四点共圆判定定理ppt课件
《四点共圆的条件》课件
如何证明四点共圆
01
02
03
塞瓦定理证明法
利用塞瓦定理的逆定理， 通过证明三点共线，进而 证明四点共圆。
反证法
假设四点不共圆，然后通 过一系列逻辑推理，最终 得出矛盾，从而证明四点 必定共圆。
相似三角形法
通过构建相似三角形，利 用相似三角形的性质来证 明四点共圆。
四点共圆的性质与实际应用
性质总结
要点一
总结词
要点二
详细描述
实际应用中的四点共圆问题主要涉及到几何图形在生活中 的实际应用，如建筑、机械等领域。
在建筑设计中，经常需要用到四点共圆的知识来确定建筑 物的位置和角度。在机械设计中，四点共圆的知识也被广 泛应用，例如在齿轮的设计中，需要用到四点共圆的知识 来确定齿轮的位置和角度。此外，在电路板的设计中，也 需要用到四点共圆的知识来确定元件的位置和角度。
02
四点共圆的条件
圆上三点确定一个圆的定理
总结词
三点确定一个圆的定理
详细描述
在平面几何中，任意三个不共线的点可以确定一个唯一的圆，该圆通过这三个点 。这个定理是几何学中一个基本且重要的定理，是研究圆和点关系的基础。
圆内接四边形的性质
总结词
内接四边形的性质
详细描述
圆内接四边形具有一系列重要的性质，如相对边相等、对角互补等。这些性质在证明四点共圆时常常用到，也是 几何学中的重要知识点。
VS
详细描述
如果一个四边形的对角线互相平分，则该 四边形的四个顶点共圆。这个性质可以通 过三角形三边的平方关系来证明。具体来 说，如果一个四边形的对角线互相平分， 则可以将该四边形划分为两个三角形，利 用三角形三边的平方关系，可以证明这两 个三角形的三个顶点与四边形的中心点共 圆。
四点共圆判定
方法3
把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆．
方法4
把被证共圆的四点两两连成相交的两条线段，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（相交弦定理的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（割线定理的逆定理）
弦切角定理
编辑本段
编辑本段
定理
判定定理
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
方法1 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆．
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线夹角相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a<b<c）。把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra<rb<rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增加了n个新的有理数距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。
27.1.4四点共圆的判定
如图，菱形ABCD的对角线AC和BD相交于O点，E，F，G，H 分别是AB，BC，CD，DA的中点，求证：E，F，G，H四个点 在以O为圆心的同一个圆上 • 分析：利用直角三角形斜边 的中线等于斜边的一半，再 利用菱形的四边相等即可证 出。
例 如图 所示，已知四边形 ABCD 是平行四边形，过 点 A 和点 B 的圆与 AD、BC 分别交于 E、F 点。求证: C、D、E、 F 四点共圆。
方法１.以△AEB为标准造≌△EF?
利用△ＡEB与△EFM相似创造条件
M
例6.如图，四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点， ∠AEF=900，且EF交正方形外角平分线于点F． （1）求证：AE=EF 线段相等的证法2：
两条线段放在一个三角形中， 利用等角对等边. 利用A、E、C、F四点共圆
例6.四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点，∠AEF=900，且 EF交正方形外角平分线于点F． （2）若将上述条件中的“E为边BC的中点”改为“点E是边BC 上任 意一点”，其余条件不变，则结论“AE=EF”仍然成立,请你证明 线段相等的证法1：△≌法. 这一结论． 把两条线段放在在两个三角形中,证△≌ 方法１.以△EFC为标准造≌△AE?
Ｇ
例6.如图，四边形ABCD是正方形,点E是边BC的中点， ∠AEF=900，且EF交正方形外角平分线于点F． （3）若将条件“Ｅ为BＣ边的中点”改为“Ｅ为BＣ延长线上 的一点”，其余条件不变，则结论“ＡＥ=ＥＦ”成立吗？如 果成立，请证明；如果不成立，说明理由． 线段相等的证法2： 两条线段放在一个三角形中， 利用等角对等边. 利用A、C、E、F四点共圆
（
4.若两个点在一条线段的同旁，并且和这条线段的两端连线 所夹的角相等，那么这两个点和这条线段的两个端点共圆。
四点共圆条件 课件
已知点A（$- 1$，$- 1$），B（$- 2$，$- 3$），C（$- 3$ ，$- 2$），以点D（$- 1$，$- 2$）为圆心作圆，下列结论 正确的是( )
提高习题
题目：已知圆C：$(x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}$和直线l ：$ax + by - ab = 0(a > 0,b > 0)$，则( )
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点，然后证明所得线段的两端分别平行于相对 两边的中点连线，最后证明该线段等于相对两边的中点连线的一半，从而证明 了四点共圆。
利用角平分线定理证明
总结词
通过角平分线定理，我们可以证明四 点共圆。
详细描述
首先，连接四边形相对两边的中点， 然后证明相对两边的中点连线将相对 的两个角平分，最后证明相对两边的 中点连线与相对的两边垂直，从而证 明了四点共圆。
A.直角三角形 B.等腰 三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
提高习题
题目
在直角坐标系中，$bigtriangleup ABC$三个顶点的坐标分 别是A（$- 3$，$0$），B（$- 1$，$- 2$），C（$- 2$，$1$），则$bigtriangleup ABC$外接圆的方程为____．
圆心是三个不共线点确定的三角形的 外心，而半径等于从圆心到圆上任一 点的距离。
圆的基本性质
圆的对称性
圆是中心对称和轴对称图形，对 称中心是圆心，任何经过圆心的 直线都可以将圆分成两个对称的 部分。
圆周角定理
在同圆或等圆中，同弧或等弧所 对的圆周角相等，都等于该弧所 对的圆心角的一半。
02
四点共圆的条件
证明几何定理
四点共圆的判定和性质
四点共圆的判定和性质
如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。
四点共圆有三个性质：共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
托勒密定理：
若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。
我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n 都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。
n=1，n=2很轻松。
当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。
我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。
假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。
假设直径为r（整数）。
四点共圆 (2)
四点共圆在二维几何中，我们经常遇到一些有趣的现象和形状。
其中之一便是四点共圆。
当四个点都在同一个圆周上时，我们称它们是共圆的。
下面，我们将详细介绍四点共圆的性质和证明。
性质1：共圆定义四点共圆指的是四个点A、B、C、D可以构成一个圆，即这四个点都在同一个圆周上。
记这个圆为O，我们可以用如下方式表示四点共圆的条件：AB + CD = AC + BD共圆示意图共圆示意图性质2：共圆的判定判断四个点是否共圆的一种方法是通过计算它们的距离来判断。
具体而言，有如下定理：若四个点A、B、C、D的任意三点不共线，则ABCD四个点共圆的充要条件为：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)性质3：四边形共圆四边形ABCD是共圆的充要条件是，它的对角线交点E满足AB EC + BC EA =AC*EB。
这说明，当四个点A、B、C、D能够构成一个四边形，且满足这个等式时，它们就是共圆的。
性质4：垂直弦交点当ABCD四点共圆时，圆心为O，连接两点的弦AD和BC垂直，交点为M。
那么，我们可以得出以下结论：AM * MC = BM * MD证明接下来，我们将对性质2进行证明。
假设四个点A、B、C、D的任意三点不共线。
首先，我们构造三角形ADC，以及四边形ABCD的两条对角线，连接点A和C，以及点B和D。
根据余弦定理，我们可以得到：AC^2 = AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)同理，我们可以得到：BD^2 = AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC)进一步地，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = (AD^2 + CD^2 - 2 * AD * CD * cos(∠ADC)) * (AB^2 + CD^2 - 2 * AB * CD * cos(∠BAC))展开上式，我们可以得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * AB^2 + AD^2 * CD^2 + CD^2 * AB^2 + CD^4 - 2 * AD * AB * CD^2 * cos(∠BAC) - 2 * AD^2 * CD * cos(∠ADC) - 2 * AB^2 * CD * cos(∠BAC) + 4 * AB * AD * CD^2 * cos(∠BAC) * cos(∠ADC) - 2 * AB * AD * CD^2 * cos(∠ADC) *cos(∠BAC)我们可以观察到一些项可以进行合并和简化，最终得到：AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)由此可见，当AC^2 * BD^2 = AD^2 * BC^2 + AB^2 * CD^2 - 2 * AB * AD * BC * CD * cos(∠ADC - ∠BAC)成立时，四个点A、B、C、D共圆。
四点共圆性质
四点共圆性质
四点共圆的性质是共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等、圆内接四边形的对角互补、圆内接四边形的外角等于内对角。
以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行证明。
如果同一个平面上的四个点在同一个圆上，则称之为圆，一般称为“四点圆”。
由一个圆的四个点连接的两个三角形的顶角相等。
如果同一个平面上的四个点在同一个圆上，则称之为圆，一般称为“四点圆”。
由一个圆的四个点连接的两个三角形的顶角相等。
四点共圆的判定
将四个被证明是共圆的点连接成两个有公共底边的三角形，两个三角形都在底边的同一侧。
如果能证明它们的顶角相等(同一个圆弧相对的圆角相等)，就可以确认这四个点是共圆的。
被证明是共圆的四个点被连接成两条相交的线段。
如果能证明由交点划分的两条线段的乘积相等，则四点可确认为共圆(相交弦定理的逆定理)。
或者将证明共圆的四个点成对连接起来，延伸相交的两条线段。
如果能证明两个线段从交点到一个线段的两个端点的积等于两个线段从交点到另一个线段的两个端点的积，则可以确认这四个点也是共圆的。
第六讲 四点共圆
BDF 的外心，故 O1 在 BP 上且是 BP 的中点.同理可证，C、D、P、E 四点共圆，且 O2 是
CP 的中点.综合以上知， O1 O2 //BC，所以 PO2O1 = PCB . 因为 AF AB AP AD AE AC , 所以 B、C、E、F 四点共圆. 充分性：设 P 是 ABC 的垂心，由于 PE AC , PF AB, 所以，B、 O1 、P、E 四点共线， C、 O2 、P、F 四点共线， FO2O1 FCB FEB FEO1 ，故 O1 、 O2 、E、F 四点 共圆. 必要性：设 O1 、 O2 、E、F 四点共圆，故 O1O2 E EFO1 180 .
C , D, H , E .
B A
F H E
D
C
59
奥林匹克与自主招生
《第六讲 四点共圆》
主编：贾广素
不含 H 的也有三组，即 B, F , E , C ； C , D, F , A ； A, E , D, B. 所以共有６组. （２）因为 C , D, F , A 四点共圆，故 BDF A. 又因为 A, E , D, B 四点共圆，故 EDC A. 从而 BDF EDC. 由等角的余角相等，知 ADF ADE. 由结论（２）知锐角 ABC 的垂心 H 为 DEF 的内心. （２）若两个三角形有公共底边，且在公共底边同侧，又有相等的顶角，则四顶点共圆. 【例 2】锐角 ABC 中， A 60 , 且 O, I , H 分别为 ABC 的外心、内心和垂心. 求证： OI IH . 证明：易见 BOC 2A 120 , BHC 180 A 120 , BIC 90 且 O, I , H 均在 BC 的同侧，故 B, O, I , H , C 五点共圆. 因为 I 为内心，所以 ABI CBI 1 ○
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了毕生精力.
姜立. 夫
9
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3
巩固练习
练1. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．连 接OP和OQ分别交AB、CD于M、N. 求证：M 、N、P、Q四点共圆.
.
4
提高练习
练2. 在锐角△ABC中，以BC为直径作圆与BC
边上的高AD及其延长线交于M，N.以AB为直
径作圆与AB边上的高CE及其延长线交于P，
Q.求证：M，P，N，Q四点共圆.
.5Leabharlann 挑战自己练3. 如图，⊙O的弦AB和CD相交于K，过弦
AB，CD的两端的切线分别相交于P，Q．求
证：OK⊥PQ.
.
6
回味无穷
.
7
课后作业
自选四道与四点共圆判定定理有关的题 （最好选择与判定定理4~5有关的，可以选 择本课件上的题） 温馨提醒： 1. 有代表性、有挑战性、有意义性； 2. 有题目、有图、有过程.
4. 若两线段AB、CD交于E，且AE·EB=CE·ED，则A、B 、C、D四点共圆；
5. 相交线段PA、PB上分别有异于P、A、B的点C、D， 且PA·PC=PB·PD，则A、B、C、D四点共圆.
.
2
经典例题
例.在△ABC中，AB= AC，D为BC中点，且 BE⊥AC于E，交AD于P，已知BP=3，PE=1，求 PA的值.
XUSUHUA
第二十七章 圆
27.24 四点共圆判定定理（2）
.
1
知识链接
常见四点共圆的判定定理： 1. 若干个点与定点的距离相等，则这些点在同一圆周
上；
2. 点C、D在线段AB的异侧，且∠ACB+∠ADB=180° ，则A、B、C、D四点共圆；
3. 若点C、D在线段AB的同侧，且∠ACB=∠ADB，则A 、B、C、D四点共圆；
预习托勒密定理.
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8
他是现代数学在中国最早而又最富成效的一位播种人，他1890年 生于浙江省平阳县(今苍南县)农村一个知识分子家庭．他6岁丧父，10 岁丧母，以后主要由哥嫂抚养成长。后来到美国后，他入加利福尼亚
州的加州大学(伯克利)，专攻数学．1915年获学士学位．那时民国虽 已成立数年，中国的贫弱落后面貌依旧．他认为，中国要富强起来， 需要科学，数学是科学的基础，因而也需要数学．他还认为，他到美 国，用的是美国退回的庚子赔款，那是中国人民血汗换来的，用了人 民的钱，就应当为人民做点好事．他立志要把现代数学移植于中 国．那时候，在中国，现代数学还谈不上有什么基础，他充分意识到，
他面临艰巨的任务．但他不考虑成败得失，用他自己的话说，就是 “不管时机是否成熟”．为了进一步充实自己，以便实现上述抱负，
他努力转到哈佛大学作研究生．1918年，他在哈佛受聘为助教，作为 奥斯古德教授的助手．1919年5月，他完成博士论文《非欧几里得空 间直线球面变换法》．论文是在库利芝教授指导下完成的，内容是用 代数和微分几何方法来讨论射影空间的直线和非欧空间的球面之间的 对应关系，并获得了博士学位．学成之后回国，为中国数学事业贡献