，a ab Ac c +⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，若112233k A k A k A A ++=，可解得唯一一组解为： 123,,k a k b k c ===，即任意一个A 都可以由123,,A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()3V =，且123,,A A A 构成V 的一组基. 6. 解：2()65f x x x =-+，故在这组基下的坐标为[]6,5,1T-.7. 解：（1）根据过渡矩阵C 的3个列向量分别是21,1,(1)x x ++在基21,,x x 下的坐标，可得111012001C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. （2）新的基为：21,1,2x x x -+-+. 8. 解：（1）显然对加法和数乘封闭.（2）令1100A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，2010A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，…，001n A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ . 若1122n n k A k A k A O ++= ，显然可推出120n k k k ==== ，即12,,,n A A A 线性无关.又对任意一矩阵12A n ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，若 1122n n k A k A k A A ++= ，可解得唯一一组解为：121,2,,n k k k n === .即任意一个A W ∈都可以由12,,,n A A A 线性表出，且表达式唯一，则dim()W n =，且12,,,n A A A 构成W 的一组基. 9. 解：11211121211101111103001301170000A --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎢⎥⎢⎥=→⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，则()3r A =，故由1234,,,αααα 生成的子空间维数是3，一组基为123,,ααα（或124,,ααα）.11．解：过渡矩阵为：205133113C ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥---⎣⎦，若有一非零向量[],,T w x y z =，满足w Cw =，则可得方程组25,33,3,x x z y x y z z x y z =+⎧⎪=++⎨⎪=---⎩对系数矩阵经初等行变换后得阶梯形方程组50,0,x z y z +=⎧⎨-=⎩ 可解得一般解为： [5,,]w c c c =-，c 为任一非零常数.12. 证：已知()()()()112112212211,,313b a a b a a b a a b αβ-⎛⎫⎛⎫==-+-+ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭， （1）()()()()112212,3,b a a b a a αββα=-+-+=；（2）()()()()()1112221122,33,,c a b a b c a b a b αβγαγβγ+=+--+--++=+； （3）()()()()112212,3,k kb a a kb a a k αβαβ=-+-+=；（4）()()()()22112212122,320a a a a a a a a a αα=-+-+=-+≥，若(),0αα=，当且仅当1220,0,a a a -=⎧⎨=⎩ 故120a a ==，即0α=.由于(),αβ满足定义4.6中的4个性质，故是2R 的内积.13. 解：（1）1||α=2||α=，3||α=.因为()2323,cos ||||10ααθαα==-，故arccos 10θ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭. （2）设与123,,ααα都正交的向量为()1234,,,b b b b β=，则可得12341234123420,230,220,b b b b b b b b b b b b +-+=⎧⎪++-=⎨⎪---+=⎩ 经过初等行变换可得阶梯形矩阵：123423420,330,b b b b b b b +-+=⎧⎨-+-=⎩ 解得一般解为()34343455,33,,Tb b b b b b β=-+-，其中34,b b 为自由变量，或者通解表达式为1255331001k k β-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦.14. 解：()111,0,1,1Tβα==，)1111,0,1,1||Tβγβ==. ()22211121,,1,,333Tβααγγ⎛⎫=-=-- ⎪⎝⎭，)2221,3,2,1||Tβγβ==--. ()()333113223112,,,,,5555Tβααγγαγγ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，)3333,1,1,2||Tβγβ==--. 15. 解：()110,0,1Tβα==，()10,0,1Tγ=. ()()22211,0,1,0T βααγγ=-=，()20,1,0Tγ=.()()()33311322,,1,0,0T βααγγαγγ=--=，()31,0,0Tγ=. 16. 证：（1）()()T T T T T AB AB B A AB B EB B B E ====.（2）A 正交，则||1A =±，*1*||A A A A -==±，则**1111()()()T T T A A A A A A E E ----====. 17. 解：已知1T X X =，则(2)(2)(2)(2)T T T T T T Q Q E XX E XX E XX E XX =--=-- 44()44T T T T T E XX X X X X E XX XX E =-+=-+=， 即Q 为正交矩阵.若T X =，则122122123221T Q E XX --⎡⎤⎢⎥=-=--⎢⎥⎢⎥--⎣⎦. 18. 解：73217737326a Q b c -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，通过T Q Q E =得 214960,1421180,621120,a bc abc -+-=⎧⎪-+=⎨⎪---=⎩解得626,,777a b c =-==-.19. 证：因为T Q Q E =，故对任意n X R ∈，有()()()22||,||TT T T QX QX QX QX QX X Q QX X X X =====，则一定有 ||||QX X =.20.（1）否；（2）是；（3）是；（4）否. 21. 解：（1）A 112(1,1,0)T εεε==+，A 212(1,1,0)T εεε=-=-， A 33(0,0,1)T εε==，所求矩阵为：110110001D ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦. (2) A ()12110T,,ηη==，A()212002T,,ηη==，A ()31232012T,,ηηηη==-+，故所求的矩阵为022101001⎛⎫⎪- ⎪ ⎪⎝⎭.22. 解：（1）A 1123(2,3,5)235T εεεε==++,A 2ε=A 110⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 1123(1,3,5)35T εεεε=---=---,A 2ε=A 111⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦ A 2ε-A 1123(1,1,1)T εεεε=--=-+-,故所求的矩阵为211331551A --⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪--⎝⎭.（2）已知1232αεεε=-+，则21124331110551114y AX --⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪⎪ ⎪==--= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭.23. 解：010001000D ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦24. 证：必要性：因为12,,,n εεε 是V 的标准正交基，则(,),1,i j ij i j n εεδ=≤≤. 因为A 是正交变换，则（A ()i ε，A ()j ε）ij δ=， 1,i j n ≤≤. 即A ()i ε，A ()j ε，…，A ()n ε是V 的标准正交基. P 40.3.(作业册)解：211111111111011312240000---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--→-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦，解得4343423x x x X x x -⎡⎤⎢⎥+⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则解空间的解向量为[]10,1,1,0T α=，[]22,3,0,1Tα=-，通过Schmidt 标准正交化得]10,1,1,0T γ=，]24,3,3,2Tγ=--.。
线性代数__第四单元测试
线性代数练习题 第四章 向量组的线性相关性专业 班 姓名 学号一 判断题１．若m ααα,,,21 线性相关，则对于任一组不全为零的数m k k k ,,,21 总有 011=+m m k k αα ( × ) ２．.若m ααα,,,21 线性相关，则其中每一个向量都是其余向量的线性组合。
( × ) ３．含有非零向量的组向量的最大无关组是唯一； ( × ) ４．.向量组与其自身的任一最大无关组等价。
( √ ) ５．有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ × ） ６．有无穷多个解的非齐次线性方程组的通解的形式不唯一； （√ ） ７集合},,,032),,{(321321321R x x x x x x x x x V ∈=++=是一个向量空间； （√） 8、有非零解的齐次线性方程组的基础解系是唯一； （ × ）二．选择题1．n 维向量s ααα,,, 21)(01≠α线性相关的充分必要条件是 [ D ] （A ）对于任何一组不全为零的数组都有02211=+++s s k k k ααα （B ）s ααα,,, 21中任何)(s j j ≤个向量线性相关（C ）设),,,(s A ααα 21=，非齐次线性方程组B AX =有唯一解 （D ）设),,,(s A ααα 21=，A 的行秩 ＜ s .解：由相关的充要条件：向量组相关R s(⇔<稚向量的个数)2．若向量组γβα,,线性无关，向量组δβα,,线性相关，则 [ C ] （A ）α必可由δγβ,,线性表示 （B ）β必不可由δγα,,线性表示 （C ）δ必可由γβα,,线性表示 （D ）δ比不可由γβα,,线性表示 解： 由γβα,,线性无关⇒αβ，无关（整体无关，部分无关），而δβα,,线性相关⇒δαβ可由，线性表示，且表示唯一（表示唯一性定理）⇒δαβγ可由，，线性表示（只需γ前得系数取0）3．.设向量组{}m A ααα,,,21 =，则下列说法不正确的是（C ）A 、若m ααα,,,21 中有一个是零向量，则向量组A 线性相关，B 、若m ααα,,,21 线性无关，则其中任意向量不能由其余向量线性表示C 、若1α可由m αα,,2 线性表示，则表示式必不唯一D 、零向量必可由m ααα,,,21 线性表示。
线代一至四章自测题兼答案
《线性代数》单元自测题第一章 行列式专业 班级 姓名 学号一、 填空题：1．设12335445i j a a a a a 是五阶行列式中带有正号的项，则i = ，j = . 2． 在四阶行列式中同时含有元素13a 和31a 的项为__ ___. 3． 各行元素之和为零的n 阶行列式的值等于 .4．已知2333231232221131211=a a a a a a a a a ，则=+++133312321131131211232221333a a a a a a a a a a a a . 5．设)4,3,2,1(2=i A i 是行列式6932987342322212a w a za y a x中元素2i a 的代数余子式，则=+++423222126397A A A A __ ___. 二、 选择题：1．已知,42124011123313)(x x x x x x f --=则)(x f 中4x 的系数为( )（A ）1- ； （B ）1 ； （C ）2- ； （D ）2 ．2．222111c b a c b a=( ) （A ）b c a b c a 222++； （B ）))()((b c a c a b ---； （C ）)(222a c c b b a ++-； （D ）)1)(1)(1(---c b a ．3．已知0014321≠=-k c b a ， 则063152421-+-+c b a =( )（A ） 0 ； （B ）k ； （C ）k - ； （D ）k 2．4．已知01211421=--λλ，则λ=( ) （A ）3-=λ； （B ）2-=λ； （C ）3-=λ或2； （D ）3-=λ或2-． 三、 计算题：1．计算63123112115234231----=D ．2．设4321630211118751=D ，求44434241A A A A +++的值．3．计算4443332225432543254325432=D ．4．计算abb a b a b a D n 000000000000 =．5．计算2111121111211112----=λλλλ n D ．6．设齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=+++=+++=+++0)12(02)12(02)1(3213213221x k kx kx x x k x x x k x 有非零解，求k 的值．《线性代数》单元自测题第二章 矩阵专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．设A ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=341122121221，则)(A R = ．2．设A 是3阶可逆方阵，且m A =，则1--mA = ．3．设A 为33⨯矩阵，2-=A ，把A 按列分块为),,(321A A A A =，其中)3,2,1(=j A j 为A 的第j 列，则=-1213,3,2A A A A ．4．设A 为3阶方阵，且3=A ,*A 为A 的伴随矩阵，则=-13A ；=*A ；=--1*73A A ．5． 设⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=4000003000002000001100041A ,由分块矩阵的方法得=-1A ． 二、选择题：1． 设A 、B 为n 阶方阵，则下列命题中正确的是（ ）（A ） 0=AB 0=⇒A 或0=B ； （B ） TT T A B AB =)(；（C ） B A B A +=+； （D ） 22))((B A B A B A -=-+． 2．设A 为54⨯矩阵，则A 的秩最大为( )（A ）2 ； （B ）3 ； （C ）4 ； （D ）5．3．设C B A ,,是n 阶矩阵，且E ABC =，则必有（ ）（A ）E CBA =； （B ）E BCA =； （C ）E BAC =； （D ）E ACB =．4．当=A （ ）时，⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛333231232221131211a a a a a a a a a A ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=333231232221331332123111333a a a a a a a a a a a a ． （A ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-103010001； （B ）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-100010301； （C ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-101010300； （D ） ⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-130010001． 5．设B A ,均为n 阶方阵，且O E B A =-)(,则（ ） （A ）O A =或E B =； （B ） BA A =；（C ）0=A 或1=B ； （D ） 两矩阵A 与E B -均不可逆．三、计算题：1．设⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=221011332A ，求1-A ．2． 设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=032211123A ，且X A AX 2+=，求X ．3．已知矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=4553251101413223211a A 的秩为3，求a 的值．4．设Λ=-AP P 1，其中⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=1141P ， ⎪⎪⎭⎫⎝⎛2001-=Λ， （1）求nA ；（2）设()322+-=x x x f ，求()A f ．四、证明题：1、 设A 为n 阶方阵，且有0522=--E A A ，证明E A +可逆，并求其逆．2．设A 是n 阶对称矩阵，B 是n 阶反对称矩阵，证明AB 为反对称矩阵的充分必要条件是BA AB =．《线性代数》单元自测题第三章 向量组的线性相关性专业 班级 姓名 学号一、填空题：1．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=6402α，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=2101β，⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=9741γ，且向量ξ满足βαγβξ-=-+22，则ξ= ． 2．已知向量组T)1,1,2,1(1-=α，T T t )0,,0,2(,)2,5,4,0(32==αα的秩为2，则=t ． 3．若T)1,1,1(1=α，T)2,3,1(2=α，T b a ),0,(3=α线性相关，则b a ,应满足关系式 ． 二、单选题：1．下列向量组中，线性无关的是（ ）（A ）T )4321(，T )5201(-，T )8642(；（B ）T )001(-，T )012(，T )423(-；（C ）T)111(-，T )202(-，T )313(-；（D ）T )001(，T )010(，T )100(，T )101(．2．下列向量组中，线性相关的是（ ） （A ）T b a)1(，T c b a )222(+；)0(≠c （B ）T )0001(；（C ）T )0001(，T )1000(，T )0010(； （D ）T )001(，T )010(，T )000(．3、设向量组⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=t 01,121,011γβα线性无关，则（ ）（A ）1-=t ； （B ）1-≠t ； （C ）1=t ； （D ）1≠t ．4. 设m ααα,,21 ，均为n 维向量，那么下列结论正确的是（ ） （A ）若为常数），m m m k k k k k k ,,(0212211=+++ααα，则m ααα,,21 ，线性相关；（B ）若对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211≠+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关；（C ）若m ααα,,21 ，线性相关，则对任意一组不全为零的数m k k k ,,,21 ，都有02211=+++m m k k k ααα ；（D ）若有一组全为零的数m k k k ,,,21 ，使得02211=+++m m k k k ααα ，则m ααα,,21 ，线性无关.5、设A 是n 阶方阵，且A 的行列式0=A ，则A 中（ ）（A ）必有一列元素全为零； （B ）必有两列元素对应成比例；(C ）必有一列向量是其余列向量的线性组合； （D ）任一列向量是其余列向量的线性组合.三、计算下列各题：1．判断向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=02111α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=36122α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21013α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=09244α的线性相关性．2．求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=40121α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=21012α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=63033α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=21114α,⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=40125α的秩和一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示出来．3、设向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=0611,231,2211321αααx x ，若此向量组的秩为2，求x 的值。
线性代数练习册第四章习题及答案
篇一：线代第四章习题(xítí)解答第四章空间(kōngjiān)与向量运算习题(xítí)4.14-1-1、空间中三个点A,B,C坐标如下：A?2,?1,1?,B?3,2,1?,C2,2,1? 〔1〕求向量,,的坐标，并在直角坐标系中作出它们(tā men)的图形；〔2〕求点A与B 之间的间隔．解：(1) (1,3,0), (?5,0,0), (4,?3,0)(2)AB??4-1-2．利用(lìyòng)坐标面上和坐标轴上点的坐标的特征，指出以下各点的特殊位置： A?3,4,0?; B?0,4,3? ； C?3,0,0? ；D?0,?1,0? 解： A (3，4，0) 在xoy面上 B〔0，4，3〕点在yoz面上C〔3，0，0〕在x轴上 D〔0，－1，0〕在y轴上 4-1-6. 设u?a?b?2c,v3b?c，试用a、b、c表示3u?3v．解：3u－2v＝3〔a－b＋2c〕－2〔－3b－c〕＝3a＋3b＋8c4-1-7. 试用向量证明：假如平面上的一个四边形的对角线互为平分，那么这个四边形是平行四边形．解：设四边形ABCD中AC与DB交于O，由AO＝OC，DO＝OB 因为AB＝AO＋OB＝OC＋DO＝DC,AD=AO+OD=OC+BO=BC 所以ABCD为平行四边形。
4-1-8. 向量a的模是４，它与轴u的夹角60，求向量a在轴u上的投影．?解：.prju?u)?4*cos60＝4?r?rcos(r。
3＝23 24-1-9. 一向量的终点在点B?2,?1,7?，它在x轴、y轴、z轴上的投影依次为4、-4、7，求这向量起点A的坐标解：设起点A为〔x,y,z〕prjxAB?(2?x0)?4prjyAB?(?1?y)4 prjzAB?(7?z0)?7解得：x2y?3z0?04-1-12. 求以下向量的模与方向(fāngxiàng)余弦，并求与这些向量同方向的单位向量：〔1〕a2,?1,1? ；〔2〕b4,?2,2? ；〔3〕c6,?3,3? ；〔4〕d?2,1,?1? ．解：〔1〕a＝〔2，－1，1〕a?22?(?1)?122cos22a36cos?1?26cos a6a6〔2〕b=(4,-2,2) b?42?(?2)?2 cos2226? b3cos26?2?b666? cos b0?,?, b6b6b366〔3〕c=(6,-3,3) c?b2?(?4)?3 cos22236?3cos?33?? 6cos23362?6 62〔4〕d=(-2,1,-1)d?(?2)?1?(?1)?6cos?263cos16?d6cos?d0{?,,?66d366与前三向量(xiàngliàng)单位同的d{?6,,?。
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第四章（×）1．若向量组123,,ααα线性相关，则3α可由12,αα线性表示. （√）2．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤. （×）3．若向量组123,,ααα线性相关，则1α可由23,αα线性表示. （√）4．若向量组A 可由向量组B 线性表示，则()()R A R B ≤.5.若齐次线性方程组0AX =只有零解，则A 的列向量组线性无关.6．等价的向量组具有相同的秩. （ ）设A 为n 阶矩阵，则T A 与A 的特征值相同． （ ） 4．非零向量组的最大无关组存在且唯一． （ ）5．对于任意参数123,,m m m ，向量组11100m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，22102m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33123m α⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭总是线性无关． （ ） 6. 设V =({)}1,,,,,,212121=+++∈=n n Tn x x x R x x x x x x x 满足，则V 是向量空间. （ ）7.设21,V V 分别为向量组A ,B 生成的向量空间，且向量组A ,B 等价,则21V V =． 8.若存在一组数120m k k k ==== ，使得 11220m m k k k ααα+++= 成立，则向量组12,,,m ααα （ ）.A 线性相关 .B 线性无关 .C 可能线性相关，也可能线性无关 .D 部分线性相关9．已知43⨯的矩阵A 的行向量组线性无关，则=')(A R （ ）.A 1；.B 2； .C 4； .D 3.10．向量组12,,,m a a a （2m ≥）线性相关，则 （ ）.A 12,,,m a a a 中每一个向量均可由其余向量线性表示； .B 12,,,m a a a 中每一个向量均不可由其余向量线性表示； .C 12,,,m a a a 中至少有一个向量可由其余向量线性表示；.D 12,,,m a a a 中仅有一个向量可由其余向量线性表示．11．下列集合中，可作为向量空间的是（ ）.A =V {}b Ax x =；.B =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,022 ；.C =V (){}R x x x x x n Tn ∈=,,,,122 ；.D =V (){}1,,,.1121=++∈=n n Tn x x R x x x x x x 且．12．设齐次方程Ax ＝0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈） 则系数矩阵A 为（ ） A.()1,1,2- B.⎪⎭⎫⎝⎛-110102 C.⎪⎭⎫ ⎝⎛--110201D. ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---11022411013. 向量组A ：1a ，2a …m a (m ≥3）线性无关的充要条件是（ ）A. 存在不全为零的数1k ,2k ,…m k ，使02211≠+++m m a k a k a kB. A 组中任意两个向量都线性无关C. A 组中存在一个向量，它不能用其余向量线性表示D. A 组中任意一个向量，都不能用其余向量线性表示14． 设向量组1a ，2a ，3a 线性无关，则下列向量组线性无关的是（ ）A. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，3a －1aB. 1a ＋2a ，2a ＋3a ，1a ＋22a ＋3aC. 1a ＋22a ，22a ＋33a ，33a ＋1aD. 1a ＋2a ＋3a ，21a －32a ＋223a ，31a ＋52a －53a15．已知向量组A ：1α，2α，3α，4α线性无关，则与A 等价的向量组是 （ ）A. 1α＋2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αB. 1α－2α，2α－3α，3α－4α，4α－1αC. 1α＋2α，2α－3α，3α＋4α，4α－1αD. 1α＋2α，2α＋3α，3α＋4α，4α +1α16．设A 为n 阶矩阵，且()1-=n A R ，1α，2α是A x ＝0的两个不同的解，k 为任意常数，则A x ＝0的通解为（ ）A. 1αkB. 2αkC. k (1α-2α)D. k (1α+2α)17．设向量组A ：1α，2α，…，s α，B ：1α，2α，…，s α… r s +α则必有（ ）A. A 相关⇒B 相关；B. A 无关⇒B 无关；C. B 相关⇒A 相关；D. B 相关⇒A 无关.18. 设n 元线性方程组b Ax =，以下说法错误的是（ ）.(A) b Ax =有解的充分必要条件是0≠A ；(B) b Ax =无解的充分必要条件是),()(b A R A R < ； (C) b Ax =有唯一解的充分必要条件是n b A R A R ==),()(；(D) b Ax =有无穷多解的充分必要条件是n b A R A R <=),()( 19．若A 是n 阶可逆矩阵，下列说法中错误的是（ ）．A ．0≠A ；B ．A 的列向量组线性相关；C ．()n A R =；D ．A 与单位阵E 行等价．20．设b Ax =为非齐次线性方程组，0=Ax 为其对应的齐次线性方程组，下列说法中错误的是（ ）．A ．若1ξ=x ，2ξ=x 为0=Ax 的解，则21ξξ+=x 也是0=Ax 的解；B ．若1ξ=x 为0=Ax 的解，k 为实数，则1ξk x =也是0=Ax 的解；C ．若1η=x 及2η=x 都是b Ax =的解，则21ηη+=x 也是b Ax =的解；D ．若η=x 为b Ax =的解，ξ=x 为0=Ax 的解，则ηξ+=x 是b Ax = 的解． 21.设矩阵()4321,,,a a a a A =，其中432,,a a a 线性无关，3212a a a -=，向量4321a a a a b +++=，则方程b Ax =的通解为：_______．22. 设500013024A ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，33B ⨯的列向量组线性无关，则()R B = 3 ，()R AB =3 .（用行列式 满秩来判断）23. 已知维列向量组所生成的向量空间为, 则的维数dim( )；24. 若向量组T 3T 2T 1)0,0,1(,),-12,(,)2,3,1(==-=αααt 线性相关,则t =.25．设齐次线性方程组Ax =0的通解为x=c 1102⎛⎫⎪⎪ ⎪⎝⎭+c 2011⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭，（12,c c R ∈）则系数矩阵A=26.元非齐次线性方程组的系数矩阵的秩为, 已知是它的个解向量 , 其中, , 则该方程组的通解是27.已知123,,ηηη是三元非齐次线性方程组Ax =b 的解，且R (A )=1及 122313111,,,011001⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥+=+=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ηηηηηη求方程组Ax =b 的通解.28.设四元非齐次方程组的系数矩阵的秩为3，321,,ηηη是它的三个解向 量，且()T54321=η，()T432132=+ηη，则该方程组的通解为：______ _． 29．以()()TTc c x 1042013221-+-= 为通解的一个齐次线性方程组为：_____________．30.已知向量组123,,a a a 线性无关,证明向量组112223313,,b a a b a a b a a =+=+=+也线性无关.31.设向量组123,,ααα线性无关，证明：1123βααα=++，212323βααα=++，312349βααα=++也线性无关.32设r r αααβααβαβ+++=+== 2121211,,,且向量组r ααα,,,21 线性无关,证明向量组r βββ,,,21 线性无关. 33设向量组线性无关 , 问: 常数满足什么条件时, 向量组,,也线性无关。
34设s ηη,,1 是非齐次线性方程组b Ax =的s 个解，s k k ,1是实数，满足11=++s k k ．证明 s s k k x ηη++= 11 也是它的解．35．设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.36. 设()T3,2,1,21=α，()T3,5,1,12-=α，()31,0,2,1T α=-- ，()41,2,9,8Tα=.(1)求()4321,,,ααααR ；(2)找一极大无关组，并用此极大无关组线性表示其余向量.37.求向量组⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4152,0312,1021,12014321αααα的一个最大线性无关组。
38.设⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=141210123140702314321αααα，，，，求：（1）该向量组的秩；（2）39.该向量组的一个极大线性无关组；（3）将其余向量用该极大线性无关组表示。
40.设向量组：T 1)1,1,1(-=α，T 2)2,4,3(-=α，T 3)0,4,2(=α，T 4)1,1,0(=α，试求此向量组秩和一个极大无关组，并将其余向量用极大无关组线性表示.41.设矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛------=97963422644121121112A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.42.设矩阵⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=0231085235703273812A ，求A 的列向量组的最大无关组并把其余向量用最大无关组线性表示.43．设线性方程组为12345123452345123451323(*)22635433x x x x x x x x x x ax x x x x x x x x b++++=⎧⎪+++-=⎪⎨+++=⎪⎪+++-=⎩,(1) 确定a 与b 的值，使线性方程组（*）有解；(2) 在线性方程组（*）有解的情形下，求（*）的通解44. 设112224336⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦A ，求一秩为2的3阶方阵B 使AB =0. 45. 设有下列线性方程组（Ⅰ）和(Ⅱ)（Ⅰ）1241234123264133x x x x x x x x x x +-=-⎧⎪---=⎨⎪--=⎩ (Ⅱ) 123423434521121x m x x x nx x x x x t +--=-⎧⎪--=-⎨⎪-=-⎩(1) 求方程组（Ⅰ）的通解；(2) 当方程组（Ⅱ）中的参数m,n,t 为何值时，（Ⅰ）与(Ⅱ)同解？46．求齐次线性方程组⎪⎩⎪⎨⎧=---=+-+-=-+-0490243032542143214321x x x x x x x x x x x 的基础解系.。