中考总复习专题--折叠问题

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中考复习专题-折叠问题

四、举例：
例 1、已知如图一所示，沿折痕 BD 折
叠矩形纸片 ABCD,再沿折痕 BE 折叠，使 AB
边与 BD 重合，若 AB=2,BC=4,求 AE+FE 的值。
E
A
D
F
B
C
图一
解：过 E 作 EF⊥BD 于 F ∵∠A=∠EFB=900, ∠ABE=∠FBE,BE=BE ∴△ABE≌△FBE ∴AE=FE, BF=AB=2 ∵BD= AB2 AD2 = 22 42 =2 5 ∴DF=BD-BF=2 5 -2 设 AE=FE=x，则 DE=4-x 在 Rt△DFE 中，由勾股定理得：FE2+DF2=DE2 即：x2+（2 5 -2）2=（4-x）2 解得：x= 5 -1 ∴AE+FE=（ 5 -1）+（ 5 -1）=2（ 5 -1） ∴AE+FE 的值为 2（ 5 -1）
解：在矩形 ABCD 中，∵AD//BC ∴∠CBD=∠ADB 又∠ADB=∠BDE ∴∠CBD=∠BDE 即∠OBD =∠ODB ∴OB=OD
设 OD=OB=x，则 OC=BC-OB=8－x
在 Rt△ODC 中,OC2+CD2=OD2 即 (8 x)2 62 x2 ，解之得 x 25 。
1、折痕为AB
2：折痕为PQ
3：使PA与PQ重合，折痕为PC4：使PB与PA重合，折痕为PD
最后：展开，复原到图1，则∠CPD的大小是（B ） A．120° B．90° C．60° D．45°
例 3、如图二所示，有一矩型纸片
ABCD，AB=6，BC=8 沿 BD 对折，使点 A 落在
点 E 处，DE 与 BC 相交于点 O，求 OD+OB 的
例7：如图，折叠长方形的一边AD，

中考数学中的折叠问题

DC E FD 'C 'B 'D A B C M EF 中考数学中的折叠问题为了考查学生的数、形结合的数学思想方法和空间想象能力，近几年来中考中常出现折叠问题。

几何图形的折叠问题，实际是轴对称问题。

处理这类问题的关键是根据轴对称图形的性质，搞清折叠前后哪些量变了，哪些量没变，折叠后有哪些条件可利用。

所以一定要注意折叠前后的两个图形是全等的。

即对应角相等，对应线段相等。

有时可能还会出现平分线段、平分角等条件。

这一类问题，把握住了关键点，并不难解决。

例1 （成都市中考题）把一张长方形的纸片按如图所示的方式折叠， EM 、FM 为折痕，折叠后的C 点落在'B M 或'B M 的延长线上，那么∠EMF 的度数是（）A 、85°B 、90°C 、95°D 、100°分析与解答：本题考查了有关折叠的知识。

由题意可知：∠BME=∠'EMC ，∠CMF=∠'FMC ，''180BMC CMC ∠+∠=°，又'C M 与'B M 重合，则∠EMF=∠'EMC +∠'FMC =''11()18022BMC CMC ∠+∠=⨯°= 90°，故选B 。

例2 （武汉市实验区中考题）将五边形ABCDE 纸片按如图的方式折叠，折痕为AF, 点E 、D 分别落在'E 、'D 。

已知∠AFC=76°，则'CFD ∠等于（）A 、31°B 、28°C 、24°D 、22°分析与解答：本题同样是考查了折叠的知识。

根据题意得：'AFD AFD ∠=∠=180°-76°=104°，则'CFD ∠=104°-76°=28°，故选B 。

中考函数专题08 折叠问题(学生版)

专题08 折叠问题平面直角坐标系中的折叠问题,蕴含了丰富的数形结合思想和转化思想.解决这类问题的关键,是利用对称性将问题转化到直角三角形中,然后用勾股定理或相似三角形的知识求解.平面直角坐标系中的折叠问题是正在悄然兴起的一个中考热点,因为在平面直角坐标系中,几何图形的位置和大小都可以用"数"来表示,折叠问题又涉及全等变换和轴对称问题.而对于折叠问题，学生并不陌生，但在直角坐标系中，必然涉及直线的解析式和点的坐标，难度加大了，综合性增强了，数形结合思想更加显现，因而更加受到中考出题者的青睐。

本专题主要从折叠入手，经过学生的强化训练受到更多的启发。

一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，OABC 是正方形，点A 的坐标是（4，0），点P 为边AB 上一点，∠CPB ＝60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点B ’处，则B ’点的坐标为（）．A ．（2，） B ．（，） C ．（2，） D ．（，）2．如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC 是正方形，点A 的坐标是(4，0)，点P 为边AB 上一点，∠CPB=60°，沿CP 折叠正方形，折叠后，点B 落在平面内点'B 处，则'B 点的坐标为（）A ．(2，2)B ．(32，3)C ．(2，4-D ．(32，4-) 3．在平面直角坐标系中，将点P （-2，0）沿直线y x =折叠得到点Q，则点Q 的坐标为( )A ．（2（0（B ．（0（2（C ．（-2（-2（D ．（0（-2（4．如图，把长方形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA ，OC 分别落在x 轴、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置，AD 与y 轴交于点E ，若()1,2B ，则OE 的长为（） A ．1 B ．34 C ．23 D ．45二、填空题5．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处.若点D 的坐标为(10，8），则点E 的坐标为 .6．如图，在平面直角坐标系中，将矩形AOCD 沿直线AE 折叠（点E 在边DC 上），折叠后顶点D 恰好落在边OC 上的点F 处，已知AD=3，当点F 为线段OC 的三等分点时，点E 的坐标为_____．7．如图，在平面直角坐标系中，长方形OABC 各顶点的坐标分别为(0,0)O ，(5,0)A ，(0,3)C ．将长方形OABC 沿CE 折叠，使B 点落在x 轴上B '处，则点E 的坐标为__________．8．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处．若OA ＝8，CF ＝4，则点E 的坐标是_____．9．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO 的边CO 、OA 分别在x 轴、y 轴上，点E 在边BC 上，将该矩形沿AE 折叠，点B 恰好落在边OC 上的F 处.若8OA =，4CF =，则点E 的坐标是__________．10．如图，把矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 、y 轴上，连接AC ，将纸片OABC 沿AC 折叠，使点B 落在点D 的位置．若点B 的坐标为（2，4），则点D 的横坐标是___________．11．如图平面直角坐标系中，（（B（8（0）．将（OAB 沿直线CD 折叠，使点A 恰好落在线段OB 上的点E 处，若OE=3211，则CE（DE 的值是（12．把一张两边长分别为2、1的矩形纸片OABC 放入平面直角坐标系中，使OA 、OC 分别落在x 轴、y 轴正半轴上，将纸片OABC 沿对角线OB 折叠，使点A 落在A '的位置上，则点A '的坐标为_______． 13．如图，将矩形纸片ABCD 放入以BC 所在直线为x 轴，BC 边上一点O 为坐标原点的直角坐标系中，连结OD ，将纸片ABCD 沿OD 折叠，使得点C 落在AB 边上点C'处，若AB 5=，BC 3=，则点C 的坐标为______．14．如图，有一矩形纸片OABC 放在直角坐标系中，O 为原点，C 在x 轴上，OA ＝6，OC ＝10，如图，在OA 上取一点E ，将△EOC 沿EC 折叠，使O 点落在AB 边上的D 点处，则点E 的坐标为_______。

中考数学专题复习：折叠题含答案解析

年中考数学专题复习：折叠题1．如图，在矩形ABCD中，点E是AD的中点，∠EBC的平分线交CD于点F，将∠DEF 沿EF折叠，点D恰好落在BE上M点处，延长BC、EF交于点N．有下列四个结论：①DF=CF；②BF∠EN；③∠BEN是等边三角形；④S∠BEF=3S∠DEF．其中，将正确结论的序号全部选对的是（）A．①②③B．①②④C．②③④D．①②③④解答：解：∠四边形ABCD是矩形，∠∠D=∠BCD=90°，DF=MF，由折叠的性质可得：∠EMF=∠D=90°，即FM∠BE，CF∠BC，∠BF平分∠EBC，∠CF=MF，∠DF=CF；故①正确；∠∠BFM=90°﹣∠EBF，∠BFC=90°﹣∠CBF，∠∠BFM=∠BFC，∠∠MFE=∠DFE=∠CFN，∠∠BFE=∠BFN，∠∠BFE+∠BFN=180°，∠∠BFE=90°，即BF∠EN，故②正确；∠在∠DEF和∠CNF中，，∠∠DEF∠∠CNF（ASA），∠EF=FN，∠BE=BN，但无法求得∠BEN各角的度数，∠∠BEN不一定是等边三角形；故③错误；∠∠BFM=∠BFC，BM∠FM，BC∠CF，∠BM=BC=AD=2DE=2EM，∠BE=3EM，∠S∠BEF=3S∠EMF=3S∠DEF；故④正确．故选B．点评：此题考查了折叠的性质、矩形的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．2．如图，将矩形ABCD的一个角翻折，使得点D恰好落在BC边上的点G处，折痕为EF，若EB为∠AEG的平分线，EF和BC的延长线交于点H．下列结论中：①∠BEF=90°；②DE=CH；③BE=EF；④∠BEG和∠HEG的面积相等；⑤若，则．A．2个B．3个C．4个D．5个解答：解：①由折叠的性质可知∠DEF=∠GEF，∠EB为∠AEG的平分线，∠∠AEB=∠GEB，∠∠AED=180°，∠∠BEF=90°，故正确；②可证∠EDF∠∠HCF，DF＞CF，故DE≠CH，故错误；③只可证∠EDF∠∠BAE，无法证明BE=EF，故错误；④可证∠GEB，∠GEH是等腰三角形，则G是BH边的中线，∠∠BEG和∠HEG的面积相等，故正确；⑤过E点作EK∠BC，垂足为K．设BK=x，AB=y，则有y2+（2y﹣2x）2=（2y﹣x）2，解得x1=y（不合题意舍去），x2=y．则，故正确．故正确的有3个．故选B．点评：本题考查了翻折变换，解答过程中涉及了矩形的性质、勾股定理，属于综合性题目，解答本题的关键是根据翻折变换的性质得出对应角、对应边分别相等，然后分别判断每个结论，难度较大，注意细心判断．3．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将∠ABE沿BE折叠后得到∠GBE，延长BG交CD于F点，若CF=1，FD=2，则BC的长为（）A．3B．2C．2D．2解答：解：过点E作EM∠BC于M，交BF于N，∠四边形ABCD是矩形，∠∠A=∠ABC=90°，AD=BC，∠∠EMB=90°，∠四边形ABME是矩形，∠AE=BM，由折叠的性质得：AE=GE，∠EGN=∠A=90°，∠EG=BM，∠∠ENG=∠BNM，∠∠ENG∠∠BNM（AAS），∠NG=NM，∠CM=DE，∠E是AD的中点，∠AE=ED=BM=CM，∠EM∠CD，∠BN：NF=BM：CM，∠BN=NF，∠NM=CF=，∠NG=，∠BG=AB=CD=CF+DF=3，∠BN=BG﹣NG=3﹣=，∠BF=2BN=5，∠BC===2．故选B．点评：此题考查了矩形的判定与性质、折叠的性质、三角形中位线的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．4．如图，两个正方形ABCD和AEFG共顶点A，连BE，DG，CF，AE，BG，K，M分别为DG和CF的中点，KA的延长线交BE于H，MN∠BE于N．则下列结论：①BG=DE 且BG∠DE；②∠ADG和∠ABE的面积相等；③BN=EN，④四边形AKMN为平行四边形．其中正确的是（）A．③④B．①②③C．①②④D．①②③④解答：解：由两个正方形的性质易证∠AED∠∠AGB，∠BG=DE，∠ADE=∠ABG，∠可得BG与DE相交的角为90°，∠BG∠DE．①正确；如图，延长AK，使AK=KQ，连接DQ、QG，∠四边形ADQG是平行四边形；作CW∠BE于点W，FJ∠BE于点J，∠四边形CWJF是直角梯形；∠AB=DA，AE=DQ，∠BAE=∠ADQ，∠∠ABE∠∠DAQ，∠∠ABE=∠DAQ，∠∠ABE+∠BAH=∠DAQ+∠BAH=90°．∠∠ABH是直角三角形．易证：∠CWB∠∠BHA，∠EJF∠∠AHE；∠WB=AH，AH=EJ，∠WB=EJ，又WN=NJ，∠WN﹣WB=NJ﹣EJ，∠BN=NE，③正确；∠MN是梯形WGFC的中位线，WB=BE=BH+HE，∠MN=（CW+FJ）=WC=（BH+HE）=BE；易证：∠ABE∠∠DAQ（SAS），∠AK=AQ=BE，∠MN∠AK且MN=AK；四边形AKMN为平行四边形，④正确．S∠ABE=S∠ADQ=S∠ADG=S∠ADQG，②正确．所以，①②③④都正确；故选D．点评：当出现两个正方形时，一般应出现全等三角形．图形较复杂，选项较多时，应用排除法求解．5．如图，在∠ABC中，∠C=90°，将∠ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，已知MN∠AB，MC=6，NC=，则四边形MABN的面积是（）A．B．C．D．解答：解：连接CD，交MN于E，∠将∠ABC沿直线MN翻折后，顶点C恰好落在AB边上的点D处，∠MN∠CD，且CE=DE，∠CD=2CE，∠MN∠AB，∠CD∠AB，∠∠CMN∠∠CAB，∠，∠在∠CMN中，∠C=90°，MC=6，NC=，∠S∠CMN=CM•CN=×6×2=6，∠S∠CAB=4S∠CMN=4×6=24，∠S四边形MABN=S∠CAB﹣S∠CMN=24﹣6=18．故选C．点评：此题考查了折叠的性质、相似三角形的判定与性质以及直角三角形的性质．此题难度适中，解此题的关键是注意折叠中的对应关系，注意数形结合思想的应用．6．如图，D是∠ABC的AC边上一点，AB=AC，BD=BC，将∠BCD沿BD折叠，顶点C 恰好落在AB边的C′处，则∠A′的大小是（）A．40°B．36°C．32°D．30°解答：解：连接C'D，∠AB=AC，BD=BC，∠∠ABC=∠ACB=∠BDC，∠∠BCD沿BD折叠，顶点C恰好落在AB边的C′处，∠∠BCD=∠BC'D，∠∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，∠四边形BCDC'的内角和为360°，∠∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D==72°，∠∠A=180°﹣∠ABC﹣∠ACB=36°．故选B．点评：本题考查了折叠的性质，解答本题的关键是掌握翻折前后的对应角相等，注意本题的突破口在于得出∠ABC=∠BCD=∠BDC=∠BDC'=∠BC'D，根据四边形的内角和为360°求出每个角的度数．7．如图，已知∠ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，点D在BC边上，把∠ABC沿AD翻折使AB与AC重合，得∠AB′D，则∠ABC与∠AB′D重叠部分的面积为（）A．B．C．3﹣D．解答：解：过点D作DE∠AB′于点E，过点C作CF∠AB，∠∠ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=2，∠AC=BC，∠AF=AB=，∠AC===2，由折叠的性质得：AB′=AB=2，∠B′=∠B=30°，∠∠B′CD=∠CAB+∠B=60°，∠∠CDB′=90°，∠B′C=AB′﹣AC=2﹣2，∠CD=B′C=﹣1，B′D=B′C•cos∠B′=（2﹣2）×=3﹣，∠DE===，∠S阴影=AC•DE=×2×=．故选A．点评：此题考查了折叠的性质，等腰三角形的性质、直角三角形的性质以及特殊角的三角函数问题．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用，注意掌握折叠前后图形的对应关系．8．如图，已知∠ABC中，∠CAB=∠B=30°，AB=，点D在BC边上，把∠ABC沿AD翻折，使AB与AC重合，得∠AED，则BD的长度为（）A．B．C．D．解答：解：作CF∠AB于点F．∠∠CA B=∠B∠AC=BC，∠BF=AB=，在直角∠BCF中，BC==2，在∠CD E中，∠E=∠B=30°，∠ECD=∠CAB+∠B=60°，DE=BD，∠∠CDE=90°，设BD=x，则CD=DE=2﹣x，在直角∠CDE中，tanE===tan30°=，解得：x=3﹣．故选B．点评：本题考查了图形的折叠，以及三线合一定理、三角函数，正确理解折叠的性质，找出图形中相等的线段、相等的角是关键．9．如图，在Rt∠ABC中，∠C=90°，AC=，BC=1，D在AC上，将∠ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，如果AD∠ED，那么∠ABE的面积是（）A．1B．C．D．解答：解：∠∠C=90°，AC=，BC=1，∠AB==2，∠∠BAC=30°∠∠ADB沿直线BD翻折后，点A落在点E处，∠BE=BA=2，∠BED=∠BAD=30°，DA=DE，∠AD∠ED，∠BC∠DE，∠∠CBF=∠BED=30°，在Rt∠BCF中，CF==，BF=2CF=，∠EF=2﹣，在Rt∠DEF中，FD=EF=1﹣，ED=FD=﹣1，∠S∠ABE=S∠ABD+S∠BED+S∠ADE=2S∠ABD+S∠ADE=2×BC•AD+AD•ED=2××1×（﹣1）+×（﹣1）（﹣1）=1．故选A．点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系．。

2022年九年级数学中考专题折叠题型练习

中考专题折叠题型25道一．试题（共25小题）1．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为．2．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝12，E为AD中点，F为AB上一点，将△AEF沿EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则折痕EF的长是（）A．6﹣2B．3C．2D．6+23．如图，点E是矩形ABCD的边BC上的点，BE＝2CE，将矩形沿着过点E的直线翻折后，点C、D分别落在边BC下方的点C1、D1处，且点C1、D1、B在同一条直线上，折痕与边AD交于点F，D1F与BE 交于点G．若AB＝，那么△EFG的周长为（）A．4B．2+2C．D．64．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B 落在点F处，连接FC，则tan∠ECF＝（）A．B．C．D．5．如图，已知△ABC是等边三角形，AB＝4+2，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是．6．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，BM与EF相交于点N．若直线BA′交直线CD于点O，BC＝5，EN ＝1，则OD的长为（）A．B．C．D．7．如图，E为矩形ABCD的边AB上一点，将矩形沿CE折叠，使点B恰好落在ED上的点F处，若BE＝1，BC＝3，则CD的长为（）A．6B．5C．4D．38．如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，AD＝10cm，把它沿CE折叠，使点B落在AD上的B′处，点F 在折痕CE上且F到AD的距离与F到点B的距离相等．则点F到AD的距离是（）A．3B．4C．D．59．如图，在正方形纸片ABCD中，E是CD的中点，将正方形纸片折叠，点B落在线段AE上的点G处，折痕为AF．若AD＝4cm，则CF的长为cm．10．如图，在边长为4的正方形ABCD中，E为AB边的中点，F是BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB'F，连接B'D．则当B'D取得最小值时，tan∠BEF的值为．11．已知矩形ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E是边AD上的点，点F是边DC上的点，分别沿BE，EF折叠得到点A1，D1，恰好使D1落在BC上，且E，A1，D1同线，AE＞2，则AE＝（）A．B．C．D．12．如图，在矩形ABCD中，AD＝2．将∠A向内翻折，点A落在BC上，记为A，折痕为DE．若将∠B 沿EA'向内翻折，点B落在DE上，记为B'，则AB的长为（）A．B．1C．2D．13．如图，正方形纸片ABCD的边长为15，E、F分别是CD、AD边上的点，连接AE，把正方形纸片沿BF 折叠，使点A落在AE上的一点G，若CE＝7，则GE的长为．14．如图，将面积为32的矩形ABCD沿对角线BD折叠，点A的对应点为点P，连接AP交BC于点E．若BE＝，则AP的长为．15．如图，在△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝3，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AE＝1．连接DE，将△AED沿直线AE翻折至△ABC所在的平面内，得△AEF，连接DF．过点D作DG⊥DE交BE于点G．则四边形DFEG的周长为（）A．8B．4C．2+4D．3+216．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，点D是AB的中点，将△ACD沿CD翻折得到△ECD，连接AE，BE，则线段BE的长等于（）A．B．C．D．217．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D、E为AC、BC上两个动点，若将∠C沿DE 折叠，使点C的对应点C′落在AB上，且△ADC′恰好为直角三角形，则此时CD的长为（）A．B．C．或D．或18．如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AB＝10，BC＝6，点N是线段BC上的一个动点，将△ACN沿AN折叠，使点C落在点C'处，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为．19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点D是BC上一动点，连接AD，将△ACD 沿AD折叠，点C落在点E处，连接DE交AB于点F，当△DEB是直角三角形时，DF的长为．20．如图，在△ABC中，AC＝2，∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，将△ACB沿直线AC翻折至△ABC所在的平面内，得△ACD．过点A作AE，使∠DAE＝∠DAC，与CD的延长线交于点E，连接BE，则线段BE的长为（）A．B．3C．2D．421．如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，E是AB边的中点，F是线段BC边上的动点，将△EBF沿EF所在直线折叠得到△EB′F，连接B′D，则B′D的最小值是．22．如图，在边长为8的正方形纸片ABCD中，E是边BC上的一点，BE＝6，连结AE，将正方形纸片折叠，使点D落在线段AE上的点G处，折痕为AF，则DF的长为（）A．2B．3C．4D．523．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，AB＝3+3，点D在AB上，点E在AC上，△ADE沿DE折叠后点A恰好落在BC上的A′点，且DA′⊥BC．则A′B的长是．24．如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝8，BC＝6，点E是AD的中点，点F是AB上一动点．将△AEF沿直线EF折叠，点A落在点A'处．在EF上任取一点G，连接GC，GA'，CA’，则△CGA'的周长的最小值为．25．如图，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8．点E、F分别为边BC、AD上一点，连接EF，将矩形ABCD 沿着EF折叠，使得点A落到边CD上的点A'处，且DA'＝2A'C，则折痕EF的长度为（）A．3B．2C．D．中考专题折叠题型25道参考答案与试题解析一．试题（共25小题）1．【解答】解：由折叠知，A'E＝AE，A'B＝AB＝6，∠BA'E＝90°，∴∠BA'C＝90°，在Rt△A'CB中，A'C8，设AE＝x，则A'E＝x，∴DE＝10﹣x，CE＝A'C+A'E＝8+x，在Rt△CDE中，根据勾股定理得，（10﹣x）2+36＝（8+x）2，∴x＝2，∴AE＝2，在Rt△ABE中，根据勾股定理得，BE2，∴sin∠ABE，故答案为：．2．【解答】解：如图，连接EC，∵四边形ABCD为矩形，∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3，∵E为AD中点，∴AE＝DE AD＝6，由翻折知，△AEF≌△GEF，∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D，∴GE＝DE，∴EC平分∠DCG，∴∠DCE＝∠GCE，∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE，∴∠GEC＝∠DEC，∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC180°＝90°，∴∠FEC＝∠D＝90°，又∵∠DCE＝∠GCE，∴△FEC∽△EDC，∴，∵EC3，∴，∴FE＝2，方法二：易得△EDC≌△EGC（HL），∴CD＝CG＝3，由勾股定理可得：（FG+GC）2＝FB2+BC2，解得：FG＝2，∴AF＝2，∴EF2，故选：C．3．【解答】解：如图，过点F作FH⊥BC于H，∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ABC＝∠C＝∠D＝90°，且FH⊥BC，∴四边形ABHF是矩形，∴AB＝FH∵将矩形沿着过点E的直线翻折后，∴EC＝EC1，∠C＝∠C1＝90°，∠FEC＝∠FEC1，∠D＝∠FD1C1＝90°，∵BE＝2CE，∴BE＝2C1E，∴sin∠EBC1，∴∠EBC1＝30°，∴∠BGD1＝60°＝∠BEC1，∴∠FGE＝60°，∠FEC120°，∴∠FEG＝60°＝∠FGE，∴△FEG是等边三角形，∴EF＝GF＝GE，∵FH，FH⊥GE，∠FEG＝60°，∴HE＝1，EF＝2EH＝2，∴△EFG的周长＝3×2＝6，故选：D．4．【解答】解：∵BC＝12，点E是BC的中点，∴EC＝BE＝6，由翻折变换的性质可知，BE＝FE，∠BEA＝∠FEA，∴EF＝EC，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEA+∠FEA＝∠EFC+∠ECF，∴∠BEA＝∠ECF，∵tan∠BEA，∴tan∠ECF，故选：B．5．【解答】解：设A′B＝x，∵△ABC是等边三角形，∴∠B＝60°，∵DA′⊥BC，∴∠BDA′＝90°﹣60°＝30°，∴BD＝2A′B＝2x，由勾股定理得，A′D x，由翻折的性质得，AD＝A′D x，所以，AB＝BD+AD＝2x x＝4+2，解得x＝2，即A′B＝2．故答案为：2．6．【解答】解一：∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，由折叠的性质可得A′M＝2，∵AD∥EF，∴∠AMB＝∠A′NM，∵∠AMB＝∠A′MB，∴∠A′NM＝∠A′MB，∴A′N＝2，∴A′E＝3，A′F＝2过M点作MG⊥EF于G，∴NG＝EN＝1，∴A′G＝1，由勾股定理得MG，∴BE＝DF＝MG，∴OF：BE＝2：3，解得OF，∴OD．故选：B．解二：连接AA'．∵EN＝1，∴由中位线定理得AM＝2，∵对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，∴A'A＝A'B，∵把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点A′处，得到折痕BM，∴A'B＝AB，∠ABM＝∠A'BM，∴△ABA'为等边三角形，∴∠ABA′＝∠BA′A＝∠A′AB＝60°，又∵∠ABC＝∠BAM＝90°，∴∠ABM＝∠A'BM＝∠A'BC＝30°，∴BM＝2AM＝4，AB AM＝2CD．在直角△OBC中，∵∠C＝90°，∠OBC＝30°，∴OC＝BC•tan∠OBC＝5，∴OD＝CD﹣OC＝2．故选：B．方法3：∵N是BM中点，∴BN＝NA′，∴∠NBA′＝∠NA′B，又∵∠ABN＝∠A′BN，又∵∠BEN＝90°，∴∠ABN＝∠NBA′＝∠A′BN＝30°，又∵EN＝1，∴AM＝A′M＝2＝A′N，∴BE，AB＝DC＝2，∠OBC＝30°，BC＝5，∴OC，∴DO＝2．故选：B．7．【解答】解：设CD＝x，则AE＝x﹣1，由折叠得：CF＝BC＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝3，∠A＝90°，AB∥CD，∴∠AED＝∠CDF，∵∠A＝∠CFD＝90°，AD＝CF＝3，∴△ADE≌△FCD，∴ED＝CD＝x，Rt△AED中，AE2+AD2＝ED2，（x﹣1）2+32＝x2，x＝5，∴CD＝5，故选：B．8．【解答】解：过B′点作B′H⊥BC于H点，交CE于F点，∵矩形纸片ABCD沿CE折叠，使点B落在AD上的B′处，∴∠BCE＝∠B′CE，CB＝CB′＝10，EB＝EB′，在Rt△DCB′中，DB′8，∴AB′＝AD﹣DB′＝10﹣8＝2，在Rt△AEB′中，设EB′＝x，则BE＝x，AE＝6﹣x，∵AE2+AB′2＝EB′2，∴（6﹣x）2+22＝x2，∴x，在△BCF和△B′CF中，∴△BCF≌△B′CF，∴FB＝FB′，设B′F＝y，在Rt△BHF中，FH＝6﹣y，BH＝AB′＝2，BF＝y，∴y2＝22+（6﹣y）2，∴y，∴点F到AD的距离是．故选：C．9．【解答】解：设BF＝x，则FG＝x，CF＝4﹣x．在Rt△ADE中，利用勾股定理可得AE．根据折叠的性质可知AG＝AB＝4，所以GE4．在Rt△GEF中，利用勾股定理可得EF2＝（4）2+x2，在Rt△FCE中，利用勾股定理可得EF2＝（4﹣x）2+22，所以（4）2+x2＝（4﹣x）2+22，解得x2．则FC＝4﹣x＝6．故答案为：（6）．10．【解答】解：如图，连接ED，则Rt△ADE中，DE2，当B'在ED上时，B'D最小，在ED上截取EB'＝EB＝2，连接B'F，FD，则B'D＝ED﹣EB'＝22，设BF＝x，则B'F＝x，CF＝4﹣x，在Rt△B'FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB'2+B'F2＝DF2＝CF2+DC2，即（22）2+x2＝（4﹣x）2+42，解得x，∴Rt△BEF中，tan∠BEF．故答案为：．11．【解答】解：设AE＝x，由折叠的性质得到；BA1＝AB＝4，D1E＝DE＝7﹣x，A1E＝AE＝x，∠AEB＝∠BEA1，∠BA1E＝∠A＝90°，∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠AEB＝∠EBC，∴∠EBD1＝∠BED1，∴BD1＝ED1＝7﹣x，∴A1D1＝7﹣2x，在R t△A1BD1中，A1B2+A1D12＝BD12，即：42+（7﹣2x）2＝（7﹣x）2，解得：x，∴AE．故选：B．12．【解答】解：∵四边形ABCD为矩形，∴∠ADC＝∠C＝∠B＝90°，AB＝DC，由翻折知，△AED≌△A'ED，△A'BE≌△A'B'E，∠A'B'E＝∠B＝∠A'B'D＝90°，∴∠AED＝∠A'ED，∠A'EB＝∠A'EB'，BE＝B'E，∴∠AED＝∠A'ED＝∠A'EB180°＝60°，∴∠ADE＝90°﹣∠AED＝30°，∠A'DE＝90°﹣∠A'EB'＝30°，∴∠ADE＝∠A'DE＝∠A'DC＝30°，又∵∠C＝∠A'B'D＝90°，DA'＝DA'，∴△DB'A'≌△DCA'（AAS），∴DC＝DB'，在Rt△AED中，∠ADE＝30°，AD＝2，∴AE，设AB＝DC＝x，则BE＝B'E＝x，∵AE2+AD2＝DE2，∴（）2+22＝（x+x）2，解得，x1（负值舍去），x2，故选：A．13．【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝15，∠BAD＝∠D＝90°，∵CE＝7，∴DE＝15﹣7＝8，由折叠及轴对称的性质可知，△ABF≌△GBF，BF垂直平分AG，∴BF⊥AE，AH＝GH，∴∠BAH+∠ABH＝90°，又∵∠F AH+∠BAH＝90°，∴∠ABH＝∠F AH，在△ABF与△DAE中∴△ABF≌△DAE（ASA），∴AF＝DE＝8，BF＝AE，在Rt△ABF中，BF17，S△ABF AB•AF BF•AH，∴15×8＝17AH，∴AH，∴AG＝2AH，∵AE＝BF＝17，∴GE＝AE﹣AG＝17，故答案为：．14．【解答】解：设AB＝a，AD＝b，则ab＝32，由△ABE∽△DAB可得：，∴b a2，∴a3＝64，∴a＝4，b＝8，设P A交BD于O．在Rt△ABD中，BD12，∴OP＝OA，∴AP．故答案为．15．【解答】解：∵∠ABC＝45°，AD⊥BC于点D，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝45°，∴△ABD是等腰直角三角形，∴AD＝BD，∵BE⊥AC，∴∠GBD+∠C＝90°，∵∠EAD+∠C＝90°，∴∠GBD＝∠EAD，∵∠ADB＝∠EDG＝90°，∴∠ADB﹣∠ADG＝∠EDG﹣∠ADG，即∠BDG＝∠ADE，∴△BDG≌△ADE（ASA），∴BG＝AE＝1，DG＝DE，∵∠EDG＝90°，∴△EDG为等腰直角三角形，∴∠AED＝∠AEB+∠DEG＝90°+45°＝135°，∵△AED沿直线AE翻折得△AEF，∴△AED≌△AEF，∴∠AED＝∠AEF＝135°，ED＝EF，∴∠DEF＝360°﹣∠AED﹣∠AEF＝90°，∴△DEF为等腰直角三角形，∴EF＝DE＝DG，在Rt△AEB中，BE2，∴GE＝BE﹣BG＝21，在Rt△DGE中，DG GE＝2，∴EF＝DE＝2，在Rt△DEF中，DF DE＝21，∴四边形DFEG的周长为：GD+EF+GE+DF＝2（2）+2（21）＝32，故选：D．16．【解答】解：如图延长CD交AE于点H，作CF⊥AB，垂足为F．∵在Rt△ABC中，AC＝4，BC＝3，∴AB＝5．∵D为AB的中点，∴AD＝BD＝DC．∵AC•BC AB•CF，∴3×45×CF，解得CF．由翻折的性质可知AC＝CE，AD＝DE，∴CH⊥AE，AH＝HE．∵DC＝DB，BD•CF DC•HE，∴HE＝CF．∴AE．∵AD＝DE＝DB，∴△ABE为直角三角形．∴BE．故选：A．17．【解答】解：①如图，当∠ADC'＝90°时，∠ADC'＝∠C，∴DC'∥CB，∴△ADC'∽△ACB，又∵AC＝3，BC＝4，∴，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴，解得x，经检验：x是所列方程的解，∴CD；②如图，当∠DC'A＝90°时，∠DCB＝90°，由折叠可得，∠C＝∠DC'E＝90°，∴C'B与CE重合，由∠C＝∠AC'D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC'∽△ABC，Rt△ABC中，AB＝5，∴，设CD＝C'D＝x，则AD＝3﹣x，∴，解得x，∴CD；综上所述，CD的长为或．故选：C．18．【解答】解：①如图，当∠NC'B＝90°时，C'落在AB边上，则AC'＝AC＝8，∴BC'＝2，由△ACB∽△NC'B可得，，∴CN＝CN'；②如图，当∠NBC'＝90°时，过A作AD⊥BC'于D，由AC'＝AC＝8，AD＝BC＝6，可得C'D＝2，BC'＝8﹣2，由△ADC'∽△C'BN，可得，∴CN＝C'N（8﹣2）；综上所述，当△NC'B是直角三角形时，CN的长为或．故答案为：或．19．【解答】解：①如图1中，当∠EDB＝90°，四边形ACDE是正方形，此时CD＝AC＝6，∵BC8，∴BD＝BC﹣CD＝8﹣6＝2，∵tan∠ABC，∴，∴DF．②如图2中，当∠DEB＝90°时，AC＝AE＝6，则BE＝4，设CD＝DE＝x，在Rt△BDE中，（8﹣x）2＝x2+42，∴x＝3，综上所述，满足条件的DF的值为3或．故答案为3或．20．【解答】解：如图，延长BC交AE于H，∵∠ABC＝45°，∠BAC＝15°，∴∠ACB＝120°，∵将△ACB沿直线AC翻折，∴∠DAC＝∠BAC＝15°，∠ADC＝∠ABC＝45°，∠ACB＝∠ACD＝120°，∵∠DAE＝∠DAC，∴∠DAE＝∠DAC＝15°，∴∠CAE＝30°，∵∠ADC＝∠DAE+∠AED，∴∠AED＝45°﹣15°＝30°，∴∠AED＝∠EAC，∴AC＝EC，又∵∠BCE＝360°﹣∠ACB﹣∠ACE＝120°＝∠ACB，BC＝BC，∴△ABC≌△EBC（SAS），∴AB＝BE，∠ABC＝∠EBC＝45°，∴∠ABE＝90°，∵AB＝BE，∠ABC＝∠EBC，∴AH＝EH，BH⊥AE，∵∠CAE＝30°，∴CH AC，AH CH，∴AE＝2，∵AB＝BE，∠ABE＝90°，∴BE2，故选：C．21．【解答】解：如图所示点B′在以E为圆心EA为半径的圆上运动，当D、B′、E共线时，此时B′D的值最小，根据折叠的性质，△EBF≌△EB′F，∴EB′⊥B′F，∴EB′＝EB，∵E是AB边的中点，AB＝4，∴AE＝EB′＝2，∵AD＝6，∴DE2，∴B′D＝22．22．【解答】解：∵四边形ABCD是边长为8的正方形纸片，BE＝6，∴AB＝BC＝CD＝DA＝8，∠B＝∠D＝∠C＝90°，∴AE10，CE＝BC﹣BE＝8﹣6＝2，由翻折可知：DF＝FG，AG＝AD＝8，∠AGF＝∠D＝90°，∴EG＝AE﹣AG＝10﹣8＝2，∵FC＝DC﹣DF＝8﹣DF，在Rt△FGE和Rt△FCE中，FG2+GE2＝FC2+EC2，∴DF2+22＝（8﹣DF）2+22，解得DF＝4．故选：C．23．【解答】解：设A′B＝x，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B＝45°，∵DA′⊥BC，∴∠BDA′＝90°﹣45°＝45°，∴BD A′B x，∴A′D＝A′B＝x，由翻折的性质得，AD＝A′D＝x，所以，AB＝BD+AD x+x＝3+3，解得x＝3，即A′B＝3．故答案为：3．24．【解答】解：如图，当点F固定时，连接AC交EF于G，连接A′G，此时△A′GC的周长最小，最小值＝A′G+GC+CA′＝GA+GC+CA′＝AC+CA′．∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝90°，AD＝BC＝6，CD＝AB＝8，∴AC10，∴△A′CG的周长的最小值＝10+CA′，当CA′最小时，△CGA′的周长最小，∵AE＝DE＝EA′＝3，∴CE，∵CA′≥EC﹣EA′，∴CA′3，∴CA′的最小值为3，∴△CGA′的周长的最小值为7，故答案为：7．25．【解答】解：如图，过点E作EM⊥AD，垂足为M，∵DA'＝2A'C，DC＝6，∵DA'DC＝4，A'C DC＝2，由折叠得，AF＝F A′，AB＝A′B′＝6，设DF＝x，则F A＝F A′＝8﹣x，在Rt△DF A′中，由勾股定理得，x2+42＝（8﹣x）2，解得x＝3，即DF＝3，∴F A＝F A′＝8﹣3＝5，∵∠NA′C+∠DA′F＝180°﹣90°＝90°，∠NA′C+∠A′NC＝90°，∴∠DA′F＝∠A′NC，∴∠C＝∠D＝90°，∴△A′NC∽△F A′D，∴，即，解得NC，A′N，∴B′N＝A′B′﹣A′N＝6NC，∴△A′CN≌△ENB′（AAS），∴EN＝A′N，∴EC＝EN+NC6＝MD，∴MF＝6﹣3＝3，在Rt△EFM中，EF3，故选：A．。

中考数学专题训练：图形的折叠问题(附参考答案)

中考数学专题训练：图形的折叠问题（附参考答案）1．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AD＝5，OA∶OD＝1∶4，将矩形ABCD沿直线OE折叠到如图所示的位置，线段OD1恰好经过点B，点C落在y轴的点C1处，则点E的坐标是( )A．(1，2) B．(－1，2)C．(√5－1，2) D．(1－√5，2)2．如图，将矩形纸条ABCD折叠，折痕为EF，折叠后点C，D分别落在点C′，D′处，D′E与BF交于点G.已知∠BGD′＝30°，则∠α的度数是( )A．30°B．45°C．74°D．75°3．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝2√5，E是BC的中点，将△ABE沿直线AE翻折，点B落在点F处，连接CF，则cos ∠ECF的值为( )A．23B．√104C．√53D．2√554．把一张矩形纸片ABCD按如图所示方法进行两次折叠，得到等腰直角三角形BEF.若BC＝1，则AB的长度为( )A．√2B．√2+12C．√5+12D．435．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，点D，E分别在AB，AC 上，连接DE，将△ADE沿DE翻折，使点A的对应点F落在BC的延长线上．若FD平分∠EFB，则AD的长为( )A．259B．258C．157D．2076．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝CB＝3，点D在边BC上．将△ACD沿AD折叠，使点C落在点C′处，连接BC′，则BC′的最小值为__________．7．如图，在Rt△ABC纸片中，∠ACB＝90°，CD是边AB上的中线，将△ACD沿CD折叠，当点A落在点A′处时，恰好CA′⊥AB.若BC＝2，则CA′＝_______．8．如图，点E在矩形ABCD的边CD上，将△ADE沿AE折叠，点D恰好落在边BC 上的点F处．若BC＝10，sin ∠AFB＝45，则DE＝_____．9．如图，在扇形AOB中，点C，D在AB⏜上，将CD⏜沿弦CD折叠后恰好与OA，OB 相切于点E，F.已知∠AOB＝120°，OA＝6，则EF⏜的度数为________；折痕CD 的长为_______．10．如图，在矩形ABCD中，AB＝5，AD＝4，M是边AB上一动点(不含端点)，将△ADM沿直线DM对折，得到△NDM.当射线CN交线段AB于点P时，连接DP，则△CDP的面积为______；DP的最大值为_______．11．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，AD＝√7，动点P在矩形的边上沿B→C→D →A运动．当点P不与点A，B重合时，将△ABP沿AP对折，得到△AB′P，连接CB′，则在点P的运动过程中，线段CB′的最小值为_________．12．如图，DE平分等边三角形ABC的面积，折叠△BDE得到△FDE，AC分别与DF，EF相交于G，H两点．若DG＝m，EH＝n，用含m，n的式子表示GH的长是______．13．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE∥BC交AC于点E，将△DEC沿DE折叠得到△DEF，DF交AC于点G.若AGGE ＝73，则tan A＝______．14．如图，在等边三角形ABC中，过点C作射线CD⊥BC，点M，N分别在边AB，BC上，将△ABC沿MN折叠，使点B落在射线CD上的点B′处，连接AB′，已知AB＝2.给出下列四个结论：①CN＋NB′为定值；②当BN＝2NC时，四边形BMB′N为菱形；③当点N与C重合时，∠AB′M＝18°；④当AB′最短时，MN＝7√21.20其中正确的结论是__________．(填序号)15．将一个矩形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，点O(0，0)，点A(3，0)，点C(0，6)，点P在边OC上(点P不与点O，C重合)，折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点P，并与x轴的正半轴相交于点Q，且∠OPQ＝30°，点O的对应点O′落在第一象限．设OQ＝t.(1)如图1，当t＝1时，求∠O′QA的大小和点O′的坐标；(2)如图2，若折叠后重合部分为四边形，O′Q，O′P分别与边AB相交于点E，F，试用含有t的式子表示O′E的长，并直接写出t的取值范围；(3)若折叠后重合部分的面积为3√3，则t的值可以是__________________________________________．(请直接写出两个不同．．．．的值即可)16．如图，已知△ABC，AB＝AC，BC＝16，AD⊥BC，∠ABC的平分线交AD于点E，且DE＝4.将∠C沿GM折叠使点C与点E恰好重合．下列结论正确的有________．(填序号)①BD＝8；②点E到AC的距离为3；③EM＝103；④EM∥AC.17．综合与实践课上，老师让同学们以“正方形的折叠”为主题开展数学活动，有一位同学操作过程如下：操作一：对折正方形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展平；操作二：在AD上选一点P，沿BP折叠，使点A落在正方形内部点M处，把纸片展平，连接PM，BM，延长PM交CD于点Q，连接BQ.(1)如图1，当点M在EF上时，∠EMB＝________；(填度数)(2)改变点P在AD上的位置(点P不与点A，D重合)如图2，判断∠MBQ与∠CBQ 的数量关系，并说明理由．参考答案1.D 2．D 3．C 4．A 5．D6. 3√2－3 7．2√3 8．5 9．60°4√6 10．10 2√511．－2 12．√m2+n2 13．3√7714．①②④15．(1)∠O′QA＝60°点O′的坐标为(32，√32)(2)O′E＝3t－6，其中t的取值范围是2<t<3 (3)3或103(答案不唯一，满足3≤t<2√3即可) 16．①④17．(1)30°(2)∠MBQ＝∠CBQ，理由略。

初三复习数学几何中折叠问题 4大类分类含答案

初中数学中的折叠问题折叠问题（对称问题）是近几年来中考出现频率较高的一类题型，学生往往由于对折叠的实质理解不够透彻，导致对这类中档问题失分严重。

本文试图通过对在初中数学中经常涉及到的几种折叠的典型问题的剖析，从中抽象出基本图形的基本规律，找到解决这类问题的常规方法。

其实对于折叠问题，我们要明白：1、折叠问题（翻折变换）实质上就是轴对称变换．2、折叠是一种对称变换，它属于轴对称．对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．3、对于折叠较为复杂的问题可以实际操作图形的折叠，在画图时，画出折叠前后的图形，这样便于找到图形之间的数量关系和位置关系．4、在矩形（纸片）折叠问题中，重合部分一般会是一个以折痕为底边的等腰三角形5、利用折叠所得到的直角和相等的边或角，设要求的线段长为x，然后根据轴对称的性质用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求解．一、矩形中的折叠1．将一张长方形纸片按如图的方式折叠，其中BC，BD为折痕，折叠后BG和BH在同一条直线上，∠CBD= 度．BC、BD是折痕，所以有∠ABC = ∠GBC，∠EBD = ∠HBD则∠CBD = 90°折叠前后的对应角相等2．如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．沿BC折叠，顶点落在点A’处，根据对称的性质得到BC垂直平分AA’，即AF = 12AA’，又DE∥BC，得到△ABC ∽△ADE，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求出三角形ADE的面积= 24对称轴垂直平分对应点的连线3．如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，AD=3，折叠纸片使AD 边与对角线BD 重合，得折痕DG ，求AG 的长．由勾股定理可得BD = 5，由对称的性质得△ADG ≌ △A ’DG ，由A ’D = AD = 3，AG ’ = AG ，则A ’B = 5 – 3 = 2，在Rt △A ’BG 中根据勾股定理，列方程可以求出AG 的值根据对称的性质得到相等的对应边和对应角，再在直角三角形中根据勾股定理列方程求解即可4．把矩形纸片ABCD 沿BE 折叠，使得BA 边与BC 重合，然后再沿着BF 折叠，使得折痕BE 也与BC 边重合，展开后如图所示，则∠DFB 等于（）根据对称的性质得到∠ABE=∠CBE ，∠EBF=∠CBF ，据此即可求出∠FBC 的度数，又知道∠C=90°，根据三角形外角的定义即可求出∠DFB = 112.5°注意折叠前后角的对应关系5．如图，沿矩形ABCD 的对角线BD 折叠，点C 落在点E 的位置，已知BC=8cm ，AB=6cm ，求折叠后重合部分的面积． ∵点C 与点E 关于直线BD 对称，∴∠1 = ∠2 ∵AD ∥BC ，∴∠1 = ∠3∴∠2 = ∠3 ∴FB = FD设FD = x ，则FB = x ，FA = 8 – x在Rt △BAF 中，BA 2 + AF 2 = BF 2∴62 + (8 - x)2 = x 2 解得x = 254所以，阴影部分的面积S △FBD = 12 FD ×AB = 12 ×254 ×6 = 754cm2重合部分是以折痕为底边的等腰三角形6．将一张矩形纸条ABCD 按如图所示折叠，若折叠角∠FEC=64°，则∠1= 度；△EFG 的形状三角形．∵四边形CDFE 与四边形C ’D ’FE 关于直线EF 对称∴∠2 = ∠3 = 64°∴∠4 = 180° - 2 × 64° = 52° ∵AD ∥BC321F E D C B A54132G D‘FC‘DAGA'CA B D∴∠1 = ∠4 = 52°∠2 = ∠5又∵∠2 = ∠3∴∠3 = ∠5∴GE = GF∴△EFG是等腰三角形对折前后图形的位置变化，但形状、大小不变，注意一般情况下要画出对折前后的图形，便于寻找对折前后图形之间的关系，注意以折痕为底边的等腰△GEF7．如图，将矩形纸片ABCD按如下的顺序进行折叠：对折，展平，得折痕EF（如图①）；延CG折叠，使点B落在EF上的点B′处，（如图②）；展平，得折痕GC（如图③）；沿GH折叠，使点C落在DH上的点C′处，（如图④）；沿GC′折叠（如图⑤）；展平，得折痕GC′，GH（如图⑥）．（1）求图②中∠BCB′的大小；（2）图⑥中的△GCC′是正三角形吗？请说明理由．（1）由对称的性质可知：B’C=BC，然后在Rt△B′FC中，求得cos∠B’CF= 12，利用特殊角的三角函数值的知识即可求得∠BCB’= 60°；（2）首先根据题意得：GC平分∠BCB’，即可求得∠GCC’= 60°，然后由对称的性质知：GH是线段CC’的对称轴，可得GC’= GC，即可得△GCC’是正三角形．理清在每一个折叠过程中的变与不变8．如图，正方形纸片ABCD的边长为8，将其沿EF折叠，则图中①②③④四个三角形的周长之和为四边形BCFE与四边形B′C′FE关于直线EF对称，则①②③④这四个三角形的周长之和等于正方形ABCD的周长折叠前后对应边相等9．如图，将边长为4的正方形ABCD沿着折痕EF折叠，使点B落在边AD的中点G处，求四边形BCFE的面积设AE = x，则BE = GE = 4 - x，在Rt△AEG中，根据勾股定理有：AE2 + AG2 = GE2即：x2 + 4 = (4 - x)2解得x = 1.5，BE = EG = 4 – 1.5 = 2.5∵∠1 + ∠2 = 90°，∠2 + ∠3 = 90°∴∠1 = ∠3又∵∠A = ∠D = 90°∴△AEG ∽△DGP∴AEDG=EGGP，则1.52=2.5GP，解得GP =103PH = GH – GP = 4 - 103=23∵∠3 = ∠4，tan∠3 = tan∠1 = 3 4∴tan∠4 = 34，FHPH=34，FH =34×PH =34×23=12∴CF = FH = 1 2∴S梯形BCFE = 12(12+52)×4 = 6注意折叠过程中的变与不变，图形的形状和大小不变，对应边与对应角相等10．如图，将一个边长为1的正方形纸片ABCD折叠，使点B落在边AD上不与A、D 重合．MN为折痕，折叠后B’C’与DN交于P．(1)连接BB’，那么BB’与MN的长度相等吗？为什么？(2)设BM=y，AB’=x，求y与x的函数关系式；(3)猜想当B点落在什么位置上时，折叠起来的梯形MNC’B’面积最小？并验证你的猜想．(1)BB’ = MN过点N作NH∥BC交AB于点H），证△ABB’≌△HNM(2)MB’ = MB = y，AM = 1 – y，AB’ = x在Rt△ABB’中BB’ = AB2 + AB'2= 1 + x2因为点B与点B’关于MN对称，所以BQ = B’Q，则BQ = 12 1 + x2由△BMQ∽△BB’A得BM×BA = BQ×BB’PC'NB CA DMB'QPHC'NB CA DMB'∴y = 12 1 + x2× 1 + x2=12(1 + x2)(3) 梯形MNC′B′的面积与梯形MNCB的面积相等由(1)可知，HM = AB’ = x，BH = BM – HM = y – x，则CN = y - x∴梯形MNCB的面积为：12(y – x + y) ×1 = 12(2y - x)= 12(2×12(1 + x2) – x)= 12(x -12)2 +38当x = 12时，即B点落在AD的中点时，梯形MNC’B’的面积有最小值，且最小值是38二、纸片中的折叠11．如图，有一条直的宽纸带，按图折叠，则∠α的度数等于（）∵∠α= ∠1，∠2 = ∠1∴∠α= ∠2∴2∠α+∠ABE=180°，即2∠α+30°=180°，解得∠α=75°．题考查的是平行线的性质，同位角相等，及对称的性质，折叠的角与其对应角相等，和平角为180度的性质，注意△EAB是以折痕AB为底的等腰三角形12．如图，将一宽为2cm的纸条，沿BC，使∠CAB=45°，则后重合部分的面积为作CD⊥AB，∵CE∥AB，∴∠1=∠2，根据翻折不变性，∠1=∠BCA，故∠2=∠BCA．∴AB=AC．又∵∠CAB=45°，∴在Rt△ADC中，AC = 2 2 ，AB = 2 2S△ＡＢＣ＝12AB×CD = 2 2a2130°BEFACD在折叠问题中，一般要注意折叠前后图形之间的联系，将图形补充完整，对于矩形（纸片）折叠，折叠后会形成“平行线+角平分线”的基本结构，即重叠部分是一个以折痕为底边的等腰三角形ABC13．将宽2cm 的长方形纸条成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是如图，作QH ⊥PA ，垂足为H ，则QH=2cm ，由平行线的性质，得∠DPA=∠PAQ=60° 由折叠的性质，得∠DPA =∠PAQ ， ∴∠APQ=60°，又∵∠PAQ=∠APQ=60°， ∴△APQ 为等边三角形，在Rt △PQH 中，sin ∠HPQ = HQPQ∴32 = 2PQ ，则PQ = 433注意掌握折叠前后图形的对应关系．在矩形（纸片）折叠问题中，会出现“平行线+角平分线”的基本结构图形，即有以折痕为底边的等腰三角形APQ14．如图a 是长方形纸带，∠DEF=20°，将纸带沿EF 折叠成图b ，再沿BF 折叠成图c ，则图c 中的∠CFE 的度数是（）图c 图b图aCDGFEC GDFEFBCAEBB∵AD ∥BC ，∴∠DEF=∠EFB=20°，在图b 中，GE = GF ，∠GFC=180°-2∠EFG=140°，在图c 中∠CFE=∠GFC-∠EFG=120°，本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变．由题意知∠DEF=∠EFB=20°图b ∠GFC=140°，图c 中的∠CFE=∠GFC-∠EFG15．将一张长为70 cm 的长方形纸片ABCD ，沿对称轴EF 折叠成如图的形状，若折叠后，AB 与CD 间的距离为60cm ，则原纸片的宽AB 是（）设AB=xcm ．右图中，AF = CE = 35，EF = x根据轴对称图形的性质，得AE=CF=35-x （cm ）．则有2（35-x ）+x=60， x=10．16．一根30cm 、宽3cm 的长方形纸条，将其按照图示的过程折叠（阴影部分表示纸条的反面），为了美观，希望折叠完成后纸条两端超出点P 的长度相等，则最初折叠时，求MA 的长将折叠这条展开如图，根据折叠的性质可知，两个梯形的上底等于纸条宽，即3cm ，下底等于纸条宽的2倍，即6cm ，两个三角形都为等腰直角三角形，斜边为纸条宽的2倍，即6cm ，故超出点P 的长度为（30-15）÷2=7.5， AM=7.5+6=13.5GEFD AE FD B C A B C 60cm三、三角形中的折叠17．如图，把Rt △ABC （∠C=90°），使A ，B 两点重合，得到折痕ED ，再沿BE 折叠，C 点恰好与D 点重合，则CE ：AE=18．在△ABC 中，已知AB=2a ，∠A=30°，CD 是AB 边的中线，若将△ABC 沿CD 对折起来，折叠后两个小△ACD 与△BCD 重叠部分的面积恰好等于折叠前△ABC 的面积的14 ．（1）当中线CD 等于a 时，重叠部分的面积等于；（2）有如下结论（不在“CD 等于a ”的限制条件下）：①AC 边的长可以等于a ；②折叠前的△ABC 的面积可以等于32a 2；③折叠后，以A 、B 为端点的线段AB 与中线CD 平行且相等．其中，结论正确（把你认为正确结论的代号都填上，若认为都不正确填“无”）． (1)∵CD = 12 AB∴∠ACB = 90°∵AB = 2a ，BC = a ，∴AC = 3a ∴S △ABC = 12 ×AC ×BC = 32a 2∴重叠部分的面积为：14×32a 2 = 38a 2(2)若AC = a ，如右图∵AD = a ，∴∠2 = 180°- 30°2 = 75°∠BDC = 180°- 75°= 105° ∴∠B'DC = 105°∴∠3 = 105°- 75°= 30° ∴∠1 = ∠3 ∴AC ∥B'D∴四边形AB'DC 是平行四边形∴重叠部分△CDE 的面积等于△ＡＢＣ的面积的14若折叠前△ABC 的面积等于32a 2 过点C 作CH ⊥AB 于点H ，则 12 ×AB ×CH = 32a 2 B'CDAB231EB'CDBACH =32a 又tan ∠1 =CH AH∴AH = 32a∴BH = 12a则tan ∠B =CHBH，得∠B = 60° ∴△CBD 是等边三角形 ∴∠2 = ∠4∴∠3 = ∠4，AD ∥CB 2又CB 2 = BC = BD = a ，∴CB 2 = AD ∴四边形ADCB 2是平行四边形则重叠部分△CDE 的面积是△ABC 面积的14(3)如右图，由对称的性质得，∠3 = ∠4，DA = DB 3 ∴∠1 = ∠2又∵∠3 + ∠4 = ∠1 +∠2 ∴∠4 = ∠1 ∴AB 3∥CD注意“角平分线+等腰三角形”的基本构图，折叠前后图形之间的对比，找出相等的对应角和对应边19．在△ABC 中，已知∠A=80°，∠C=30°，现把△CDE 沿DE 进行不同的折叠得△C ′DE ，对折叠后产生的夹角进行探究：（1）如图（1）把△CDE 沿DE 折叠在四边形ADEB 内，则求∠1+∠2的和；（2）如图（2）把△CDE 沿DE 折叠覆盖∠A ，则求∠1+∠2的和；（3）如图（3）把△CDE 沿DE 斜向上折叠，探求∠1、∠2、∠C 的关系．（1）根据折叠前后的图象全等可知，∠1=180°-2∠CDE ，∠2=180°-2∠CED ，再根据三角形内角和定理比可求出答案；（2）连接DG ，将∠ADG+∠AGD 作为一个整体，根据三角形内角和定理来求；3241EHB 2DABC3412B 3DA BC在第一次折叠中可得到∠EAD = ∠FAD在第二次折叠中可得到EF是AD的垂直平分线，则AD⊥EF∴∠AEF = ∠AFE∴△AEF是等腰三角形(1)由折叠可知∠AEB = ∠FEB，∠DEG = ∠BEG而∠BEG = 45°+ ∠α因为∠AEB + ∠BEG + ∠DEG = 180°所以 45°+ 2（45°+∠α）= 180°∠α = 22.5°由于角平分线所在的直线是角的对称轴，所以在三角形中的折叠通常都与角平分线有关。

2025年四川省聚焦中考数学必备考点透析-第7章图形及其变化微专题六图形的折叠问题

故 CE 的长为3.
答案：3
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5
方法点拨：解决三角形折叠问题的技巧主要包括利用轴对称及全等
的性质、勾股定理的应用、方程思想的运用以及数形结合的方法.这些技
巧不仅适用于解决折叠问题中的线段长度求解，还有助于理解和分析折
叠问题中的几何关系和变化规律.
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6
【热身演练1】
（2023·凉山中考）如下图，在Rt△ ABC 纸片中，∠ ACB ＝90°， CD 是
涉及如何利用折叠前后图形的全等性、对称轴的性质以及如何通过构造
直角三角形和利用勾股定理来解决问题，而且是培养空间想象能力的好
题材，也是中考命题的热点.
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3
专题讲练
（2024·甘孜中考）如下图，在Rt△ ABC 中，∠ C ＝90°， AC
＝8， BC ＝4，折叠△ ABC ，使点 A 与点 B 重合，折痕 DE 与 AB 交于点
处，则 cos ∠ CEF 的值为（）
例3
A.
7
4
B.
7
3
3
C.
4
5
D.
4
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15
分析：∵四边形 ABCD 是矩形，
∴ AD ＝ BC ＝8，∠ B ＝∠ C ＝∠ D ＝90°，
∴∠ CEF ＋∠ EFC ＝90°.
∵把△ ADE 沿 AE 折叠，点 D 恰好落在 BC 边上的点 F 处，
∴ AF ＝ AD ＝8，∠ AFE ＝∠ D ＝90°，

∴ EF ＝ BD ＝ ×8＝4.∵ EF ⊥ AO ，∴∠ OME ＝90°，∴ S△ OEF ＝

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O
B
F
思路1：利用菱形 AFCE,列方程解。
C
思路2：用相似三角形解
A
E
D
5．已知：如图，矩形
ABCD，长AD为4cm ,
宽AB为3cm，若使相
O
对两顶点重合，把纸
对折，则折痕EF长为 cm.
B
F
C
解1：仿照引例证明四边形AFCE是菱形
在Rt△ABF中 AB²+BF²=AF²
设AF=x=FC,则BF=4-x
中考总复习专题 -----折叠问题
张文明
由于目前中考中出现的折叠问题主要集中在矩形折叠上，我们今天就以矩形为主来研究一下折叠问题的解决方法。
矩形的三类折叠问题：
第一类：沿对角线折叠第二类：相对顶点重合
第三类：其他
1.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线折叠，使点B落在点E处，求证：AF=CF,EF=DF
BD=4 5 ，DF=2 5
AB=4, AD=8
叠后，△BC’D和△BCD关于直线
BD对称， ∴∠DBC =∠EBD
∴EF:4=2 5 ：8， EF= 5
∴∠EBD=∠EDB ∴BE=ED ∴BF=FD
∴S△BDE=10
∵∠EFD=∠BAD=90° ∠EDF=∠BDA
返回
∴△DEF∽△DBA
由以上四道题，我们可以得到：
的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC
分别交于E、F，求证：四边形AFCE是
菱形。（第二册几何课本152页例5；
2001，北京东城）
A
E
D
O
BF
C
引例：已知：如图，平行四
A
E
边形ABCD的对角线AC的垂
D
直平分线与边AD、BC分别
交于E、F，求证：四边形
O
AFCE是菱形形ABCD是平行四边形
A.等腰三角形
B.等边三角形
C.等腰直角三角形
D.直角三角形
7．如图，有一块面积为1的正方形ABCD， M、N分别为AD、BC边上中点，将C点折至MN上，落在P点位置，折痕为BQ，连结PQ. (1) 求MP （2）求证：以PQ为边长的正方形面积等于三分之一。（1996，宁夏）
对于第一类的折叠问题常有：（1）图形中含有一个等腰三角形
（2）常常利用矩形的对边平行且相等
和矩形折叠形成的直角三角形来综合解题
（3）前三道题的结论可以推广到平行四边形上
（4）这类折叠问题的常用图形： C'
常有结论：
AE
D
①△BED是等腰三角形
② △AEB≌△C’ED
△ABD≌△CDB
B
C
④相等的角：
使C落在C’处，BC’交AD于
E ,AD=8,AB=4.求△BED面积。（2000，
山西）
C'
分析：
思路1：视ED为底，
E
A
AB为高，则求ED.
D
F
思路2：视BD为底，
作EF⊥BD于F.
B
C 求BD、EF.
4．已知：将矩形ABCD沿着
C'
直线BD折叠，使C落在C’处，
E
BC’交AD于E ,AD=8,AB=4.
△BCD≌△BC’D
C
△ABD≌△C’DB
3．将矩形ABCD沿着对角线BD折叠，使点C落在C’处，BC’交AD于E, 下列结论不一定成立的是（） A.AD=BC’ B.∠EBD=∠EDB C.△ABE∽△CBD D.sin∠ABE= AE (2001,黑龙江）
ED
C'
AE
D
B
C
4．已知：将矩形ABCD沿着直线BD折叠，
由勾股定理AC=5,OC=
5 2
，则OF=
15 8
易证OF=OE,∴EF=2OF=
15 4
cm
第二类折叠问题中常有：
（1）图形中常含有菱形，有对角线与折痕的互相垂直平分。
（2）这类题常用直角三角形勾股定理或三角形相似。
6。如图，把矩形ABCD纸对折，设这痕为MN，再把B点折在折痕线MN上，得到Rt△ABE,沿着EB线折叠所得到的 △EAF是（）（第二册几何182页想一想）
∴ AE∥FC ∴ ∠EAO=∠FCO 又 ∠AOE=∠COF
又 EF⊥AC ∴四边形AFCE是菱形
AO=CO
∴△AOE≌△COF
∴EO=FO
∴四边形AFCE是平行四边形
5．已知：如图，矩形ABCD，长AD为 4cm ,宽AB为3cm，若使相对两顶点重合，把纸对折，则折痕EF长为 cm.
A
E D 分析：
∴BE=ED 在△ABE中，BE2=AB²+AE2
返回
4．已知：将矩形ABCD沿着
E C'
A 直线BD折叠，使C落在C’处，
BC’交AD于E ,AD=8,AB=4.
D
求△BED面积。（2000，山
西）
B
解二：作EF⊥BD于F
F
C
在矩形ABCD中 AD ∥ BC ∴EF:AB=DF:AD
∴∠DBC=∠EDB 当矩形ABCD沿着直线BD折
△BCD≌△BC’D ∠EBD=∠DBC=∠EDB,∠A
△ABD≌△C’DB BC’=∠C’DE,∠C’DB=
③相等的线段:
∠CDB=∠ABD
AE=C’E,BC’=BC=
AD,AB=CD=C’D,BE
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第二类相对顶点重合
这类折叠问题的基本图形：
A
ED
O
BF
C
引例：已知：如图，平行四边形ABCD
∴AF=CF ∵∠AFE=∠CFD
∴ △AEF≌ △CDF
∴ EF=DF
2.图中的△BDC’是将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠得到，图中（包括实线、虚线在内）共有全等三角形（） A.2 对 B.3对 C.4对 D.5对（2001，呼和浩特）
C'
E
A
B
D
△AEB≌△C’ED
△ABD≌△CDB
A
D
求△BED面积。（2000，山
西）
解一：在矩形ABCD中 AD ∥ BC B
C
∴∠DBC=∠EDB
设ED=EB=x,则AE=8-x
当矩形ABCD沿着直线BD
折
叠后，△BC’D和
△BCD关于直线BD对称，
∴∠DBC =∠EBD
∴∠EBD=∠EDB
x²=4²+（8-x)²
解得 x=5 即ED=5 ∴S△BED= 12ED∙AB=10
∴3²+（4-x)²=x²
解得：x=
25 8
∴ EF=2OF=2×
15
OA=
= 15
5 2
cm
84
返回
A
E
D
O
B
F
C
解2：当矩形沿EF折叠后点A与点C重合，即点A、
点C关于EF对称，所以EF垂直平分AC,则
∠FOC=∠ABC=90°， ∠ACB=∠FCO
∴△FOC∽△ABC ∴FO:OC=AB:BC=3:4
解答
1.如图，将矩形纸片ABCD沿对
角线折叠，使点B落在点E处，
A
求证：AF=CF,EF=DF
E F D
B
C
解：∵△ABC和△AEC关于折痕AC对称
∴ ∠ACE=∠ACB,△ABC≌△AEC
∴AE=AB, ∠B=∠E
在矩形ABCD中，AD∥BC,AB=CD,∠B=∠D
∴∠FAC=∠ACF=∠ACB,AE=CD,∠E=∠D