山东省201X中考数学 第三章 函数 第六节 二次函数的综合应用课件

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(1)求点A，B，C的坐标； (2)点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A， B，E，F为顶点的平行四边形的面积； (3)此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三 角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
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【分析】 (1)分别令x＝0，y＝0，求解即可； (2)分点E在x轴上方和x轴下方两种情况讨论； (3)分MA＝MC，MC＝AC，MA＝AC三种情况讨论即可．
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(1)求抛物线的解析式； (2)求点A到直线CD的距离； (3)平移抛物线，使抛物线的顶点P在直线CD上，抛物线与直线CD的另一个交点 为Q，点G在y轴正半轴上，当以G，P，Q三点为顶点的三角形为等腰直角三角形 时，求出所有符合条件的G点的坐标．
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解：(1)直线y＝2x－1，当x＝0时，y＝－1， 则点C坐标为(0，－1)． 设抛物线的解析式为y＝ax2＋bx＋c. ∵点A(－1，0)，B(1，0)，C(0，－1)在抛物线上，
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②如果MC＝AC，则MC＝2 . 如图，过点C作CN∥x轴，交对称轴于点N，则N的坐标为 (－1，2)．
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∴NC＝1，NC⊥MN.
在Rt△CMN中，NC＝1，MC＝2 ，
化简得x2－(2t＋2)x＋t2＋2t＝0， 解得x1＝t，x2＝t＋2，即点P，Q的横坐标相差2，
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△GPQ为等腰直角三角形，可能有以下情形：
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①若点P为直角顶点，如图1， 则PG＝PQ＝
∴OG＝CG－OC＝10－1＝9， ∴G(0，9)．
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②若点Q为直角顶点，如图2， 则QG＝PQ＝ 同理可得G(0，9)． ③若点G为直角顶点，如图3，分别过点P，Q作y轴的垂线， 垂足分别为点M，N. 此时PQ＝ ，则GP＝GQ＝
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【分析】 (1)利用待定系数法可求得直线解析式； (2)利用相似三角形的判定与性质可得到d与x的函数关系 式，结合二次函数的性 质可得点P的坐标； (3)先确定点E的位置，再利用(2)中的结论解答即可．
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【自主解答】 (1)∵y＝kx＋b经过A(－4，0)，B(0，3)，
∴直线的函数解析式为y＝ x＋3.
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②如果E在x轴的下方，则EF∥AB，EF＝AB＝6，点F的横坐标为－1， ∴E的横坐标为－1±6，即－7或5，
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(3)抛物线的对称轴为x＝－1，AC＝ ①如果MA＝MC，则M为直线x＝－1与AC的垂直平分线的 交点． 设AC的中点为H，连接OH，
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则H的坐标是(1，1)， ∴直线OH的解析式为y＝x. ∵OA＝OC，H为AC的中点， ∴OH为AC的垂直平分线， 又∵M为直线x＝－1与y＝x的交点， ∴M的坐标为(－1，－1)．
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∴P(1，1)，即OM＝1， ∴OG＝OM＋GM＝OM＋NQ＝1＋3＝4， ∴G(0，4)． 综上所述，符合条件的点G有两个，其坐标为(0，4)或(0，9)．
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考点二 图形面积问题 例2 (2016·滨州中考)如图，已知抛物线y＝ 与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C.
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(2)如图，过点P作PH⊥AB于点H，过点H作x轴的平行线MN，分别过点A，P作 MN的垂线段，垂足分别为M，N.
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设H(m， m＋3)，则M(－4， m＋3)，N(x， P(x，－x2＋2x＋1)． ∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°. ∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°， ∴∠MAH＝∠PHN. ∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP.
m＋3)，
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精选的 对称点C′，过点C′作C′F⊥AB于F，交抛物线的对称轴 x＝1于点E，此时CE＋CF的值最小． 根据对称性，易知点C′(2，1)． ∵点C′在抛物线上， ∴由(2)得，C′F＝ 即CE＋EF的最小值为
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1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点 A(－1，0)和点B(1，0)，直线y＝2x－1与y轴交于点C， 与抛物线交于点C，D.
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【自主解答】 (1)令 得x＝2或x＝－4； 令x＝0，得y＝2. ∴点A，B，C的坐标分别为(2，0)，(－4，0)，(0，2)．
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(2)设抛物线的对称轴交x轴于点D，则D是AB的中点． ①如果E在x轴的上方，则AB和EF是平行四边形的对角线， D是对角线的中点， ∴D，E，F在一条直线上，E为抛物线的顶点， ∴E点坐标为(－1， )， ∴S▱AEBF＝2S△AEB＝
∴抛物线的解析式为y＝x2－1.
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(2)直线y＝2x－1，当y＝0时，x＝ . 如图，过点A作AF⊥CD于点F.设直线CD交x轴于点E， 则E( ，0)．
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(3)∵平移后抛物线的顶点P在直线y＝2x－1上， ∴设P(t，2t－1)， 则平移后抛物线的解析式为y＝(x－t)2＋2t－1. 联立
易证Rt△PMG≌Rt△GNQ，
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∴GN＝PM，GM＝QN.
在Rt△QNG中，由勾股定理得GN2＋QN2＝GQ2，
即PM2＋QN2＝10. ∵点P，Q横坐标相差2，∴NQ＝PM＋2， ∴PM2＋(PM＋2)2＝10，解得PM＝1， ∴NQ＝3. 直线y＝2x－1，当x＝1时，y＝1，
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考点一 线段、周长问题 例1 (2017·滨州中考)如图，直线y＝kx＋b(k，b为常数)分别与x轴、y轴交于点 A(－4，0)，B(0，3)，抛物线y＝－x2＋2x＋1与y轴交于点C.
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(1)求直线y＝kx＋b的函数解析式； (2)若点P(x，y)是抛物线y＝－x2＋2x＋1上的任意一点，设点P到直线AB的距离为 d，求d关于x的函数解析式，并求d取最小值时点P的坐标； (3)若点E在抛物线y＝－x2＋2x＋1的对称轴上移动，点F在直线AB上移动，求CE ＋EF的最小值．